精品解析：四川省德阳市中江县2021-2022学年八年级下学期课改教学质量监控练习数学试题（七）

中江县2022年春季八年级课改监控练习数学（七）期末测试（Ⅲ） （时间120分钟满分150分） 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 下列计算中正确的是（ ） A. （＋ ）＝3 B. （− ）÷＝−1 C. ÷＝2 D. （＋）＝＋2 2. 若二次根式有意义，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ） A. 5 B. 20 C. 24 D. 32 4. 如图所示，若一次函数y＝k1x＋b1的图象l1与y＝k2x＋b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是(　　) A. B. C. D. 5. 若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 6. 有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）……如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 1 B. 2020 C. 2021 D. 2022 7. 某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1000米射击比赛，最后甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.68环，甲的方差是0.28，乙的方差是是0.21．则下列说法中，正确的是（ ） A. 甲的成绩比乙的成绩稳定 B. 乙的成绩比甲的成绩稳定 C. 甲、乙两人成绩的稳定性相同 D. 无法确定谁的成绩更稳定 8. 如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（　　） A. 1 B. 2 C. D. 2 9. 已知点A的坐标为，点A关于x轴的对称点落在一次函数的图象上，则a的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两人沿同一条路从A地出发，去往100千米外的B地，甲、乙两人离A地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系如图所示，以下说法正确的是（　　） A. 甲的速度是60km/h B. 乙的速度是30km/h C. 甲乙同时到达B地 D. 甲出发两小时后两人第一次相遇 11. 如果，那么下面各式：其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③ 12. 如图所示，矩形ABCD的面积为10cm2，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2；同样以AB、AO2为邻边作平行四边形ABC2O2，……依此类推，则平行四边形ABC5O5的面积为( ) A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共28分） 13. 计算：___________． 14. 如图，正方形 的边长为4，点E在上，且，P是对角线上一动点，则周长的最小值为_______． 15. 直线y＝−2x＋m与直线y＝2x−1的交点在第四象限，则m的取值范围是____． 16. 一组数据3，5，a，4，3的平均数是4，这组数据的方差为______． 17. 如图，正方形 的边长为，点 ，分别为边、上一点，将正方形分别沿，折叠，点的对应点 恰好落在上，点 的对应点恰好落在上，则图中阴影部分的面积为____________． 18. 一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点，使 为等腰三角形，则这样的点C最多有_______个 19. 如图，，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为______． 三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 20. 计算． 21. 如图，在矩形 中，点O为坐标原点，点B的坐标为，点A，C在坐标轴上，点P在 边上，直线，直线． （1）求直线与x轴的交点坐标T，直线与的交点坐标Q和与x轴的交点坐标G； （2）判定四边形的形状并求它的面积． 22. 在 与中，，， 、相交于点 ，过点作交 的延长线于点 ，过点 作交的延长线于点，，相交于点 ． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，求证：四边形是正方形． 23. 为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表： 根据图表提供的信息，回答下列下列问题： （1）样本中，男生身高的众数在 组，中位数在 组； （2）样本中，女生身高在E组的人数有 人； （3）已知该校共有男生400人，女生380人，请估计身高在 之间的学生约有多少人？ 24. 某公司计划购买A、B两种计算器共100个，要求A种计算器数量不低于B种的，且不高于B种的．已知A、B两种计算器的单价分别是150元/个、100元/个，设购买A种计算器x个． （1）求计划购买这两种计算器所需费用y（元）与x的函数关系式； （2）问该公司按计划购买者两种计算器有多少种方案？ （3）由于市场行情波动，实际购买时，A种计算器单价下调了3m（m＞0）元/个，同时B种计算器单价上调了2m元/个，此时购买这两种计算器所需最少费用为12150元，求m的值． 25. 如图所示，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，8），过点B分别作BA⊥y轴，BC⊥x轴，得到一个长方形OABC，D为y轴上的一点，将长方形OABC沿着直线DM折叠，使得点A与点C重合，点B落在点F处，直线DM交BC于点E． （1）直接写出点D的坐标　　； （2）若点P为x轴上一点，是否存在点P使△PDE的周长最小？若存在，请求出△PDE的最小周长；若不存在，请说明理由． （3）在（2）的条件下，若Q点是线段DE上一点（不含端点），连接PQ．有一动点H从P点出发，沿线段PQ以每秒1个单位的速度运动到点Q，再沿着线段QE以每秒个单位长度的速度运动到点E后停止．请直接写出点H在整个运动过程中所用的最少时间t，以及此时点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中江县2022年春季八年级课改监控练习数学（七）期末测试（Ⅲ） （时间120分钟满分150分） 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 下列计算中正确的是（ ） A. （＋ ）＝3 B. （− ）÷＝−1 C. ÷＝2 D. （＋）＝＋2 【答案】B 【解析】 2. 若二次根式有意义，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得． 3. 菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ） A. 5 B. 20 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可． 【详解】解：如图所示，根据题意得AO＝，BO＝， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD， ∴△AOB是直角三角形， ∴AB＝， ∴此菱形的周长为：5×4＝20． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 4. 如图所示，若一次函数y＝k1x＋b1的图象l1与y＝k2x＋b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个一次函数的交点坐标即可得． 【详解】解：一次函数的图象与的图象相交于点， 方程组的解为， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用一次函数的交点确定方程组的解，掌握函数图象法是解题关键． 5. 若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，首先确定，然后再确定，，进而可得直线的图象经过的象限，从而得答案． 【详解】解：∵直线经过一、二、四象限， ， ， ∴直线的图象经过第一、二、三象限， 故选：B． 6. 有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）……如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 1 B. 2020 C. 2021 D. 2022 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：SA=1， 由勾股定理得：SB＋SC=1， 则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得： “生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4， …… “生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022， 故选：D 【点睛】本题考查了勾股数规律问题，找到规律是解题的关键． 7. 某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1000米射击比赛，最后甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.68环，甲的方差是0.28，乙的方差是是0.21．则下列说法中，正确的是（ ） A. 甲的成绩比乙的成绩稳定 B. 乙的成绩比甲的成绩稳定 C. 甲、乙两人成绩的稳定性相同 D. 无法确定谁的成绩更稳定 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：甲的方差是0.28，乙的方差是0.21， ， 乙的成绩比甲的成绩稳定； 故选：B． 【点睛】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，解题的关键是掌握方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 8. 如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（　　） A. 1 B. 2 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠DAF，求得∠AOB=90°，根据三角形的面积公式得到OA=1，由勾股定理即可得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°， 在△ABE与△DAF中， ， ∴△ABE≌△DAF（SAS）， ∴∠ABE=∠DAF， ∴∠ABE+∠BAO=∠DAF+∠BAO=90°， ∴∠AOB=90°， ∵△ABE≌△DAF， ∴S△ABE=S△DAF， ∴S△ABE-S△AOE=S△DAF-S△AOE， 即S△ABO=S四边形OEDF=1， ∵OA=1， ∴BO=2， ∴AB=， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得△ABE≌△DAF是解题的关键． 9. 已知点A的坐标为，点A关于x轴的对称点落在一次函数的图象上，则a的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点和点关于轴对称，可求出点的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于 的方程，解之即可得出结论． 【详解】解：点和点关于轴对称， 点的坐标为． 又点在直线上， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及关于轴、轴对称的点的坐标，解题的关键是牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式． 10. 甲、乙两人沿同一条路从A地出发，去往100千米外的B地，甲、乙两人离A地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系如图所示，以下说法正确的是（　　） A. 甲的速度是60km/h B. 乙的速度是30km/h C. 甲乙同时到达B地 D. 甲出发两小时后两人第一次相遇 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象，有效的获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可得： A、甲的速度是，选项正确，符合题意； B、乙的速度为：60÷3=20（km/h），选项错误，不符合题意； C、甲先到达B地，选项错误，不符合题意； D、甲出发小时后两人第一次相遇，选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查函数的图象．通过图象有效的获取信息，是解题的关键． 11. 如果，那么下面各式：其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次根式的有意义的条件及乘除法则进行化简再进行一一判断得出答案． 【详解】解：∵a+b＜0，ab＞0， ∴a，b同为负数， ∴无意义，故①错误； ，故②正确； ，故③正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除及有意义的条件，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 12. 如图所示，矩形ABCD的面积为10cm2，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2；同样以AB、AO2为邻边作平行四边形ABC2O2，……依此类推，则平行四边形ABC5O5的面积为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形对角线互相平分的性质可知O是AC与DB的中点，则平行四边形的ABC1O1的高为矩形的高的一半，底和矩形边长相等，则平行四边形的ABC1O1的面积=S矩形ABCD，ABC２O２的面积=平行四边形的ABC1O1的面积，即，ABC２O２的面积=S矩形ABCD，依次类推ABC5O5的面积为S矩形ABCD，即可确定答案. 【详解】 解：如图，O1C1，O2C2分别交BC于E1，E2 ∵矩形ABCD， ∴AO1=AC ∵平行四边形ABC1O1 ∴C1O1∥AB ∴BE1=BC 又∵矩形的长和平行四边形的底相等，高为BE1 ∴平行四边形ABC1O1=S矩形ABCD 同理: 平行四边形ABC2O2的面积是平行四边形的ABC1O1的面积的一半 ∴平行四边形ABC２O２的面积=S矩形ABCD 以此类推，可得ABC5O5的面积为S矩形ABCD=×10= 故选D. 【点睛】本题综合考查了矩形及平行四边形的性质，审清题意、找出面积之间的关系是解答本题的关键. 二、填空题（每题4分，共28分） 13. 计算：___________． 【答案】1 【解析】 【详解】解：． 14. 如图，正方形 的边长为4，点E在上，且，P是对角线上一动点，则周长的最小值为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了最短距离问题，涉及正方形性质、勾股定理、两点之间线段最短，连接，，先证明的最小值就是线段的长，利用勾股定理求出，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵四边形 是正方形， ∴A、C关于对称， ∴， ∴， 在中， ∵， ，， ∴． ∴， ∴的最小值为5， ∴周长的最小值为； 故答案为：6． 15. 直线y＝−2x＋m与直线y＝2x−1的交点在第四象限，则m的取值范围是____． 【答案】－1＜m＜1 【解析】 【分析】联立两直线解析式求出交点坐标，再根据交点在第四象限列出不等式组求解即可． 【详解】解：联立， 解得 ， ∵交点在第四象限， ∴， 解不等式①得，m＞－1， 解不等式②得，m＜1， ∴m的取值范围是－1＜m＜1， 故答案为：－1＜m＜1． 【点睛】本题考查了两直线相交的问题，解一元一次不等式组，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用． 16. 一组数据3，5，a，4，3的平均数是4，这组数据的方差为______． 【答案】0.8． 【解析】 【详解】试题分析：∵3，5，a，4，3的平均数是4，∴（3+5+a+4+3）÷5=4，解得：a=5， 则这组数据的方差S2= [（3﹣4）2+（5﹣4）2+（5﹣4）2+（4﹣4）2+（3﹣4）2]=0.8，故答案为0.8． 考点：1．方差；2．算术平均数． 17. 如图，正方形 的边长为，点 ，分别为边、上一点，将正方形分别沿，折叠，点的对应点 恰好落在上，点 的对应点恰好落在上，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设，相交于点 ，根据折叠的性质得到，，，，进而得出，，同理得出，，然后求出，根据求出阴影部分的面积． 【详解】解：设，相交于点 ， 四边形 为正方形， ，， ， 由折叠得，，，，， 设，则， 在中，，即， 解得，则，， 同理可得，， ， ， ， ， 在中，，即， 解得， ， ． 18. 一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点，使 为等腰三角形，则这样的点C最多有_______个 【答案】4 【解析】 【分析】先确定A、B两点，再分别以为底、腰推断满足条件的三角形的C点的位置即可． 【详解】解：对于一次函数，令 ，得；令，得， 故知函数与x轴交点为与y轴交点为，且． 如图所示． 要在x轴上取一点，使 为等腰三角形，则： （1）如下图所示．当以线段为底时，作线段的垂直平分线，交x轴于，则必为等腰三角形； （2）如下图所示．当以线段为腰时，在的延长线上截取长度为5的线段，交x轴于，则必为等腰三角形； （3）如下图所示．当以线段为腰时，在的延长线上找到一点，使长度为5的线段，交x轴于，则必为等腰三角形； （4）如下图所示．当以线段为腰时，在x轴正半轴上找到A点的对称点，使线段，则必为等腰三角形； 综上所述，符合条件的C点最多能找到4个． 19. 如图，，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为______． 【答案】（0，） 【解析】 【分析】先根据题意得出OA=6，OC=2，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意可知：AC=AB， ∵A（6，0），C（-2，0） ∴OA=6，OC=2， ∴AC=AB=8， 在Rt△OAB中，， ∴B(0，)． 故答案为：（0，）． 【点睛】本题考查勾股定理、坐标与图形、熟练掌握勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 20. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】根据负整指数幂，二次根式，零指数幂以及绝对值的性质求解即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了实数的有关运算，涉及了二次根式，零指数幂，负整指数幂以及绝对值的性质，解题的关键是掌握相关运算法则． 21. 如图，在矩形 中，点O为坐标原点，点B的坐标为，点A，C在坐标轴上，点P在 边上，直线，直线． （1）求直线与x轴的交点坐标T，直线与的交点坐标Q和与x轴的交点坐标G； （2）判定四边形的形状并求它的面积． 【答案】（1）T的坐标为，Q的坐标为，G的坐标为； （2）四边形是平行四边形，面积为9． 【解析】 【分析】（1）分别令，，即，分别解方程求得横坐标即可得交点坐标； （2）根据平行四边形的判定，结合求得的点的坐标及已知条件可证明四边形是平行四边形，进而可求得面积. 【小问1详解】 解：直线：当时，， 解得， 则直线与x轴的交点T的坐标为； 直线：当时，， 解得， 则直线与的交点Q的坐标为， 当时，，解得， 则直线与x轴的交点G的坐标为； 【小问2详解】 解：直线：当 时，， ∴， 如(1)中的图形， 直线与直线的k相同，都是2， ， ，， ,， ， 又， 四边形是平行四边形， 且平行四边形的面积． 22. 在 与中，，， 、相交于点 ，过点作交 的延长线于点 ，过点 作交的延长线于点，，相交于点 ． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，求证：四边形是正方形． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵在 和中， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）证明：∵，， ∴ 是等腰直角三角形， ∴， 据（1）可知， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）先由两组对边平行证得平行四边形，再用证两个直角三角形全等，推出一组邻边相等，得平行四边形为菱形； （2）由得等腰直角三角形，然后根据全等三角形得，进而算出，证得四边形是正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表： 根据图表提供的信息，回答下列下列问题： （1）样本中，男生身高的众数在 组，中位数在 组； （2）样本中，女生身高在E组的人数有 人； （3）已知该校共有男生400人，女生380人，请估计身高在 之间的学生约有多少人？ 【答案】（1）B；C （2）2 （3）332 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）用女生总人数乘以E组所占百分比即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：从直方图可知，样本中，男生身高最多的是12人，是B组，则男生身高的众数在B组 ； 中位数是40人中处在中间的是第20和21人身高的平均数，而第20和21人身高的数据都在C组，故中位数在C 组． 【小问2详解】 从扇形统计图可知，样本中，女生身高在E组人数的频率是， ∵样本中，男生、女生人数相同， ∴女生人数为（人） ∴女生身高在E组的人数有（人） 【小问3详解】 解：∵样本中，男生身高身高在 之间的学生有18人，女生身高在 之间的学生占， ∴估计该校身高在 之间的学生约有： （人）． 24. 某公司计划购买A、B两种计算器共100个，要求A种计算器数量不低于B种的，且不高于B种的．已知A、B两种计算器的单价分别是150元/个、100元/个，设购买A种计算器x个． （1）求计划购买这两种计算器所需费用y（元）与x的函数关系式； （2）问该公司按计划购买者两种计算器有多少种方案？ （3）由于市场行情波动，实际购买时，A种计算器单价下调了3m（m＞0）元/个，同时B种计算器单价上调了2m元/个，此时购买这两种计算器所需最少费用为12150元，求m的值． 【答案】（1）y＝50x+10000；（2）购买两种计算器有6种方案；（2）m＝11.5时，购买这两种计算器所需最少费用为12150元． 【解析】 【分析】（1）根据单价乘以数量等于总价，表示出购买A、B两种计算器的总价，然后将其相加就是总共所需要的费用； （2）根据题目条件A种计算器数量不低于B种的，且不高于B种的，可以构建不等式组，接出不等式组就可以求出x的取值范围，从而得到购买方案； （3）根据题目条件，构建购买这两种计算器所需最少费用为12150元的方程，求出m即可． 【详解】（1）由题得： y＝150x+100（100﹣x）＝50x+10000； （2）由A种计算器数量不低于B种的，且不高于B种的得： ，解得：20≤x≤25， 则两种计算器得购买方案有： 方案一：A种计算器20个，B种计算器80个， 方案二：A种计算器21个，B种计算器79个， 方案三：A种计算器22个，B种计算器78个， 方案四：A种计算器23个，B种计算器77个， 方案五：A种计算器24个，B种计算器76个， 方案六：A种计算器25个，B种计算器75个， 综上：购买两种计算器有6种方案； （3）（150﹣3m）x+（100+2m）（100﹣x）＝12150， 150x﹣3mx+10000﹣100x+200m﹣2mx＝12150， （50﹣5m）x＝2150﹣200m， 当x＝20时，花费最少， 则20（50﹣5m）＝2150﹣200m， 解得m＝11.5， 则m＝11.5时，购买这两种计算器所需最少费用为12150元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题目的条件列出函数解析式并准确找到自变量的取值范围． 25. 如图所示，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，8），过点B分别作BA⊥y轴，BC⊥x轴，得到一个长方形OABC，D为y轴上的一点，将长方形OABC沿着直线DM折叠，使得点A与点C重合，点B落在点F处，直线DM交BC于点E． （1）直接写出点D的坐标　　； （2）若点P为x轴上一点，是否存在点P使△PDE的周长最小？若存在，请求出△PDE的最小周长；若不存在，请说明理由． （3）在（2）的条件下，若Q点是线段DE上一点（不含端点），连接PQ．有一动点H从P点出发，沿线段PQ以每秒1个单位的速度运动到点Q，再沿着线段QE以每秒个单位长度的速度运动到点E后停止．请直接写出点H在整个运动过程中所用的最少时间t，以及此时点Q的坐标． 【答案】（1）D（0，3）；（2）存在，6；（3）5秒，Q（，） 【解析】 【分析】（1）设D（0，m），且m＞0，运用矩形性质和折叠性质可得：OD＝m，OA＝8，CD＝8﹣m，再利用勾股定理建立方程求解即可； （2）如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E，交x轴于点P，则点P即为所求，此时△PDE的周长最小，运用勾股定理可得CE＝5，BE＝3，作EG⊥OA，在Rt△DEG中，可得DE＝，在Rt△D′EG中，可得，即可求出答案； （3）运用待定系数法求得直线D′E的解析式为y＝2x﹣3，进而求得P（，0），过点E作EG⊥y轴于点G，过点Q、P分别作y轴的平行线，分别交EG于点H、H′，H′P交DE于点Q′，利用待定系数法可得直线DE的解析式为y＝x+3，设Q（t，t+3），则H（t，5），再运用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：（1）设D（0，m），且m＞0， ∴OD＝m， ∵四边形OABC是矩形， ∴OA＝BC＝8，AB＝OC＝4，∠AOC＝90°， ∵将长方形OABC沿着直线DM折叠，使得点A与点C重合， ∴CD＝AD＝OA﹣OD＝8﹣m， 在Rt△CDO中，OD2+OC2＝CD2， ∴m2+42＝（8﹣m）2， 解得：m＝3， ∴点D的坐标为（0，3）； （2）存在． 如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E，交x轴于点P，则点P即为所求， 此时△PDE的周长最小， 在Rt△CEF中，BE＝EF＝BC﹣CE，EF2+CF2＝CE2，BC＝8，CF＝4， ∴CE＝5，BE＝3， 作EG⊥OA， ∵OD＝AG＝BE＝3，OA＝8， ∴DG＝2， 在Rt△DEG中，EG2+DG2＝DE2，EG＝4， ∴DE＝， 在Rt△D′EG中，EG2+D′G2＝D′E2，EG＝4，D′G＝8， ∴D′E＝， ∴△PDE周长的最小值为DE+D′E＝； （3）由（2）得，E（4，5），D′（0，﹣3）， 设直线D′E的解析式为y＝kx+b， 则， 解得：， ∴直线D′E的解析式为y＝2x﹣3， 令y＝0，得2x﹣3＝0， 解得：x＝， ∴P（，0）， 过点E作EG⊥y轴于点G，过点Q、P分别作y轴的平行线，分别交EG于点H、H′，H′P交DE于点Q′， 设直线DE的解析式为y＝k′x+b′， 则， 解得：， ∴直线DE的解析式为y＝x+3， 设Q（t，t+3），则H（t，5）， ∴QH＝5﹣（t+3）＝2﹣t，EH＝4﹣t， 由勾股定理得：DE＝＝（2﹣t）＝QH， ∴点H在整个运动过程中所用时间＝＝PQ+QH， 当P、Q、H在一条直线上时，PQ+QH最小，即为PH′＝5，点Q坐标（，）， 故：点H在整个运动过程中所用最少时间为5秒，此时点Q的坐标（，）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数的性质，线段的动点问题，以及最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行分析． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $