第2章 特殊三角形 单元自测卷（暑假单元自测）新八年级数学新教材浙教版

**基本信息** 浙教版初中数学第2章特殊三角形单元卷，以真实情境与梯度设计覆盖轴对称、直角三角形、等腰三角形等核心知识点，适配暑假巩固提升，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|轴对称图形、直角三角形判定、等腰三角形内角计算|基础题结合运动图标等生活素材，如第1题考轴对称识别| |填空|6/18|逆命题、折叠角度计算、数轴上实数表示、勾股树规律|第16题勾股树规律探究，体现数学思维的逻辑性| |解答|8/72|勾股定理应用、等腰三角形证明、实际测量、综合探究|第19题徒步活动测树高，第23题勾股定理拼图证明，第24题等腰直角三角形综合，突出数学语言表达与现实应用|

第2章 特殊三角形 单元自测卷 【新教材，浙教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列运动图标中，是轴对称图形的为（     ） A． B． C． D． 2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（     ） A．1，1，1 B．2，3，4 C．3，4，5 D． 3．如图，点，在直线上，点，在直线上，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．等腰三角形的一个内角为，则该三角形的底角度数为（    ） A． B． C． D．或 5．如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的中线的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，，于点E，于点D．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在 中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线 交于点F，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，波平如镜一湖面，尺高处出红莲．亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边．离开原处 尺远，花贴湖面像睡莲．请君动脑想一想，湖水在此深（     ）尺 A． B． C． D． 9．如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接、，以下说法：①，②，③，④中，正确的说法个数是（     ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在等腰三角形中，，点是边上的中点，点分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． 12．如图，将一张长方形纸条折成图中的形状，若，则的度数为______． 13．如图，在数轴上点A表示的实数是________ 14．如图，在中，，，平分，于点E，则的度数为_________． 15．一个圆柱形饮料罐底面周长为5cm，高为3cm，一只蚂蚁从底面圆周上的点A处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点B处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______cm． 16．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中图（1）是正方形，图（2）是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到图（3），…，则图（6）中共有________个正方形． 3、 解答题（本题共8小题，第17-20题每小题8分，第21-24题每小题10分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，在三角形支架中， (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 18．如图，在等腰中，，点在边上，延长交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 19．在学校组织的徒步春光活动中，七年级某小组学生想测量灞河河岸边一棵古柳的高度，他们设计了如下方案：首先找来一根长度大于树高的直杆，先将其斜靠在树干上，顶端与树梢重合，此时直杆与地面的夹角为（即）；接着让直杆沿树干竖直下滑至位置，此时直杆与地面的夹角变为（即），此时测得杆脚到树根的水平距离为（即）．已知树干与地面垂直（即），点A，C，M在同一条直线上，点M，B，D在同一条直线上，所有点在同一平面内，求这棵柳树的高度． 20．为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． (1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 21．已知与中，，，，连接与相交于点F，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 22．如图，中，点D为上一点，连接，过点D作，垂足分别是E，F，且满足． (1)求证：平分 (2)若，求的面积． 23．回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 24．已知，与都是等腰直角三角形，，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点D在内，B，D，E三点在同一直线上，过点A作的高，证明：； (3)如图3，点D在内，平分的延长线与交于点F，点F恰好为中点，若，求线段的长． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 特殊三角形 单元自测卷 【新教材，浙教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列运动图标中，是轴对称图形的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、该图是轴对称图形，符合题意； B、该图不是轴对称图形，不符合题意； C、该图不是轴对称图形，不符合题意； D、该图不是轴对称图形，不符合题意． 2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（     ） A．1，1，1 B．2，3，4 C．3，4，5 D． 【答案】C 【分析】本题利用勾股定理的逆定理判定，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，逐一验证即可得到结果. 【详解】解：A 选项，最长边为， ∵ ， ∴ 三条线段不能组成直角三角形，A错误； B 选项，最长边为， ∵ ， ∴ 三条线段不能组成直角三角形，B错误； C 选项，最长边为， ∵ ， ∴ 三条线段能组成直角三角形，C正确； D 选项，最长边为， ∵ ， ∴ 三条线段不能组成直角三角形，D错误． 3．如图，点，在直线上，点，在直线上，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由垂直意义及三角形内角和求得的度数，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：设交于点O，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．等腰三角形的一个内角为，则该三角形的底角度数为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理，分情况讨论已知内角的位置，排除不符合三角形内角和的情况即可得到结果． 【详解】解：∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为， 分两种情况讨论： ①若为底角，则两个底角和为，不符合三角形内角和定理，舍去； ②若为顶角，则两个底角和为， ∴单个底角为． 因此该三角形底角度数为． 5．如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的中线的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形的中线是连接顶点和对边中点的线段，因此需判断哪个选项能推出是的中点，即． 【详解】解：A、由折叠可知，无法推出，故不一定是的中线； B、由折叠可知，无法推出，故不一定是的中线； C、由折叠可知，即点是的中点，故是的中线； D、由折叠可知，无法推出，故不一定是的中线． 6．如图，，于点E，于点D．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直得出直角，根据余角定理得出，证明得出相等的边，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．如图，在 中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线 交于点F，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图过程可知直线 是线段 的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得 ，进而得到 ，再根据三角形内角和定理求出的度数，最后利用 求解即可． 【详解】由作图可知，直线 是线段 的垂直平分线， ， ， ， ， 在中，，， ， ． 8．如图，波平如镜一湖面，尺高处出红莲．亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边．离开原处 尺远，花贴湖面像睡莲．请君动脑想一想，湖水在此深（     ）尺 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设水深尺，则，利用勾股定理列方程即可求解. 【详解】解：设水深尺， 则， ∵在中，， ∴， 解得：． 9．如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接、，以下说法：①，②，③，④中，正确的说法个数是（     ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】只要证明，是等边三角形，垂直平分线段即可一一判断． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ，， 线段沿翻折，得到线段， ，，，故②正确， ，，故①，③正确， ，， ， ， 是等边三角形， ，故④正确， 综上所述，正确的个数有4个． 10．如图，在等腰三角形中，，点是边上的中点，点分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，交于，过作于，当三点共线，时，最小为，利用求解即可. 【详解】解：过点作于点，交于，过作于， ∵，点是边上的中点， ∴即：是的对称轴， ∴，， ∴， 当三点共线，时，最小为， ∴， ∴， 即：的最小值是. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． 【答案】 对应边相等的两个三角形全等 【分析】本题考查逆命题的概念，找出原命题的条件和结论，将条件和结论互换，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“全等三角形对应边相等”中，条件为“两个三角形全等”，结论为“两个三角形对应边相等”，将条件和结论互换，得到逆命题为：对应边相等的两个三角形全等. 故答案为对应边相等的两个三角形全等． 12．如图，将一张长方形纸条折成图中的形状，若，则的度数为______． 【答案】/59度 【详解】解：如图， ∵， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴． 13．如图，在数轴上点A表示的实数是________ 【答案】 【分析】先由勾股定理求解，再由实数与数轴的对应关系即可得到点A表示的实数． 【详解】解：由勾股定理可得， ∴ ∴在数轴上点A表示的实数是． 14．如图，在中，，，平分，于点E，则的度数为_________． 【答案】/度 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，根据直角三角形两锐角互余得出，利用角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．一个圆柱形饮料罐底面周长为5cm，高为3cm，一只蚂蚁从底面圆周上的点A处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点B处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______cm． 【答案】 【分析】 将圆柱侧面展开为矩形，蚂蚁爬行的最短路径即为矩形的对角线长度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：圆柱形饮料罐底面周长为，高为， 将圆柱侧面展开得到一个矩形，该矩形的长为，宽为， 由勾股定理得，蚂蚁爬行的最短路径长度为． 16．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中图（1）是正方形，图（2）是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到图（3），…，则图（6）中共有________个正方形． 【答案】 【分析】规律：增加的正方形个数是前一次正方形个数的2倍，由此即可求解． 【详解】解：图（1）正方形个数为1个； 图（2）的正方形增加2个， 图（3）的正方形增加个， 图（4）的正方形增加个， 图（5）的正方形增加个， 图（6）的正方形增加个， 则图（6）中共有正方形的个数为（个）． 3、 解答题（本题共8小题，第17-20题每小题8分，第21-24题每小题10分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，在三角形支架中， (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为直角三角形，理由如下： 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴是直角三角形． 【分析】（1）对和运用勾股定理求解即可； （2）证明三边长满足，由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴ 在中，， ∴ ∴的长为； （2）略 18．如图，在等腰中，，点在边上，延长交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明即可； （2）根据三角形外角的性质可得，利用全等三角形的性质即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 19．在学校组织的徒步春光活动中，七年级某小组学生想测量灞河河岸边一棵古柳的高度，他们设计了如下方案：首先找来一根长度大于树高的直杆，先将其斜靠在树干上，顶端与树梢重合，此时直杆与地面的夹角为（即）；接着让直杆沿树干竖直下滑至位置，此时直杆与地面的夹角变为（即），此时测得杆脚到树根的水平距离为（即）．已知树干与地面垂直（即），点A，C，M在同一条直线上，点M，B，D在同一条直线上，所有点在同一平面内，求这棵柳树的高度． 【答案】柳树的高度为 【分析】先证明，再证明，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ， ∴． ∴， 答：柳树的高度为． 20．为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． (1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 【答案】(1)至少需要米的篱笆 (2)这块劳动实践基地的总面积为平方米 【分析】（1）在中利用勾股定理求即可； （2）先由勾股定理逆定理证明是直角三角形，即可以为底，为高计算面积，再计算面积，最后把两个面积相加即为总面积． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，， ∵，， ∴； 答：至少需要10米的篱笆； （2）解：∵，，， ，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 答：这块劳动实践基地的总面积为平方米． 21．已知与中，，，，连接与相交于点F，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证明得出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）先证明得出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （3）由（1）得，，从而得出，利用平行线的性质证明出，从而可得，，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， ． 在和中，，， ， ∵， ∴， （2）解： 在和中 ． 在和中 ， ． （3）解：由（1）得，， ， ∵， ，， ， ， ，， ， ． ，， ． 22．如图，中，点D为上一点，连接，过点D作，垂足分别是E，F，且满足． (1)求证：平分 (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． (2)15 【分析】（1）先推导出，证明出，得到，则平分，即可解答； （2）先求出，再根据进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵ ∴． 23．回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，即可得证． （2）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （3）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （4）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， ∴，即， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴小正方形面积大正方形面积， 故答案为：； （3）根据题意得， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． （4）如图， 根据题意得，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积． 24．已知，与都是等腰直角三角形，，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点D在内，B，D，E三点在同一直线上，过点A作的高，证明：； (3)如图3，点D在内，平分的延长线与交于点F，点F恰好为中点，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，得出相等的边和角，证明，即可得出结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得出，借助（1）的结论可得出结论； （3）连接，根据角的度数得出，设，表示出相关线段的长度，证明，得出，利用勾股定理得出，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵与都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：， ∵点D在内，B，D，E三点在同一直线上， ∴； （3）解：如图3，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，由勾股定理得， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $