精品解析：浙江省丽水市2024-2025学年高二下学期6月普通高中教学质量监控数学试题

丽水市2024学年第二学期普通高中教学质量监控 高二数学试题卷 2025.06 注意事项： 1．本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 一、单项选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，定义域为的函数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数，，则复数在复平面内对应点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则=（ ） A. B. C. D. 6. 已知某圆台的两底面半径分别为1和4，侧面积为，则该圆台的体积等于（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两人独立破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则恰有一人成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，且，则（ ） A. 2或8 B. 或8 C. 8 D. 64 10. 如图两点在河的同侧，且、两点均不可到达．现需测、两点间的距离，测量者在河对岸选定两点、，测得，同时在、两点分别测得，，，则、两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 11. 已知，现将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若存在，使得函数与图象的对称中心完全相同，则满足题意的的个数为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 13. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 14. 已知平面向量均单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 15. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 动点轨迹的长度为 B 与不可能垂直 C. 直线与平面所成角正弦值的最小值为 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 三、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 16. 事件、互斥，若，，则______. 17. 已知定义在上的函数的值域是，则函数的值域是______. 18. 已知函数的图象过点，若在内有4个零点，则a的取值范围为__________． 19. 若实数，满足，则的最大值为______. 四、解答题：本题共6小题，共84分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 电力公司从某小区抽取100户居民用户进行12月用电量调查，发现他们的月用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求的值及这100户的用电量的平均数； （2）力公司拟对用电量超过的家庭的电器进行检测，若恰好为第71百分位数，求. 21. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，是正三角形，侧面底面，是的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 22. 已知数列是公比为的等比数列，成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，设数列的前项和为，求证：． 23. 已知椭圆的方程为，椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于P、Q两点（P、Q均不在x轴上）. （1）若椭圆的离心率为，求的值； （2）若，左顶点为，求的面积的最大值． 24. 人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中，为了检测样本之间的相似度主要运用余弦距离进行测试.二维空间有两个点，，定义之间的余弦距离为，其中. （1）若，，求之间的余弦距离； （2）已知，，，，若，， ①求之间余弦距离； ②求的值． 25. 已知函数为奇函数． （1）求a的值； （2）设函数， ①证明：有且只有一个零点； ②记函数零点为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丽水市2024学年第二学期普通高中教学质量监控 高二数学试题卷 2025.06 注意事项： 1．本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 一、单项选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 2. 下列函数中，定义域为的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用各个选项中函数的定义及要使得函数有意义即可求得定义域，由此得出答案. 【详解】对于A，要使得根号下有意义，则，即定义域为，故A错误； 对于B，要使得对数有意义，则真数，即定义域为，故B正确； 对于C，由指数函数的定义可知其定义域为，故C错误； 对于D，要使得正切函数有意义，则，即定义域为，故D错误； 故选：B. 3. 已知复数，，则复数在复平面内对应点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数的加法法则求出，，进而得到在复平面内所对应点的坐标，即可得解. 【详解】因为复数，， 所以， 所以复数在复平面内对应点为，在第二象限. 故选：B 4. 设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”，则“lm且ln”，反之若“lm且ln”，当m//n时，推不出“l”，∴ “l”是“lm且ln”的充分不必要条件，选A． 5. 已知，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将题干条件化简，根据计算即可. 【详解】因为， 所以，即， 所以. 故选：C 6. 已知某圆台的两底面半径分别为1和4，侧面积为，则该圆台的体积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据侧面积公式求出母线长，利用勾股定理求高，在根据圆台体积公式计算即可. 【详解】圆台的侧面展开图是个扇环，设圆台的母线为， 则，所以 所以圆台的高， 则圆台的体积等于， 故选：B. 7. 甲、乙两人独立破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则恰有一人成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立事件的概率乘法公式即可求解. 【详解】恰有一人成功破译概率为. 故选：D. 8. 已知不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得是方程的两个根，求得，代入计算即可求解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以是方程的两个根， 即， 代入可得，解得或， 所以的解集为. 故选：D 9. 已知，且，则（ ） A. 2或8 B. 或8 C. 8 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质化简计算即可求解. 【详解】因为， ， 令， 所以，解得或（不符合题意舍去）， 所以，解得. 故选：C 10. 如图两点在河的同侧，且、两点均不可到达．现需测、两点间的距离，测量者在河对岸选定两点、，测得，同时在、两点分别测得，，，则、两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求，在利用正弦定理得，在中，利用余弦定理即可求解. 【详解】由题意有， 在中由正弦定理有， 又，所以为等边三角形，所以， 又因为，在中，由余弦定理有： ， 所以， 故选：B. 11. 已知，现将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若存在，使得函数与图象的对称中心完全相同，则满足题意的的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角关系式及倍角公式可得，由题意得需为奇函数，由余弦函数得奇偶性即可求解. 【详解】， ， 要使函数与图象的对称中心完全相同， 则需为奇函数， 所以，，即解得， 因为， 当时，，当时，， 所以满足题意的的个数为2个. 故选： 12. 已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式化为，令，即.然后分和两种情况去掉绝对值符号，得到相应的解析式，计算取时的函数值，画出函数的部分图象，数形结合即可得解. 【详解】因为函数，所以关于的不等式 可化为，即， 令，即. 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 且； 当时，， 在上单调递减，且. 如图所示，结合函数图象及取时的函数值可知， 要使的解集中有且仅有个整数，这两个整数解只能是和， 所以实数的取值范围为，即. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 13. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可判断A；利用作差法比较出大小可判断B；举出反例可判断CD. 【详解】对于A，由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故A正确； 对于B，，因为，所以，故B正确； 对于C，当时，故C错误； 对于D，当时，，故D错误； 故选：AB. 14. 已知平面向量均为单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对两边平方可判断；对两边平方可判断；求出，，由向量的夹角公式计算可判断出C；由投影向量定义可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，则，故错误； 对于B，因为，所以，故正确； 对于C，因为，所以，所以 ， 则，故C正确； 对于D，因为，， 所以在上的投影向量为， 故正确. 故选：BCD. 15. 如图，棱长为2正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 动点轨迹的长度为 B 与不可能垂直 C. 直线与平面所成角正弦值的最小值为 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由平面，联想到存在一个过的平面与平面平行，利用正方体特征找到平面平面，进而得到的轨迹为线段；对B，举反例即可；对C，由可得到使线面角取到最小时的点的位置， 此时再建系，利用线面角的坐标公式计算即可；对D，利用，可得到使三棱锥的体积取到最大值的点的位置，接下来用定心法求出外接球半径即可. 【详解】对A，如图，取中点为，中点为，连接， 又正方体中，为棱的中点，可得， 又平面，平面， 平面； 又中点为，中点为， ，又平面，平面， 平面； 又， 且平面， 平面平面， 又平面，且平面，平面， 又为正方形内一个动点（包括边界）， 平面平面，而平面平面， ，即的轨迹为线段. 由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项A正确； 对B，由可知三角形为等腰三角形， 当为线段中点时，由可得， 又中点为，中点为，，而，，故选项B不正确； 对C，由选项B 知，，又面，面， 面，则上的点到平面的距离为定值，设到平面的距离为， 直线与平面所成角为，则，而为定值， 当最大时，最小；此时点位于点时，最大，最小. 分别以为建立空间直角坐标系，则由题意得，，，， 可得，，设平面的法向量， 则有，不妨令可得， 平面的一个法向量，又， 则，故选项C正确； 对D，由侧棱底面，所以三棱锥体积为， 所以最大时，体积最大，∵， 可得当在处时，三棱锥的体积最大， 由已知得此时， 所以在底面的射影为底面外心，，，， 由勾股定理易知底面为直角三角形，所以在底面的射影为中点，设为， 如图，设外接球半径为，由，， 可得外接球半径， 外接球的表面积为，故选项D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 16. 事件、互斥，若，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据互斥事件概率加法公式求解. 【详解】因为、互斥， 所以, 解得. 故答案： 17. 已知定义在上的函数的值域是，则函数的值域是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象的关系，结合值域的定义分析即可 【详解】函数的图象向左平移3个单位得到的图象， 因此函数的值域为， 则函数的值域是. 故答案为：. 18. 已知函数的图象过点，若在内有4个零点，则a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入中结合，得，则可求出，再由求出的范围，然后由在内有4个零点，结合正弦函数的性质可求出a的取值范围. 【详解】由题意知，函数的图象过点，所以，解得， 因为，所以，所以， 当时，可得， 因为在内有4个零点，结合正弦函数的性质可得， 所以，即实数a的取值范围是． 故答案为：． 19. 若实数，满足，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值. 【详解】由，得， 设，其中，则， 从而， 故 记，则， 要求最大值，则只需考虑，则, 当且仅当，即时取等号，即最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共84分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 电力公司从某小区抽取100户居民用户进行12月用电量调查，发现他们的月用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求的值及这100户的用电量的平均数； （2）力公司拟对用电量超过的家庭的电器进行检测，若恰好为第71百分位数，求. 【答案】（1）,平均数为322 （2）400 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中长方形的面积之和为1得到，然后根据平均数的计算公式即可求解， （2）根据百分位数的概念计算即可. 【小问1详解】 ，解得， 平均数为 【小问2详解】 在这组数据中对应的频率为， 对应的频率为， 所以这组数据第71百分位数在中， 设第71百分位数为，则，解得. 21. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，是正三角形，侧面底面，是的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行判定定理证明即可； （2）法一：根据面面角定义作图，在中，由余弦定理计算即可；法二，建立空间直角坐标系，由面面角向量法计算即可求解. 【小问1详解】 连结交于点，连， ∵底面是正方形，， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面； 【小问2详解】 法一：作交于，作交于，连， ∵平面平面，平面平面， ∴平面 ∵平面， ∴ 又∵，， ∴平面， ∴， ∴为二面角平面角， 不妨设，则, ，， ，， ∴， ∴二面角的余弦值为 法二：取的中点为，的中点为，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∵侧面底面，侧面底面， ∴底面， ∵底面， ∴，， ∴，，两两垂直，则分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，不妨设， 则由已知得，，， 在平面中，，， 设为平面的一个法向量， 则， 令，则为平面的一个法向量． 又∵平面的一个法向量 设二面角平面角为， 则， 所以二面角的余弦值为． 22. 已知数列是公比为的等比数列，成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，设数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用基本量法可求首项，从而可求通项； （2）利用错位相减法可求，利用不等式的性质可证. 【小问1详解】 因为成等差数列，所以， 又因为数列是公比为的等比数列，所以， 解得，所以， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 由（1）知，则 可得， 则， 两式相减，可得， 所以， 因为， 所以数列是递增数列，则， 又因为，可得， 综上可得：. 23. 已知椭圆的方程为，椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于P、Q两点（P、Q均不在x轴上）. （1）若椭圆的离心率为，求的值； （2）若，左顶点为，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率可求出的值. （2）设直线的方程为，联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积； 利用表达出三角形面积，然后再代换成关于的函数，由基本不等式求出的最大值. 【小问1详解】 ∵椭圆的离心率为， ∴， 解得. 【小问2详解】 时，，故，所以，， 、均不在轴上，故直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立与得， 因， 由韦达定理，，， 所以， 又，故的面积， 而， 当且仅当，即时等号成立， 所以的面积的最大值为. 24. 人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中，为了检测样本之间的相似度主要运用余弦距离进行测试.二维空间有两个点，，定义之间的余弦距离为，其中. （1）若，，求之间的余弦距离； （2）已知，，，，若，， ①求之间的余弦距离； ②求的值． 【答案】（1）； （2）①；②5 【解析】 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）①由新定义及所给点的坐标得出，，再求出，即可得出之间的余弦距离； ②由，，展开化简可得解. 【小问1详解】 由题意得， ∴之间余弦距离为； 【小问2详解】 ①由题意得 ∵，∴，∴， ∵， ∴，∵，∴ ∴，之间的余弦距离为. ②由①可得，， ∴，∴ ∴ 25. 已知函数为奇函数． （1）求a的值； （2）设函数， ①证明：有且只有一个零点； ②记函数的零点为，证明：． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据可求出a的值； （2）①讨论和时函数的单调性或函数值的正负，结合零点存在性定理可证明函数有且只有一个零点； ②由①可得，结合的范围分析函数单调性可证明不等式. 【小问1详解】 由题意得，， ∴，即恒成立，∴. 【小问2详解】 ①当时，函数与函数均在上单调递增， ∴在上单调递增， 又，， ∴存在唯一零点. 当时，，，∴， 当时，，，∴， ∴当时，无零点， 综上，有且只有一个零点，且该零点. ②由①可知，且，故， ∴， 令，则. 当时，，∴在上单调递增， ∴，即得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$