第11讲 一元一次不等式及其解法（暑假预习讲义）新八年级数学新教材浙教版

第11讲 一元一次不等式及其解法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1一元一次不等式的定义 题型2求一元一次不等式的解集 题型3求一元一次不等式的整数解 题型4求一元一次不等式解的最值 题型5解lxl>a型的不等式 题型6列一元一次不等式 题型7用一元一次不等式解决实际问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一元一次不等式解集 解不等式 数轴表示解集 实际应用题 1.两边都是整式的不等式;会区分一元一次不等式与其他不等式。 2.类比一元一次方程解法，掌握解一元一次不等式完整五步(去分母一去括号一移项一合并同类项一系数化为1)，重点牢记系数化为1时乘除负数要变号。 3.熟练将一元一次不等式的解集规范画在数轴上，实现不等式、解集、数轴三者互化，区分空心圈与实心点 4.会解含括号、分母、小数系数的复杂一元一次不等式，能检验求解结果正误;掌握含参数不等式，根据解集反向求参数取值范围。 5.能从实际问题中提取不等关系，列一元一次不等式解决分配、方案选择、最值类应用题，建立数学不等模型 学习重点： (1)掌握一元一次不等式定义，熟练完整五步解题步骤，牢牢抓住系数化为1时乘负变号核心规则，规范完成各类一元一次不等式求解。 (2)规范在数轴上表示不等式解集，能根据数轴图像写出对应不等式，建立数形结合思想。(3)掌握一元一次不等式实际应用题解题流程:审题找不等关系一设未知数一列不等式一求解一结合实际取值作急。 学习难点： (1)去分母、系数化为1步骤中，两边同乘/除以负数时，容易忘记翻转不等号，与一元一次方程解法混淆。(2)实际应用题文字转化:捕捉“至少、至多、不超过、不少于、不足”等关键词，准确列出不等式，结合现实限制取整数解。 (3)含参数一元一次不等式:已知解集反向推导参数范围，需要分类讨论未知数系数正负。 (4)多限制条件综合题型，求解后结合生活实际筛选符合题意的答案。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元一次不等式的定义 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 注意：一元一次不等式满足的条件： ①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1 即时即练 1．下列各式中，是一元一次不等式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据一元一次不等式的定义判断各选项即可，熟知一元一次不等式需满足三个条件：是不等式，只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边为整式． 【详解】解：选项A：是代数式，不是不等式，不符合要求； 选项B：是等式，属于一元一次方程，不是不等式，不符合要求； 选项C：含有和两个未知数，不是一元一次不等式，不符合要求； 选项D：是不等式，只含一个未知数，的次数为1，两边均为整式，符合一元一次不等式的定义． 2．下列式子中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义逐一判断选项，一元一次不等式需满足：只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式． 【详解】解：∵A选项满足所有三个条件，是一元一次不等式； B选项中未知数次数为2，不满足条件； C选项含有两个未知数，不满足条件； D选项中是分式，不等号左边不是整式，不满足条件． 知识点02 解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。 （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 即时即练 1．解不等式：． 【答案】 【详解】解： ． 2．解不等式：，并在如图所示的数轴上表示解集． 【答案】， 【详解】解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得 在数轴上表示解集如图所示： 知识点03 一元一次不等式的应用 解有关应用题步骤如下： （1）审题：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，抓住题设中的关键字眼，如“大于”、“不小于”等； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出不等关系； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列不等式的解集； （6）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。 即时即练 1．辽宁某校为丰富校园社团文化生活，提升物理社团实践探究能力，该校为社团活动与实验室建设升级采购器材，计划购进甲、乙两种型号的变阻器．已知购买甲种30个、乙种40个共需2300元，且乙种变阻器的单价比甲种贵5元． (1)求甲、乙两种变阻器的单价各是多少元 (2)该校物理社团计划再次采购这两种变阻器共100个，若总费用不超过3200元，此次至少需购买多少个甲种变阻器？ 【答案】(1)甲种变阻器的单价为30元，乙种变阻器的单价为35元 (2)此次至少需购买60个甲种变阻器 【分析】（1）根据二元一次方程组的购买问题关系：总价格=单价×数量，分别设甲、乙两种变阻器的单价为x元，y元，再根据题意列方程组求解即可； （2）根据题意，设购买a个甲种变阻器，根据题意列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲种变阻器的单价为x元，乙种变阻器的单价为y元， 则， 解得， ∴甲种变阻器的单价为30元，乙种变阻器的单价为35元； （2）解：设购买a个甲种变阻器，则购买个乙种变阻器 由题意，得， 解得， ∴此次至少需购买60个甲种变阻器． 题型1 一元一次不等式的定义, 【例1】下列各式中，是一元一次不等式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元一次不等式需满足：是不等式，只含一个未知数，未知数的次数为1，且不等号两边都是整式． 【详解】解：∵选项A中未知数的次数为，不符合定义，∴ A错误； ∵选项B中是代数式，不是不等式，不符合定义，∴ B错误； ∵选项C中满足所有条件：是不等式，只含一个未知数，的次数为，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，∴ C正确； ∵选项D中不含未知数，不符合定义． 【变式1-1】下列各式中，为一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据一元一次不等式的定义判断各选项即可，一元一次不等式需满足：是不等式，只含有一个未知数，未知数的次数为1，左右两边为整式． 【详解】解：A选项是等式，属于一元一次方程，不是不等式，不符合要求； B选项不含未知数，不符合要求； C选项是整式，不是不等式，不符合要求； D选项是不等式，只含一个未知数，的次数为，左右两边均为整式，符合一元一次不等式的定义． 【变式1-2】若是关于的一元一次不等式，则m的值不可以为（     ） A．1 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的系数不能为0，据此得到的取值要求，即可选出答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴的系数不能为，即， 解得：， 因此的值不可以为． 【变式1-3】下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元一次不等式需要满足：是不等式，只含一个未知数，且未知数的最高次数为1，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、不含未知数，不符合要求； B、含有两个未知数，且的最高次数为2，不符合要求； C、是不等式，只含一个未知数，且的最高次数为1，符合要求； D、是代数式，不是不等式，不符合要求． 题型2 求一元一次不等式的解集 【例2】解不等式（要求不等式解集在数轴上表示出来）． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 画数轴略 （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 画数轴略 【变式2-1】解不等式：，并将解集在如图所示的数轴上表示出来． 【答案】， 【分析】根据不等式的性质解不等式，并在数轴上表示不等式的解集即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，合并同类项得， 系数化为，得， 解集在数轴上表示略． 【变式2-2】解不等式，并在数轴上表示解集： (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【详解】（1）解： 在数轴上表示： （2）解： 在数轴上表示： 【变式2-3】下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得，第三步 x系数化成1，得，第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步的依据是___________________； (2)在解答过程中，从第________步开始出错，具体的错误原因是_________________________； (3)原不等式的正确解集为________． 【答案】(1)不等式的基本性质2 (2)二；移项时未改变符号 (3) 【分析】（）根据不等式基本性质即可求解； （）根据不等式基本性质即可求解； （）根据不等式解法即可求解． 【详解】（1）解：第一步去分母的依据是不等式的基本性质; （2）解：在解答过程中，从第二步开始出错，错误原因是移项时未改变符号； （3）解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 的系数化成，得， 故原不等式的正确解集为． 题型3 求一元一次不等式的整数解 【例3】不等式的正整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先按一元一次不等式的解法求解不等式，得到x的取值范围，再找出范围内的正整数，即可得到正整数解的个数． 【详解】解：∵， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∴不等式的正整数解为1，2，3，共3个． 【变式3-1】不等式的负整数解的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】根据题意直接求出负整数解即可． 【详解】解：不等式的负整数解有，，共2个． 【变式3-2】若关于x的不等式的正整数解只有1和2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的解求参数的取值范围等知识；解不等式得，根据解集只有正整数解1与2，即可求得的取值范围． 【详解】解：解，得：， ∵关于x的不等式的正整数解只有1和2， ∴， 解得：， 故选：B． 【变式3-3】对于任意实数，，定义一种新运算，其运算法则为，例如： ，请根据上述定义解决问题：求不等式的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，理解新运算法则是解题的关键． 根据新运算法则可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， 该不等式的正整数解为1，2共2个， 故选：B． 题型4 求一元一次不等式解的最值 【例4】已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】本题先根据已知条件用a表示b，结合a、b的非负性求出a的取值范围，，利用不等式的性质求最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 将代入得， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值，最小值为． 【变式4-1】已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，将问题转化为解不等式是解题的关键． 由条件可得，因此求最大值等价于求的最大值，结合和 约束，得到，解不等式可得，从而求出最大值． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∴ 。 故求的最大值即求的最大值， 由，得， 代入，得， 即 ， 解得 ∴ 的最大值为 ， 此时， 故最大值为， 故选：B． 【变式4-2】已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是6． 故选：A． 【变式4-3】若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出不等式的解集，然后根据的解都是不等式的解进行求解即可． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式的解都是不等式的解， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，正确求出不等式的解集是解题的关键． 题型5 解 Ixl>a 型的不等式 【例5】【阅读材料】 我们知道的几何意义是在数轴上的数对应的点与原点的距离即．也就是说表示在数轴上的数与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上的数与数对应的点之间的距离． 例1：若则表示到原点距离小于3的数；从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数它们到原点距离小于3，所以的解集是； 若则表示到原点距离大于3的数；从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数它们到原点距离大于3，所以的解集是或． 例2：那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点；观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点）这样我们就可以得到不等式的解集为：； 【解决问题】 (1)不等式的解集为_________；不等式的解集为________． (2)求不等式的解集； (3)求不等式的解集； (4)不论取所有的数都有恒成立求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2)或 (3) (4) 【分析】（1）根据绝对值的几何意义即可求解； （2）根据表示数轴上点与点之间的距离可以将绝对值不等式问题转化为数轴上的距离问题求解； （3）对于形如的不等式：可以理解为数轴上表示的点到表示的点和表示的点的距离之和与的大小关系来求解； （4）首先将不等式变形为要使此不等式对任意实数恒成立则不等式左边的最小值必须大于右边的常数从而可以得出关于的不等式，求出的范围即可． 【详解】（1）解：不等式的几何意义是：数轴上点到原点的距离小于或等于，从原点向左、向右各延伸个单位得到点和点，因此满足条件的点在和之间（包含端点）所以解集为； 不等式的几何意义是：数轴上点到原点的距离大于，从原点向左、向右各延伸个单位得到点和点距离大于的点在的左侧或的右侧， 所以解集为或． （2）解：不等式的几何意义是：数轴上点到点的距离大于， 以点为中心向左移动个单位到达，向右移动个单位到达， 点到点的距离大于意味着点在点的左边或者在点的右边， 所以不等式的解集为或． （3）解：不等式的几何意义是：数轴上点到点的距离与到点的距离之和小于， 令， 当时， ， 所以， 当时，， 方程无解， 当时， ， 所以， 所以不等式的解集为， （4）解：将不等式变形为， 要使此不等式对任意实数恒成立则不等式左边的最小值必须大于右边的常数， 表达式的几何意义是数轴上点到点和点的距离之和， 所以当点位于点和点之间时（即）该距离之和取得最小值， 最小值为点和点之间的距离，即， 所以的最小值为， 所以， 解得， 所以的取值范围是． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，关键是理解和运用绝对值的几何意义，将代数问题转化为几何问题． 【变式5-1】解不等式： 【答案】或 【分析】本题主要考查了解带绝对值的不等式，分，和三种情况，分别去绝对值，再解一元一次不等式即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴，即，故此种情况不成立； 当时， ∵， ∴， 解得； 综上所述，或． 【变式5-2】先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． (1)的解集为______； (2)解不等式； (3)解不等式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了绝对值的意义，不等式组的解集，加减消元法解二元一次方程组等知识．理解题意是解题的关键． （1）根据题意求解集即可； （2）根据题意解不等式即可； （3）根据题意解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意知，的解集为， 故答案为：； （2）解：由题意得不等式可化为， 解得； （3）解：不等式可化为或， 解得或． 【变式5-3】先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、解不等式等知识点，从材料中得到解题方法是解题的关键． （1）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （2）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：， ∴或， ∴或． （3）解：在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值． ∵在数轴上1和对应的点的距离为3， ∴满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为． 故答案为． 题型6 列一元一次不等式 【例6】已知的倍与8的和小于等于，用不等式表示这种关系为________． 【答案】 【详解】解：的倍与8的和小于等于，用不等式表示为． 【变式6-1】用不等式表示“的3倍与2的差不小于5”：______． 【答案】 【分析】理解题中关键字“倍”“差”“不小于”的含义，找准不等关系是解题的关键，根据运算顺序和不等关系即可列出不等式． 【详解】解：由题意得，的倍为，与的差为，“不小于”表示大于等于， 因此列出不等式为． 【变式6-2】根据“的倍减去不大于”，可列不等式：___________ ． 【答案】 【分析】先明确“的倍减去”的数学表达式，再根据“不大于”对应的不等号，列出不等式． 【详解】解：根据题意，不等式可表示为． 【变式6-3】某校举行定点投篮趣味赛，在较远位置投中球得5分（称“五分球”），在较近位置投中球得3分（称“三分球”），未投中得0分．小敏同学共投篮次，其中次未投中，最终得分不低于70分．若设小敏同学投中了个五分球，则可列出的不等式为________． 【答案】 【分析】由题意知，小敏投中了个三分球，根据得分不低于70分即可列出不等式． 【详解】解：小敏同学投中了个五分球，投中了个三分球， 由题意得：． 题型7 用一元一次不等式解决实际问题 【例7】某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人进行快速分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且总费用不超过1000万元，则最多能买A型机器人多少台？ 【答案】(1)A型智能机器人单价为万元，B型智能机器人单价为万元 (2)台 【分析】（1）设A型智能机器人单价为万元，B型智能机器人单价为万元． 根据题干给出的两种购买方案的总费用列出二元一次方程组，求解即可得到单价． （2）设购买A型智能机器人台，则购买B型智能机器人台．根据总费用不超过1000万元的限制列出一元一次不等式，求解后得到最大购买数量． 【详解】（1）解：设A型智能机器人单价为万元，B型智能机器人单价为万元． 由题意得 解得 答：A型智能机器人单价为（万元），B型智能机器人单价为（万元）． （2）解：设购买A型智能机器人台，则购买B型智能机器人台． 由题意得 化简得 解得 答：最多能买A型智能机器人台． 【变式7-1】吃粽子是端午节的习俗．端午节前三天，某糕点店售出肉粽个，甜粽 个，销售额 元，已知肉粽的销售单价比甜粽的销售单价高元． (1)求肉粽和甜粽的销售单价分别是多少元； (2)端午节假期即将结束时，该糕点店对粽子的售价进行了调整，将每个肉粽按原销售单价的八折销售，每个甜粽在原销售单价基础上降价元销售．若该商家在价格调整后销售两种粽子共个，销售额不低于 元，求该商家在价格调整后至少销售肉粽多少个． 【答案】(1)肉粽销售单价为8元，甜粽销售单价为5元； (2)该商家价格调整后至少销售肉粽200个． 【分析】（1）设甜粽销售单价为元，肉粽销售单价为元，根据题意列一元一次方程，求解即可； （2）设调整后销售肉粽个，则销售甜粽个，根据题意列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设甜粽销售单价为元，肉粽销售单价为元， 由题意得， 解得，， 答：肉粽销售单价为8元，甜粽销售单价为5元； （2）解：设调整后销售肉粽个，则销售甜粽个， 由题意得， 解得， 答：该商家价格调整后至少销售肉粽200个． 【变式7-2】驻马店市第十中学校准备为朗诵比赛购买奖品，已知在乐山商场购买3件甲种奖品和2件乙种奖品共需120元，购买5件甲种奖品和4件乙种奖品共需210元． (1)求甲，乙两种奖品的单价． (2)该学校计划购买甲，乙两种奖品共70件，且此次购买奖品的费用不超过1500元．若乐山商场开展促销活动，所有商品一律八折销售，则该学校在乐山商场最多能购买多少件甲种奖品？ 【答案】(1)甲、乙两种奖品的单价分别为30元、15元； (2)该学校在乐山商场最多能购买55件甲种奖品． 【分析】（1）设甲，乙两种奖品的单价分别为x元，y元，在乐山商场购买3件甲种奖品和2件乙种奖品共需120元，购买5件甲种奖品和4件乙种奖品共需210元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设该学校在乐山商场能购买a件甲种奖品，此次购买奖品的费用不超过1500元．据此列出不等式并解不等式即可． 【详解】（1）解：设甲，乙两种奖品的单价分别为x元，y元，则 解得 所以甲，乙两种奖品的单价分别为30元，15元； （2）解：设该学校在乐山商场能购买a件甲种奖品， 则 解得 所以该学校在乐山商场最多能购买55件甲种奖品． 【变式7-3】某文具店购进传统文化书签与古风笔记本两种文创用品，已知购进2套书签和3本笔记本共花费85元，购进3套书签和2本笔记本共花费80元． (1)求一套书签、一本笔记本的进价分别是多少元； (2)若该店计划一次性购进两种文创共100件，且总成本不超过1500元，求最多购进笔记本多少本． 【答案】(1)书签14元，笔记本19元 (2)20本 【分析】（1）设书签x元，笔记本y元，根据购进2套书签和3本笔记本共花费85元，购进3套书签和2本笔记本共花费80元列方程组求解即可； （2）设购进笔记本m本，根据总成本不超过1500元列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设书签x元，笔记本y元， ， 解得， 答：书签14元，笔记本19元； （2）解：设购进笔记本m本， ， 解得， ∴m最大整数为20， 答：最多购进20本． 1．在以下各数中，是不等式的解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】比较各选项的x值和的大小，判断是否满足即可得到结果． 【详解】解：A选项，∵，∴满足不等式，是该不等式的解，故A符合题意； B选项，，不满足，故B不符合题意； C选项，，不满足，故C不符合题意； D选项，，不满足，故D不符合题意． 2．已知天平右盘中每个砝码的质量均为3g，则物体的质量（单位：g）的取值范围在数轴上可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据天平的倾斜方向列出不等式组，求出x的取值范围，再在数轴上表示出来即可． 【详解】由左图可知，物体M的质量大于1个砝码的质量， ， 由右图可知，物体M的质量小于3个砝码的质量， ，即， ∴物体M的质量x的取值范围是， 在数轴上表示时，3和9处应为空心圆圈，且取两点之间的部分，观察选项，只有A选项符合． 3．下列说法正确的是（） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【答案】A 【分析】先解出不等式的解集，再结合定义逐项判断即可． 【详解】解：首先解不等式，得，即， 对选项A，将代入不等式，得，不等式成立， ∴是该不等式的一个解，A正确； 对选项B，解集是不等式所有解的集合，只是一个解不是解集， ∴B错误； 对选项C，该不等式的解集为，不是， ∴C错误； 对选项D，该不等式的解集为，不是， ∴D错误． 4．如图是小颖同学在解不等式的部分步骤，则下列说法正确的是（     ） 解：去分母，得，    第一步 去括号，得，            第二步 移项，得，              第三步 合并同类项，得，                  第四步 A．第一步的依据是不等式的基本性质一 B．第二步的依据是不等式的基本性质二 C．第三步的依据是不等式的基本性质一 D．第四步的依据是不等式的基本性质三 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式各步骤的依据，需结合不等式的基本性质逐一判断选项． 【详解】解：先明确不等式的基本性质： 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号方向不变； 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变； 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。 逐一判断： ∵ 第一步去分母，给不等式两边同乘6，依据是不等式的基本性质2， ∴A错误； ∵ 第二步去括号，依据是去括号法则（乘法分配律），不是不等式的基本性质， ∴B错误． ∵ 第三步移项，本质是给不等式两边同时减去相同的项，依据是不等式的基本性质1， ∴C正确； ∵ 第四步合并同类项，依据是合并同类项法则，不是不等式的基本性质3， ∴D错误． 5．《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解，．类似地，方程的正整数解的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将方程变形，用表示，再根据均为正整数的条件，列举所有符合条件的解，即可得到正整数解的个数． 【详解】解：∵ 方程为，且为正整数， ∴ 变形得， ∵是正整数， ∴， 解得， 又∵是正整数， ∴的取值为，对应得到： 当时，； 当时，； 当时，，均满足条件， 因此方程共有个正整数解． 6．不等式的负整数解为__________． 【答案】 【分析】求出一元一次不等式的解集，再求出整数解即可． 【详解】解：， ， 合并同类项得， 系数化为得， 不等式的负整数解为． 7．新定义运算：，若，则x的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ， ， ． 8．关于x的方程的解为正实数，则k的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先解关于的一元一次方程，得到的表达式，再根据方程的解为正实数得到，列出不等式求解即可. 【详解】解：， 移项可得：， 合并同类项得：， 系数化为1得： ∵方程的解为正实数， ∴， ∴， 解得. 9．某种商品的进价为元，标价元销售，商店准备打折销售，但要保持利润率不低于，设打折，则满足的不等式为____． 【答案】 【分析】设商品打折，根据利润率不低于，列出对应不等式即可． 【详解】解：设该商品打折， 由题意得： ． 10．一部电梯的额定限载量为，甲、乙两人用电梯把一批货物从一楼搬到六楼．已知甲、乙两人的体重分别为和，货物每箱质量为，若两人一起乘梯搬货物，则一次最多搬运________箱货物． 【答案】 【分析】根据电梯额定限载量得到总重量的不等关系，求解后取最大正整数即可得到结果． 【详解】解：设每次搬运箱货物，则总重量为， 根据题意，列不等式得， 解不等式得， 为正整数， 的最大值为，即两人一起乘梯搬货物，则一次最多搬运28箱货物． 11．解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 12．认真阅读下面的材料，完成有关问题： 材料：在学习绝对值时，一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． (1)点在数轴上分别表示有理数，那么点到点的距离为_____，点到点的距离与点到点的距离之和可表示为_____（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：当满足_____时，有最小值，最小值为_____． (3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式； 由图1可得出：绝对值不等式的解集是或； 由图2可得出：绝对值不等式的解集是；则，不等式的解集是_____； ②利用数轴直接写出不等式的解集是_____． 【答案】(1)3， (2)，最小值为1 (3)①或；②或 【分析】（1）利用绝对值的意义计算和表示相应距离即可； （2）分析出的意义，结合数轴找到合适的值即可； （3）①仿照所给例即可求解；②分三种情况，并结合数轴求解． 【详解】（1）解：点B到点C的距离为； 点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为； （2）解：表示数轴上x与3和x与2的距离之和，    故当时，取最小值，且最小值为； （3）解：①的解集为或； ②当时，， ∴； 当时，， ∴x无解； 当时，， ∴； 综上所述：或． 13．三晋黄土与千度窑火的千年契阔，淬炼出国家级非物质文化遗产——山西琉璃这门东方古法技艺．某文创店主从厂家购买了个“琉璃小马”摆件和个“琉璃笔架”摆件共花费元；他的同伴购买了个“琉璃小马”摆件和个“琉璃笔架”摆件共花费元． (1)求“琉璃小马”摆件与“琉璃笔架”摆件的单价； (2)该店主发现这两种摆件都很畅销，他准备用元购入“琉璃小马”摆件与“琉璃笔架”摆件共个销售，他最多可以购入“琉璃小马”摆件多少个？ 【答案】(1)琉璃小马摆件的单价为元，琉璃笔架摆件的单价为元 (2)个 【分析】（1）设琉璃小马摆件的单价为元，琉璃笔架摆件的单价为元，根据购买了个“琉璃小马”摆件和个“琉璃笔架”摆件共花费元；购买了个“琉璃小马”摆件和个“琉璃笔架”摆件共花费元列方程组求解即可； （2）设他可以购买琉璃小马摆件个，根据元购入“琉璃小马”摆件与“琉璃笔架”摆件共个销售列不等式求解即可. 【详解】（1）解：设琉璃小马摆件的单价为元，琉璃笔架摆件的单价为元， 根据题意，得 解得：， 答：琉璃小马摆件的单价为元，琉璃笔架摆件的单价为元． （2）解：设他可以购买琉璃小马摆件个， 根据题意，得 ， 解得， 为正整数， ∴的最大值为， 答：他最多可以购买琉璃小马摆件个． 14．年，江西明确提出要加快江西农产品电商平台融合发展，推动县域直播电商发展．一农企积极响应政策，在电商平台主推两款特色农产品：赣南脐橙和南丰蜜橘．经市场调研得知，一箱赣南脐橙比一箱南丰蜜橘贵元，某日线上订单显示卖出箱赣南脐橙和箱南丰蜜橘，总销售额为元． (1)求一箱赣南脐橙和一箱南丰蜜橘的售价各是多少元； (2)平台计划加大推广力度，要求后续单日订单总销售额不低于元，且赣南脐橙的销量为南丰蜜橘的倍，求南丰蜜橘至少需要卖出多少箱． 【答案】(1) 一箱赣南脐橙售价元，一箱南丰蜜橘售价元 (2) 南丰蜜橘至少需要卖出箱 【分析】（1）根据“单价差”和“总销售额”两个等量关系设未知数列方程求解单价； （2）根据总销售额的要求，设未知数列不等式求解，结合箱数为正整数得到最小销量． 【详解】（1）解：设一箱南丰蜜橘售价为元，一箱赣南脐橙售价为元， 根据题意可得，，解得； 答：一箱赣南脐橙售价元，一箱南丰蜜橘售价元； （2）解：设南丰蜜橘需要卖出箱，则赣南脐橙卖出箱， 根据题意得：， 整理得， 解得， 的最小值为． 答：南丰蜜橘至少需要卖出箱． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 一元一次不等式及其解法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1一元一次不等式的定义 题型2求一元一次不等式的解集 题型3求一元一次不等式的整数解 题型4求一元一次不等式解的最值 题型5解lxl>a型的不等式 题型6列一元一次不等式 题型7用一元一次不等式解决实际问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一元一次不等式解集 解不等式 数轴表示解集 实际应用题 1.两边都是整式的不等式;会区分一元一次不等式与其他不等式。 2.类比一元一次方程解法，掌握解一元一次不等式完整五步(去分母一去括号一移项一合并同类项一系数化为1)，重点牢记系数化为1时乘除负数要变号。 3.熟练将一元一次不等式的解集规范画在数轴上，实现不等式、解集、数轴三者互化，区分空心圈与实心点 4.会解含括号、分母、小数系数的复杂一元一次不等式，能检验求解结果正误;掌握含参数不等式，根据解集反向求参数取值范围。 5.能从实际问题中提取不等关系，列一元一次不等式解决分配、方案选择、最值类应用题，建立数学不等模型 学习重点： (1)掌握一元一次不等式定义，熟练完整五步解题步骤，牢牢抓住系数化为1时乘负变号核心规则，规范完成各类一元一次不等式求解。 (2)规范在数轴上表示不等式解集，能根据数轴图像写出对应不等式，建立数形结合思想。(3)掌握一元一次不等式实际应用题解题流程:审题找不等关系一设未知数一列不等式一求解一结合实际取值作急。 学习难点： (1)去分母、系数化为1步骤中，两边同乘/除以负数时，容易忘记翻转不等号，与一元一次方程解法混淆。(2)实际应用题文字转化:捕捉“至少、至多、不超过、不少于、不足”等关键词，准确列出不等式，结合现实限制取整数解。 (3)含参数一元一次不等式:已知解集反向推导参数范围，需要分类讨论未知数系数正负。 (4)多限制条件综合题型，求解后结合生活实际筛选符合题意的答案。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元一次不等式的定义 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 注意：一元一次不等式满足的条件： ①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1 即时即练 1．下列各式中，是一元一次不等式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列式子中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。 （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 即时即练 1．解不等式：． 2．解不等式：，并在如图所示的数轴上表示解集． 知识点03 一元一次不等式的应用 解有关应用题步骤如下： （1）审题：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，抓住题设中的关键字眼，如“大于”、“不小于”等； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出不等关系； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列不等式的解集； （6）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。 即时即练 1．辽宁某校为丰富校园社团文化生活，提升物理社团实践探究能力，该校为社团活动与实验室建设升级采购器材，计划购进甲、乙两种型号的变阻器．已知购买甲种30个、乙种40个共需2300元，且乙种变阻器的单价比甲种贵5元． (1)求甲、乙两种变阻器的单价各是多少元 (2)该校物理社团计划再次采购这两种变阻器共100个，若总费用不超过3200元，此次至少需购买多少个甲种变阻器？ 题型1 一元一次不等式的定义, 【例1】下列各式中，是一元一次不等式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各式中，为一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若是关于的一元一次不等式，则m的值不可以为（     ） A．1 B． C．2 D．0 【变式1-3】下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 题型2 求一元一次不等式的解集 【例2】解不等式（要求不等式解集在数轴上表示出来）． (1)； (2)． 【变式2-1】解不等式：，并将解集在如图所示的数轴上表示出来． 【变式2-2】解不等式，并在数轴上表示解集： (1)； (2)． 【变式2-3】下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得，第三步 x系数化成1，得，第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步的依据是___________________； (2)在解答过程中，从第________步开始出错，具体的错误原因是_________________________； (3)原不等式的正确解集为________． 题型3 求一元一次不等式的整数解 【例3】不等式的正整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-1】不等式的负整数解的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【变式3-2】若关于x的不等式的正整数解只有1和2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】对于任意实数，，定义一种新运算，其运算法则为，例如： ，请根据上述定义解决问题：求不等式的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型4 求一元一次不等式解的最值 【例4】已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D．1 【变式4-1】已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 【变式4-2】已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【变式4-3】若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 题型5 解 Ixl>a 型的不等式 【例5】【阅读材料】 我们知道的几何意义是在数轴上的数对应的点与原点的距离即．也就是说表示在数轴上的数与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上的数与数对应的点之间的距离． 例1：若则表示到原点距离小于3的数；从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数它们到原点距离小于3，所以的解集是； 若则表示到原点距离大于3的数；从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数它们到原点距离大于3，所以的解集是或． 例2：那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点；观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点）这样我们就可以得到不等式的解集为：； 【解决问题】 (1)不等式的解集为_________；不等式的解集为________． (2)求不等式的解集； (3)求不等式的解集； (4)不论取所有的数都有恒成立求的取值范围． 【变式5-1】解不等式： 【变式5-2】先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． (1)的解集为______； (2)解不等式； (3)解不等式． 【变式5-3】先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 题型6 列一元一次不等式 【例6】已知的倍与8的和小于等于，用不等式表示这种关系为________． 【变式6-1】用不等式表示“的3倍与2的差不小于5”：______． 【变式6-2】根据“的倍减去不大于”，可列不等式：___________ ． 【变式6-3】某校举行定点投篮趣味赛，在较远位置投中球得5分（称“五分球”），在较近位置投中球得3分（称“三分球”），未投中得0分．小敏同学共投篮次，其中次未投中，最终得分不低于70分．若设小敏同学投中了个五分球，则可列出的不等式为________． 题型7 用一元一次不等式解决实际问题 【例7】某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人进行快速分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且总费用不超过1000万元，则最多能买A型机器人多少台？ 【变式7-1】吃粽子是端午节的习俗．端午节前三天，某糕点店售出肉粽个，甜粽 个，销售额 元，已知肉粽的销售单价比甜粽的销售单价高元． (1)求肉粽和甜粽的销售单价分别是多少元； (2)端午节假期即将结束时，该糕点店对粽子的售价进行了调整，将每个肉粽按原销售单价的八折销售，每个甜粽在原销售单价基础上降价元销售．若该商家在价格调整后销售两种粽子共个，销售额不低于 元，求该商家在价格调整后至少销售肉粽多少个． 【变式7-2】驻马店市第十中学校准备为朗诵比赛购买奖品，已知在乐山商场购买3件甲种奖品和2件乙种奖品共需120元，购买5件甲种奖品和4件乙种奖品共需210元． (1)求甲，乙两种奖品的单价． (2)该学校计划购买甲，乙两种奖品共70件，且此次购买奖品的费用不超过1500元．若乐山商场开展促销活动，所有商品一律八折销售，则该学校在乐山商场最多能购买多少件甲种奖品？ 【变式7-3】某文具店购进传统文化书签与古风笔记本两种文创用品，已知购进2套书签和3本笔记本共花费85元，购进3套书签和2本笔记本共花费80元． (1)求一套书签、一本笔记本的进价分别是多少元； (2)若该店计划一次性购进两种文创共100件，且总成本不超过1500元，求最多购进笔记本多少本． 1．在以下各数中，是不等式的解的是（     ） A． B． C． D． 2．已知天平右盘中每个砝码的质量均为3g，则物体的质量（单位：g）的取值范围在数轴上可表示为（     ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 4．如图是小颖同学在解不等式的部分步骤，则下列说法正确的是（     ） 解：去分母，得，    第一步 去括号，得，            第二步 移项，得，              第三步 合并同类项，得，                  第四步 A．第一步的依据是不等式的基本性质一 B．第二步的依据是不等式的基本性质二 C．第三步的依据是不等式的基本性质一 D．第四步的依据是不等式的基本性质三 5．《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解，．类似地，方程的正整数解的个数是（     ） A． B． C． D． 6．不等式的负整数解为__________． 7．新定义运算：，若，则x的取值范围是_____． 8．关于x的方程的解为正实数，则k的取值范围是___________． 9．某种商品的进价为元，标价元销售，商店准备打折销售，但要保持利润率不低于，设打折，则满足的不等式为____． 10．一部电梯的额定限载量为，甲、乙两人用电梯把一批货物从一楼搬到六楼．已知甲、乙两人的体重分别为和，货物每箱质量为，若两人一起乘梯搬货物，则一次最多搬运________箱货物． 11．解下列不等式： (1)； (2)． 12．认真阅读下面的材料，完成有关问题： 材料：在学习绝对值时，一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． (1)点在数轴上分别表示有理数，那么点到点的距离为_____，点到点的距离与点到点的距离之和可表示为_____（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：当满足_____时，有最小值，最小值为_____． (3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式； 由图1可得出：绝对值不等式的解集是或； 由图2可得出：绝对值不等式的解集是；则，不等式的解集是_____； ②利用数轴直接写出不等式的解集是_____． 13．三晋黄土与千度窑火的千年契阔，淬炼出国家级非物质文化遗产——山西琉璃这门东方古法技艺．某文创店主从厂家购买了个“琉璃小马”摆件和个“琉璃笔架”摆件共花费元；他的同伴购买了个“琉璃小马”摆件和个“琉璃笔架”摆件共花费元． (1)求“琉璃小马”摆件与“琉璃笔架”摆件的单价； (2)该店主发现这两种摆件都很畅销，他准备用元购入“琉璃小马”摆件与“琉璃笔架”摆件共个销售，他最多可以购入“琉璃小马”摆件多少个？ 14．年，江西明确提出要加快江西农产品电商平台融合发展，推动县域直播电商发展．一农企积极响应政策，在电商平台主推两款特色农产品：赣南脐橙和南丰蜜橘．经市场调研得知，一箱赣南脐橙比一箱南丰蜜橘贵元，某日线上订单显示卖出箱赣南脐橙和箱南丰蜜橘，总销售额为元． (1)求一箱赣南脐橙和一箱南丰蜜橘的售价各是多少元； (2)平台计划加大推广力度，要求后续单日订单总销售额不低于元，且赣南脐橙的销量为南丰蜜橘的倍，求南丰蜜橘至少需要卖出多少箱． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $