第07讲 逆命题和逆定理（暑假预习讲义）新八年级数学新教材浙教版

第07讲 逆命题和逆定理 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 写出命题的逆命题 题型2 判断是否为互逆命题 题型3 互逆定理 题型4 线段垂直平分线的判定 题型5 角平分线的判定 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 逆命题 逆定理 线段垂直平分线判定 角平分线判定 互逆定理 1.学生能准确说出命题、逆命题、互逆命题、定理、逆定理、互逆定理的定义，会把任意命题改写成 “如果… 那么…” 形式，并正确写出一个命题的逆命题；理解 “真命题的逆命题不一定为真，只有逆命题证明为真才是逆定理”，能区分互逆命题与互逆定理。 2.理解并掌握线段垂直平分线核心性质与逆判定定理：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。能运用两条定理证明线段相等、证明点在垂直平分线上，解决线段等量、作图类几何问题。 3.理解并掌握角平分线核心性质与逆判定定理：角平分线上的点到角两边垂线段相等；角内部到角两边垂线段相等的点在角平分线上。能区分两条定理使用条件，利用定理证垂线段相等、证明射线平分角。 学习重点： (1) 逆命题与逆定理概念辨析，熟练写出命题的逆命题，分清命题、定理、逆命题、逆定理的区别。 (2) 线段垂直平分线性质与逆判定、角平分线性质与逆判定的理解与掌握，准确把握两个图形 “正向性质、反向判定” 两套定理。 (3) 能够熟练运用垂直平分线、角平分线的性质、逆判定，结合直角三角形互逆定理，完成线段相等、角度相等、点的位置证明类几何题目 学习难点： (1) 区分性质与判定的使用场景：正向用性质由图形推导线段、角度等量关系；反向用判定由边长、线段相等、角度关系证明图形身份，做题时容易混淆因果逻辑。 (2) 角平分线判定易遗漏两个关键条件：①点在角的内部 ②两条线段必须垂直于角的两边，缺一则不能判定点在角平分线上。 (3) 区分 “所有命题都有逆命题，但不是所有定理都有逆定理”，容易误认为真命题一定存在逆定理 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 逆命题和逆定理的概念 1. 互逆命题 定义：两个命题，若第一个命题的条件是第二个的结论，第一个的结论是第二个的条件，则二者互为逆命题；其中一个叫原命题，另一个是它的逆命题。 要点：所有命题都有逆命题；但真命题的逆命题不一定为真（可举反例推翻）。 改写格式：统一改成 “如果…（条件），那么…（结论）”，再交换条件、结论得到逆命题。 2. 互逆定理 定义：若一个定理的逆命题经过证明是真命题，则称它为原定理的逆定理，二者互为逆定理。 要点：不是所有定理都有逆定理，只有逆命题为真时才存在逆定理。 即时即练 1．定理“如果，那么”的逆定理是：_________． 2．定理“等腰三角形底边上的高是底边的中线”的逆定理是：如果一个三角形底边上的高是底边的中线，那么这个三角形是_________三角形． 知识点02 垂直平分线的判定 判定定理（逆定理，反向使用：已知距离相等，证点在垂直平分线上） 原文：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵(PA=PB) ∴ 点P在线段AB的垂直平分线上 即时即练 1．已知：如图，在中，，点、分别在边、上，且，与相交于点． 求证： (1)； (2)连接直线，证明直线垂直平分． 知识点03 角平分线的判定 判定定理（逆定理，反向：已知垂线段相等，证点在角平分线上） 原文：在角的内部，到角两边距离相等的点，一定在这个角的平分线上。 ⚠️ 易错提醒：必须加 “角的内部”，外部点不成立；且两条线段必须是垂线段。 几何语言： ∵ 点P在(∠AOB)内部，(PD⊥OA)，(PE⊥OB)，(PD=PE) ∴ OP平分(∠AOB\) 即时即练 1．如图，在中，，． (1)在边上求作一点D，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：平分． 2．已知：如图，在四边形中，，过点C作于E，于F且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 题型 1.写出命题的逆命题 【例1】．“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（    ） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个底角相等的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形 【变式1-1】定理“等腰直角三角形的两个锐角都是”的逆定理是(   ) A．两个锐角都是的三角形是等腰直角三角形 B．等腰直角三角形的角都是 C．两个角不是的三角形不是等腰直角三角形 D．有一个角是的三角形是等腰直角三角形 【变式1-2】命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题为（   ） A．两直线相交，内错角相等 B．内错角相等，两直线相交 C．内错角相等，两直线平行 D．以上都不对 【变式1-3】下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．对顶角相等 C．有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 D．直角三角形两个锐角的和等于 题型 2·判断是否为互逆命题, 【例2】下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．等边对等角 D．全等三角形对应边相等 【变式2-1】下列定理中，没有逆定理的是（  ） A．全等三角形的对应角相等 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【变式2-2】定理“三角形的三条高交于一点”_________（填“有”或“没有”）逆定理． 【变式2-3】定理“平行四边形的每一组邻角都互补”的逆定理是：_________． 题型 3·互逆定理 【例3】“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【变式3-1】命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【变式3-2】下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【变式3-3】题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______． 题型 4·线段垂直平分线的判定 【例4】如图，与相交于点，连接、，，，点E在的下方，连接、，，连接、．求证：垂直平分． 【变式4-1】如图，在中，已知，为的中点，于点，于点，连接、． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【变式4-2】如图，在中，，是的角平分线． (1)尺规作图：求作的高线； (2)在（1）的条件下，连接，求证：垂直平分． 【变式4-3】如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交．点，连接． (1)若的周长为，线段的长为_____； (2)判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 题型 5·角平分线的判定 【例5】如图，在中，点D在边上，，垂足分别为E，F，连接，．当与满足什么条件时，是的角平分线？为什么？ 【变式5-1】如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接．求证：平分． 【变式5-2】如图，于E，于F，若． (1)求证：平分； (2)已知 ，，求的长． 【变式5-3】如图，是的中线，，垂足分别为F，E，，求证：平分． 1．关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法正确的是（     ） A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B．逆命题为“两直线不平行，同旁内角互补” C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D．逆命题为“两直线平行，同旁内角不互补” 2．幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（     ） A．3条高的交点处 B．3条中线的交点处 C．3条边的垂直平分线的交点处 D．3个角的平分线的交点处 3．下列命题中，逆命题是真命题的是（ ） A．全等三角形的对应角相等 B．三角形的中位线平行于第三条边 C．直角三角形的两锐角互余 D．等边三角形是等腰三角形 4．定理“如果，那么或”的逆定理是(   ) A．如果或，那么 B．如果，那么且 C．时，可能等于或 D．或时， 5．如图，在中，，，垂足为点，若，，则图中阴影部分的面积是（   ）． A． B． C． D． 6．如图，在中，点E、D分别在的延长线上，与的平分线相交于点P，，与交于点H，交于F，交于G，下列结论：①；②平分；③垂直平分，其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．如果，那么 的逆命题为_____________________ 8．如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点B与点A重合，已知的周长是18，的周长是26，则_________． 9．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的平分线．”小明的做法，其理论依据是__________． 10．如图，的延长线于，于，若，，求证：平分． 11．如图，与相交于点O，，，，连接，求证；垂直平分．    2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 逆命题和逆定理 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 写出命题的逆命题 题型2 判断是否为互逆命题 题型3 互逆定理 题型4 线段垂直平分线的判定 题型5 角平分线的判定 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 逆命题 逆定理 线段垂直平分线判定 角平分线判定 互逆定理 1.学生能准确说出命题、逆命题、互逆命题、定理、逆定理、互逆定理的定义，会把任意命题改写成 “如果… 那么…” 形式，并正确写出一个命题的逆命题；理解 “真命题的逆命题不一定为真，只有逆命题证明为真才是逆定理”，能区分互逆命题与互逆定理。 2.理解并掌握线段垂直平分线核心性质与逆判定定理：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。能运用两条定理证明线段相等、证明点在垂直平分线上，解决线段等量、作图类几何问题。 3.理解并掌握角平分线核心性质与逆判定定理：角平分线上的点到角两边垂线段相等；角内部到角两边垂线段相等的点在角平分线上。能区分两条定理使用条件，利用定理证垂线段相等、证明射线平分角。 学习重点： (1) 逆命题与逆定理概念辨析，熟练写出命题的逆命题，分清命题、定理、逆命题、逆定理的区别。 (2) 线段垂直平分线性质与逆判定、角平分线性质与逆判定的理解与掌握，准确把握两个图形 “正向性质、反向判定” 两套定理。 (3) 能够熟练运用垂直平分线、角平分线的性质、逆判定，结合直角三角形互逆定理，完成线段相等、角度相等、点的位置证明类几何题目 学习难点： (1) 区分性质与判定的使用场景：正向用性质由图形推导线段、角度等量关系；反向用判定由边长、线段相等、角度关系证明图形身份，做题时容易混淆因果逻辑。 (2) 角平分线判定易遗漏两个关键条件：①点在角的内部 ②两条线段必须垂直于角的两边，缺一则不能判定点在角平分线上。 (3) 区分 “所有命题都有逆命题，但不是所有定理都有逆定理”，容易误认为真命题一定存在逆定理 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 逆命题和逆定理的概念 1. 互逆命题 定义：两个命题，若第一个命题的条件是第二个的结论，第一个的结论是第二个的条件，则二者互为逆命题；其中一个叫原命题，另一个是它的逆命题。 要点：所有命题都有逆命题；但真命题的逆命题不一定为真（可举反例推翻）。 改写格式：统一改成 “如果…（条件），那么…（结论）”，再交换条件、结论得到逆命题。 2. 互逆定理 定义：若一个定理的逆命题经过证明是真命题，则称它为原定理的逆定理，二者互为逆定理。 要点：不是所有定理都有逆定理，只有逆命题为真时才存在逆定理。 即时即练 1．定理“如果，那么”的逆定理是：_________． 【答案】 如果 ，那么 【分析】本题考查互逆定理． 将原定理的题设和结论互换得到逆命题，如果一个定理的逆命题是真命题，则该逆命题为原定理的逆定理． 【详解】解：“如果，那么”的逆命题为“如果，那么”， ∵“如果，那么”是真命题， ∴定理“如果，那么”的逆定理是“如果，那么”． 故答案为：如果，那么． 2．定理“等腰三角形底边上的高是底边的中线”的逆定理是：如果一个三角形底边上的高是底边的中线，那么这个三角形是_________三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了写出原定理的逆定理．原定理的逆定理是通过交换条件和结论得到的，因此逆定理的结论是原定理的条件，即三角形是等腰三角形． 【详解】解：定理“等腰三角形底边上的高是底边的中线”的逆定理是：如果一个三角形底边上的高是底边的中线，那么这个三角形是等腰三角形． 如图，三角形，设为底边上的高和中线． 由于是高，则， ∴； 由于是中线，则． 在和中， ， 因此，即三角形是等腰三角形． 故答案为：等腰． 知识点02 垂直平分线的判定 判定定理（逆定理，反向使用：已知距离相等，证点在垂直平分线上） 原文：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵(PA=PB) ∴ 点P在线段AB的垂直平分线上 即时即练 1．已知：如图，在中，，点、分别在边、上，且，与相交于点． 求证： (1)； (2)连接直线，证明直线垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等边对等角得到，证明，推出，即可证明结论； （2）根据，可得点在的垂直平分线上，由（1）知，可得点在的垂直平分线上，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接， ∵， ∴点在的垂直平分线上， 由（1）知， ∴点在的垂直平分线上， ∴直线垂直平分． 知识点03 角平分线的判定 判定定理（逆定理，反向：已知垂线段相等，证点在角平分线上） 原文：在角的内部，到角两边距离相等的点，一定在这个角的平分线上。 ⚠️ 易错提醒：必须加 “角的内部”，外部点不成立；且两条线段必须是垂线段。 几何语言： ∵ 点P在(∠AOB)内部，(PD⊥OA)，(PE⊥OB)，(PD=PE) ∴ OP平分(∠AOB\) 即时即练 1．如图，在中，，． (1)在边上求作一点D，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作线段的垂直平分线，由此可得； （2）先求解的度数，再根据等边对等角可得，再求解出的度数，由此可证明． 【详解】（1）解：分别以点A，点B为圆心，大于线段的长度的一半为半径画弧， 两弧相交于点E，点F，连接， 直线与的交点即为点D，点D即为所求，如图： （2）证明：∵在中，，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴，即， ∴平分． 2．已知：如图，在四边形中，，过点C作于E，于F且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质及角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键． （1）根据直角三角形全等的判定证明，所以，再根据角平分线的性质定理的逆定理，即可证明结论； （2）根据直角三角形全等的判定证明，可得，进一步即可求得答案． 【详解】（1）证明：，， ，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ，， 平分； （2）解：，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 题型 1.写出命题的逆命题 【例1】．“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（    ） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个底角相等的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个命题的逆命题，逆命题是将原命题的题设和结论互换，原命题题设为“三角形是等腰三角形”，结论为“两个底角相等”，故逆命题为“如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”． 【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形， 而B选项中，说的是两个底角相等，则前提是该三角形已经是等腰三角形， 故选：C． 【变式1-1】定理“等腰直角三角形的两个锐角都是”的逆定理是(   ) A．两个锐角都是的三角形是等腰直角三角形 B．等腰直角三角形的角都是 C．两个角不是的三角形不是等腰直角三角形 D．有一个角是的三角形是等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了逆定理．原定理的条件是“等腰直角三角形”，结论是“两个锐角都是”，逆定理需将条件和结论互换．逆定理是原命题的条件与结论互换，需严格对应． 【详解】解：∵ 原定理：若三角形是等腰直角三角形，则两个锐角都是． ∴ 逆定理：若两个锐角都是，则三角形是等腰直角三角形． 故选：A． 【变式1-2】命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题为（   ） A．两直线相交，内错角相等 B．内错角相等，两直线相交 C．内错角相等，两直线平行 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，将原命题的条件和结论互换，写出逆命题即可． 【详解】解：“两直线平行，内错角相等”的逆命题为内错角相等，两直线平行； 故选C 【变式1-3】下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．对顶角相等 C．有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 D．直角三角形两个锐角的和等于 【答案】B 【分析】本题考查了命题、定理和证明，熟练掌握它们的定义是解题的关键，根据题意分别找到各定理的逆命题，再判断真假，逆命题为假命题的即符合题意． 【详解】解：A．此选项的逆命题是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，逆命题是真命题，此选项不符合题意； B．此选项的逆命题是“相等的两个角是对顶角”，逆命题是假命题，此选项符合题意； C．此选项的逆命题是“等边三角形有一个角等于，且三角形是等腰三角形”，逆命题是真命题，此选项不符合题意； D．此选项的逆命题是“两个角的和等于的三角形是直角三角形”，逆命题是真命题，此选项不符合题意． 故选：B． 题型 2·判断是否为互逆命题, 【例2】下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．等边对等角 D．全等三角形对应边相等 【答案】A 【分析】本题考查逆定理的概念．一个定理的逆命题不一定为真命题，若其逆命题为假命题，则称该定理没有逆定理．解题时，需写出各选项的逆命题，并判断其真假． 【详解】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，假命题，故该选项符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意； C、等边对等角的逆命题是等角对等边，是真命题，故该选项不符合题意； D、全等三角形的对应边相等的逆命题是三边对应相等的三角形是全等三角形，是真命题，故该选项不符合题意； 故选∶A． 【变式2-1】下列定理中，没有逆定理的是（  ） A．全等三角形的对应角相等 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】A 【分析】本题考查逆定理的判断，核心是理解逆定理的定义：若一个定理的逆命题为真命题，则该定理存在逆定理；若逆命题为假命题，则该定理没有逆定理．据此逐项分析即可． 【详解】解：选项A：原定理“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”．对应角相等的三角形不一定全等，该逆命题是假命题，故原定理没有逆定理； 选项B：原定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理； 选项C：原定理“等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合”的逆命题是“若一个三角形一边上的高、中线和该边所对顶角的平分线互相重合，则这个三角形是等腰三角形”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理； 选项D：原定理“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是“与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理； 故选：A． 【变式2-2】定理“三角形的三条高交于一点”_________（填“有”或“没有”）逆定理． 【答案】 没有 【分析】本题考查互逆定理． 将原定理的题设和结论互换可得逆命题，如果一个定理的逆命题是真命题，则该逆命题为原定理的逆定理． 【详解】解：“三角形的三条高交于一点”的逆命题为“如果三条线交于一点，那么它们是三角形的三条高”， ∵“如果三条线交于一点，那么它们是三角形的三条高”是假命题， ∴定理“三角形的三条高交于一点”没有逆定理． 故答案为：没有． 【变式2-3】定理“平行四边形的每一组邻角都互补”的逆定理是：_________． 【答案】 每一组邻角都互补的四边形是平行四边形 【分析】本题考查互逆定理．将原定理的题设和结论互换可得逆命题，如果一个定理的逆命题是真命题，则该逆命题为原定理的逆定理．据此解答即可． 【详解】解：“平行四边形的每一组邻角都互补”的逆命题是“每一组邻角都互补的四边形是平行四边形”， ∵“每一组邻角都互补的四边形是平行四边形”是真命题， ∴定理“平行四边形的每一组邻角都互补”的逆定理是“每一组邻角都互补的四边形是平行四边形”． 故答案为：每一组邻角都互补的四边形是平行四边形． 题型 3·互逆定理 【例3】“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 【变式3-1】命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 【变式3-2】下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 【变式3-3】题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______． 【答案】 互逆命题 逆命题 【解析】略 题型 4·线段垂直平分线的判定 【例4】如图，与相交于点，连接、，，，点E在的下方，连接、，，连接、．求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】由“”可证，可得，且，可得垂直平分． 【详解】证明：在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴, ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【变式4-1】如图，在中，已知，为的中点，于点，于点，连接、． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三线合一定理得到，利用三角形内角和定理求得，再证明，得到，求得，得到，即可证明； （2）由得到，，即可得到垂直平分． 【详解】（1）证明：∵，为的中点， ∴，， ∵于，于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴，， ∴垂直平分． 【变式4-2】如图，在中，，是的角平分线． (1)尺规作图：求作的高线； (2)在（1）的条件下，连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（）过点作的垂线即可； （）证明，得到，，再根据线段垂直平分线的判定即可求证； 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）证明：如图， 由（）得是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴, ∵是的角平分线， ∴, 在和中, ， ∴， ∴，， ∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【变式4-3】如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交．点，连接． (1)若的周长为，线段的长为_____； (2)判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2)点O在的垂直平分线上，理由见详解 (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出，，求出； （2）根据垂直平分线的性质得出，，推出，即可证明点O在的垂直平分线上； （3）根据三角形内角和得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴； （2）解：点O在的垂直平分线上， 理由：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； （3）解：∵， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴ ∴． 题型 5·角平分线的判定 【例5】如图，在中，点D在边上，，垂足分别为E，F，连接，．当与满足什么条件时，是的角平分线？为什么？ 【答案】解：当垂直平分时，是的角平分线； 理由如下：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴是的角平分线． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再根据角平分线的判定定理即可证得是的角平分线． 【详解】略 【变式5-1】如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接．求证：平分． 【答案】证明见解析 【分析】证明得到，，再根据角平分线的判定定理可得结论． 【详解】证明：在与中， ∵，，． ∴． ∴，． ∴， ∴平分． 【变式5-2】如图，于E，于F，若． (1)求证：平分； (2)已知 ，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可． （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ， 在与中， ， ， ， 又∵，， 平分． （2）解：由（1）得， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 【变式5-3】如图，是的中线，，垂足分别为F，E，，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质及角平分线的判定，解题的关键是证明，由角平分线的判定定理得证．先利用中线和垂直条件，通过证明，得出． 【详解】证明：是的中线， ， ， ， 在和中， ， ， ， ,且， 点在的平分线上， 即平分． 1．关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法正确的是（     ） A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B．逆命题为“两直线不平行，同旁内角互补” C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D．逆命题为“两直线平行，同旁内角不互补” 【答案】A 【分析】先找出原命题的条件和结论，将条件和结论互换得到逆命题，再和选项对比得到答案． 【详解】解：原命题“同旁内角互补，两直线平行”中，条件为“同旁内角互补”，结论为“两直线平行”. ∵逆命题的定义是将原命题的条件与结论互换得到新命题， ∴该命题的逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”. 对照选项可知A正确． 2．幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（     ） A．3条高的交点处 B．3条中线的交点处 C．3条边的垂直平分线的交点处 D．3个角的平分线的交点处 【答案】C 【分析】线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可得到答案． 【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴要求充电桩到三个出口的距离都相等，则充电桩应建在三条边的垂直平分线的交点处． 3．下列命题中，逆命题是真命题的是（ ） A．全等三角形的对应角相等 B．三角形的中位线平行于第三条边 C．直角三角形的两锐角互余 D．等边三角形是等腰三角形 【答案】C 【分析】先将各选项原命题的条件和结论互换得到逆命题，再逐一判断逆命题的真假即可得到答案. 【详解】A、原命题：全等三角形的对应角相等， 逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形． ∵对应角相等的三角形不一定全等（可能只是相似），∴逆命题是假命题，不符合题意． B、原命题：三角形的中位线平行于第三条边， 逆命题是平行于三角形第三条边的线段是三角形的中位线． ∵该线段需要同时满足端点平分三角形另两条边才是中位线，∴逆命题是假命题，不符合题意． C、原命题：直角三角形的两锐角互余， 逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形． ∵三角形内角和为，两锐角互余即两锐角和为，则第三个角为， ∴该三角形是直角三角形，逆命题是真命题，符合题意． D、原命题：等边三角形是等腰三角形， 逆命题是等腰三角形是等边三角形． ∵等腰三角形只有两条边相等，不一定是等边三角形，∴逆命题是假命题，不符合题意． 选C． 4．定理“如果，那么或”的逆定理是(   ) A．如果或，那么 B．如果，那么且 C．时，可能等于或 D．或时， 【答案】A 【分析】本题考查了写出原定理的逆定理．逆定理是将原命题的条件和结论互换所得命题． 原定理条件为，结论为或，故逆定理应为“如果或，那么”． 【详解】解：∵ 逆定理是原命题的条件与结论互换， 原命题：若，则或， ∴ 逆定理：若或，则， 故选：A． 5．如图，在中，，，垂足为点，若，，则图中阴影部分的面积是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，垂直平分线的判定及性质，熟悉掌握垂直平分线的判定及性质是解题的关键． 利用等腰三角形的判定及性质判定出垂直平分，把右侧阴影部分三角形填补至左边空白部分，再通过面积公式运算即可． 【详解】解：∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴垂直平分， ∴右阴影部分三角形可填补至左边空白部分， ∴阴影部分的面积， 故选：D． 6．如图，在中，点E、D分别在的延长线上，与的平分线相交于点P，，与交于点H，交于F，交于G，下列结论：①；②平分；③垂直平分，其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论；②根据角平分线的性质即可得到结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②如图，过点作于点,于点，于点， ∵与的平分线相交于点P， ∴， ∴ ∴是的平分线，即平分；故②正确； ③∵，平分， ∴垂直平分（三线合一），故③正确； 故选：D． 7．如果，那么 的逆命题为_____________________ 【答案】 如果，那么 【分析】根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“如果，那么”中，条件为，结论为， 交换条件与结论，可得逆命题为：如果，那么． 8．如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点B与点A重合，已知的周长是18，的周长是26，则_________． 【答案】8 【分析】本题考查了垂直平分线性质，由折叠的性质易得为的垂直平分线，根据垂直平分线性质得到，再结合，，即可解题． 【详解】解：由折叠的性质得， ∴为的垂直平分线， ， ，， ∴． 故答案为：． 9．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的平分线．”小明的做法，其理论依据是__________． 【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 【分析】本题考查了角平分线的判定，过两把直尺的交点作，，则有，然后通过角平分线的判定即可求解，掌握角平分线的判定是解题的关键． 【详解】解：如图所示：过两把直尺的交点作，， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴， ∴点在平分线上， ∴射线就是的平分线（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上． 10．如图，的延长线于，于，若，，求证：平分． 【答案】证明：∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中，， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】利用证明，得出，根据角平分线的判定定理即可得出结论． 【详解】略． 11．如图，与相交于点O，，，，连接，求证；垂直平分．    【答案】见解析 【分析】先证明得到，再由即可证明垂直平分． 【详解】证明：在和中， ， ， 又， 垂直平分． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，证明得到是解题的关键． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $