精品解析：辽宁东北育才学校2025-2026学年下学期高一年级数学科第二次月考试卷

东北育才高中2025—2026学年度下学期 高一年级数学科第二次月考数学试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 时钟经过四个小时，时针转过的角度是 B. 若是第二象限角，则也是第二象限角 C. 终边落在直线上的角的集合是 D. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 2. 复数在复平面对应点为，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象如图所示，则（    ） A. 1 B. C. 3 D. 5. 设，则有（ ） A. B. C. D. 6. 在中，“为直角三角形”是“对于任意，”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ） A. 48 B. 50 C. 96 D. 100 8. 已知锐角中，角所对的边分别为，若，，则的面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法错误的是（ ） A. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 B. 在△ABC中，若，，，则△ABC有唯一解 C. 复数满足，则的最大值为6 D. 在△ABC中，若，则△ABC为钝角三角形 10. 如图，在空间四边形 中，，分别是的中点，分别在上，且，则下列说法正确的是（    ） A. 当时，四边形是一个正方形 B. 当时， C. 当时，四点共面 D. 当时，直线相交于一点 11. 化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体的（如图2）棱长为4，则（ ） A. 正八面体的外接球体积为 B. 正八面体的内切球表面积为 C. 若点为棱上的动点，则的最小值为 D. 若点为棱 上的动点，则三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分；共15分． 12. 在复平面内，点P，Q，O分别表示复数z，w，0，已知，，，且，则向量与的夹角为______． 13. 如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积是______． 14. 音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”．它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次．如图所示，某一条葫芦曲线的方程为，，其中表示不超过的最大整数．若该条曲线还满足，经过点．则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为__________． 四、解答题：本题共5大题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，在四棱锥中，底面 为梯形，，，面面， 是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：； 16. 已知关于x的方程（）的两根为、，求实数m的值. （1）若，求m的值； （2）若，求m的值. 17. 已知函数 （1）求函数f(x)的最小正周期与单调递增区间； （2）若方程 在上的解为x₁，x₂，求 18. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求的值； （2）若，解答下列问题： ①当的面积为时，求AC边上的中线长； ②若点D在边上，且平分 ，求的取值范围． 19. 如图，点分别是正方形 的边、上两点，，，记点为的外心. （1）若，，，求的值； （2）若，求的取值范围； （3）若，若，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北育才高中2025—2026学年度下学期 高一年级数学科第二次月考数学试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 时钟经过四个小时，时针转过的角度是 B. 若是第二象限角，则也是第二象限角 C. 终边落在直线上的角的集合是 D. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 【答案】D 【解析】 【分析】结合任意角的概念、象限角的范围、终边相同的角的表示以及扇形的面积和弧长公式逐一验证各选项． 【详解】对于A，规定逆时针旋转形成的角为正角，顺时针旋转形成的角为负角， 时钟时针为顺时针旋转，每小时转过的角度为， 4小时转过的角度为，故A错误； 对于B，若为第二象限角，则， 所以，则是第一或第三象限角，故B错误； 对于C，终边落在直线上的角满足，故C错误； 对于D，若圆心角为的扇形的面积为， 设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，则， 由，故D正确． 2. 复数在复平面对应点为，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出复数，代入计算即可. 【详解】由在复平面对应点为，可得， 则，所以虚部为. 3. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性运算和外接圆的特点可知，结合模长相等关系可求得，由投影向量公式可直接求得结果. 【详解】中，，则O是BC的中点， 所以BC为圆O的直径， 则有，又，则为等边三角形， 有，，，向量在向量夹角为， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 4. 函数的部分图象如图所示，则（    ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正切函数图像上零点与相邻渐近线的水平距离，利用公式求出，再结合图像过点与零点，利用正切函数零点满足，结合确定值，最后将和函数值及代入解析式，求得即可. 【详解】由图知，得到， 又由图知， 由，得到， 又，所以即， 由，得，所以. 5. 设，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， ， ，因为在上单调递增， 所以，又因为，所以 即，综上. 6. 在中，“为直角三角形”是“对于任意，”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先转化向量不等式并化简，构造函数，利用一次函数的性质得出向量垂直关系，从而得出为直角三角形，满足必要性；再利用直角位置不固定得出充分性不成立． 【详解】，若，则， ，即， 对于任意恒成立，设，则需满足 时，；时，； 是一次函数，连续，即， ，即， 又， ， ，故，即，是直角三角形，满足必要性； 若为直角三角形，直角可能是或， 若或时，不满足对于任意恒成立，不满足充分性， “为直角三角形”是“对于任意，”的必要不充分条件，故B正确． 故选：B． 7. 已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ） A. 48 B. 50 C. 96 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】由题可求出圆锥底面半径和母线长，先求当截面过中心轴时顶角为钝角，然后得出截面面积的最大值即可. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为， 则，解得. 当截面过中心轴时，则，， 所以， 由三角形面积公式可得，当时，截面面积最大，最大为. 8. 已知锐角中，角所对的边分别为，若，，则的面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用题设与余弦定理求出角，由正弦定理求得的表达式，代入面积公式，利用三角恒等变换化成正弦型函数，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】∵，∴， 由余弦定理可知， ∵，∴， ∴， 由正弦定理可知，∴， 即， ∴， ， 则， 在锐角中，，∴，∴， ∴. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法错误的是（ ） A. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 B. 在△ABC中，若，，，则△ABC有唯一解 C. 复数满足，则的最大值为6 D. 在△ABC中，若，则△ABC为钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A：因为用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台， 所以本选项说法错误； 对于B：由正弦定理可知， 因为，所以，当为锐角时，显然，符合题意； 当为钝角时，，符合三角形内角和定理，所以△ABC有唯一解这种说法错误； 对于C：因为复数满足， 所以复数在复平面表示的点到原点的距离为2，即在圆上， 表示圆上的点到点的距离，显然当时，有最大值为6，所以本选项说法正确； 对于D：为锐角，因此不能判断该三角形的形状，所以本选项说法错误. 10. 如图，在空间四边形 中，，分别是的中点，分别在上，且，则下列说法正确的是（    ） A. 当时，四边形是一个正方形 B. 当时， C. 当时，四点共面 D. 当时，直线相交于一点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线线平行得出平行四边形及菱形判断A，B，根据平行得出四点共面判断C，应用平面的基本性质得出三线共点判断D. 【详解】因为分别是的中点，所以， 当时，，所以， 四边形是一个平行四边形，且，易得， 所以四边形是一个菱形，则， 不能得出四边形是一个正方形，所以A错误，B正确； 对于C，当时，，，则， 所以四点共面，C正确； 对于D，当时，，但，而， 所以但不相等，所以四边形是一个梯形， 假设相交于点，因为平面，平面， 又平面平面，所以， 从而可得直线相交于一点，D正确，故选：BCD. 11. 化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体的（如图2）棱长为4，则（ ） A. 正八面体的外接球体积为 B. 正八面体的内切球表面积为 C. 若点为棱上的动点，则的最小值为 D. 若点为棱 上的动点，则三棱锥的体积为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A项，利用正八面体的对称性可分析计算得出正方形 的中心即为外接球球心，再利用球的体积公式计算即可；对于B项，可以利用等体积列出关于内切球半径的方程，解之即可；对于C项，通过两个侧面翻折共面后即得共线时取最小值；对于D项，通过发现并证明平面，将三棱锥的体积进行多次转化成三棱锥的体积，计算即得. 【详解】对于A项，设该正八面体外接球的半径为，由图知， 是正方形，, 在中，，利用对称性知，故点为正八面体外接球的球心，则， 所以正八面体外接球的体积为，故A项错误； 对于B项，设该正八面体内切球的半径为，由内切球的性质可知正八面体的体积， 解得，故它的内切球表面积为，故B项正确； 对于C项，如图，因与是边长为4的全等的正三角形，可将翻折到，使其与共面，从而得到一个菱形. 连接与相交于点，此时，则 ，因此取得最小值为，故C项正确； 对于D项，易知，因为平面，平面，所以平面， 所以，故D项正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分；共15分． 12. 在复平面内，点P，Q，O分别表示复数z，w，0，已知，，，且，则向量与的夹角为______． 【答案】 【解析】 【分析】设复数u在复平面内对应的点为A，可得，结合模长关系可得，进而可得向量夹角. 【详解】设复数u在复平面内对应的点为A， 由题意可知：，，，， 则， 即，解得，可得， 且，可得， 所以向量与的夹角为. 13. 如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积是______． 【答案】 【解析】 【分析】先将该几何体补成一个正三棱柱，再根据几何体与补形后的正三棱柱的体积的关系求出该几何体的体积. 【详解】因为在几何体中，侧棱，，均垂直于底面， 已知，，， 所以构造一个底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为6的正三棱柱， 其中，，，， 因此，即， 根据三棱柱体积公式， 所以该几何体的体积是. 14. 音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”．它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次．如图所示，某一条葫芦曲线的方程为，，其中表示不超过的最大整数．若该条曲线还满足，经过点．则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用已知点求出的值，再代入计算纵坐标． 【详解】解：将点代入葫芦曲线的方程可得， 即，由可得，因此曲线方程为， 当时，可得， ∴交点的纵坐标为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5大题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，在四棱锥中，底面 为梯形，，，面面， 是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：； 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取中点 ，连、 ，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定即可证明； （2）先通过线面平行的判定证得面，再利用线面平行的性质证得. 【小问1详解】 在四棱锥中，取中点 ，连、 ，又， ， 四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面； 【小问2详解】 在梯形 中， ， 又平面，平面， 平面， 平面，平面平面， ，， . 16. 已知关于x的方程（）的两根为、，求实数m的值. （1）若，求m的值； （2）若，求m的值. 【答案】（1）-2或； （2）-2或. 【解析】 【分析】（1）根据实系数一元二次方程的根的系数关系计算求参； （2）根据实系数一元二次方程的根的系数关系计算求参. 【小问1详解】 若、为实数， 则，即. 由韦达定理可得 所以， 解得，符合题意. 若、为虚数，则，即. 由韦达定理可得 设，，a、且， 则，解得. 因为，所以， 所以，符合题意. 综上，m的值为-2或. 【小问2详解】 ①当、为实数，即时， ，即，所以，所以. 当时无解；当时，. ②当、为一对共轭虚数，即时，. 由，可知|， 则. 综上，m的值为-2或. 【点睛】方法点睛：分类讨论根据实系数一元二次方程的根为实数或一对共轭虚数分别计算求参. 17. 已知函数 （1）求函数f(x)的最小正周期与单调递增区间； （2）若方程 在上的解为x₁，x₂，求 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式，将变形为的形式，根据最小正周期的公式及复合函数单调性的判断求解即可； （2）利用正弦函数的对称性，得到的关系，即可求得，利用诱导公式可得. 【小问1详解】 函数 . 所以函数的最小正周期为. 令，. 因为是增函数，且当时，单调递增，单调递增. 所以当，即时，函数单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 令 ，则，即. 令，则由，得. 由在的图象知，有两解，且这两解与关于对称， 所以，即，即. 所以， 所以. 18. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求的值； （2）若，解答下列问题： ①当的面积为时，求AC边上的中线长； ②若点D在边上，且平分 ，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式即可求解； （2）①由三角形面积公式及余弦定理得出和，再根据平面向量数量积的运算律即可求解；②由角平分线得出，，由余弦定理得，再由基本不等式即可求解． 【小问1详解】 根据已知，由正弦定理得， 因为， 所以， 由得，故． 【小问2详解】 ①由（1）知，则， 由面积得，即， 又由余弦定理， 代入，得， 设的中点为 ，则， ， 故中线长为． ②由角平分线得， 又，得，， 则， 由余弦定理，即， 所以，， 由（当且仅当时取等号），得： 所以， 又为三角形边长，则，故 综上所述，的取值范围为． 19. 如图，点分别是正方形 的边、上两点，，，记点为的外心. （1）若，，，求的值； （2）若，求的取值范围； （3）若，若，求的最大值. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据向量数量积的坐标运算求得的值. （2）设，求得关于的表达式，进而求得的取值范围. （3）设，，将表示为关于的表达式，求得的取值范围，进而求得的最大值. 【小问1详解】 以点为坐标原点， 为轴，建立直角坐标系.，， 所以. 【小问2详解】 设，， 则，. ， 由于，根据对勾函数的性质可知. 【小问3详解】 ； . 设，，则这两个式子为， 化简得 解得 所以， 设，， 令， 所以由对勾函数的性质得， 所以当时，即点与 点重合时，取到最大值. 【点睛】求解平面向量数量积有关问题，有两个求解思路，一个是利用平面向量的基本定理，通过转化的方法来求得数量积；另一个思路是根据图形的特征，通过建立平面直角坐标系，利用坐标法来进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $