精品解析：辽宁省七校协作体2025-2026学年高一下学期6月练习数学试卷

2025—2026学年度（下）高一 数学练习试题 考试时间：120分钟 满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体结构特征直接判断即可. 【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示， 由三棱锥性质可知，和是全等的梯形， 又平面平面， 平面分别与平面和相交于， 所以，同理， 又，所以互相平行， 所以盛水部分的几何体是四棱柱. 故选：C 3. 已知向量，，且，则 （ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】依题意可知，解得. 4. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在中，， 由正弦定理得， 由，得 ，所以. 5. 将函数的图象向右平移（ ）个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式化简，再由诱导公式及图象平移即可得解. 【详解】因为， ， 所以把 的图象向右平移个单位长度可以得到的图象， 则的最小值为， 故选：B． 6. 如图扇形，圆心角，D为半径中点，把扇形分成三部分，这三部分绕AC旋转一周，所得三部分旋转体的体积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转体的概念结合圆锥以及球的体积公式，分别求得的值，即可得答案. 【详解】由题意，不妨设扇形的半径为2， 则，， ， 故， 故选：D 7. 已知函数，若方程的解为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出在上的图象，考虑直线与其交点，从而可得的值，故可得的值. 【详解】在上的图象如图所示： 令，则， 令，故,即. 由图可得， 故， 故选：A. 8. 已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量模与夹角的公式得，进而结合向量的夹角范围求解即可. 【详解】因为是单位向量，且的夹角为， 所以， 又， 所以， 又 ，所以，所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，为复数，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设，利用复数的运算结合共轭复数逐一验证即可求解. 【详解】设，由， 所以，， 所以，故A正确； 由，，所以不一定成立，故B错误； 由，，所以，故C正确； 由，， 所以不一定成立，故D错误. 10. 两个直三棱柱的高均为2，底面边长都是1，1，，将它们拼成一个新的棱柱，则这个新棱柱的表面积可以是（ ） A. 12 B. C. 10 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据几何体的特征能拼成的三棱柱的情况有三种情况，分别求出其表面积即可求解. 【详解】记两直三棱柱为直三棱柱 和直三棱柱，如图所示：    当拼成三棱柱时有三种情况， 第一种情况： 表面积为； 第二种情况： 表面积为； 第三种情况： 表面积为. 故B，C，D正确，A错误. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的值域为 C. 在上单调递减 D. 图象的对称轴为直线 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，利用特殊角的三角函数值，求得，可判定A正确；化简函数的解析式，画出函数的图象，结合图象，可判定B、C正确，D错误. 【详解】由函数， 对于A，由，所以A正确； 对于B，当时，； 当时，， 所以， 画出函数的图象，如图所示，则函数的值域为，故B正确； 对于C，当时，可得，此时在上单调递减，所以C正确； 对于D，由函数图象，可得的对称轴为，所以D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，三点在球的球面上，，，，球心到平面的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出球的半径，再求球的表面积． 【详解】因为，则，可知的外接圆半径， 设该球的半径为，则，即，解得， 所以该球的表面积是. 13. 如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得 ，，， ，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】在， ，中，分别用正弦定理及余弦定理计算求解. 【详解】因为 ，， 则 ， 因为，， 则 在中，由正弦定理可得， 则． 在 中，由正弦定理可得， 则． 在中， 由余弦定理可得， 故. 14. 在锐角三角形中，角的对边分别是，若的面积，则 的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用三角形面积公式及正弦定理得到 ，利用正弦的和角公式及商数关系，得到 ，再由正切的和角公式得 ，令 ，得到，即可求解. 【详解】因为的面积，则 ， 又，则 ， 所以 ， 又 ，所以 ， 则，所以 ， 则 ， 令 ，则， 因为，则 ，所以， 则 ， 当且仅当，即 时取等号， 所以 的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图是一个正四棱台的铁料，上､下底面的边长分别为和，高. （1）求四棱台的表面积； （2）若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出侧面的斜高，得到侧面积，再与上下底面积求和得到表面积； （2）最大的圆台是上底面圆与棱台上底面正方形相切，高为棱台的高时，求出圆台的体积，再求出正四棱台的体积，即可得到削去部分，从而得到体积之比； 【小问1详解】 如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 分别取中点，连接， 过点作，交于点. 则， 所以， 所以四棱台的表面积. 【小问2详解】 若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台， 则圆台的上、下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高. 则圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为， 高，则圆台的体积为． 又正四棱台的体积， 所以削去部分的体积， 所以削去部分与圆台的体积之比为； 16. 在中，内角，，所对的边分别为， ， ，已知，． （1）若，求的面积； （2）若，求和 的值； 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得，再利用平方关系得，结合三角形面积公式求解. （2）结合正弦定理和，可得，从而求得的值.利用余弦定理，可得 的值，最后检验是否符合题意. 【小问1详解】 已知，，，由余弦定理得： 因为所以由同角三角函数关系得： 的面积 【小问2详解】 由正弦定理，且，， 代入得，约去（），解得． 则． 由余弦定理 ，代入，， 得：， 整理得，解得或． 当时，，则 ，，即， 此时，矛盾，舍去； 当时，，符合题意； 故． 17. 已知函数. （1）若，求及的单调递增区间； （2）已知在区间上单调递增，且，求的最小正周期. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换对进行化简，结合正弦型三角函数的性质求解即可. （2）结合在区间上单调递增及正弦型三角函数的性质可得，结合可得，联立可得 ，进而求周期即可. 【小问1详解】 因为 ， 当时，，则. 令，解得， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 因为，所以 因为在区间上单调递增，且， 在区间上单调递增， 所以，解得. 又，在区间上单调递增， 所以曲线关于对称，且点在曲线的递增部分上， 则， 又在处单调递增，所以，解得， 又，所以 ，则， 所以的最小正周期为 . 18. 已知的内角的对边为，且 （1）求; （2）若的面积为 ①已知 为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得，由同角三角函数的基本关系求解即可. （2）①根据面积公式可得，结合以及向量的模长公式求解即可，②利用等面积法可得，进而根据半角公式可得，即可得，再利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得，即， 故，因为，所以， 所以. 【小问2详解】 ①由（1）知，因为的面积为， 所以，解得， 且，解得，由于， 所以 ，所以，即. ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 得到， 由于，所以， 由二倍角公式得，则，解得， 又，所以， 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故. 19. 由平面内夹角为60°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”，如图所示．设向量分别为数轴Ox，Oy正方向上的单位向量，对于该平面内的向量，若，则实数对称为向量的“完美坐标”． （1）已知向量，的“完美坐标”分别为，，判断命题“的充要条件是 ”是否正确？若命题正确，请给出证明；若命题不正确，请说明理由； （2）已知向量，的“完美坐标”分别为，，设函数． ①若存在，使不等式成立，求实数k的取值范围； ②若函数在区间内恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）不正确，证明见解析 （2）① ② 【解析】 【分析】（1）由，可得，运算可知不正确； 如图①利用（1）的公式计算 ，设，求出，将转化成有解，结合函数的单调性即可求得的最大值，即可得出结果； ②化简，换元后得，原函数零点问题，转化为方程与的根的个数问题，数形结合求解. 【小问1详解】 不正确                                                                   证明： 因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为， 所以，， 因为，所以，即， 则有， 所以“”的充要条件是“”， 所以“”的充要条件是“ ”是不正确的. 【小问2详解】 因为向量，的“完美坐标”分别为，， 由（1）知， 所以 . 令，则 因为，所以，则， 又， 即， 所以，. 已知恒成立，即对恒成立. 因为时，，所以对有解. 令，，单调递增， 当时，. 所以，即实数的取值范围是. ② ， 令，则 因为，所以，则， 又， 即， 则，. 因为， 所以当或时，方程有1个根，当时，方程对应2个根，当时，方程对应1个根，当时，方程对应2个根， 令，可得， 因为，所以方程有2个不等实根，又， 不妨设，又因为不满足方程， 所以可得， 令，则函数在和上单调递减， 如图， 由题意，可知 ①与函数图象两支都相交，且交点横坐标分别在，， 所以，解得； ②，满足题意，此时； ③，满足题意，此时； 所以实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度（下）高一 数学练习试题 考试时间：120分钟 满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 3. 已知向量，，且，则 （ ） A. B. C. D. 2 4. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ） A. 或 B. C. D. 5. 将函数的图象向右平移（ ）个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图扇形，圆心角，D为半径中点，把扇形分成三部分，这三部分绕AC旋转一周，所得三部分旋转体的体积之比是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若方程的解为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，为复数，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 两个直三棱柱的高均为2，底面边长都是1，1，，将它们拼成一个新的棱柱，则这个新棱柱的表面积可以是（ ） A. 12 B. C. 10 D. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的值域为 C. 在上单调递减 D. 图象的对称轴为直线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，三点在球的球面上，，，，球心到平面的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是______． 13. 如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得 ，，， ，，则______. 14. 在锐角三角形中，角的对边分别是，若的面积，则 的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图是一个正四棱台的铁料，上､下底面的边长分别为 和，高. （1）求四棱台的表面积； （2）若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比. 16. 在中，内角，，所对的边分别为， ， ，已知，． （1）若，求的面积； （2）若，求和 的值； 17. 已知函数. （1）若，求及的单调递增区间； （2）已知在区间上单调递增，且，求的最小正周期. 18. 已知的内角的对边为，且 （1）求; （2）若的面积为 ①已知 为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 19. 由平面内夹角为60°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”，如图所示．设向量分别为数轴Ox，Oy正方向上的单位向量，对于该平面内的向量，若，则实数对称为向量的“完美坐标”． （1）已知向量，的“完美坐标”分别为，，判断命题“的充要条件是 ”是否正确？若命题正确，请给出证明；若命题不正确，请说明理由； （2）已知向量，的“完美坐标”分别为，，设函数． ①若存在，使不等式成立，求实数k的取值范围； ②若函数在区间内恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $