精品解析：河南省南阳市第二十一学校2022-2023学年九年级下学期限时模拟训练 数学试题

九年级数学 一、选择题（每题3分，共30分） 1. （ ） A. B. C. 3 D. 2. 下列图形中具有稳定性的是（　　） A. 平行四边形 B. 长方形 C. 正方形 D. 三角形 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 体现我国先进核电技术的“华龙一号”，年发电能力相当于减少二氧化碳排放16320000吨，数16320000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 三个大小一样的正方体按如图摆放，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 6. 一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是（ ） A. 80° B. 95° C. 100° D. 110° 7. 运用你学习函数的经验，判断以下哪个函数的图像如图所示（　　） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，点C、D在上，若 ，则的大小是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交BD，BC于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交CD于点F；再以B为圆心，BD的长为半径画弧，交射线BP于点E，则EF的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，动点P从正六边形的A点出发，沿A→F→E→D→C以1 cm/s的速度匀速运动到点C，图2是点P运动时，△ACP的面积y（cm2）随着时间x（s）的变化的关系图象，则正六边形的边长为（ ） A. 2 cm B. cm C. 1 cm D. 3 cm 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 分解因式：____________． 12. 若分式的值为2，则x的值是______． 13. 袋子中装有红、黄、绿三种颜色的小球各一个，从中任意摸出一个放回搅匀，再摸出一个球，则两次摸出的球都是黄色的概率是_____． 14. 如图，在扇形AOB中，，半径OC交弦AB于点D，且．若，则阴影部分的面积为_____． 15. 矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，对角线AC、BD交于点O，点M是BC边上一动点，连接OM，以OM为折痕，将△COM折叠，点C的对应点为E，ME与OB交于点G，若△BGM为直角三角形，则BM的长为 __________． 三、解答题（共8大题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 为振兴乡村经济，在农产品网络销售中实行目标管理，根据目标完成的情况对销售员给予适当的奖励，某村委会统计了15名销售员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：10，4，7，5，4，10，5，4，4，18，8，3，5，10，8 （1）补全月销售额数据的条形统计图． （2）月销售额在哪个值的人数最多（众数）？中间的月销售额（中位数）是多少？平均月销售额（平均数）是多少？ （3）根据（2）中的结果，确定一个较高的销售目标给予奖励，你认为月销售额定为多少合适？ 18. 某数学学习小组利用卷尺和自制的测角仪测量魁星阁顶端距离地面的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得魁星阁顶端 的仰角是26°，朝魁星阁方向走20米到达 处，在 处测得魁星阁顶端 的仰角是45°．若测角仪和的高度均为米，求魁星阁顶端距离地面的高度（图中的值）．（参考数据：，，，，结果精确到米） 19. 如图，已知一次函数的图象与函数（）的图象交于两点，与y轴交于点C，将直线 沿y轴向上平移t个单位长度得到直线，与y轴交于点F． （1）求与的解析式； （2）观察图象，直接写出时x的取值范围； （3）连接，若的面积为4，则t的值为 ． 20. 夏季来临，商场准备购进甲、乙两种空调，已知甲种空调每台进价比乙种空调多500元，用40000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同．请解答下列问题： （1）求甲、乙两种空调每台的进价； （2）若甲种空调每台售价2500元，乙种空调每台售价1800元，商场计划用不超过36000元购进空调共20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式，并求出所能获得的最大利润. 21. 如图，已知 为⊙的直径，B为⊙上一点． （1）过点O作的垂线，垂足为D，交劣弧于点E；（用尺规作图，并在图中标明相应的字母，不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； （2）根据（1）的条件，若，，求的长． 22. 定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”． 例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图像如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成． （1）在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象． （2）函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，求的值． （3）已知抛物线，关于直线的“镜面函数”图像上的两点，，当，时，均满足，直接写出 的取值范围． 23. 综合与实践课上，老师让同学们准备矩形纸片，开展数学活动． （1）折一折，画一画 操作一：对折矩形纸片，使与 重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：P为上一点，沿折叠，使点A落在上的点M处，连接并延长交 于点Q．试判断的形状______ （2）剪一剪，移一移 操作三：把纸片展平，沿剪开． 操作四：将沿方向平移得到，若交于点G，交于点H． ①试判断四边形的形状并说明理由 ②连接，若，当为直角三角形时，请直接写出平移的距离______ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（每题3分，共30分） 1. （ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数，求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 2. 下列图形中具有稳定性的是（　　） A. 平行四边形 B. 长方形 C. 正方形 D. 三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，即可直接判断选项． 【详解】∵三角形具有稳定性，所有四边形都不具有稳定性， 选项A平行四边形、B长方形、C正方形都是四边形，都不具有稳定性，不符合题意； 只有D为三角形，具有稳定性，符合题意． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂乘法，同底数幂除法，幂的乘方运算法则即可判断． 【详解】A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查合并同类项，同底数幂乘法，同底数幂除法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． 4. 体现我国先进核电技术的“华龙一号”，年发电能力相当于减少二氧化碳排放16320000吨，数16320000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在用科学记数法表示的大于10的数时，的形式中a的取值范围必须是10的指数比原来的整数位数少1． 【详解】解：数16320000用科学记数法表示为 故选：B． 【点睛】本题考查科学记数法，对于一个写成用科学记数法写出的数，则看数的最末一位在原数中所在数位，其中a是整数数位只有一位的数，10的指数比原来的整数位数少1． 5. 三个大小一样的正方体按如图摆放，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 【详解】解：从正面看是一层两个正方形，在每个正方形的中间有一条纵向的虚线． 故选：B． 【点睛】本题考查的是简单几何体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形． 6. 一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是（ ） A. 80° B. 95° C. 100° D. 110° 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形的外角性质得到∠3=∠4=35°，再根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图，∠A=90°-30°=60°， ∵∠3=∠1-45°=80°-45°=35°， ∴∠3=∠4=35°， ∴∠2=∠A+∠4=60°+35°=95°， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键． 7. 运用你学习函数的经验，判断以下哪个函数的图像如图所示（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可知x无论取任何数y始终大于0，且在时有最大值，再逐项判断即可． 【详解】A．当时，，故与题干中图象不符，该选项不合题意； B．当时，无意义，故与题干中图象不符，该选项不合题意； C．当自变量x取其相反数时，，且当时，为最大值，与题干中图象相符，该选项符合题意； D．当时，无意义，故与题干中图象不符，该选项不合题意． 故选C． 【点睛】本题考查识别函数图象，解题的关键是根据图象得出该函数的性质． 8. 如图，是的直径，点C、D在上，若 ，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接BC，如图，利用是直径和三角形的内角和可得出的度数，再利用圆内接四边形的性质解答即可． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论和圆内接四边形的性质，关键是利用是直径得出． 9. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交BD，BC于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交CD于点F；再以B为圆心，BD的长为半径画弧，交射线BP于点E，则EF的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点F作于Q．由勾股定理可求出．根据题意可判定BE为的平分线，又可得出，从而可得出，，进而可求出．设，则，在Rt中，根据勾股定理可列出关于x的等式，求出x，即得出FC的长，再利用勾股定理可求出BF的长，从而可求出EF的长． 【详解】如图，过点F作于Q． ∵AB＝8，BC＝6， ∴． 根据题意可知BE为的平分线，， ∴，． ∴． 设，则． ∵在Rt中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查作图—角平分线，角平分线的性质和勾股定理．根据题意判断出BE为的平分线是解题关键． 10. 如图1，动点P从正六边形的A点出发，沿A→F→E→D→C以1 cm/s的速度匀速运动到点C，图2是点P运动时，△ACP的面积y（cm2）随着时间x（s）的变化的关系图象，则正六边形的边长为（ ） A. 2 cm B. cm C. 1 cm D. 3 cm 【答案】A 【解析】 【分析】如图，连接BE，AE，CE，BE交AC于点G，证明△ACE为等边三角形，根据y的最大值求得△ACE的边长，再在直角三角形ABG中用三角函数求得AB的长即可． 【详解】】解：如图，连接BE，AE，CE，BE交AC于点G 由正六边形的对称性可得BE⊥AC，△ABC≌△CDE≌△AFE ∴△ACE为等边三角形，GE为AC边上的高线 ∵动点P从正六边形的A点出发，沿A→F→E→D→C以1cm/s的速度匀速运动 ∴当点P运动到点E时△ACP的面积y取最大值3 设AG=CG=a（cm），则AC=AE=CE=2a（cm），GE=a（cm） ∴2a×a÷2=3（cm） ∴a2=3 ∴a=（cm）或a=-（舍） ∵正六边形的每个内角均为120° ∴∠ABG=×120°=60° ∴在Rt△ABG中，=sin60° ∴ ∴AB=2（cm） ∴正六边形的边长为2cm 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，以图中y值的最大值为突破口，求得等边三角形△ACE的边长，是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．该题直接利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 若分式的值为2，则x的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据分式的值为2列出方程，再解分式方程并检验即可得到结果． 【详解】解：根据题意得， 方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 13. 袋子中装有红、黄、绿三种颜色的小球各一个，从中任意摸出一个放回搅匀，再摸出一个球，则两次摸出的球都是黄色的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先列有得出所有等可能的情况，然后找出符合条件的情况数，利用概率公式进行求解即可得. 【详解】解：列表得： 绿 （红，绿） （黄，绿） （绿，绿） 黄 （红，黄） （黄，黄） （绿，黄） 红 （红，红） （黄，红） （绿，红） 红 黄 绿 故一共有9种情况，两次摸出的球都是黄色的有一种，则两次摸出的球都是黄色的概率是， 故答案为． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 14. 如图，在扇形AOB中，，半径OC交弦AB于点D，且．若，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是的面积与扇形OBC的面积之和再减去的面积，本题得以解决． 【详解】 解：作于点F， 在扇形AOB中，，半径OC交弦AB于点D，且．， ，，， ， ，，，， ， 阴影部分的面积是：， 故答案为． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15. 矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，对角线AC、BD交于点O，点M是BC边上一动点，连接OM，以OM为折痕，将△COM折叠，点C的对应点为E，ME与OB交于点G，若△BGM为直角三角形，则BM的长为 __________． 【答案】0.5或1.25 【解析】 【分析】分两种情况：①∠BMG是直角，②∠BGM是直角，进行讨论即可求解． 【详解】解：①∠BMG是直角，如图， 过O点作OH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4， ∴AC＝5， ∴BH＝CH＝2， ∴CO＝2.5， ∴OH＝1.5， 由折叠的性质可得∠OMH＝45°， ∴MH＝OH＝1.5， ∴BM＝BH﹣MH＝4﹣2﹣1.5＝0.5； ②∠BGM是直角，如图， 由折叠的性质可得OE＝OC＝2.5，∠ACB＝∠E， ∵∠ABC＝∠EGO＝90°， ∴△OEG∽△ACB， ∴OG：OE＝AB：AC，即OG：2.5＝3：5， 解得OG＝1.5， ∴BG＝2.5﹣1.5＝1， ∵∠ACB＝∠MBG， ∠ABC＝∠MGB＝90°， ∴△ABC∽△MGB， ∴BM：BG＝CA：CB，即BM：1＝5：4， 解得BM＝1.25． 综上所述，线段BM的长为0.5或1.25． 故答案为：0.5或1.25． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 三、解答题（共8大题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算； （1）先根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂、零指数幂的计算法则计算各数，再计算加减即可得答案； （2）先根据异分母分式加减法法则计算括号内的式子，再根据分式除法法则化简即可得答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 为振兴乡村经济，在农产品网络销售中实行目标管理，根据目标完成的情况对销售员给予适当的奖励，某村委会统计了15名销售员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：10，4，7，5，4，10，5，4，4，18，8，3，5，10，8 （1）补全月销售额数据的条形统计图． （2）月销售额在哪个值的人数最多（众数）？中间的月销售额（中位数）是多少？平均月销售额（平均数）是多少？ （3）根据（2）中的结果，确定一个较高的销售目标给予奖励，你认为月销售额定为多少合适？ 【答案】（1） 补全统计图如图所示： （2）月销售额在4万元的人数最多；中间的月销售额为5万元；平均数为7万元； （3）月销售额定为7万元合适， 【解析】 【分析】（1）根据所给数据确定销售额为4万元的人数为4人；销售额为8万元的人数为2人，然后补全条形统计图即可； （2）根据众数、中位数及平均数的计算方法求解即可； （3）根据题意，将月销售额定为7万元合适． 【小问1详解】 解：根据数据可得：销售额为4万元的人数为4人；销售额为8万元的人数为2人；补全统计图l略； 【小问2详解】 由条形统计图可得：月销售额在4万元的人数最多； 将数据按照从小到大排序后，中间的月销售额为第8名销售员的销售额为5万元； 平均数为：万元； 【小问3详解】 月销售额定为7万元合适，给予奖励，可以激发销售员的积极性，振兴乡村经济． 【点睛】题目主要考查条形统计图及相关统计数据的计算方法，包括众数、中位数、平均数，以及利用平均数做决策等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 18. 某数学学习小组利用卷尺和自制的测角仪测量魁星阁顶端距离地面的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得魁星阁顶端 的仰角是26°，朝魁星阁方向走20米到达 处，在 处测得魁星阁顶端 的仰角是45°．若测角仪和的高度均为米，求魁星阁顶端距离地面的高度（图中的值）．（参考数据：，，，，结果精确到米） 【答案】魁星阁顶端距离地面的高度约为米 【解析】 【分析】解直角三角形求出即可解决问题． 【详解】解：由题意知，米，米，设米，在中， 米，， 米， 米， 在中， ， ， 即， 解得米， 米， 故魁星阁顶端距离地面的高度约为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 19. 如图，已知一次函数的图象与函数（）的图象交于两点，与y轴交于点C，将直线 沿y轴向上平移t个单位长度得到直线，与y轴交于点F． （1）求与的解析式； （2）观察图象，直接写出时x的取值范围； （3）连接，若的面积为4，则t的值为 ． 【答案】（1）； （2）时， （3） 【解析】 【分析】（1）将，代入（）中，求得，，再将点，代入，解二元一次方程组求解即可． （2）结合图象，一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的x的取值范围． （3）根据平移得，且与平行，所以的面积等于的面积，过点F作于点G，连接 ，由，得t，由，得，由，得，解得t． 【小问1详解】 解：将点代入（）中， ∴， ∴， ∵在上，可得， ∴， 将点A、B代入， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵一次函数与反比例函数交点为， ∴时，； 【小问3详解】 解：在中，令，则， ∴， ∵直线沿y轴向上平移t个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， ∴F点坐标为， 过点F作于点G，连接 ， 则， ∵直线与x轴交点为，与y轴交点， ∴，∴， ∴， ∵， ∴t， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴t， 故答案为：． 20. 夏季来临，商场准备购进甲、乙两种空调，已知甲种空调每台进价比乙种空调多500元，用40000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同．请解答下列问题： （1）求甲、乙两种空调每台的进价； （2）若甲种空调每台售价2500元，乙种空调每台售价1800元，商场计划用不超过36000元购进空调共20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式，并求出所能获得的最大利润. 【答案】（1）甲种空调每台2000元，乙种空调每台1500元； （2）所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式是y=200x+6000，所获的最大利润是8400元． 【解析】 【分析】（1）设乙种空调每台进价为x元，根据题意可以列出方程，从而可以分别求得甲、乙两种空调每台的进价，注意分式方程要检验； （2）根据题意和（1）中的答案可以得到所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式，然后根据商场计划用不超过36000元购进空调共20台，可以求得x的取值范围，从而可以求得所能获得的最大利润． 【小问1详解】 解：设乙种空调每台进价为x元， ， 解得，x=1500， 经检验x=1500是原分式方程的解，且符合题意， ∴x+500=2000， 答：甲种空调每台2000元，乙种空调每台1500元； 【小问2详解】 解：由题意可得， 所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式是： y=（2500-2000）x+（1800-1500）（20-x）=200x+6000， ∵2000x+1500（20-x）≤36000， 解得，x≤12， ∴当x=12时，y取得最大值，此时y=200x+6000=8400， 答：所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式是y=200x+6000，所获的最大利润是8400元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的方程，注意分式方程要检验，最后要作答． 21. 如图，已知 为⊙的直径，B为⊙上一点． （1）过点O作的垂线，垂足为D，交劣弧于点E；（用尺规作图，并在图中标明相应的字母，不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； （2）根据（1）的条件，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）由题意可得垂直平分，则点D为的中点，由点O为 的中点，则，由 为的直径得到，由勾股定理得到，则，即可得到的长． 【小问1详解】 解：所求图形，如图所示． 【小问2详解】 解：∵过点O作的垂线，垂足为D，交劣弧于点E ∴垂直平分， 点D为的中点， ∵点O为 的中点， ， ∵ 为的直径， ， 在中，， ， ． 【点睛】此题考查了垂径定理、三角形中位线定理、勾股定理、圆周角定理、垂线的作图等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 22. 定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”． 例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图像如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成． （1）在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象． （2）函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，求的值． （3）已知抛物线，关于直线的“镜面函数”图像上的两点，，当，时，均满足，直接写出 的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“镜面函数”的定义画出函数的“镜面函数”的图象即可； （2）分直线过“镜面函数”图象与直线的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可； （3）根据题意可作出对应的函数图象，再根据二次函数的性质可得出关于 的不等式组，解之即可得出结论. 【小问1详解】 解： 如图，即为函数函数 关于直线 的“镜面函数”的图象， 【小问2详解】 如图, 对于 当时, ， ∴函数 与y轴的交点坐标为, 当直线经过点 时, ； 此时关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点， 当直线与原抛物线只有一个交点时，则有：， 整理得 此时， 解得， 综上，的值为或； 【小问3详解】 根据题意可知，该抛物线的“镜面函数”为： 函数图象如图所示： 当 时，如图，点关于直线的对称点为 ，关于 的对称点为 若当 时，均满足 则需满足 ， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数的综合应用； 理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键. 23. 综合与实践课上，老师让同学们准备矩形纸片，开展数学活动． （1）折一折，画一画 操作一：对折矩形纸片，使与 重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：P为上一点，沿折叠，使点A落在上的点M处，连接并延长交 于点Q．试判断的形状______ （2）剪一剪，移一移 操作三：把纸片展平，沿剪开． 操作四：将沿方向平移得到，若交于点G，交于点H． ①试判断四边形的形状并说明理由 ②连接，若，当为直角三角形时，请直接写出平移的距离______ 【答案】（1）是等边三角形． （2）①根据平移的性质：，且． 故四边形是平行四边形． ②或． 【解析】 【分析】（1）由对折知， 垂直平分和 ，得，同理得，在中由角的余弦值可推出．再结合折叠性质，直角三角形角的性质和三角形内角和定理，推导的内角度数关系，判断其形状． （2）①由平移的性质得，，可判断四边形的形状．②先求出，由，得是等边三角形，得，由含30度的直角三角形性质得，得，由为直角三角形，当时，当时，当时，分三种情况，结合含30度的直角三角形性质列方程求解． 【小问1详解】 解：∵对折矩形使 与重合，得折痕 ， ∴ 垂直平分和 ， ∴． ∵沿折叠，点 落在 上的 处， ∴，，． ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴，． ∴， ∴三个内角都为， 故是等边三角形． 【小问2详解】 解：①略． ②∵， ∴， ∵， ∴， 由平移知，， ， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直角三角形， ∴当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； ； 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $