暑期综合提升测试01【范围：第二章 特殊三角形】-2025-2026学年八年级数学上册暑假提升试题（浙教版2024）

2025-2026学年八年级数学上册暑假单元专题提升测试（浙教版2024） 第二章 特殊三角形综合提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列国货品牌标志图案中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）等腰三角形的一个外角是，则其底角等于（   ） A． B． C． D．或 3．（本题3分）如图，在中，，，于点，是的中点，若，则的长为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 4．（本题3分）已知：如图，，，，则的度数为（    ） A．40° B．50° C．60° D．75° 5．（本题3分）下列各组数中，属于勾股数的是（   ） A．3，4，6 B．9，12，15 C．，1 D．，， 6．（本题3分）如图，在中，，，点C，点B分别在直线a，b上，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，，点E是线段上一点，，则与相等的角是（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧．分别交于两点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交边于点，过点作交于点，若，则的周长是（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．（本题3分）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 10．（本题3分）已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）如图，在中，，于点E，，且，则的度数为 ． 12．（本题3分）如图，数轴上的点表示的数为，则 ． 13．（本题3分）如图，在中，，在的左侧，以为斜边作等腰直角，连接，若，则的面积为 ． 14．（本题3分）如图，在中，是的角平分线，，，，则的度数为 度 15．（本题3分）如图所示，在中，，，，垂足为D，延长至点E，取，若的周长为6，则周长是 ． 16．（本题3分）如图，在中，点在边上，，是的垂直平分线．若，，则的长为 ． 17．（本题3分）如图，圆柱底面圆的周长是12厘米，高是5厘米，现要从圆柱下底面的点A处，沿圆柱的侧面把一条彩带绕到上底面的点B处，则彩带最短需要 厘米． 18．（本题3分）如图，长方形中，，沿折叠后 ． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）如图，在中，，，． (1)尺规作图：作的角平分线交于点P；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求AC的长． 20．（本题8分）如图，中，，，于，平分分别与，交于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 21．（本题9分）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到定滑轮A的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求的长； (2)如图2，若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 22．（本题9分）如图，在中，，点E在边上，将沿折叠，使点B的对应点恰好落在斜边上的点F处． (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 23．（本题10分）如图，在四边形中，，对角线平分，平分交于点G，过点G的直线分别交于点E，F． (1)求证：； (2)求证：； (3)若与之间的距离为6，，求的值． 24．（本题10分）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为． (1)求线段的长． (2)若，求的度数； (3)连接，，，若的周长为，求线段的长． 25．（本题12分）如图，P是上一点，，都是等边三角形，连接和． (1)求证：； (2)与交于M，与交于N，判断的形状，并说明理由； (3)与交于点E，求的度数． 第2页，共7页 第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上册暑假单元专题提升测试（浙教版2024） 第二章 特殊三角形综合提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列国货品牌标志图案中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的定义．寻找对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项不符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项符合题意； C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项不符合题意； D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 2．（本题3分）等腰三角形的一个外角是，则其底角等于（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义，利用邻补角互补求角度，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键．根据等腰三角形的一个外角等于，可得等腰三角形的顶角为，即可求解． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角等于， ∴等腰三角形的一个内角为， ∵三角形的内角和等于， ∴等腰三角形的顶角为， ∴两个底角都为． 故选：A． 3．（本题3分）如图，在中，，，于点，是的中点，若，则的长为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形斜边的中线的性质、等边三角形的判定与性质、含有角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据三角形内角和定理可得，由直角三角形斜边的中线性质定理可得，利用等边三角形的性质及含有角的直角三角形的性质进行计算，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．（本题3分）已知：如图，，，，则的度数为（    ） A．40° B．50° C．60° D．75° 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，先根据三角形的内角和定理求解，再证明得到即可； 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴ 故选：B． 5．（本题3分）下列各组数中，属于勾股数的是（   ） A．3，4，6 B．9，12，15 C．，1 D．，， 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股数，根据勾股数的定义，勾股数是满足勾股定理且均为正整数的三个数，需逐一验证各选项是否同时满足这两个条件． 【详解】A、，不满足勾股定理，故本选项不符合题意； B、，满足勾股定理且均为正整数，故本选项符合题意； C、，1，含小数，非正整数，故本选项不符合题意； D、，，，含分数，非正整数，故本选项不符合题意； 故选：B． 6．（本题3分）如图，在中，，，点C，点B分别在直线a，b上，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，平行线的性质，邻补角的定义是解决问题的关键． 根据是等腰直角三角形得，再根据，得，由此根据邻补角的定义即可得出的度数． 【详解】解：如图所示： 在中，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 7．（本题3分）如图，，点E是线段上一点，，则与相等的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，解题的关键是：熟练掌握同角的余角相等．根据得到，根据，得到，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 8．（本题3分）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧．分别交于两点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交边于点，过点作交于点，若，则的周长是（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理以及勾股定理的应用．解题关键是熟练掌握角平分线的性质定理； 由作图知平分，结合（即）和，根据角平分线性质得．利用“”可证，从而得出．由，，算出；根据勾股定理，求得．将周长转化为，利用，进一步转化为，代入，，算出周长． 【详解】解：由作图知：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 的周长． 故选：C． 9．（本题3分）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 由题意知：大树高为，小树高为， ∴，，， 在中， 答：小鸟至少飞行米， 故选：C． 10．（本题3分）已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①由，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；②由，得到，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案．         此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵在和中， ∵， ， ∴，本选项正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ， ∵， ， ∴，本选项正确； ③∵， ， ∴， ∴，本选项正确； ④∵， ，故此选项正确， 故选：D． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）如图，在中，，于点E，，且，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，，求得，再根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ， 于点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（本题3分）如图，数轴上的点表示的数为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴．根据勾股定理求出的长，即可得到的长，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】解：如图， ， ∴， 故答案为：． 13．（本题3分）如图，在中，，在的左侧，以为斜边作等腰直角，连接，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，过A作于H，过D作于E，过A于F，则四边形是长方形，得出，，证明，得出，，设，，则，，求出，，得出，解方程即可求解． 【详解】解∶如图，过A作于H，过D作于E，过点A作于F， 则四边形是长方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵以为斜边作等腰直角， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设，，则，， ∴， ∴ ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 14．（本题3分）如图，在中，是的角平分线，，，，则的度数为 度 【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、角平分线的性质、三角形的外角性质，熟记以上知识点是解答此题的关键． 首先根据角平分线的定义求出，由可得出，然后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：在中，是的角平分线，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（本题3分）如图所示，在中，，，，垂足为D，延长至点E，取，若的周长为6，则周长是 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质，勾股定理是解决问题的关键． 证明是等边三角形得，，由得，，由勾股定理得，再由得，，再根据三角形外角性质求出得，由此即可得出周长． 【详解】解：在中，，， 是等边三角形， ，， 的周长为6， ， ， ， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ，， 是的外角， ， ， ， ， 周长是： 故答案为： 16．（本题3分）如图，在中，点在边上，，是的垂直平分线．若，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，先根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角得到，结合已知条件和三角形外角的性质可得，因此，进而即可求出的长． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ． 17．（本题3分）如图，圆柱底面圆的周长是12厘米，高是5厘米，现要从圆柱下底面的点A处，沿圆柱的侧面把一条彩带绕到上底面的点B处，则彩带最短需要 厘米． 【答案】13 【分析】本题考查平面展开﹣最短路径问题，两点间线段最短和勾股定理在生活中的应用．熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．将曲面问题变为平面问题，然后利用勾股定理计算出斜边长度． 【详解】解：如解图，长方形是圆柱的侧面展开图，连接， 此时所需彩带最短，最短长度为， ∵，由题意得厘米．厘米， 由勾股定理得，即， 解得（负值已舍）． 故答案为：13． 18．（本题3分）如图，长方形中，，沿折叠后 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据折叠的性质，从三个图中根据折叠的性质以及平行线的性质，得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：图中，∵，， ∴ 图中，∵折叠， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 图中，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）如图，在中，，，． (1)尺规作图：作的角平分线交于点P；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求AC的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了基本作图－作已知角的角平分线、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用基本作图（作已知角的平分线）作平分即可； （2）直接运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，为所作； ． （2）解：∵在中，，，， ∴． 20．（本题8分）如图，中，，，于，平分分别与，交于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练运用等腰三角形及等边三角形的性质及判定是解题的关键． （1）由可得，根据平分得，根据，得到，从而，即可得是等边三角形； （2）由是等边三角形得到，证明，得到，从而，由，可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解： 由（1）知是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ． 21．（本题9分）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到定滑轮A的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求的长； (2)如图2，若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 【答案】(1)的长为； (2)滑块B向左滑动的距离为． 【分析】（1）设，则，利用勾股定理列出方程，求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，即可解决问题． 本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：，． 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：的长为； （2）如图2，，，， 故 由物体C升高，则此时， 在中，由勾股定理得：， ∴， 答：滑块B向左滑动的距离为． 22．（本题9分）如图，在中，，点E在边上，将沿折叠，使点B的对应点恰好落在斜边上的点F处． (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，勾股定理的应用； （1）由折叠可得，证明，再利用三角形的内角和定理可得答案； （2）利用勾股定理求解，由对折可得：，，设，再利用勾股定理求解，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵将沿折叠，使点B的对应点恰好落在斜边上的点F处． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由对折可得：，，设， ∴，， ∴， 解得：， ∴，， ∴的周长为． 23．（本题10分）如图，在四边形中，，对角线平分，平分交于点G，过点G的直线分别交于点E，F． (1)求证：； (2)求证：； (3)若与之间的距离为6，，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)24 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． （1）根据得，根据平分得，再根据平行线的判定即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质得，由此可判定，进而根据全等三角形的性质可得出结论； （3）过点A作于点H，根据三角形的面积不变性解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （3）解：过点A作于点H，如图所示： ∵与之间的距离为6， ∴， ∵， ∴由三角形的面积公式得：， ∴， ∴， ∴． 24．（本题10分）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为． (1)求线段的长． (2)若，求的度数； (3)连接，，，若的周长为，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质得出，再根据即可得出结论； （2）先根据三角形的内角和求得，再根据等腰三角形的性质可得，进而计算即可； （3）先根据线段垂直平分线的性质得出，再由的周长为，求出的长，进而得出结论． 【详解】（1）解：∵直线分别是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵的周长为，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∴， ∴． 25．（本题12分）如图，P是上一点，，都是等边三角形，连接和． (1)求证：； (2)与交于M，与交于N，判断的形状，并说明理由； (3)与交于点E，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)等边三角形；理由见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据等边三角形的性质得到，，，进而可知，即可证明； （2）根据得到，证明，进而证明为等腰三角形，根据即可证明是等边三角形； （3）根据得到，进而得到，即可得到． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴； （2）解：是等边三角形．理由如下： 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴是等边三角形； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 第22页，共23页 第23页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $$