第二十二章 函数（ 8大题型 ）期末复习讲义 2025-2026学年 人教版数学 八年级下册

第二十二章 函数（复习讲义） 一. 变量与常量 1.定义：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。 2.关键点：常量与变量是相对的，取决于具体的变化过程。例：公式s=vt中，若速度v固定，则v是常量，s和t是变量；若路程s固定，则s是常量，v和t是变量。 二. 函数的概念 1.定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么x叫做自变量，y叫做x的函数。 2.函数的三要素： 1　 自变量的取值范围； 2　 函数值的取值范围； 3　 对应关系（解析式/列表/图象）。 3.函数的三种表示方法： 方法 定义 优点 缺点 解析式法 用数学式子表示两个变量的函数关系 简洁明了，便于计算和研究性质 不是所有函数都能写出解析式 列表法 用表格列出自变量与对应函数值 直观、直接读取对应值 无法列出所有自变量的值 图象法 用平面直角坐标系中的图象表示函数 直观反映函数的变化趋势 读取数据不够精确 三. 自变量的取值范围 1.使解析式有意义的取值： 1　 整式：自变量取全体实数； 2　 分式：分母不为0； 3　 二次根式：被开方数非负； 4　 复合式：同时满足所有限制条件（如分式+根式）。 2.使实际问题有意义的取值：自变量的取值必须符合实际情境，如时间、长度、人数等不能为负数，且要满足实际逻辑。 四. 函数值 1.当自变量x=a时，对应的y值叫做当x=a时的函数值。 2.求函数值的方法：将自变量的值代入解析式，计算即可得到对应的函数值。 五. 函数的图象 1.定义：把自变量x和函数值y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，这些点组成的图形就是函数的图象。 2.画函数图象的步骤：列表→描点→连线 1　 列表：给出自变量的一些值，求出对应的函数值； 2　 描点：在坐标系中描出这些对应点； 3　 连线：按自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线连接各点。 3.图象的意义：图象上的点的坐标(x,y)满足函数解析式；反之，满足解析式的点(x,y)都在函数的图象上。 1.对 “函数定义” 理解不透彻：忽略 “唯一确定” 这个核心条件，例如关系式y2=x不是函数，因为当x>0时，一个x对应两个y值；而y=∣x∣是函数，因为一个x只对应一个y值。 2. 混淆自变量与函数的对应关系：错误认为 “只要有两个变量就是函数”，例如：在关系式x2+y2=1中，一个x（∣x∣<1）对应两个y值，因此y不是x的函数。 3. 自变量取值范围漏考虑实际意义：只考虑解析式本身的限制条件，忽略实际情境的约束。例如：路程问题中t≥0，几何问题中边长>0，这些都是容易遗漏的限制。 4. 判断函数图象时出错：无法用 “垂直测试法” 判断图象是否为函数图象：一条垂直于x轴的直线与图象有两个及以上交点时，该图象不是函数图象。 5.求函数值时计算错误：代入自变量的值时符号、运算顺序出错，尤其是负数代入含平方、绝对值的解析式时，容易出现计算失误。 6.列表法、图象法表示函数时，自变量取值不全：用列表法表示函数时，自变量取值不完整，导致无法体现函数的变化规律；用图象法时，连线错误（如用折线连接离散点，或遗漏关键点）。 7.混淆常量与变量：误将公式中的固定常数（如π）当作变量，或误将实际问题中的固定量当作变量。 1.函数定义的快速判断技巧：垂直测试法在平面直角坐标系中，任意画一条垂直于x轴的直线，若直线与图象的交点不超过1个，则该图象表示的是函数；若有2个及以上交点，则不是函数图象。 2.求自变量取值范围的步骤： ① 先看解析式：整式直接取全体实数；分式找分母不为0；根式找被开方数非负；复合式求各条件的交集；② 再看实际问题：结合情境补充限制条件（如非负、整数、范围等）。 3.判断两个变量是否为函数关系的技巧 方法1：看定义：一个自变量x是否对应唯一的y； 方法2：列表示例：举几个自变量的值，看对应的函数值是否唯一； 方法3：画图象：用垂直测试法判断。 4.利用函数图象解决实际问题的技巧 1 明确坐标轴表示的实际意义（如x轴表示时间，y轴表示路程）； 2 分析图象的起点、终点、转折点的实际含义； 3 图象的上升/下降趋势表示函数值随自变量的变化趋势（如上升表示路程随时间增加，下降表示路程随时间减少）； ④ 水平线段表示函数值不变（如路程不变，即物体静止）。 5.函数值的比较技巧 代入法：将自变量的值代入解析式，直接计算函数值再比较； 图象法：在图象上找到对应点，通过点的高低位置直接比较函数值大小。 题型一 函数的图像识别 【例1】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）下列四个图象中，能表示是的函数的是（      ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“在一个变化过程中，如果有两个变量x、y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数”，由此可排除选项． 【详解】解：选项A符合函数的概念， 而B、C、D都不符合“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”. 【变式1-1】（25-26八年级下·福建厦门·期中）下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义判断即可． 【详解】解：A、对于自变量取值范围内的任意一个x的值，有唯一的y的值与之对应，故表示y是x的函数，不符合题意； B、对于自变量取值范围内的任意一个x的值，有唯一的y的值与之对应，故表示y是x的函数，不符合题意； C、对于自变量取值范围内的某些x的值，有不只一个y的值与之对应，故不能表示y是x的函数，符合题意； D、对于自变量取值范围内的任意一个x的值，有唯一的y的值与之对应，故表示y是x的函数，不符合题意； 【变式1-2】（25-26八年级下·北京·期中）下列曲线不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义逐一判断即可求解，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应． 【详解】解：根据函数的定义可得： A、B、D都符合函数的定义，故不符合题意； C、对x的一个值y的值不是唯一的，则不能表示y是x的函数，故符合题意． 【变式1-3】（25-26八年级下·福建厦门·期中）下列各曲线中，表示是的函数的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应． 【详解】解：A．对于的每一个确定的值，可能有两个值，故不是的函数，不符合题意； B．对于的每一个确定的值，可能有多个值，故不是的函数，不符合题意； C．对于的每一个确定的值，可能有两个值，故不是的函数，不符合题意； D．对于的每一个确定的值，只有一个值，故是的函数，符合题意． 题型二 函数的概念 【例2-1】（25-26八年级下·上海闵行·期中）下列两个变量间不存在函数关系的是（   ） A．圆的面积和半径的关系 B．与的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 【答案】D 【分析】根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、圆的面积随半径的变化而变化，是函数关系，故本选项不符合题意； B、随x的变化而变化，是函数关系，故本选项不符合题意； C、匀速运动的火车，时间与路程成正比例，是函数关系，故本选项不符合题意； D、某人的身高和体重不是函数关系，故本选项符合题意． 【例2-2】（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）在式子①，②，③，④中，y是x的函数的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据函数的定义判断，即对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数．统计符合定义的式子个数即可解得． 【详解】解：①对于，当x取任意确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数； ②对于，当x取任意确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数； ③对于，当在范围内，x取任意确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数； ④对于，当x取任意确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数． 综上，4个式子都满足y是x的函数． 【变式2-1】（25-26八年级下·江西宜春·期中）水中涟漪（圆形水波）从里到外不断扩大，记圆的半径为，圆的周长为，则下列说法不正确的是（    ） A．圆的周长是圆的半径的函数 B．是变量 C．圆的周长和圆的半径是变量 D．关于的解析式是 【答案】B 【分析】根据常量、变量与函数的定义判断各选项说法，选出不正确的选项即可． 【详解】解：由圆的周长公式得与的关系式为， ∵圆周率是固定不变的常数，为常量，圆的半径随水波扩大不断变化，周长随变化也不断变化，和都是变量，且对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数， ∴A、C、D选项说法正确，B选项说法错误． 【变式2-2】（25-26八年级下·河北衡水·期中）下列四个选项中，不是的函数的是（    ） A．一个正数的平方根 B．匀速小车所行驶的路程和行驶时间 C．圆的面积和它的半径 D．正方形的面积和它的周长 【答案】A 【详解】A．对于任意一个确定的正数，它的平方根有两个不同的值，即，当取一个确定的值时，有两个值与之对应，故符合题意； B．匀速行驶的小车速度为定值，路程与时间满足（为定值），对任意确定的，都有唯一对应，故不符合题意； C．圆面积和半径满足，对任意确定的，都有唯一对应，故不符合题意； D．正方形周长为，则边长为，面积，对任意确定的，都有唯一对应，故不符合题意． 【变式2-3】（25-26八年级下·重庆·期中）下列关系式中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据初中函数的定义判断分析即可． 【详解】解：根据函数的定义，在一个变化过程中，对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数． 故选项A、B、D中的关系式，y是x的函数； 对选项，， 当时，可得，即或， ∵此时x取一个确定值，y有两个不同的值与之对应，不符合函数的定义， ∴不是的函数，故选项C符合题意． 【变式2-4】（25-26八年级下·北京·期中）下列关于变量x，y的关系式：①；②；③，其中，y是x的函数的是_____（填写序号）． 【答案】①② 【分析】根据函数的定义逐个分析即可． 【详解】解：①，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数； ②，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数； ③，不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y不是x的函数； 综上所述，y是x的函数的是①②． 题型三 函数的解析式 【例3】（25-26八年级下·福建福州·期中）某快递公司国内寄件的收费标准为：不超过的物品需付10元，超过后每增加（不足按计）需增加快递费2元，设寄出（x为大于1的整数）物品的快递费为y元，则y关于x的函数解析式为______． 【答案】（x为大于1的整数） 【详解】解：根据题意，y关于x的函数解析式为（x为大于1的整数）． 【变式3-1】（2026·江苏淮安·一模）、两地相距，一列火车以的速度从地出发驶向地，设后这列火车离地的距离为，则与之间的函数表达式为___ 【答案】 【详解】解：∵、两地相距，一列火车以的速度从地出发驶向地， ∴后这列火车离地的距离为， 当时，，得：， ∴与之间的函数表达式为． 【变式3-2】（25-26八年级下·山东日照·期中）李奶奶要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米．要围成的菜园是如图所示的长方形．设长为米，长为米，则与之间的函数关系式为__________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得出，结合篱笆总长度为36米列出等式，整理即可得到与之间的函数关系式． 【详解】解：四边形是矩形， ， 用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米， ，即， ， ． 【变式3-3】（25-26八年级下·河北保定·期中）已知等腰三角形的底边长为，底边上的高为，面积为20，请你写出与之间的函数关系式并标注自变量的取值范围． 【答案】 【分析】利用三角形面积公式推导函数关系式，再根据边长的实际意义确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵等腰三角形底边长为，底边上的高为，面积为 ∴根据三角形面积公式可得 ∴ 是三角形的底边长 ∴与的函数关系式为 题型四 求自变量的取值范围 【例4】（25-26八年级下·福建莆田·期中）对于函数，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：函数为 ， 要使二次根式有意义， 则 ， 移项解不等式得 ， 因此自变量 的取值范围是 ． 【变式4-1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数， ∴对于，可得， ∴． 【变式4-2】（25-26八年级下·北京通州·期中）关于函数，下列说法中正确的是（   ） A．自变量的取值范围是全体实数 B．自变量的取值范围是正实数 C．自变量的取值范围是 D．自变量的取值范围是 【答案】C 【分析】本题考查函数自变量取值范围的求解，根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式中被开方数必须是非负数， ∴， 解得， 因此选项C正确． 【变式4-3】（25-26八年级下·河北衡水·期中）函数的自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】结合分式有意义的条件和二次根式有意义的条件列不等式，解不等式即可得到自变量的取值范围. 【详解】解：要使函数有意义，根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可得被开方数需大于0，即： 移项得 系数化为1得 题型五 求自变量的值或函数值 【例5】（25-26八年级下·全国·课后作业）同一温度的华氏度数y（）与摄氏度数x（）之间的函数关系是，如果某一温度的华氏度数是，那么它的摄氏度数是________． 【答案】15 【分析】将的数值代入函数关系式，解关于的方程即可得到结果． 【详解】解：根据题意，将代入得， 解得， 因此它的摄氏度数是． 【变式5-1】（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，则_____． 【答案】 【详解】解：点在函数的图象上， ． 【变式5-2】（25-26八年级下·广东惠州·期中）按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输出的值是5．则输入的值是___________． 【答案】 【详解】解：当不是偶数时，，解得是偶数，不合题意， 当是偶数时，，解得是偶数，符合题意， ∴若输出的值是5．则输入的值是． 【变式5-3】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）已知y与x之间满足，且当时，．求： (1)y与x之间的函数关系式； (2)当时，y的值； (3)当时，x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入解析式求解即可； （2）将代入求解即可； （3）将代入求解即可； 【详解】（1） 解：∵，当时，， 将代入解析式得， 解得， 因此； （2）解：将代入得； （3）解：将代入得， 整理得， 解得 ． 题型六 从函数的图像获取信息 【例6】（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）某共享电动车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，共享电动车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（    ） A．电池能量最多可充 B．共享电动车每行驶消耗能量 C．共享电动车充满电后，行驶将自动报警 D．一次性充满电后，共享电动车最多行驶 【答案】D 【分析】根据当时，可判断A；求出每千米消耗的电量，再乘以即可判断B；求出消耗电量时，行驶的路程可判断C；根据当时，可判断D． 【详解】解：∵由函数图象可知，当时，， ∴电池电量最多可充，故A错误，不符合题意； ∵由函数图象可知，一次性充满电后，共享电动车最多行驶，电池能量最多， ∴ ∴， ∴共享电动车每行驶消耗电量，故B错误，不符合题意； ∵， ∴共享电动车充满电后，行驶超过将自动报警，故C错误，不符合题意． ∵由函数图象可知，当时，， ∴一次性充满电后，共享电动车最多行驶，故D正确，符合题意． 【变式6-1】（25-26八年级下·河北邯郸·期中）周六小峰去博物馆参观学习，他从家出发，先去早餐店吃完早餐，然后继续骑自行车去博物馆，参观完博物馆后直接骑自行车回家，如图所示是小峰离家的距离（）和时间（）之间的关系，根据图象完成下列各题： (1)小峰家到早餐店的距离是___________米； (2)小峰吃早餐用了____________分钟，小峰在博物馆参观了____________分钟； (3)小峰家到博物馆的距离是_______米； (4)求小峰从博物馆返回家的平均速度是多少？ 【答案】(1)400 (2)15；50 (3)3000 (4)250米/分钟 【分析】（1）根据图象的信息即可求解； （2）根据图象的信息即可求解； （3）根据图象的信息即可求解； （4）根据图象的信息求出小峰从博物馆返回家所用时间，再根据速度路程时间即可求解． 【详解】（1）解：由图象得，小峰家到早餐店的距离是400米； （2）解：小峰吃早餐所用时间为（分钟）； 小峰在博物馆参观所用时间为（分钟）； （3）解：由图象得，小峰家到博物馆的距离是3000米； （4）解：小峰从博物馆返回家所用时间为（分钟）， 小峰从博物馆返回家的平均速度是（米/分钟） 答：小峰从博物馆返回家的平均速度是250米/分钟． 【变式6-2】（25-26八年级下·山东日照·期中）4月21日，中国国际通用航空与无人机发展大会在京盛大开幕，此次大会有全球通用航空和无人机行业的相关企业、机构代表和知名专家近700人参加，交流探讨了促进行业高质量发展、推动技术创新和产业升级等热点话题．无人机产业已经成为新兴产业的热点之一，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．如图所示为某型无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系图，上升和下降过程中速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题： (1)无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟； (2)在上升或下降过程中，无人机的速度为 米/分钟； (3)图中a表示的数是 ；b表示的数是 ； (4)求第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？ 【答案】(1)5 (2)25 (3)2；15 (4)25米 【分析】（1）根据图象直接计算即可得到答案； （2）根据分钟图象数据求解即可得到答案； （3）根据（3）中的速度代入行程公式即可得到答案； （4）根据行程公式求出下降路程，进而即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象可得： 分钟无人机在米高的上空停留， ∴无人机在米高的上空停留的时间是：分钟； （2）解：由分钟图象可得： 无人机的速度为：（米/分钟）； （3）解：由（2）可得， ，， 解得：，； （4）解：由（2）可得， ， ∴第分钟时无人机的飞行高度是：（米）， 答：第分钟时无人机的飞行高度是米． 【变式6-3】（25-26八年级下·北京·期中）如图①，长方形的边为，动点H以的速度从点A出发沿折线匀速运动到终点D．设点H的运动时间为，的面积为． (1)图②反映了两个变量S与t之间的函数关系，其中自变量是______； (2)根据图①②可得______，______，______． 【答案】(1)点H的运动时间t； (2)4；14；10 【分析】（1）根据题意及函数的定义即可作答； （2）根据函数图象可得当时，点H在线段上，当时，点H在线段上，当时，点H在线段上，据此可求出的长，进而求出a的值，再求出点H运动到点B时，的面积即可求出b的值； 【详解】（1）解：由题意得，自变量是点H的运动时间t； （2）解：由函数图象可知，当时，点H在线段上， 当时，点H在线段上， 当时，点H在线段上， ∴， ∴， 当点H运动到点B时，此时，即； 题型七 动点问题的函数图像 【例7】（2026·河南周口·一模）如图，正方形的边长为4，点P从点A出发，沿匀速运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t秒， 的面积为S，则S与t的函数图象大致是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点P在段运动，点P在段运动，点P在段，点P在段运动计算三角形的面积从而判断函数图象即可． 【详解】解：当点P在段运动，此时， 不存在，即此时无图象， 当点P在段运动，此时， 则有， ∴， 函数图象为点（空心）与的连线； 当点P在段运动，此时， ∴； 点P在段运动时，此时， 则有，， ∴， 函数图象为点与（空心）的连线； 则S与t的函数图象大致是： 【变式7-1】（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则的最大值是（   ） A．12 B．21 C．30 D．78 【答案】B 【分析】通过分析图象中随的变化情况，确定点在不同边上的运动路程，从而求出矩形的边长，进而计算三角形的最大面积． 【详解】解：由图（2）可知，当时，随的增大而增大，此时点在上运动， ； 当时，保持不变，此时点在上运动， ； 四边形是矩形， ； 当点在上运动时，的底边不变，高为，此时面积最大， 的最大值为． 【变式7-2】（25-26八年级下·海南·期中）如图，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒个单位．连接，记点的运动时间为秒，的面积为．如图是关于的函数图象，则下列说法中错误的是（    ） A．的周长为 B．的面积为 C． D．秒时，线段最短 【答案】D 【分析】根据函数图象可知当时，点在上运动，即得，当时，点在上运动，保持不变，即得，再根据平行四边形的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：由图象可知：当时，点在上运动， ， 当时，点在上运动，保持不变， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ∴的周长，故选项正确； 当时，，即， 设为边上的高，则， ， ∴的面积，故选项正确； 当时，点在上运动， ∴运动时间为秒， ，故选项正确； 当 时，线段最短，此时， 在 中，∵，， ， 秒， 即秒时，最短，故选项错误． 【变式7-3】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图1，在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为厘米秒，秒时点的速度变为厘米秒，秒后点以厘米秒速度匀速运动．如图是点出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①；②；③点从点运动到点用时秒；④当的值为时，点运动的路程为厘米．其中正确结论的个数是____． 【答案】个 【分析】①根据图2可得时，代入的面积得出，求得，同理得，根据题意秒时点的速度变为厘米秒，得出；②根据题意分析可得总路程为，分段计算时间，即可得出的值；③长，速度为，得出点从点运动到点用时秒；④前秒路程为，后秒路程为，得出总路程，即可求解． 【详解】解：①在长方形中，，当在上运动时，的面积， 由图，时， 代入得：， 解得， 初始速度为，因此秒， 秒时，同理得，刚好到达点， 从到，共秒，走了， 因此速度，结论①正确； ②总路程为，前秒走了， 剩余路程，速度为， 剩余时间秒， 总时间秒，结论②错误； ③∵长，速度为， ∴用时秒，结论③正确； ④前秒路程：，秒共秒， 路程：， 总路程，不是；结论④错误； 正确的结论是①、③，共个． 题型八 函数的三种表示方法 【例8】（25-26八年级下·北京·期中）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念：对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【详解】解：表达式中，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，符合题意； 等边三角形的周长，故等边三角形的周长是边长的函数，符合题意； 由表格信息可得：对应的每一个值，都有唯一的值与之对应，故是的函数，符合题意； 如图中，对于的每一个取值，不是都有唯一的值与之对应，故不是的函数，不符合题意． 综上，正确的是． 【变式8-1】（2025·上海·模拟预测）关于函数的图像与性质，下列描述错误的是（    ） A．图像与轴的交点坐标为 B．图像与轴的交点坐标为 C．图像不经过第三、四象限 D．函数图像关于轴对称 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：A．当时，，即图象与y轴的交点坐标为，故选项A说法正确，不符合题意； B．因为，所以，即图象与x轴没有交点，故选项B说法错误，符合题意； C．因为，所以图象不经过第三、四象限，故选项C说法正确，不符合题意； D．函数图象关于y轴对称，故选项D说法正确，不符合题意； 故选：B． 【变式8-2】（24-25七年级下·江西吉安·期末）通过地理知识学习我们知道：“随着距离地面越高，温度越低”，某地距离地面高度与温度的关系如下面表格所示： 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 温度（） 20 14 8 2 请根据上面表格，回答下列问题： (1)如果用表示距离地面的高度，用来表示温度，那么随着的变化，如何变化？ (2)当高空温度是时，此时距离地面_____千米． (3)请你写出与的函数表达式，并求出当千米时，此时温度的值． 【答案】(1)随着的升高，在降低 (2)3 (3)， 【分析】本题主要考查函数的表格表示法的识别能力，函数的表示法有：解析式法，图象法，表格法，都需要熟悉并熟练掌握． （1）根据表格数据，距离地面越远，温度越低，所以随着h的升高，t在降低； （2）根据表格求解即可； （3）根据规律，高度每升高1千米，温度降低求解即可． 【详解】（1）解：随着的升高，在降低． （2）解：由表格可知，当高空温度是，此时距离地面3千米． （3）解：∵根据表格可得，高度每升高1千米，温度降低， ∴， 当千米时，℃； 【变式8-3】（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题： (1)工厂距目的地的路程为___________千米； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)运输过程中，当货车显示加油提醒时，是多少？ 【答案】(1)880 (2) (3)小时 【分析】本题主要考查了函数图象的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用函数图象中的关键信息是关键． （1）依据题意，由货车从工厂去目的地送一批物资，结合图象可以得解； （2）依据题意，货车的速度为（千米小时），从而，又令，求出可得自变量的取值范围； （3）依据题意得，，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：货车从工厂去目的地送一批物资， 当时，就是表示工厂距目的地的路程，即为880千米． 故答案为：880； （2）解：货车的速度为（千米小时）， 则， 当时，解得， 关于的函数解析式为． （3）解：， 解得：． 即运输过程中，当货车显示加油提醒时，是小时． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章 函数（复习讲义） 一. 变量与常量 1.定义：在一个变化过程中，数值 的量叫做变量；数值 的量叫做常量。 2.关键点：常量与变量是相对的，取决于具体的变化过程。例：公式s=vt中，若速度v固定，则v是常量，s和t是变量；若路程s固定，则s是常量，v和t是变量。 二. 函数的概念 1.定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的 的值，y都有 的值与之对应，那么x叫做 ，y叫做x的 。 2.函数的三要素： 1　 自变量的取值范围； 2　 函数值的取值范围； 3　 对应关系（解析式/列表/图象）。 3.函数的三种表示方法： 方法 定义 优点 缺点 解析式法 用 表示两个变量的函数关系 简洁明了，便于计算和研究性质 不是所有函数都能写出解析式 列表法 用 列出自变量与对应函数值 直观、直接读取对应值 无法列出所有自变量的值 图象法 用平面直角坐标系中的 表示函数 直观反映函数的变化趋势 读取数据不够精确 三. 自变量的取值范围 1.使解析式有意义的取值： 1　 整式：自变量取 ； 2　 分式：分母 ； 3　 二次根式：被开方数 ； 4　 复合式：同时满足所有限制条件（如分式+根式）。 2.使实际问题有意义的取值：自变量的取值必须符合实际情境，如时间、长度、人数等不能为负数，且要满足实际逻辑。 四. 函数值 1.当自变量x=a时，对应的y值叫做当x=a时的 。 2.求函数值的方法：将自变量的值代入解析式，计算即可得到对应的函数值。 五. 函数的图象 1.定义：把自变量x和函数值y的每一对对应值分别作为点的 和 ，在平面直角坐标系中描出相应的点，这些点组成的图形就是函数的图象。 2.画函数图象的步骤： → → 1　 列表：给出自变量的一些值，求出对应的函数值； 2　 描点：在坐标系中描出这些对应点； 3　 连线：按自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线连接各点。 3.图象的意义：图象上的点的坐标(x,y)满足函数解析式；反之，满足解析式的点(x,y)都在函数的图象上。 1.对 “函数定义” 理解不透彻：忽略 “唯一确定” 这个核心条件，例如关系式y2=x不是函数，因为当x>0时，一个x对应两个y值；而y=∣x∣是函数，因为一个x只对应一个y值。 2. 混淆自变量与函数的对应关系：错误认为 “只要有两个变量就是函数”，例如：在关系式x2+y2=1中，一个x（∣x∣<1）对应两个y值，因此y不是x的函数。 3. 自变量取值范围漏考虑实际意义：只考虑解析式本身的限制条件，忽略实际情境的约束。例如：路程问题中t≥0，几何问题中边长>0，这些都是容易遗漏的限制。 4. 判断函数图象时出错：无法用 “垂直测试法” 判断图象是否为函数图象：一条垂直于x轴的直线与图象有两个及以上交点时，该图象不是函数图象。 5.求函数值时计算错误：代入自变量的值时符号、运算顺序出错，尤其是负数代入含平方、绝对值的解析式时，容易出现计算失误。 6.列表法、图象法表示函数时，自变量取值不全：用列表法表示函数时，自变量取值不完整，导致无法体现函数的变化规律；用图象法时，连线错误（如用折线连接离散点，或遗漏关键点）。 7.混淆常量与变量：误将公式中的固定常数（如π）当作变量，或误将实际问题中的固定量当作变量。 1.函数定义的快速判断技巧：垂直测试法在平面直角坐标系中，任意画一条垂直于x轴的直线，若直线与图象的交点不超过1个，则该图象表示的是函数；若有2个及以上交点，则不是函数图象。 2.求自变量取值范围的步骤： ① 先看解析式：整式直接取全体实数；分式找分母不为0；根式找被开方数非负；复合式求各条件的交集；② 再看实际问题：结合情境补充限制条件（如非负、整数、范围等）。 3.判断两个变量是否为函数关系的技巧 方法1：看定义：一个自变量x是否对应唯一的y； 方法2：列表示例：举几个自变量的值，看对应的函数值是否唯一； 方法3：画图象：用垂直测试法判断。 4.利用函数图象解决实际问题的技巧 1 明确坐标轴表示的实际意义（如x轴表示时间，y轴表示路程）； 2 分析图象的起点、终点、转折点的实际含义； 3 图象的上升/下降趋势表示函数值随自变量的变化趋势（如上升表示路程随时间增加，下降表示路程随时间减少）； ④ 水平线段表示函数值不变（如路程不变，即物体静止）。 5.函数值的比较技巧 代入法：将自变量的值代入解析式，直接计算函数值再比较； 图象法：在图象上找到对应点，通过点的高低位置直接比较函数值大小。 题型一 函数的图像识别 【例1】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）下列四个图象中，能表示是的函数的是（      ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级下·福建厦门·期中）下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级下·北京·期中）下列曲线不能表示y是x的函数的是（    ） A．B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级下·福建厦门·期中）下列各曲线中，表示是的函数的是（    ） A．B． C． D． 题型二 函数的概念 【例2-1】（25-26八年级下·上海闵行·期中）下列两个变量间不存在函数关系的是（   ） A．圆的面积和半径的关系 B．与的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 【例2-2】（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）在式子①，②，③，④中，y是x的函数的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】（25-26八年级下·江西宜春·期中）水中涟漪（圆形水波）从里到外不断扩大，记圆的半径为，圆的周长为，则下列说法不正确的是（    ） A．圆的周长是圆的半径的函数 B．是变量 C．圆的周长和圆的半径是变量 D．关于的解析式是 【变式2-2】（25-26八年级下·河北衡水·期中）下列四个选项中，不是的函数的是（    ） A．一个正数的平方根 B．匀速小车所行驶的路程和行驶时间 C．圆的面积和它的半径 D．正方形的面积和它的周长 【变式2-3】（25-26八年级下·重庆·期中）下列关系式中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】（25-26八年级下·北京·期中）下列关于变量x，y的关系式：①；②；③，其中，y是x的函数的是_____（填写序号）． 题型三 函数的解析式 【例3】（25-26八年级下·福建福州·期中）某快递公司国内寄件的收费标准为：不超过的物品需付10元，超过后每增加（不足按计）需增加快递费2元，设寄出（x为大于1的整数）物品的快递费为y元，则y关于x的函数解析式为______． 【变式3-1】（2026·江苏淮安·一模）、两地相距，一列火车以的速度从地出发驶向地，设后这列火车离地的距离为，则与之间的函数表达式为___ 【变式3-2】（25-26八年级下·山东日照·期中）李奶奶要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米．要围成的菜园是如图所示的长方形．设长为米，长为米，则与之间的函数关系式为__________． 【变式3-3】（25-26八年级下·河北保定·期中）已知等腰三角形的底边长为，底边上的高为，面积为20，请你写出与之间的函数关系式并标注自变量的取值范围． 题型四 求自变量的取值范围 【例4】（25-26八年级下·福建莆田·期中）对于函数，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26八年级下·北京通州·期中）关于函数，下列说法中正确的是（   ） A．自变量的取值范围是全体实数 B．自变量的取值范围是正实数 C．自变量的取值范围是 D．自变量的取值范围是 【变式4-3】（25-26八年级下·河北衡水·期中）函数的自变量的取值范围是______． 题型五 求自变量的值或函数值 【例5】（25-26八年级下·全国·课后作业）同一温度的华氏度数y（）与摄氏度数x（）之间的函数关系是，如果某一温度的华氏度数是，那么它的摄氏度数是________． 【变式5-1】（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，则_____． 【变式5-2】（25-26八年级下·广东惠州·期中）按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输出的值是5．则输入的值是___________． 【变式5-3】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）已知y与x之间满足，且当时，．求： (1)y与x之间的函数关系式； (2)当时，y的值； (3)当时，x的值． 题型六 从函数的图像获取信息 【例6】（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）某共享电动车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，共享电动车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（    ） A．电池能量最多可充 B．共享电动车每行驶消耗能量 C．共享电动车充满电后，行驶将自动报警 D．一次性充满电后，共享电动车最多行驶 【变式6-1】（25-26八年级下·河北邯郸·期中）周六小峰去博物馆参观学习，他从家出发，先去早餐店吃完早餐，然后继续骑自行车去博物馆，参观完博物馆后直接骑自行车回家，如图所示是小峰离家的距离（）和时间（）之间的关系，根据图象完成下列各题： (1)小峰家到早餐店的距离是___________米； (2)小峰吃早餐用了____________分钟，小峰在博物馆参观了____________分钟； (3)小峰家到博物馆的距离是_______米； (4)求小峰从博物馆返回家的平均速度是多少？ 【变式6-2】（25-26八年级下·山东日照·期中）4月21日，中国国际通用航空与无人机发展大会在京盛大开幕，此次大会有全球通用航空和无人机行业的相关企业、机构代表和知名专家近700人参加，交流探讨了促进行业高质量发展、推动技术创新和产业升级等热点话题．无人机产业已经成为新兴产业的热点之一，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．如图所示为某型无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系图，上升和下降过程中速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题： (1)无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟； (2)在上升或下降过程中，无人机的速度为 米/分钟； (3)图中a表示的数是 ；b表示的数是 ； (4)求第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？ 【变式6-3】（25-26八年级下·北京·期中）如图①，长方形的边为，动点H以的速度从点A出发沿折线匀速运动到终点D．设点H的运动时间为，的面积为． (1)图②反映了两个变量S与t之间的函数关系，其中自变量是______； (2)根据图①②可得______，______，______． 题型七 动点问题的函数图像 【例7】（2026·河南周口·一模）如图，正方形的边长为4，点P从点A出发，沿匀速运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t秒， 的面积为S，则S与t的函数图象大致是（    ） A． B． B． C． D． 【变式7-1】（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则的最大值是（   ） A．12 B．21 C．30 D．78 【变式7-2】（25-26八年级下·海南·期中）如图，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒个单位．连接，记点的运动时间为秒，的面积为．如图是关于的函数图象，则下列说法中错误的是（    ） A．的周长为 B．的面积为 C． D．秒时，线段最短 【变式7-3】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图1，在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为厘米秒，秒时点的速度变为厘米秒，秒后点以厘米秒速度匀速运动．如图是点出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①；②；③点从点运动到点用时秒；④当的值为时，点运动的路程为厘米．其中正确结论的个数是____． 题型八 函数的三种表示方法 【例8】（25-26八年级下·北京·期中）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·上海·模拟预测）关于函数的图像与性质，下列描述错误的是（    ） A．图像与轴的交点坐标为 B．图像与轴的交点坐标为 C．图像不经过第三、四象限 D．函数图像关于轴对称 【变式8-2】（24-25七年级下·江西吉安·期末）通过地理知识学习我们知道：“随着距离地面越高，温度越低”，某地距离地面高度与温度的关系如下面表格所示： 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 温度（） 20 14 8 2 请根据上面表格，回答下列问题： (1)如果用表示距离地面的高度，用来表示温度，那么随着的变化，如何变化？ (2)当高空温度是时，此时距离地面_____千米． (3)请你写出与的函数表达式，并求出当千米时，此时温度的值． 【变式8-3】（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题： (1)工厂距目的地的路程为___________千米； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)运输过程中，当货车显示加油提醒时，是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $