精品解析：河南省信阳市浉河中学2022年九年级6月中考全真模拟数学试卷

河南省信阳市浉河中学2022年九年级6月中考全真模拟 数学试卷 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列四个实数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 某种冠状病毒的直径为125纳米，已知1纳米米，则用科学记数法表示这种冠状病毒的直径为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，其三视图中面积最小的是（ ） A. 左视图 B. 俯视图 C. 主视图 D. 一样大 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列问题中应采用全面调查的是（ ） A. 调查人民对冰墩墩的喜爱情况 B. 了解全国中学生的视力和用眼卫生情况 C. 调查某池塘中现有鱼的数量 D. 调查与一新冠肺炎感染者密切接触人群 6. 如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，，，，，．则的度数是（　　） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 8. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有人，物价是钱，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（　　） A. （4，2） B. （3，3） C. （4，3） D. （3，2） 10. 如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，DK与BC垂直，且入射光线和反射光线使∠MDK=∠FDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 12. 请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为轴：__________． 13. 小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的四张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），小亮从中随机抽取一张邮票（不放回），再从余下的邮票中随机抽取一张，抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率是 _____． 14. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，一条弧经过格点（网格线的交点），，，点为上一点．若，则的长为___． 15. 如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一动点，连接DE，以DE为边作等边，连接AF，则AF的最小值为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共75.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简： 17. “呵护眼睛，从小做起”，每年6月6为全国爱眼日．某学校为了解该校九年级学生视力健康状况，从九年级（1）班和九年级（2）班各随机抽取了10名学生2022年初的视力数据，整理分析过程如下，请补充完整． 【收集数据】 九年级（1）班学生视力数据统计如下：4.9， 4.8， 4.9， 4.6， 4.8， 4.9， 4.9， 5.0， 4.9， 5.1． 九年级（2）班学生视力数据统计如下：4.8， 5.1， 4.7， 5.0， 4.9， 4.8， 5.0， 4.6， 4.8， 5.1． 【整理数据】 （1）九年级（1）班学生视力的扇形统计图： （2）九年级（2）班学生视力的频数直方图： 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 4.88 a 4.9 0.0156 九年级（2）班 4.88 4.85 b 0.0256 （1）九年级（1）班视力中位数a落在扇形统计图的 部分（填A、B、C）； （2）请补全九年级（2）班视力的频数直方图； （3）表中b= ； （4）若九年级（2）班共50名学生，视力在4.85～5.05之间的大约有 人； （5）根据九年级（1）班、九年级（2）班分别抽取的10名学生的视力情况，你认为哪个班级学生的视力健康情况更何况更好一些？并说明理由． 18. 在平面直角坐标系中，如图为一根木料的横截面示意图，其中的曲线AB是一段反比例函数图象，线段AB所在直线与x轴相交所成的锐角为45°，端点B的坐标是（80，20）． （1）求该反比例函数解析式． （2）求线段AB所在直线的解析式． （3）木工想把该木料分割成完全相同的两部分．试求该横截面上的分割线长． 19. 北京2022年冬奥会自由式滑雪和单板滑雪比赛的场地首钢滑大跳台，又称“雪飞天”，从远处看就像一只绝美的“水晶鞋”．某数学活动小组准备测量大跳台主体AB的垂直高度，如图，选取的测量点C，D与AB的底部B在同一水平线上．测得CD的长度为15m．在C，D处测得跳台顶部A的仰角分别为37.5°、45°，求跳台AB的高度（结果精确到1m．参考数据：） 20. 如图，AB为的直径，点C在上，过点C作切线CD交BA的延长线于点D，过点O作交切线DC于点E，交BC于点F． （1）求证：； （2）若，，求EF的长． 21. 某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如表： 甲水笔 乙水笔 每支进价（元） a 每支利润（元） 2 3 已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等． （1）求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元． （2）若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元． 22. 如图，已知抛物线分别交x轴y轴于点，连接AC． （1）求该抛物线的解析式． （2）若是抛物线上两点，当时，均有，求m的取值范围． （3）将该抛物线向左平移个单位长度后，得到的新抛物线与线段AC只有一个交点，请直接写出n的取值范围． 23. 如图，是中的平分线，于，于，连接．求证：． 下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务． 题目背景：在中，，，点在上． （1）【作图探讨】：在外侧，以为边作； 小明：如图1，分别以，为圆心，以，为半径画弧交于点，连接，．则即为所求作的三角形． 小军：如图2，分别过，作，的垂线，两条垂线相交于点，则即为所求作的三角形． 选择填空：小明得出的依据是 ，小军得出的依据是 （填序号） ②③④ [测量发现（2）在（1）中的条件下，连接．兴趣小组用几何画板测量发现和的面积相等．为了证明这个发现，尝试延长线段至点，使，连接，从而得以证明（如图；小慧同学分别过点点作、的垂线段、，从而得以证明（如图．请你选取小聪或小慧的其中一种方法完成证明过程． [迁移应用]（3）：如图5，已知，，点在上，，，若在射线．上存在点，使，请直接写出相应的的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳市浉河中学2022年九年级6月中考全真模拟 数学试卷 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列四个实数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用实数大小比较规则即可求解，规则为：负数小于0，0小于正数，两个负数比较，绝对值大的数更小． 【详解】解：∵ 正数大于0和一切负数， ∴ ，和0都大于题目中的两个负数，只需比较和， ∵ ，，且， ∴ ， ∴ 四个数的大小关系为 ， ∴ 最小的数是． 2. 某种冠状病毒的直径为125纳米，已知1纳米米，则用科学记数法表示这种冠状病毒的直径为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解： 125纳米米米， 故选：B． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，解题的关键是掌握a，n的确定． 3. 如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，其三视图中面积最小的是（ ） A. 左视图 B. 俯视图 C. 主视图 D. 一样大 【答案】A 【解析】 【分析】观察几何体，根据该组合体的三个视图的分别进行判断即可． 【详解】解：看图可知图中主视图由4个小正方形组成，左视图由3个小正方形组成，俯视图由5个小正方形组成，由于每个小正方形的大小相同，即面积相等，则左视图的面积最小． 故选：A． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方差公式，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相除，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了平方差公式，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相除，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 5. 下列问题中应采用全面调查的是（ ） A. 调查人民对冰墩墩的喜爱情况 B. 了解全国中学生的视力和用眼卫生情况 C. 调查某池塘中现有鱼的数量 D. 调查与一新冠肺炎感染者密切接触人群 【答案】D 【解析】 【分析】根据全面调查和抽样调查的特点分别判断，一般来说， 对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：A、调查人民对冰墩墩的喜爱情况，调查的人数很多，必须选择抽样调查，故A选项错误，不符合题意； B、了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，调查的人数太多，必须选择抽样调查，故B选项错误，不符合题意； C、调查某池塘中现有鱼的数量，数量较大，必须选择抽样调查，故B选项错误，不符合题意． D、调查与一新冠肺炎感染者密切接触人群，因事情重要，人数不多，因而适合全面调查． 故选：D． 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，正确理解全面调查和抽样调查的适用特点是解题的关键． 6. 如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，，，，，．则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角板的度数可得，，由平行线的性质定理可得，利用三角形外角的性质可得结果． 【详解】解：如图， ，， ， ，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质定理和外角的性质，求出，的度数是解本题的关键． 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，关键是掌握，一元二次方程有两个不相等的根，，一元二次方程没有根，，一元二次方程有两个相等的根． 8. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有人，物价是钱，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设共有x人，根据物价不变列方程；设物价是钱，根据人数不变即可列出一元一次方程；由此即可确定正确答案 【详解】解：设共有x人，则有8x-3=7x+4 设物价是钱，则根据可得： 故选D． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，正确审题、发现隐藏的等量关系成为解答本题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（　　） A. （4，2） B. （3，3） C. （4，3） D. （3，2） 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：如图，作AM⊥x轴于点M．∵正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），∴OA=OB=2，∠AOB=60°，∴OM=OA=1，AM=OM=，∴A（1，），∴直线OA的解析式为，∴当x=3时，y=，∴A′（3，），∴将点A向右平移2个单位，再向上平移个单位后可得A′，∴将点B（2，0）向右平移2个单位，再向上平移个单位后可得B′，∴点B′的坐标为（4，），故选A． 考点：1．坐标与图形变化-平移；2．等边三角形的性质． 10. 如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，DK与BC垂直，且入射光线和反射光线使∠MDK=∠FDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可证出是直角三角形，利用直角三角形的边角关系用x表示出CF、DF，最后利用三角形的面积公式可知y与x的函数关系图像是开口向上的二次函数，观察选项图像即可得出答案． 【详解】解：由题可知，等边三角形ABC的边长为2． ∵ME⊥AB，， ∴是直角三角形，，，， ∵， ∴，． 又∵ DK⊥BC，∠MDK=∠FDK， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 则y与x的函数关系图像是开口向上的二次函数，且过点． 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，从图形的面积公式入手，用自变量表示边的长度，直接代入公式求出因变量与自变量的函数关系是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得被开方数大于等于0，据此列出关于x的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，解得：，即实数的取值范围是． 12. 请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为轴：__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，对称轴为轴，即b=0，写出满足条件的函数解析式即可. 【详解】解：设函数的表达式为y=ax2+bx+c， ∵图象的对称轴为y轴， ∴对称轴为x==0， ∴b=0， ∴满足条件的函数可以是：.（答案不唯一） 故答案是：y=x2（答案不唯一） 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键. 13. 小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的四张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），小亮从中随机抽取一张邮票（不放回），再从余下的邮票中随机抽取一张，抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列表格展示出所有等可能的情况数，找出抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的情况数，然后根据概率公式即可求解． 【详解】解：设这四张邮票依次用A、B、C、D表示，列表如下所示： A B C D A (B，A) (C，A) (D，A) B (A，B) (C，B) (D，B) C (A，C) (B，C) (D，C) D (A，D) (B，D) (C，D) 共有12种等可能的结果，其中抽到两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”有2种结果，即(A，C)，(C，A)， ∴P（抽到两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”）， 故答案为：． 【点睛】本题考查列表法或画树状图法求概率，解题的关键是正确展示出所有等可能的结果数以及找出恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的情况数． 14. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，一条弧经过格点（网格线的交点），，，点为上一点．若，则的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，圆周角定理，勾股定理，根据题意知，格点为所在圆的圆心，连接、，由勾股定理，圆周角定理可得，，然后通过弧长公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意知，格点为所在圆的圆心，连接、， 则，， ∴的长为：， 故答案为：． 15. 如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一动点，连接DE，以DE为边作等边，连接AF，则AF的最小值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】以AD为边作等边三角形△ADH，连接EH，由“SAS”可证△EDH≌△FDA，可得AF＝EH，由垂线段最短可得当EH⊥AB时，EH有最小值，即AF有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，以AD为边作等边三角形△ADH，连接EH， ∴HD＝AD＝AH＝10，∠HDA＝60°， ∵△DEF是等边三角形， ∴ED＝DF，∠EDF＝60°＝∠HDA， ∴∠EDH＝∠FDA， 在△EDH和△FDA中，， ∴△EDH≌△FDA（SAS）， ∴AF＝EH， ∴当EH⊥AB时，EH有最小值，即AF有最小值， ∵∠EAH＝90°−∠HAD＝30°，EH⊥AB， ∴EH＝AH＝5， ∴AF的最小值为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，含30°直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共75.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算负整数次幂，绝对值，零次幂，再进行加减运算； （2）先将括号内式子通分，变分式除法为乘法，最后约分化简． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. “呵护眼睛，从小做起”，每年6月6为全国爱眼日．某学校为了解该校九年级学生视力健康状况，从九年级（1）班和九年级（2）班各随机抽取了10名学生2022年初的视力数据，整理分析过程如下，请补充完整． 【收集数据】 九年级（1）班学生视力数据统计如下：4.9， 4.8， 4.9， 4.6， 4.8， 4.9， 4.9， 5.0， 4.9， 5.1． 九年级（2）班学生视力数据统计如下：4.8， 5.1， 4.7， 5.0， 4.9， 4.8， 5.0， 4.6， 4.8， 5.1． 【整理数据】 （1）九年级（1）班学生视力的扇形统计图： （2）九年级（2）班学生视力的频数直方图： 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 4.88 a 4.9 0.0156 九年级（2）班 4.88 4.85 b 0.0256 （1）九年级（1）班视力中位数a落在扇形统计图的 部分（填A、B、C）； （2）请补全九年级（2）班视力的频数直方图； （3）表中b= ； （4）若九年级（2）班共50名学生，视力在4.85～5.05之间的大约有 人； （5）根据九年级（1）班、九年级（2）班分别抽取的10名学生的视力情况，你认为哪个班级学生的视力健康情况更何况更好一些？并说明理由． 【答案】（1）B （2） 补全频数直方图如图所示， （3）4.8 （4）15 （5）（1）班学生的视力健康情况更何况更好一些， 理由如下：由两组数据可知，两班平均数相等，（1）班中位数大于二班，（1）班方差小于（2）班，所以（1）班视力数据较为稳定， 故：（1）班的视力状况更好一些． 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义，对数据进行分析即可； （2）根据（2）班数据，可知4.65-4.85中的频数，即可补全频数直方图； （3）根据众数的定义，对数据进行分析即可得出结果； （4）由（2）班视力数据可知，10人中有3人视力在4.85～5.05，可知该班50人中视力在4.85～5.05的人数； （5）根据方差越小数据越稳定，可知（1）班视力状况较好． 【小问1详解】 解：由题意可知，（1）班视力数据中位数为4.9， 即a=4.9，落在B部分； 故答案为：B 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）班视力数据可知，中数为4.8，即b=4.8； 故答案为：4.8 【小问4详解】 由（2）班视力数据可知，10人中有3人视力在4.85～5.05， 故50人中视力在4.85～5.05的人数为：50×0.3=15（人）； 故答案为：15． 【小问5详解】 略 【点睛】本题主要考查的数据的应用，数量掌握其中各项的定义及用法是解题的关键． 18. 在平面直角坐标系中，如图为一根木料的横截面示意图，其中的曲线AB是一段反比例函数图象，线段AB所在直线与x轴相交所成的锐角为45°，端点B的坐标是（80，20）． （1）求该反比例函数解析式． （2）求线段AB所在直线的解析式． （3）木工想把该木料分割成完全相同的两部分．试求该横截面上的分割线长． 【答案】（1）； （2）； （3）分割线长为 【解析】 【分析】（1）设反比例函数解析式为：，根据题意列一元一次方程并求解，即可得到答案； （2）过点A作轴，过点B作轴，交BC于点C，根据题意，推导得，设点A的横坐标为m，根据坐标和等腰直角三角形的性质，列分式方程并求解，得m，再根据一次函数的性质，通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案； （3）AB中点F，连接，结合（1）和（2）的结论，得木料的横截面示意图关于所在直线对称，根据一次函数的性质，推导得所在直线解析式，从而得点E坐标，根据勾股定理计算，即可得到答案． 【小问1详解】 设反比例函数解析式为： ∵端点B的坐标是（80，20） ∴ ∴ ∴反比例函数解析式为： 【小问2详解】 如图，过点A作轴，过点B作轴，交BC于点C ∵轴轴 ∴ ∵线段AB所在直线与x轴相交所成的锐角为45°，即 ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ 设点A的横坐标为m 根据题意，得 ∴ ∴， ∴ ∴ ∴或（舍去） 经检验，是的根 ∴ 设线段AB所在直线的解析式为： ∴ ∴ ∴线段AB所在直线的解析式为：； 【小问3详解】 如图，AB中点F，连接，结合（1）和（2）的结论，得木料的横截面示意图关于所在直线对称，即所在直线该木料分割成完全相同的两部分，所在直线和反比例函数相交于点E 设所在直线为 ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴所在直线为 得，即点 ∴ ∴分割线长为：． 【点睛】本题考查了反比例函数、等腰直角三角形、一次函数、轴对称、一元二次方程、二元一次方程组、分式方程、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、一次函数、轴对称的性质，从而完成求解． 19. 北京2022年冬奥会自由式滑雪和单板滑雪比赛的场地首钢滑大跳台，又称“雪飞天”，从远处看就像一只绝美的“水晶鞋”．某数学活动小组准备测量大跳台主体AB的垂直高度，如图，选取的测量点C，D与AB的底部B在同一水平线上．测得CD的长度为15m．在C，D处测得跳台顶部A的仰角分别为37.5°、45°，求跳台AB的高度（结果精确到1m．参考数据：） 【答案】49 m 【解析】 【分析】根据题意设m，则，在中，解直角三角形即可求解． 【详解】解：， 设m，则，CD的长度为15m 在中， 即 解得 答：跳台AB的高度为 m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键． 20. 如图，AB为的直径，点C在上，过点C作切线CD交BA的延长线于点D，过点O作交切线DC于点E，交BC于点F． （1）求证：； （2）若，，求EF的长． 【答案】（1）证明：连接OC，如图所示： ∵AB为⊙O的直径， ∴． ∵DE是⊙O的切线， ∴， ∴， ∵OB，OC是⊙O的半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）证明：连接OC，利用圆周角定理及切线的性质定理求出，由圆的半径相等求出，利用平行线的性质求出，即可得到结论； （2）由求出，AC=6，证明求出OE，根据三角形中位线的性质求出OF，即可得到EF． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，O为AB中点， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定及性质、勾股定理、三角函数，熟练掌握各知识点并应用解决问题是解题的关键． 21. 某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如表： 甲水笔 乙水笔 每支进价（元） a 每支利润（元） 2 3 已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等． （1）求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元． （2）若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元． 【答案】（1）甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元 （2）该文具店购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元 【解析】 【分析】（1）根据花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等，可以列出相应的分式方程即可求出答案． （2）根据题意，可以列出利润与购进甲种水笔数量的函数关系式，然后根据购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，可以求出购进甲种水笔数量的取值范围，再根据一次函数的性质即可求出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元． 【小问2详解】 解：设利润为w元，甲种水笔购进x支， ， ， ∴y随x的增大而增大， 购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍， ， 解得，， ∵x为整数， ∴当时，w取得最大值，最大值为733， 此时，， 答：该文具店购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质是解题的关键． 22. 如图，已知抛物线分别交x轴y轴于点，连接AC． （1）求该抛物线的解析式． （2）若是抛物线上两点，当时，均有，求m的取值范围． （3）将该抛物线向左平移个单位长度后，得到的新抛物线与线段AC只有一个交点，请直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法解答即可； （2）先根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴，再确定y的最小值，然后确定抛物线上点关于直线的对称点的坐标为，然后根据“”列方程组解答即可； （3）先求出平移后的解析式，然后将A、C点的坐标求出n的边界值，进而确定n的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意可得：解得 ∴该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵抛物线 ∴抛物线的对称轴为直线，且在对称轴左侧，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最小值． ∴抛物线上点关于直线的对称点的坐标为． 又∵当时，均有， ∴解得． 【小问3详解】 解：∵向左平移个单位长度 ∴平移后的新抛物线的解析式为． 将点代入，得，解得或（舍去）． 将点代入，得，解得或（舍去）． ∴n的取值范围为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法、二次函数的性质、二次函数图象的平移、二次函数与一次函数的综合等知识点，掌握二次函数的性质以及数形结合思想成为解答本题的关键． 23. 如图，是中的平分线，于，于，连接．求证：． 下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务． 题目背景：在中，，，点在上． （1）【作图探讨】：在外侧，以为边作； 小明：如图1，分别以，为圆心，以，为半径画弧交于点，连接，．则即为所求作的三角形． 小军：如图2，分别过，作，的垂线，两条垂线相交于点，则即为所求作的三角形． 选择填空：小明得出的依据是 ，小军得出的依据是 （填序号） ②③④ [测量发现（2）在（1）中的条件下，连接．兴趣小组用几何画板测量发现和的面积相等．为了证明这个发现，尝试延长线段至点，使，连接，从而得以证明（如图；小慧同学分别过点点作、的垂线段、，从而得以证明（如图．请你选取小聪或小慧的其中一种方法完成证明过程． [迁移应用]（3）：如图5，已知，，点在上，，，若在射线．上存在点，使，请直接写出相应的的长． 【答案】（1）①；③；（2）见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的面积计算、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据、定理判断即可； （2）延长线段至点，使，连接，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （3）过点作交于，于，连接并延长交于，根据等腰直角三角形的性质求出、，求出，进而求出，得出的长，同理求出． 【详解】（1）解：由小明的作法可知，，， 在和中， ， ， 即小明得出的依据是①， 由小军的作法可知，，， ， 即小军得出的依据是③， 故答案为：①；③； （2）证明：延长线段至点，使，连接， 则是的中线， ， ， ， ， ，， ， 即． 在和中， ， ． ， ； （3）解：过点作交于，于，连接并延长交于， 由（2）可知：， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， 此时，， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $