浙江丽水市2025-2026学年第二学期普通高中教学质量监控高二数学试题

**基本信息** 丽水市高二数学期末卷以核心素养为导向，知识覆盖全面，融合人工智能学习率模型等科技情境，梯度设计合理，适配教学评价需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|6题84分|统计（分层抽样）、三角函数与解三角形、数列、立体几何、解析几何、导数|25题导数零点证明考查逻辑推理，23题立体几何二面角计算体现空间观念，21题结合解三角形求面积最大值，呼应真题对综合应用能力的考查趋势|

丽水市2025学年第二学期普通高中教学质量监控 高二数学试题卷（2026.06） 注意事项： 1．本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知函数，则 A． B． C． D． 4．“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，且为第二象限角，则 A． B． C． D． 6．圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为 A． B． C． D． 7．已知一元二次不等式的解集为，则的解集为 A． B． C． D． 8．已知，，，则，，的大小关系为 A． B． C． D． 9．已知随机事件，满足，，，则 A． B． C． D．第10题图 10．如图，在棱长为的正方体中，点，分别是 棱，的中点，点在正方体的表面上运动， 且平面，则点的轨迹长度为 A． B． C． D． 11．在人工智能训练的神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为，且当训练迭代轮数为时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：） A． B． C． D． 12．已知函数，，，，是曲线与从左往右依次连续相邻的三个交点，且，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 13．已知实数，，，且，则下列不等式成立的是 A． B． C． D． 14．已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是 A． B．在方向上的投影向量为 C． D．当时，与的夹角为锐角 15．在矩形中，，，沿矩形对角线将折起，在这个过程中，下列结论正确的是 A．当时， B．直线与平面所成角可能为 C．当二面角的大小为时，四面体的外接球的体积为 D．当四面体的体积最大时，异面直线与所成角的余弦值为 三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 16．样本数据：2，3，7，5，1，6，8，3，8的第60百分位数为 ▲ . 17．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是 ▲ . 18．在中，角，，所对的边分别为，，，已知， 则 ▲ . 19．在棱长为2的正方体中，空间动点满足，则 的取值范围是 ▲ . 四、解答题（本题共6小题，共84分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．（10分）某地区有小学18所，初中12所，高中6所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查． （1）求应从小学、初中、高中分别抽取的学校数量； （2）若从被抽到的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽取的2所学校均为小学的概率． 21．（12分）已知函数． （1）求的值及函数的单调递增区间； （2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且， 求面积的最大值． 22．（13分）已知是公差不为零的等差数列，，且、、成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列{}的前项和，求． 23．（15分）如图，在三棱柱中，，D为BC的中点， 平面平面． （1）证明：； （2）已知四边形是边长为2的菱形，且， 求二面角的余弦值．第23题图 第23题图 24．（17分）已知，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之差是，记点的轨迹为，为坐标原点. （1）求轨迹的方程； （2）点，过点的直线交于，两点，直线，与的另一交点分别为，两点，记直线，的倾斜角分别为，，当取得最大值时，求直线的方程． 25．（17分）已知函数，． （1）当，时，求的值域； （2）若在上有且仅有3个零点，，， ①证明：； ②证明：． 高二数学试题卷 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丽水市2025学年第二学期普通高中教学质量监控 高二数学答案（2026.06） 一、单项选择题 BDDAA CABBD CB 2、 多项选择题 13．ABD 14．AB 15．ACD 三、填空题 16． 17． 18． 19. 四、解答题 20．（满分10分） （1）从小学抽取所； 从初中抽取所； 从高中抽取所； ……………………5分 （2）小学的所学校编号为，初中的所学校编号为，高中的所学校编号为， 从中随机抽取2所学校，基本事件有： ，共种， 其中抽取的2所学校均为小学的是：，共种， 所以抽取的2所学校均为小学的概率为. ……………………10分 21．（满分12分） （1） 令得 所以的单调增区间为； …………5分 （2）由得， 又，由余弦定理得，，即， 所以，当且仅当时取等号 所以， 即面积的最大值为． ……………………12分 22.（满分13分） （1）设等差数列的公差为，则， 由题意可得，即， 整理可得，，解得， 因此， .……………………6分 （2）由（1）知， ① 两边同乘公比： ② ①式减②式： 即． ……………………13分 23．（满分15分） （1）在三棱柱中， 由是的中点，得， 而平面平面， 且平面平面平面， 所以平面. 又平面. 所以； .……………………7分 （2）过作的延长线于点，垂足为， 过作的延长线于点，连接， 因为四边形为菱形，， 则为正三角形，连接，有， 而平面平面，平面平面， 所以平面， 而，因此平面， 所以，又，，平面， 故平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，，，， ， 故二面角的余弦值为． .……………………15分 24．（满分17分） （1）设，由得， 化简得轨迹的方程为 .……………………5分 （2）因为， 所以直线：， 即，化简得， 同理可得直线：， 直线：， 直线：， 因为直线过点，可得， 直线过点，可得，同理 所以 所以， 要使取得最大值，则， 所以当且仅当时取等号， 此时直线直线方程为 .……………………17分 24．（满分17分） （1）当时，的图象关于直线对称， 在上单调递减，且，， 所以当时，的值域为； .……………………5分 （2）①的图象关于直线对称，且， 故在上有且仅有3个零点，， 等价于且在上有且仅有1个零点， 当时，在上没有零点，不符题意； 当，时，，， 所以，在上没有零点，不符题意； 当，时， 因为，所以 又，所以，在上没有零点，不符题意； 所以； .……………………10分 ②因为关于对称，且在上有且仅有3个零点，， 所以，，，且，所以， 所以 因为，，所以 所以 所以． .……………………17分 高二数学试题答案 第1页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 $