第二十二章 函数 章末复习教案 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学教案系统梳理函数章核心知识，涵盖常量变量、函数概念、三种表示法、自变量取值范围及应用，通过问题串导入和要点复习（概念与表示），结合例题归纳与思维导图，构建“概念-表示-应用”的逻辑知识网络。 其亮点是采用动态变形（如四边形扭动）、图象辨析等多样化例题，培养抽象思维与几何直观，例3几何建模和例4规律探究体现分层设计，帮助学生巩固知识，为教师提供系统复习框架，提升教学针对性。

第二十二章 函数 章末复习 教学目标 1．回顾常量、变量及函数的概念，能准确区分常量与变量，举例说明函数的意义，熟练确定函数自变量的取值范围并求函数值，体会变化与对应的数学思想，提升抽象思维能力． 2．巩固函数的表示方法，熟练运用描点法绘制函数图象，能结合图象分析简单实际问题中的函数关系，体会数形结合的思想，发展几何直观，提升运用函数知识解决简单问题的能力． 教学重点 函数的概念；函数的表示法；利用函数解决实际问题． 教学难点 利用函数解决实际问题． 教学过程 复习导入 请你带着下面的问题，进入本章的复习吧！ 1．举例说明什么是常量和变量． 2．举例说明两个变量x和y满足什么条件时，y是x的函数． 3．函数有哪些表示法？它们各有什么优点？请举例说明． 4．举例说明如何利用函数解决实际问题． 【设计意图】以问题串的形式创设情境，引导学生系统回顾本章知识内容，形成对函数知识体系的整体认知，激发学生的学习兴趣和求知欲望． 要点复习 【要点一】函数的相关概念 知识点1　常量和变量 一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量． 注意：常量和变量是相对的，判断的前提是“在同一个变化过程中”． 知识点2　函数的概念 1．自变量：在一个变化过程中居于主动地位的变量叫作自变量． 2．函数：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 3．函数值：如果当x＝a时y＝b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值． 知识点3　函数解析式 1．函数解析式：像y＝50－0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式． 2．自变量的取值范围：①使函数解析式有意义；②符合实际意义． 3．求函数值． 【例1】如图，用钉子将四根木条钉成正方形框，并向右扭动得到四边形ABCD．下面的量是常量的是（ ） A．∠ABC的度数 B．对角线AC的长度 C．四边形ABCD的面积 D．四边形ABCD的周长 【答案】D 【解析】用钉子将四根木条钉成正方形框，并向右扭动得到四边形ABCD．扭动过程中四根木条的长度不变，即四边形的四条边长不变，因此四边形的周长是常量．同时，顶点B处的角度发生了改变，从90°变成钝角，对角线的长度以及正方形的面积都随着扭动发生了变化，因此它们是变量． 【归纳】遇到“扭动”或“变形”类题目时． （1）先梳理明确固定不变的条件（如木条的长度等）； （2）再判断随图形形态改变而发生变化的量； （3）若某个量仅由固定长度决定，不随图形的形态改变而改变，即为常量；会随图形的形态改变而改变的量是变量． 【例2】下列图象，不能表示y是x的函数的是 ．（填序号） 【答案】③④⑤ 【解析】判断一个图象能否表示y是x的函数，关键看是否满足函数的定义，即对于任 意一个x的值，是否有唯一确定的y值与之对应．对于③④，存在部分x的取值，同时对应两个不同的y的值；对于⑤，对于x的取值，对应无数个不同的y的值．所以③④⑤不能表示y是x的函数． 【归纳】判断一个图象能否表示y是x的函数，关键是在图象上任取一点，过这个点作一条垂直于x轴的直线，判断这条直线与图象交点的个数： ①若交点个数只有一个，则y是x的函数； ②若交点个数有2个或2个以上，则y不是x的函数． 【例3】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC．若其周长为8，腰长为x，底边长为y，则y与x之间的函数关系式为________________，自变量x的取值范围为________________． 【答案】y＝8－2x；2＜x＜4． 【解析】∵ AB＋AC＋BC＝8，且AB＝AC＝x，BC＝y， ∴ y＝8－2x． ∵ ∴ 解得2＜x＜4． 【归纳】求解几何背景下的函数解析式，本质是挖掘几何图形中两个变量之间的等量关系．解题时常借助周长公式、面积公式、边长关系、几何定理等建立数量关系，进而推导得出函数关系式． 【例4】如图，第1个图形中有4颗五角星，第2个图形中有7颗五角星，第3个图形中有10颗五角星，……，依照此规律，第n个图形中有s颗五角星． （1）当n＝5时，s＝________；s关于n的函数关系式为_________． （2）若第（n－1）个图形与第n个图形共有2 399颗五角星，求n的值． 【答案】（1）16；s＝3n＋1． （2）400． 【解析】（1）由所给图形的规律可知， 第1个图形中五角星的颗数为：4＝1×3＋1； 第2个图形中五角星的颗数为：7＝2×3＋1； 第3个图形中五角星的颗数为：10＝3×3＋1； ……， 第5个图形中五角星的颗数为：5×3＋1＝16； ∴ 第n个图形中五角星的颗数为3n＋1，即s＝3n＋1． （2）由（1）可得第n个图形中五角星的颗数为：3n＋1； 第（n－1）个图形中五角星的颗数为：3×(n－1)＋1＝3n－2； ∴ 3n－2＋3n＋1＝2 399， 解得n＝400． 【归纳】探究图形累加规律的步骤． （1）计数罗列：依次数出每组图形的数量，列出对应的数据； （2）分析规律：对比前后图形数量的变化，通过作差、作商等方式，结合序号n，探寻数量与n之间的对应关系； （3）代入验证：选取合适的n的值代入关系式，验证所归纳的式子是否正确． 【设计意图】通过动态变形、图象辨析、几何建模与规律探究等多样化题型，帮助学生分清常量与变量，理解函数“唯一对应”的本质，掌握函数解析式的推导与取值范围的确定，培养数形结合与数学建模的初步能力． 【要点二】函数的表示 知识点1　函数的图象 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 知识点2　描点法画函数图象的步骤 ①列表；②描点；③连线． 知识点3　通过函数图象获取信息，解决实际问题 知识点4　函数的表示方法 1．解析法：准确反映了函数与自变量之间的数量关系． 2．列表法：具体反映了函数与自变量的数值对应关系． 3．图象法：直观反映了函数随自变量的变化而变化的规律． 【例1】请你根据学习函数的经验，判断函数y＝4(x－3)的图象最有可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵ y＝4(x－3)， ∴ 当x＝2时，y＝0；当x＝3时，y＝0． 当x＜3且x≠2时，y＜0，函数图象在x轴下方， 当x＞3时，y＞0，函数图象在x轴上方． 【归纳】对于含绝对值的函数，判断其图象时，通常先找到函数图象与x轴的交点，这些交点将x轴划分为若干区间；再在各区间内去掉绝对值符号，分析函数值的正负，进而确定图象位于x轴上方或下方． 【例2】如图①，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°．动点P从B点出发，沿着B—C—D—A的路线匀速运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y与x之间的关系如图②所示，则梯形ABCD的面积为__________． 【答案】26． 【解析】当0＜x＜4时，动点P在边BC上运动． 根据图象，得BC＝4，此时S△ABP＝16． ∴ S△ABP＝AB·BC＝16，即AB×4＝16． ∴ AB＝8． 当4＜x＜9时，动点P在边CD上运动． 根据图象，得CD＝9－4＝5． ∴ S梯形ABCD＝BC(AB＋CD)＝×4×(8＋5)＝26． 【归纳】解决动点与函数图象的综合问题，关键在于找准特殊关键点的对应关系，准确提取函数图象中的有效信息． 【例3】小明，小亮从图书馆出发，沿相同线路骑车前往体育场，小明先骑行一段路程后，小亮出发，当小亮超过小明150米后，小亮停在原地等候小明．两人相遇后，一起以小明原来的速度继续前往体育场．下图反映了两人骑行的路程y（米）与所用时间x（秒）之间的关系，请根据题意解答下列问题． （1）问题中的自变量是______；小亮比小明晚出发了______秒． （2）小明共骑行了______米，小明的速度为______米/秒． （3）图中a＝_____，小亮在途中等候小明的时间是______秒． 【答案】（1）x，100； （2）900，1.5； （3）750，100． 【解析】（1）如图所示，因为小明先出发，小亮后出发，所以小明对应的图象从原点（0，0）开始；小亮对应的图象从点（100，0）开始．问题中的自变量是x，小亮比小明晚出发了100秒． （2）∵ 小明骑完全程，对应图象上的线段OD． ∴ D点的纵坐标为小明骑行的路程，横坐标为小明骑行的时间， ∴ 小明骑行了900米，速度为900÷600＝1.5（米/秒）． （3）由函数图象，得a＝1.5×500＝750（米）， 小亮在途中等候小明的时间是150÷1.5＝100（秒）． 【归纳】解决双函数图象问题的步骤． （1）确定横、纵坐标的含义； （2）确定图象与每个对象的关系； （3）识别不同图象的起点和终点； （4）找出转折点和特殊线段； （5）根据已知数据求解． 【例4】用一根长为C cm的铁丝围成一个面积为S cm2的正方形． （1）求S关于C的函数关系式； （2）画出函数的图象； （3）根据图象，求S＝1 cm2时正方形的周长． 【答案】解：（1）根据题意，得正方形的边长为， 由正方形面积公式，得S＝ ， ∴ S＝ (C＞0)． （2）列表、描点、连线（如图所示）． （3）根据图象，得S＝1 cm2，C＝4 cm，即正方形的周长是4 cm． 【例5】小明想探究函数y＝的性质，他借助计算器求出了y与x的几组对应值，并在平面直角坐标系中画出了函数图象．小聪看了一眼就说：“你画的图象肯定是错误的．” 小聪判断的理由是： ． 写出函数y＝的一条性质： ． 【答案】对于函数y＝，函数值不可能为负，所以图象不会出现在x轴下方； 当x≤－1时，y随x的增大而减小；当x≥1时，y随x的增大而增大（答案不唯一，合理即可）． 【设计意图】通过例题分析，引导学生掌握函数图象的画法与识别方法，并能从图象中提取有效信息，解决相关问题，提升运用函数知识分析、解决数学问题的能力． 课堂小结 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 完成教材112页复习题22第1～9题． 学科网（北京）股份有限公司 $