2026年6月21日荆山公学高二学业水平模拟卷数学

**基本信息** 荆山公学高二数学学业水平模拟卷，聚焦必修一、二及选择性必修一空间向量与立体几何，80分钟内通过12单+3多+3填+3解答题（100分），以集合、函数、立体几何等为核心，注重基础巩固与逻辑推理、空间观念等核心素养的考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12/36|集合运算、函数定义域、复数象限、向量垂直|基础概念辨析，如第7题充要条件判断，考查逻辑推理| |多选题|3/18|不等式性质、解三角形、正方体动点轨迹|多选项分层设计，15题结合空间距离与轨迹长度，培养空间观念| |填空题|3/9|茎叶图百分位、函数单调性、空间距离|数据处理与空间想象结合，18题直二面角距离计算，体现数学眼光| |解答题|3/37|概率计算、立体几何证明与夹角、函数单调性证明|综合性问题设计，21题函数单调性定义证明与值域探究，强化数学语言表达|

2026年6月21日荆山公学高二学业水平模拟卷 数 学 考试内容：人教A版必修一+必修二+选择性必修一空间向量与立体几何 考试时间：80分钟 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）已知集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）若复数（i为虚数单位），则在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（本题3分）已知平面向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）设，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（本题3分）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 10．（本题3分）已知函数若，则（    ） A．3或1 B．0或-2 C．0 D．1 11．（本题3分）如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 12．（本题3分）已知函数的定义域为，值域为，且，，函数的最小值为2，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 13．（本题6分）已知，，为实数，则（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，，则 14．（本题6分）若的内角，，对边分别是，，，，且，则（    ） A．外接圆的半径为 B．的周长的最小值为 C．的面积的最大值为 D．边的中线的最小值为 15．（本题6分）如图，若正方体的棱长为2，点是正方体在侧面上的一个动点（含边界），点是棱的中点，则下列结论正确的是（    ）   A．平面截该正方体的截面面积为 B．若，则点的轨迹长度为 C．若为的中点，则三棱锥的体积为1 D．与平面所成角的正弦值的取值范围为 三、填空题（共9分） 16．（本题3分）某次数学考试后，随机选取16位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个位数部分作为"叶"，百位数和十位数作为"茎"，若该组数据的第25百分位为87，则______． 7 5 8 2 3 x 9 9 1 5 7 10 0 4 6 11 2 9 12 5 6 8 17．（本题3分）已知函数，若，则实数的取值范围是________． 18．（本题3分）已知直二面角，点，，为垂足，点，，为垂足，若，，则到平面的距离等于_____． 四、解答题（共37分） 19．（本题12分）不透明的袋子中装有红球、绿球各1个，黄球m个，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次黄球被取出的概率为． (1)求m的值． (2)现进行两次取球． （ⅰ）求恰好有一次取出黄球的概率； （ⅱ）求这两次取出的球的颜色相同的概率． 20．（本题12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，点在线段上，且. (1)求证：平面； (2)求平面和平面的夹角的余弦值； (3)设点在线段上，且，判断直线是否在平面内？请说明理由. 21．（本题13分）已知函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)当，时，用定义证明在上单调递增； (3)当，时，若函数在定义域上单调，且函数的值域为，求实数的取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A C C B B A C C 题号 11 12 13 14 15 答案 D D ACD AC BC 1．A 【详解】，或， 则，所以. 2．D 【详解】对A，，由可知其定义域为，故A错误； 对B，，由知其定义域为，故B错误； 对C，，由，解得，则其定义域为，故C错误； 对D，，显然其定义域为，故D正确. 3．A 【详解】由复数，可得复数在复平面内对应的点，位于第一象限. 4．C 【详解】由，得，解得，所以，， 则． 5．C 【详解】事件互斥，则不能同时发生． A选项：，所以A正确； B选项：，所以B正确； C选项：互斥事件，所以，所以C错误； D选项：互斥，，所以D正确. 6．B 【详解】由， 所以. 7．B 【详解】在区间内，正弦值为的角有两个：， 余弦值为的角只有一个：， 若，则可能为或，当时，，因此充分性不成立. 若，则，此时，因此必要性成立. 8．A 【详解】由题意，，，∵， ∴，∴， ∴. 9．C 【详解】依题意设，则，， 则 ，其中， 又，则， 所以的最大值为． 10．C 【详解】由的解析式易得在区间上单调递增，在区间上单调递减. 由，得，所以解得.．选：C. 11．D 【详解】如图，作半球O的轴截面，记半球半径为R，圆柱半径为r 由题意，圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高为2r， 则有，故 所以剩余几何体的表面积为. 12．D 【详解】因为， 令，可得，所以满足. 又因为，则，所以， 因为，所以， 所以， 又因为，可得，， ，，， 所以.故选：D. 13．ACD 【详解】选项A：已知 ，则，则 ，所以选项A正确； 选项B： 当 时，满足 ， ， 此时 ，显然 ，所以选项B错误； 选项C：， 因为 ，所以， 所以，即，，选项C正确; 选项D: 已知 ， ， 将 变形为：, 根据基本不等式，因为 ，所以 ， 则 （当且仅当 ，即 时，等号成立）； 所以 ，即 ，所以选项D正确. 14．AC 【详解】A选项，， 由正弦定理得：， 即， 所以， 即， 因为，所以，所以，则， 因为，则， 令外接圆的半径为， 所以，即，所以A选项正确； B选项，，即：，则， 因为，，所以， 当且仅当时等号成立，此时的最大值为，所以B选项错误； C选项，，，当且仅当时等号成立， 因为，所以的最大值为，所以C选项正确； D选项，因为为边上的中线， 所以，， 得，因为，所以的最小值为，所以D选项错误. 15．BC 【详解】对于选项A：取线段的中点，连接，那么平面截该正方体的截面为平面. 由于，所以面积为，所以A错误；    对于选项B：因为平面，平面， 所以，所以根据勾股定理得， 所以点的轨迹是以为圆心以2为半径的弧.    如图所示，因为，所以，所以. 同理.所以弧长角度为，所以轨迹长度为，B正确； 对于选项C：取的中点，连接，则. 取的中点，连接，过点作. 因为，所以，所以. 因为平面，平面，所以. 又，所以. 又，且平面.所以平面. 所以点到平面的距离为点到平面的距离. 设平行直线之间的垂直距离为，则， 所以，所以点到平面的距离为. 因为平面，平面，所以. 所以. 所以三棱锥的体积为，所以C正确；    对于选项D：作，连接. 因为平面，平面， 所以，因为，平面. 所以平面.所以与平面所成的角的正弦值为. 在中，，解得. 当点位于时，平面，此时与平面所成的角的正弦值最小为0； 当店位于处时，此时与平面所成的角的正弦值最大，最大值小于，达不到. 所以D错误.故选：BC.    16． 【详解】，则该组数据的第25百分位为从小到大第位的平均数， 即，解得． 17． 【详解】因为，故， 而的定义域为，故为上的奇函数. 而均为上的增函数，故为上的增函数. 因，故即，故. 18．/ 【详解】直二面角，棱为，因为，，，， 所以，，，，，，， ，，， ， 所以， 因为， ，所以平面， 即是三棱锥的高，且， ，故， 在Rt中，， ， 设点到平面的距离为， ，则，解得 ，即. 19．(1)，(2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）由题可知每次黄球被取出的概率为，解得． （2）（ⅰ）因为每次黄球被取出的概率为，且两次取出的球的颜色相互独立. 所以恰有一次取出黄球的概率为． （ⅱ）由题可知，每次红球和绿球被取出的概率均为，且两次取出的球的颜色相互独立. 所以这两次取出的球的颜色相同的概率为． 20．(1)证明见解析，(2)，(3)不在平面内，理由见解析 【详解】（1）因为平面，平面，则， 又，平面，所以平面. （2）在平面内过点作的垂线交于点， 平面，，平面，则，，     构建如下图示的空间直角坐标系，设，则，，，，，，所以，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面的一个法向量为， 则， 所以平面和平面的夹角的余弦值. （3）直线不在平面内，理由如下： 因为点在上，且，， 所以，则 由（2）知平面的一个法向量为，所以， 所以直线不在平面内. 21．(1)，(2)证明见解析，(3) 【详解】（1）， 所以可知函数可由平移变换过来，而仅有一个对称中心， 故只有一个对称中心，， 所以是函数图象的对称中心． （2），，且， 有 ， 由，得，，于是， 即，所以，函数在区间上单调递增． （3），为对勾函数， 根据对勾函数的图像性质可知函数在上递减，在上递增， ①当时，函数在区间上单调递增， 于是，所以方程在上有两个不同的根， 即方程在上有两个不同的根， 由函数在上单调递增，故不符合； ②当，函数在区间上单调递减， 于是，即，两式相减得， 所以，将代入方程得， 同理可得， 所以，方程在上有两个不同的根， 记，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $