第28章 28.2 三点确定一个圆-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（冀教版·新教材 河北专版）

该初中数学课件聚焦九年级上册“圆的确定”及“三角形外接圆与外心”核心知识点，通过“刷基础”到“刷提升”的梯度题目导入，从三点作圆条件延伸至外心位置、性质及坐标系应用，以归纳表格和关键点拨为学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点是分层设计与真题结合，通过四点作圆分类讨论、几何证明题培养推理能力，网格作图和坐标系问题发展几何直观与空间观念，表格归纳和关键点拨助于知识内化。学生能分层提升数学能力，教师可高效开展教学。

数 学 九年级上册 JJ 1 2 3 第二十八章 圆 4 28.2 三点确定一个圆 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 圆的确定 （第1题图） 1.如图，点，，，均在直线上，点在直线 外，则经 过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为( ) C A.12 B.8 C.6 D.4 【解析】依题意可得经过，,；，,；，,；，,；，,； ， ,分别可以画出一个圆， 最多可画出圆的个数为6.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 （第2题图） 2.【2026福建厦门质检】如图，已知线段，，点 在线段 上，下列说法正确的是( ) B A.经过点，， 只能作一个圆 B.经过点，， 只能作一个圆 C.经过点，以 的长为半径只能作一个圆 D.经过点，，以 的长为半径只能作一个圆 【解析】根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”可得B选项说法正确；因 为点，，共线，所以经过点，，不能作圆，故A选项说法错误；经过点 ， 以的长为半径能作无数个圆，故C选项说法错误；经过点，，以 的长为半 径能作两个圆，故D选项说法错误.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 知识点2 三角形的外接圆与外心 3.的外心在三角形的内部，则 是( ) A A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 【解析】由题意可知,的外心,即外接圆的圆心在 的内部，则 是锐角三角形.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 归纳总结 三角形外心的位置 三角形类型 外心位置 钝角三角形 三角形外 锐角三角形 三角形内 直角三角形 三角形边上 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 （第4题图） 4.【2026河北石家庄期中】如图，在平面直角坐标系中，点 ，，的坐标分别为，，，若 外接圆 的圆心坐标为，则和 的值为( ) C A.， B.， C.， D.， 【解析】 在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，， ， 且外接圆的圆心坐标为，，，， .故 选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 5.【2025重庆綦江区期中】如图，是的外心，则 ____. （第5题图） 【解析】如图.是的外心, ， ， ， ， .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 6.【2025江苏常州质检】 图（1） （1）如图（1）是由边长均为1的小正方形组成的网格,点 , ,均在格点上，请只用无刻度直尺找出的外心点 （不写作法,保留作图痕迹）,并直接写出其外接圆半径:_____； 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 【解】如图（1），点即为所求.连接,由勾股定理得 ,即 外接圆半径为.故答案为 . 图（1） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 图（2） （2）如图（2），请用直尺和圆规将图中的弧补成圆,并标记圆心 （不写作法,保留作图痕迹）. 【解】如图（2）, 即为所求. 图（2） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 7.如图，在中， ，将绕点 按逆时 针方向旋转 得到，点在直线上，若 ，求 点和 的外心之间的距离. 【解】由题意可知， . 关键点拨 分析得到的外心为 的中点是本题解题关键. 在中， ，，，， . 设的外心为点 ， 外心为 的中点， ，,即点和的外心之间的距离为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 8.【2026江苏连云港质检】如图，在中，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 （1）尺规作图：作的外接圆，并标记圆心 （不写作法，保留作图痕迹）； 【解】如图， 即为所求. 思路分析 先分别作，的垂直平分线交于点，再以点为圆心， 长为半 径画圆即可； 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 （2）求（1）中所作外接圆的半径. 【解】如图，过点作于点，连接 ， ，，垂直平分，且外心 在直线 上，，.在 中， .设 的外接圆的半径 思路分析 过点作于点，连接， ，先根据等腰三角形的性质求出 的长，再根据勾股定理求出的长，最后在 中求外接圆的半径. ，则.在中， ，即 ，解得，即的外接圆半径为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 提升 1.【2025河北秦皇岛期末，中】平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3 个点作圆，可以作出不重复的圆个，则 的值不可能为( ) C A.4 B.3 C.2 D.1 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 【解析】分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图（1），此时 .② 当三点在一条直线上时，如图（2），分别过点,,或点,,或点,, 作圆， 共3个圆，即.③当,,, 四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，如 图（3）,分别过点,,或点,,或点,,或点,, 作圆，共4个圆，即 .故选C. 图（1） 图（2） 图（3） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 2.［中］如图，为锐角三角形的外心，四边形为正方形，其中 点在 的外部，判断下列叙述不正确的是( ) D A.是的外心，不是 的外心 B.是的外心，不是 的外心 C.是的外心，不是 的外心 D.是的外心，不是 的外心 【解析】如图，连接，，为锐角三角形 的外心， 四边形为正方形， ， ，即不是的外心，是 的 外心，是的外心,不是的外心,是的外心，不是 的 外心,不是 的外心.故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 3.【2026江苏宿迁期中，中】若过平面直角坐标系中的三个点， ， 能确定一个圆，则 _______. 4， 【解析】设直线的表达式为，则 解得 .把点代入，得 ，解得 ，， 当，时，，， 能确定一个圆. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 4.【2025湖北武汉期中，中】如图，在中， ，以该三角形的 三条边为边向外作正方形，正方形的顶点，，，，， 在同一个圆上.记 该圆面积为,的面积为，则 的值是____. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 【解析】 正方形的顶点,,,,,在同一个圆上， 圆心为线段, 的垂直平 分线的交点，即斜边的中点，如图,连接,,, ,则 ,.由题意知，,点,, 在同一直线上, 点,,在同一直线上， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 ，， ， ， ， ， .在 中, , ， .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 关键点拨 由正方形的顶点,,,,,在同一个圆上，得到的斜边 的中点为 圆心，是本题解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 5.［中］如图，在中， ，点、点 分别 从点、点同时出发，在线段上做等速运动，到达点、 点 后停止运动. （1）求证： . 【证明】 点、点分别从点、点同时出发，在线段上做等速运动，到达 点、点后停止运动，， ，即 ，.在和中， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 （2）若，求 的度数. 【解】 ， ， ，， ， ， . （3）若的外心在其内部，求 的度数的取值范围. 【解】若的外心在其内部，则 是锐角三角形， , .又 ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 6.［中］如图，中，，是平面内不与,, 重合的任意一点， ， . （1）如图（1），求证： . 【证明】,，即 . 又，, . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 （2）如图（2），当点是的外接圆圆心时，请判断四边形 的形状， 并证明你的结论. 【解】四边形 是菱形. 证明：同理（1）易得, 点是 的外接圆圆心, .又,, 四边形 是菱形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 刷素养 走向重高 7.核心素养 推理能力 【2025江苏泰州质检，较难】如图，在 中， ，， .点沿着折线段运动.若点 在运 动的过程中，的外心在的边上，则符合条件的点 有___个. 4 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 【解析】作线段的垂直平分线，分别交,于点, ， 如图所示.，. ， ， ， 的外心一定在直线 上， 当的外心在的边上时，直线与, 的交点, 就是 的外心， 点在以点为圆心，为半径的圆上，或以点为圆心， 为 半径的圆上， 如图，，与,,的交点即为点， 点 在上， 符合条件的点 有4个.故答案为4. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 思路分析 作线段的垂直平分线，分别交,于点,.根据 的外心一定在直 线上，得出当的外心在的边上时，直线与,的交点, 就是的外心，故点在以点为圆心，为半径的圆上，或以点 为圆心， 为半径的圆上，画图得出答案即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 $