第3章 一元一次不等式 单元自测卷（暑假单元自测）新八年级数学新教材浙教版

**基本信息** 浙教版初中数学新教材第3章一元一次不等式单元自测卷，90分钟120分，24题覆盖重难点，通过分层设计与情境化问题（如机器人采购、文创盲盒）考查抽象能力、模型意识与推理意识，适配暑假单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|定义、解集数轴表示、性质应用|结合程序运算情境（第10题）考查抽象能力| |填空题|6/18|实际问题建模（限速牌、经费筹集）、新定义“和尾数”|以成都机场限速（第12题）体现数学眼光| |解答题|8/72|不等式组求解、含参问题、“梦想解”新定义、方案设计|通过盲盒促销方案（第23题）考查模型意识，“梦想解”（第21题）培养创新思维|

第3章 一元一次不等式 单元自测卷 【新教材，浙教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各式中，是一元一次不等式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据一元一次不等式的定义判断各选项即可，熟知一元一次不等式需满足三个条件：是不等式，只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边为整式． 【详解】解：选项A：是代数式，不是不等式，不符合要求； 选项B：是等式，属于一元一次方程，不是不等式，不符合要求； 选项C：含有和两个未知数，不是一元一次不等式，不符合要求； 选项D：是不等式，只含一个未知数，的次数为1，两边均为整式，符合一元一次不等式的定义． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式的解集，再判断数轴即可． 【详解】解：， 两边同加上，得， 两边同除以，得， 解集在数轴上表示为：． 3．语句“与3的差的2倍是非负数”，用不等式可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先表示出与的差，可得. 再表示出差的倍，可得. ∵该式是非负数，即大于等于， ∴. 4．若，依据不等式基本性质变形，一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知 ， 选项A， 不等式两边加同一个数，不等号方向不变， ，A不成立； 选项B， ，不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变， ，B一定成立； 选项C， ，不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变， ，C不成立； 选项D， ，不等式两边乘再加，不等号方向不变， ，D不成立． 5．小冉计划在两周内阅读完一本正文有142页的数学科普图书（每周阅读7天）．如果第1天只阅读了6页，为了按时或提前完成，那么她在剩余天数内平均每天至少要阅读多少页？设小冉在剩余天数内平均每天要阅读页，根据题意可列不等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出剩余阅读天数，再根据“按时或提前完成”的要求，得到总阅读页数不低于图书总页数，即可列出不等式． 【详解】解：∵两周总天数为 天，第1天已经阅读， ∴剩余天数为 天， ∵要求按时或提前完成阅读，即总阅读页数不少于图书总页数142页， ∴总阅读页数为第一天阅读页数加上剩余天数阅读总页数，满足不等式： ． 6．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变，根据已知解集的不等号方向判断系数的符号，进而求解即可． 【详解】解：∵不等式变形后解集为，不等号方向发生改变， ∴根据不等式的性质，不等式两边除以负数时不等号方向改变，可得， 解得． 此时，原不等式化为，即，与已知解集相符， 故的取值范围是。 7．如图是小颖同学在解不等式的部分步骤，则下列说法正确的是（     ） 解：去分母，得，    第一步 去括号，得，            第二步 移项，得，              第三步 合并同类项，得，                  第四步 A．第一步的依据是不等式的基本性质一 B．第二步的依据是不等式的基本性质二 C．第三步的依据是不等式的基本性质一 D．第四步的依据是不等式的基本性质三 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式各步骤的依据，需结合不等式的基本性质逐一判断选项． 【详解】解：先明确不等式的基本性质： 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号方向不变； 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变； 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。 逐一判断： ∵ 第一步去分母，给不等式两边同乘6，依据是不等式的基本性质2， ∴A错误； ∵ 第二步去括号，依据是去括号法则（乘法分配律），不是不等式的基本性质， ∴B错误． ∵ 第三步移项，本质是给不等式两边同时减去相同的项，依据是不等式的基本性质1， ∴C正确； ∵ 第四步合并同类项，依据是合并同类项法则，不是不等式的基本性质3， ∴D错误． 8．关于x，y的方程组满足不等式，则m的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用加减消元法，整体思想得到关于的表达式，代入不等式即可求解的范围． 【详解】解：， ∴得， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 9．已知关于x的不等式的正整数解恰好是1、2、3，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出不等式的解集，根据题意，得到关于的不等式组，进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式的正整数解恰好是1、2、3， ∴， ∴. 10．如图，是一位同学在编程课上设计的一个运算程序，按此程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于”为一次运行．若该程序运行了次便停止，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题中运算程序列出第次和第次运行结果满足的不等式求解即可． 【详解】解：由题意可知，运行第次结果满足，解得， 由于第次运行的结果为，则第次运行结果满足，解得， 综上所述，的取值范围为． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．不等式的解集是__________． 【答案】 【详解】解： ， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 12．成都“机场直通道”设置在天府机场高速成都至机场方向左侧第一车道，起于龙泉山隧道入口处，止于天府机场，站分流匝道处．请根据图中所示限速牌用数学符号表示该公路段汽车行驶速度v的范围是______．（单位：） 【答案】 【详解】解：由图可知，． 13．小明在写解不等式的过程时，写下了：“将变形为”小明这一步骤改变不等号方向的依据是_______． 【答案】不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 【分析】根据不等式变形过程，判断系数正负，即可确定不等号变向的依据． 【详解】解：对系数化为1时，不等式两边同时除以，为负数，因此需要改变不等号方向， 该步骤的依据是不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 14．某校机器人小组计划购买一套新的传感器模块用于备赛．小组已筹集到120元经费，并决定从本月起每月从社团经费中节省30元，直到经费不少于500元．设小组筹集的时间为x个月，则可列不等式为_______．（不必化简） 【答案】 【分析】根据总经费不少于500元的不等关系，结合已有经费和个月节省的经费列出不等式即可． 【详解】解：由题意可知，已有经费120元，个月节省的经费为元，要求总经费不少于500元， 因此可列不等式为． 15．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分本，则多本；若每人分本，则最后一人分到了书但不到本书．共有________学生． 【答案】 【分析】设一共有名学生，根据每人分本，则多本，可知图书共有本，根据每人分本，则最后一人分到了书但不到本书，列不等式组求解． 【详解】解：设一共有名学生，则图书共有本， 由题意得：， 解得：， 又学生人数为正整数， ， 学生人数为． 16．定义：若一个三位数的百位数字与十位数字之和等于个位数字，即，则称它为“和尾数”．例如235中，，所以235是“和尾数”． （1）若是“和尾数”，则________； （2）若“和尾数”的数字均不为0，且这个三位数能被9整除，则满足条件的最大三位数是________． 【答案】 5 819 【分析】（1）根据“和尾数”的定义列一元一次方程求解即可； （2）先根据“和尾数”的定义得到，再结合能被整除的数的特征得到是的倍数，结合的取值范围确定的值，再根据三位数最大的要求，结合数字不为确定和的值． 【详解】解：（1）是“和尾数”， ∴， 解得； （2）由题意得，，，，且均为整数， 是“和尾数”， ， 这个三位数能被整除， 是的倍数， ∵， 各数位数字和是的倍数， 将代入得 ，即是的倍数， ，且是整数， ， 则， 要使三位数最大，需百位最大， ， ， 即最大为，此时， 因此满足条件的最大三位数是． 3、 解答题（本题共8小题，第17-20题每小题8分，第21-24题每小题10分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解下列不等式和不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴不等式组的解集为． 18．求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”，得 ①或②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 所以原不等式的解集为或． 请你仿照上述方法求不等式的解集． 【答案】 【分析】根据“异号两数相乘，积为负”，将原不等式拆分为两个不等式组，分别求解即可． 【详解】解：根据“异号两数相乘，积为负”，得 ①或②， 解不等式组①，无解， 解不等式组②，得， 所以原不等式的解集为． 19．某校准备到体育用品店购进一批A型足球和B型足球．已知每个A型足球的标价比B型足球贵30元，购买10个A型足球和5个B型足球共需1200元． (1)A型足球和B型足球的标价各是多少？ (2)若该校计划购买两种型号的足球共40个，总费用不超过3300元，请问最多购买A型足球多少个？ 【答案】(1)A型足球的标价为每个90元，B型足球的标价为每个60元 (2)最多购买 A型足球30个 【分析】（1）设B型足球的标价为每个元，则A 型足球的标价为每个元，根据总价=A 型足球单价×A 型足球数量+ B型足球单价×B型足球数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设购买 A 型足球个，则购买 B 型足球个，由总费用不超过3300元，可得出关于的一元一次不等式，求出的取值范围即可得出答案． 【详解】（1）解：设B型足球的标价为每个元，则A 型足球的标价为每个元， 由题意，得，      解得， 所以， 答：A型足球的标价为每个90元，B型足球的标价为每个60元； （2）解：设购买 A 型足球个，则购买 B 型足球个， 由题意，得， 解得． 答：最多购买 A型足球30个． 20．已知方程组 (1)若原方程组中x为非正数，y为负数，求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，化简：； (3)在（1）的条件下，若，求a的最小的整数解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先将方程组中的两个方程相加、相减，用含a的代数式分别表示x和y，结合x为非正数，即、y为负数，即的条件，列出关于a的不等式组，求解得到a的取值范围； （2）根据（1）中a的取值范围，判断绝对值内式子的正负性，再依据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项完成化简； （3）将用a表示的x和y，代入不等式，解关于a的不等式，结合（1）的取值范围，找出a的最小整数解． 【详解】（1）解： 得， 解得， 得， 解得， ∴方程组的解为， 由题意得：为非正数，为负数， ∴，， ∴ 解得 即； （2）解：∵， ∴，， ∴ ； （3）解：将，代入不等式， 得， 解得， 结合（1）的条件， 得的范围为， 此范围内的整数为， ∴最小整数解为． 21．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式 ，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式 的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式_____的“梦想解”；（填序号） ①，②，③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为 ，试求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将方程的解直接代入各不等式验证，选出成立的序号即可； （2）先解方程组用含的式子表示，，再代入不等式组，解出的范围后取整数解； （3）先求出方程的解与不等式组的解集，再根据整数解的和确定整数解的范围，最后联立不等式求的取值范围． 【详解】（1）解：，解得，符合条件， 把代入①，可得左边，不成立； 把代入②，可得左边，左右两边相等，不成立； 把代入③，可得左边，成立， 故是方程和的“梦想解”． （2）解：已知， ，可得， 代入可得， 即二元一次方程组的解为， 二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， 将代入， 可得， 解得， 为整数， 为或． （3）解： ，可得， 解不等式组，可得， 据题意可知，所有整数“梦想解”的和为， 整数“梦想解”为，，，，或，，，， 且，解得且， 综上的取值范围为． 22．随着人工智能与互联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某企业使用、B两种型号的机器人搬运货物．相关信息如下：若买3台型机器人、4台B型机器人，共需480万元；若买4台型机器人、3台B型机器人，共需500万元．型机器人每天可以搬运货物75吨； 型机器人每天可以搬运货物50吨． (1)求、 两种型号机器人的单价； (2)该企业计划用不超过1000万元购买、 两种型号机器人共15台，且每天搬运货物不低于825吨，请通过计算，说明该企业有哪几种采购方案，并选出最省钱的采购方案． 【答案】(1)型机器人单价为80万元，型机器人单价为60万元． (2)共有3种采购方案，分别为：方案1，购买型机器人3台，型机器人12台；方案2，购买型机器人4台，型机器人11台；方案3，购买型机器人5台，型机器人10台． 最省钱的采购方案为购买型机器人3台，型机器人12台． 【分析】（1）设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元．根据台数和总费用列方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购进A型台，B型 台，根据需要费用不超过1000万元，每天搬运货物不低于825吨列出不等式，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：设A型号智能机器人每台为x万元，B型号智能机器人每台为y万元． 由题意得，， 解得； 型号智能机器人每台分别为80万元，B型号智能机器人每台为60万元． （2）设A型号智能机器人购买m台，则B型号智能机器人购买 台． 由题意得，， 解得：． 为正整数， 可以为3，4，5，共有3种采购方案． 方案一：购买A型机器人3台，购买B型机器人12台，费用为（万元）； 方案二：购买A型机器人4台，购买B型机器人11台，费用为（万元）； 方案三：购买A型机器人5台，购买B型机器人10台，费用为（万元）， ∵， ∴最省钱的是购买A型机器人3台，购买B型机器人12台，费用为960万元． 23．【问题背景】 某校筹备“卧龙岗文化节”知识竞赛，计划采购文创盲盒作为奖品，分为「武侯祠款」和「医圣祠款」两种． 素材1（无促销价） 购买15个「武侯祠款」、10个「医圣祠款」，共需220元； 购买25个「武侯祠款」、25个「医圣祠款」，共需425元． 素材2（促销活动） 商店推出两种采购方案： 方案一（线下会员）：花35元激活联名会员卡，所有盲盒按标价7折购买； 方案二（线上商城）：所有盲盒直接8折包邮． 【问题解决】 (1)无促销时，「武侯祠款」与「医圣祠款」盲盒的单价各是多少元？ (2)若学校计划购买两种盲盒共40个，其中「武侯祠款」盲盒个（）． 选择方案一购买，共需______________元； 选择方案二购买，共需______________元； （用含的代数式表示） (3)在（2）的条件下，请你帮学校算一算，当「武侯祠款」盲盒的购买数量在什么范围内时，选择方案一更划算？ 【答案】(1)无促销时，「武侯祠款」单价10元，「医圣祠款」单价7元 (2)； (3)当「武侯祠款」盲盒购买数量在（为整数）时，选择方案一更划算 【分析】（1）设「武侯祠款」与「医圣祠款」盲盒的单价分别为元，元，根据“购买15个「武侯祠款」、10个「医圣祠款」，共需220元；购买25个「武侯祠款」、25个「医圣祠款」，共需425元”，列出方程组进行求解即可； （2）根据两种方案，列出代数式即可； （3）根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设「武侯祠款」与「医圣祠款」盲盒的单价分别为元，元， 由题意，得：， 解得． 答：无促销时，「武侯祠款」单价10元，「医圣祠款」单价7元． （2）解：选择方案一购买，共需元； 选择方案二购买，共需元． （3）解：由题意，得， 解得：， 又因为，且为整数，所以（为整数）． 答：当「武侯祠款」盲盒购买数量在（为整数）时，选择方案一更划算． 24．【阅读材料】 我们知道的几何意义是在数轴上的数对应的点与原点的距离即．也就是说表示在数轴上的数与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上的数与数对应的点之间的距离． 例1：若则表示到原点距离小于3的数；从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数它们到原点距离小于3，所以的解集是； 若则表示到原点距离大于3的数；从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数它们到原点距离大于3，所以的解集是或． 例2：那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点；观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点）这样我们就可以得到不等式的解集为：； 【解决问题】 (1)不等式的解集为_________；不等式的解集为________． (2)求不等式的解集； (3)求不等式的解集； (4)不论取所有的数都有恒成立求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2)或 (3) (4) 【分析】（1）根据绝对值的几何意义即可求解； （2）根据表示数轴上点与点之间的距离可以将绝对值不等式问题转化为数轴上的距离问题求解； （3）对于形如的不等式：可以理解为数轴上表示的点到表示的点和表示的点的距离之和与的大小关系来求解； （4）首先将不等式变形为要使此不等式对任意实数恒成立则不等式左边的最小值必须大于右边的常数从而可以得出关于的不等式，求出的范围即可． 【详解】（1）解：不等式的几何意义是：数轴上点到原点的距离小于或等于，从原点向左、向右各延伸个单位得到点和点，因此满足条件的点在和之间（包含端点）所以解集为； 不等式的几何意义是：数轴上点到原点的距离大于，从原点向左、向右各延伸个单位得到点和点距离大于的点在的左侧或的右侧， 所以解集为或． （2）解：不等式的几何意义是：数轴上点到点的距离大于， 以点为中心向左移动个单位到达，向右移动个单位到达， 点到点的距离大于意味着点在点的左边或者在点的右边， 所以不等式的解集为或． （3）解：不等式的几何意义是：数轴上点到点的距离与到点的距离之和小于， 令， 当时， ， 所以， 当时，， 方程无解， 当时， ， 所以， 所以不等式的解集为， （4）解：将不等式变形为， 要使此不等式对任意实数恒成立则不等式左边的最小值必须大于右边的常数， 表达式的几何意义是数轴上点到点和点的距离之和， 所以当点位于点和点之间时（即）该距离之和取得最小值， 最小值为点和点之间的距离，即， 所以的最小值为， 所以， 解得， 所以的取值范围是． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，关键是理解和运用绝对值的几何意义，将代数问题转化为几何问题． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 一元一次不等式 单元自测卷 【新教材，浙教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各式中，是一元一次不等式的是（     ） A． B． C． D． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 3．语句“与3的差的2倍是非负数”，用不等式可表示为（     ） A． B． C． D． 4．若，依据不等式基本性质变形，一定成立的是（     ） A． B． C． D． 5．小冉计划在两周内阅读完一本正文有142页的数学科普图书（每周阅读7天）．如果第1天只阅读了6页，为了按时或提前完成，那么她在剩余天数内平均每天至少要阅读多少页？设小冉在剩余天数内平均每天要阅读页，根据题意可列不等式为（     ） A． B． C． D． 6．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图是小颖同学在解不等式的部分步骤，则下列说法正确的是（     ） 解：去分母，得，    第一步 去括号，得，            第二步 移项，得，              第三步 合并同类项，得，                  第四步 A．第一步的依据是不等式的基本性质一 B．第二步的依据是不等式的基本性质二 C．第三步的依据是不等式的基本性质一 D．第四步的依据是不等式的基本性质三 8．关于x，y的方程组满足不等式，则m的范围是（   ） A． B． C． D． 9．已知关于x的不等式的正整数解恰好是1、2、3，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．如图，是一位同学在编程课上设计的一个运算程序，按此程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于”为一次运行．若该程序运行了次便停止，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．不等式的解集是__________． 12．成都“机场直通道”设置在天府机场高速成都至机场方向左侧第一车道，起于龙泉山隧道入口处，止于天府机场，站分流匝道处．请根据图中所示限速牌用数学符号表示该公路段汽车行驶速度v的范围是______．（单位：） 13．小明在写解不等式的过程时，写下了：“将变形为”小明这一步骤改变不等号方向的依据是_______． 14．某校机器人小组计划购买一套新的传感器模块用于备赛．小组已筹集到120元经费，并决定从本月起每月从社团经费中节省30元，直到经费不少于500元．设小组筹集的时间为x个月，则可列不等式为_______．（不必化简） 15．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分本，则多本；若每人分本，则最后一人分到了书但不到本书．共有________学生． 16．定义：若一个三位数的百位数字与十位数字之和等于个位数字，即，则称它为“和尾数”．例如235中，，所以235是“和尾数”． （1）若是“和尾数”，则________； （2）若“和尾数”的数字均不为0，且这个三位数能被9整除，则满足条件的最大三位数是________． 3、 解答题（本题共8小题，第17-20题每小题8分，第21-24题每小题10分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解下列不等式和不等式组： (1) (2) 18．求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”，得 ①或②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 所以原不等式的解集为或． 请你仿照上述方法求不等式的解集． 19．某校准备到体育用品店购进一批A型足球和B型足球．已知每个A型足球的标价比B型足球贵30元，购买10个A型足球和5个B型足球共需1200元． (1)A型足球和B型足球的标价各是多少？ (2)若该校计划购买两种型号的足球共40个，总费用不超过3300元，请问最多购买A型足球多少个？ 20．已知方程组 (1)若原方程组中x为非正数，y为负数，求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，化简：； (3)在（1）的条件下，若，求a的最小的整数解． 21．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式 ，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式 的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式_____的“梦想解”；（填序号） ①，②，③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为 ，试求的取值范围． 22．随着人工智能与互联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某企业使用、B两种型号的机器人搬运货物．相关信息如下：若买3台型机器人、4台B型机器人，共需480万元；若买4台型机器人、3台B型机器人，共需500万元．型机器人每天可以搬运货物75吨； 型机器人每天可以搬运货物50吨． (1)求、 两种型号机器人的单价； (2)该企业计划用不超过1000万元购买、 两种型号机器人共15台，且每天搬运货物不低于825吨，请通过计算，说明该企业有哪几种采购方案，并选出最省钱的采购方案． 23．【问题背景】 某校筹备“卧龙岗文化节”知识竞赛，计划采购文创盲盒作为奖品，分为「武侯祠款」和「医圣祠款」两种． 素材1（无促销价） 购买15个「武侯祠款」、10个「医圣祠款」，共需220元； 购买25个「武侯祠款」、25个「医圣祠款」，共需425元． 素材2（促销活动） 商店推出两种采购方案： 方案一（线下会员）：花35元激活联名会员卡，所有盲盒按标价7折购买； 方案二（线上商城）：所有盲盒直接8折包邮． 【问题解决】 (1)无促销时，「武侯祠款」与「医圣祠款」盲盒的单价各是多少元？ (2)若学校计划购买两种盲盒共40个，其中「武侯祠款」盲盒个（）． 选择方案一购买，共需______________元； 选择方案二购买，共需______________元； （用含的代数式表示） (3)在（2）的条件下，请你帮学校算一算，当「武侯祠款」盲盒的购买数量在什么范围内时，选择方案一更划算？ 24．【阅读材料】 我们知道的几何意义是在数轴上的数对应的点与原点的距离即．也就是说表示在数轴上的数与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上的数与数对应的点之间的距离． 例1：若则表示到原点距离小于3的数；从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数它们到原点距离小于3，所以的解集是； 若则表示到原点距离大于3的数；从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数它们到原点距离大于3，所以的解集是或． 例2：那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点；观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点）这样我们就可以得到不等式的解集为：； 【解决问题】 (1)不等式的解集为_________；不等式的解集为________． (2)求不等式的解集； (3)求不等式的解集； (4)不论取所有的数都有恒成立求的取值范围． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $