辽宁沈阳市第一二O中学2025-2026学年高一下学期第三次质量监测数学试题

沈阳市第120中学2025—2026学年度下学期 高一年级第三次质量监测 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知角的终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 2．已知直线和平面，若，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则向量在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 4．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A． B． C． D． 5．已知函数（）在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知正四棱台的上，下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球体积为（ ）． A． B． C． D． 7．已知，，，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 8．（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．下列说法正确的是（ ） A．若，互为共轭复数，则为实数 B．对于复数，，若，则 C．若是关于x的二次方程（，）的根，则也是该方程的根 D．复数满足，则的最大值为 10．已知函数，则下列四个结论中正确的是（ ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的最小正周期为 C．的值域为 D．设函数（，）的奇偶性与函数相同，且函数在上单调递减，则的最小值为2 11．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为侧面内一动点，且平面，过，，三点作正方体截面，则（ ） A．三棱锥的外接球表面积为 B．动点的轨迹是一条线段 C．三棱锥的体积是定值 D．若为上一点，则线段长度的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数_________． 13．“文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹．李时珍是湖北省蕲春县人，明代著名医药学家．他历经27个寒暑，三易其稿，完成了192万字的巨著《本草纲目》，被后世尊为“药圣”．为纪念李时珍，人们在美丽的蕲春县独山修建了一座雕像，如图所示．某数学学习小组为测量雕像的高度，在地面上选取共线的三点A、B、C，分别测得雕像顶的仰角为、、，且米，则雕像高为_______米． 14．如图，已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段交于点D，与线段交于点．设，，且．设的周长为，的周长为，设．记，则的值域为_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15．（本题13分）已知向量，，函数． （1）设，且，求的值； （2）在中，，，且的面积为，求的值． 16．（本题15分）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，． （1）画出平面四边形的平面图，并计算其面积； （2）若该四边形以为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积． 17．（本题15分）的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知． （1）求； （2）若点在边上，为的平分线且长度为1，求； （3）若是边上的一点，且，，求的面积的最大值． 18．（本题17分）如图所示，已知为梯形，，，M为线段上一点． （1）设平面平面，证明：； （2）在棱上是否存在点 （ⅰ）使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （ⅱ）使得平面将四棱锥分成体积相等的两部分，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19．（本题17分）定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）已知，，为函数（）的伴随向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． （3）若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市第120中学2025-2026学年度下学期 高一年级第三次质量监测 数学答案 一、单选题 1．B 2．D 3．B 4．B 5．A 6．C 7．D 8．B 二、多选题 9．ACD 10．BC 11．BCD 三、填空题 12． 13． 14． 四、解答题 15．【详解】（1） 3分 ，得， 故，，故或， 6分 （2），由（1）知， 在中，设内角、的对边分别是，，则，故． 由余弦定理得，故． 解得或，于是， 9分 由正弦定理得，故． 13分 16．【详解】（1） 如图1，设与交点为， 因为，，所以，． 的平面图如图2所示： 则，． 5分 （2）由（1）可得，在中，有， 所以，，所以． 如图3，分别过点，作及其延长线的垂线，垂足为，． 矩形绕及其延长线，旋转一周得到一个底面半径，母线的圆柱；绕，旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥；绕及其延长线，旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥． 所以，旋转形成的几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥，与一个同底的圆锥构成的组合体． 8分 则旋转形成的几何体的体积即等于圆柱的体积，减去挖去的圆锥体积，加上组合的圆锥的体积，所以，旋转形成的几何体的体积 ． 11分 旋转形成的几何体的表面积即等于圆柱的侧面积，加上两个圆锥的侧面积之和， 所以． 15分 17．【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 整理可得，由余弦定理可得 ，所以， 因为，故． 5分 （2）因为为的平分线，所以， 因为，即， 又因为，所以，故． 10分 （3）因为，所以，即， 所以， 即， 即，当且仅当即当时等号成立， 所以， 即面积的最大值为． 15分 18．【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面平面，且平面，所以． 4分 （2）（i）存在点，使得平面，此时． 证明如下：连接交于点，连接． 因为，且，所以，又因为，， 所以，因为平面，平面，所以平面． 10分 （ii）存在，且， 11分 理由如下： 记四棱锥的体积是．由，，得，故， 即．设，则． 令，得，解得． 故存在点，当时，平面将四棱锥分为体积相等的两部分． 17分 19．【详解】（1） ， 所以，． 4分 （2）由伴随向量的定义可知， 又， 所以可得，解得，因此， 所以， 即，设点， 又，，由， 得， 展开并化简可得（*），令，且， 6分 方程变为，即， 解得，又，所以，此时且， 所以，对应，即． 10分 （3）函数为向量的伴随函数，所以， 又关于的方程为， 所以可得， 即， 记， 14分 化简得，作出函数的图像， 方程在上有且仅有四个不相等的实数根， 等价于图象与直线有四个交点，故， 即． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $