第12讲 一元一次不等式组（暑假预习讲义）新八年级数学新教材浙教版

第12讲 一元一次不等式组 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1一元一次不等式组的定义 题型2求不等式组的解集 题型3求一元一次不等式组的整数解 题型4由一元一次不等式组的解集求参数 题型5不等式组和方程组结合的问题 题型6不等式组的经济问题 题型7不等式组的分配问题 题型8不等式组的方案选择问题 题型9一元一次不等式组的其他应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一元一次不等式组 不等式组的解集 含参数不等式组 不等式组实际应用题 1.理解一元一次不等式组定义:由几个含有同-一个未知数的一元一次不等式合在一起组成;能准确识别不等式组，区分同未知数与不同未知数不等式组。 2.掌握解一元一次不等式组完整流程:分别解每个不等式一数轴画出两个解集一找出公共部分一写出不等式组2解集，熟练运用数轴数形结合判断公共范围。 4.会求不等式组的整数解、正整数解、非负整数解;掌握含参数不等式组，根据解集有无解、整数解个数反向求参数取值范围。 5.能从分配、方案选择、最值限制类实际问题中提取多个不等关系，列出一元一次不等式组求解，结合现实约束筛选符合题意的答案。 学习重点： (1)掌握不等式组解题完整步骤，能借助数轴精准找到两个解集的公共部分，熟记四句解集口诀快速判断结果 (2)熟练求解不等式组并找出指定范围整数解，规范在同一数轴上绘制两个不等式解集，区分空心圈与实心点.。 (3)掌握不等式组实际应用题解题思路:梳理多重限制条件一设未知数一列不等式组一求解集一结合实际取整数作答。 学习难点： (1)无公共部分(无解)的情况判断，容易遗漏“大大小小找不到”的题型。 (2)含参数不等式组:已知解集、整数解数量，反向推导参数取值范围，需分类讨论边界临界值。 (3)实际应用题多重不等关系挖掘，容易漏掉限制条件，解集求出后忽略生活实际只能取整数的要求。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元一次不等式组的定义 一般地，由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式。 即时即练 1．下列是一元一次不等式组的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的判断，根据一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A、选项中的不等式组含两个未知数x和y，不符合定义，故此选项不符合题意； B、选项中的第一个不等式中未知数x的次数为2，不是一元一次不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； C、选项中的两个不等式都只含一个未知数x，x的次数为1，且都是整式不等式，符合一元一次不等式组的定义，故此选项符合题意； D、选项中的第一个不等式中含有（分式），不是整式不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； 故选：C． 知识点02 一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集 即时即练 1．一个不等式组的解集表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解集为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从出发向右的线，端点为空心圆圈，表示 ； 从出发向左的线，端点为实心圆点，表示 ； 公共部分为， 即这个不等式组的解集为 ． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：不等式组的解集为， 在数轴上表示是： 知识点03 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的步骤： （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。 即时即练 1．解不等式组 【答案】 【分析】根据解不等式组的步骤，先解两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可求解． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 则不等式组的解集为． 2．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________________； (2)解不等式②，得________________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为________________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【详解】（1）解不等式①，得； （2）解不等式②，得； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为： 知识点04 一元一次不等式组的应用 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）。 即时即练 1．信阳红是河南省信阳市特产的红茶品类，该茶以信阳毛尖夏秋茶为原料，采用萎凋、揉捻、发酵等12道工序制成，其干茶条索紧细匀整，汤色红亮，具有蜜糖香和醇厚口感．某公司欲采购某品牌信阳红，已知购买3斤普通信阳红和1斤精品信阳红共需1500元，1斤精品信阳红的价格是普通信阳红价格的2倍． (1)求普通信阳红和精品信阳红的单价； (2)已知该公司采购信阳红40斤的预算不超过18000元，且采购精品信阳红的斤数不得少于普通信阳红斤数的，公司有几种采购方案？（斤数取整数，方案不必详细列出） 【答案】(1)普通信阳红的单价为300元、精品信阳红的单价为600元 (2)一共有五种采购方案 【分析】（1）设普通信阳红的单价为a元，精品信阳红的单价为b元，根据“购买3斤普通信阳红和1斤精品信阳红共需1500元，1斤精品信阳红的价格是普通信阳红价格的2倍”； （2）设购买普通信阳红x斤，则购买精品信阳红斤，根据题意列出不等式组，再求出整数解即可． 【详解】（1）解：设普通信阳红的单价为a元，精品信阳红的单价为b元， 根据题意得 解得 答：普通信阳红的单价为300元、精品信阳红的单价为600元； （2）解：设购买普通信阳红x斤，则购买精品信阳红（40-x）斤， 根据题意，可知， 解得， ∵采购精品信阳红的斤数不得少于普通信阳红斤数的， ∴，解得， ∴， ∵斤数取整数， ∴x取20、21、22、23、24， ∴一共有五种采购方案． 2．内蒙古自治区教育厅下发通知，从2025年春季学期开始，全区各级各类中小学全面落实每天综合体育活动时间不低于2小时要求，推动实施学生体质强健计划．某体育器材店经销羽毛球拍、乒乓球拍，今年三、四月份销售情况如下表所示： 月份 销售数量（副） 销售额（元） 羽毛球拍 乒乓球拍 三月 30 50 3800 四月 40 60 4800 (1)求每副羽毛球拍、乒乓球拍的销售单价分别是多少元； (2)某学校计划拿出不超过3200元的资金购买一批羽毛球拍和乒乓球拍，这两款球拍共60副，要求乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的，问学校有哪些购买方案． 【答案】(1)每副羽毛球拍的销售单价是60元，每副乒乓球拍的销售单价是40元 (2)共有5种购买方案：①购买羽毛球拍36副，乒乓球拍24副；②购买羽毛球拍37副，乒乓球拍23副；③购买羽毛球拍38副，乒乓球拍22副；④购买羽毛球拍39副，乒乓球拍21副；⑤购买羽毛球拍40副，乒乓球拍20副 【分析】（1）设每副羽毛球拍的销售单价是元，每副乒乓球拍的销售单价是元，由等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设购买羽毛球拍的数量为副，则购买乒乓球拍的数量为副，列出一元一次不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设每副羽毛球拍的销售单价是元，每副乒乓球拍的销售单价是元， 依题意，得， 解得， 答：每副羽毛球拍的销售单价是60元，每副乒乓球拍的销售单价是40元． （2）解：设购买羽毛球拍的数量为副，则购买乒乓球拍的数量为副， 依题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴或37或38或39或40， 共有5种购买方案：①购买羽毛球拍36副，乒乓球拍24副；②购买羽毛球拍37副，乒乓球拍23副；③购买羽毛球拍38副，乒乓球拍22副；④购买羽毛球拍39副，乒乓球拍21副；⑤购买羽毛球拍40副，乒乓球拍20副． 题型 1-元一次不等式组的定义 【例1】在下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义．根据一元一次不等式组的定义进行判断．几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 【详解】解：A．第二个不等式不是整式不等式，故本选项不符合题意； B．该不等式组中有2个未知数，故本选项不符合题意； C．该不等式组中的第二个不等式中不含有未知数，故本选项不符合题意； D．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1-1】下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组．解题的关键是掌握一元一次不等式组的定义． 一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：A、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； B、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； C、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断选项，一元一次不等式组需满足：由几个含同一个未知数的一元一次不等式组成，一元一次不等式要求未知数个数为1，未知数次数为1，不等号两边均为整式． 【详解】解：A选项不等式含两个未知数，不符合要求； C选项第一个式子是等式，且未知数次数为2，不符合要求； D选项第二个不等式中是分式，不是整式，不符合要求； B选项两个不等式都只含一个未知数，次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式组的定义． 【变式1-3】下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据一元一次不等式组的定义，即由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，对每个不等式组逐一判断即可． 【详解】解： 只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ②只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ③含有两个未知数x和y，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ④只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ⑤未知数x的最高次数为2和3，不是1次，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ∴符合条件的有①②④，共3个， 故选：B． 题型 2 求不等式组的解集 【例2】解不等式（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为； （2）解：解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为． 【变式2-1】解不等式组： 【答案】 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 【变式2-2】解不等式组： 【答案】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 【变式2-3】解下列不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为． 题型 3 求-元-次不等式组的整数解 【例3】解不等式组并求它的所有整数解的和． 【答案】，它的所有整数解的和为 【详解】解： 由①得，； 由②得， ∴原不等式组的解集为： ∴它的所有整数解为，0，1， ∴所有整数解的和为：． 【变式3-1】解不等式组：，并写出它的最小整数解． 【答案】不等式组的解集为 ，最小整数解为 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分，最后确定最小整数解即可. 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解为. 【变式3-2】解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，所有整数解：，0，1 【分析】先分别解出每个不等式的解集，再得出不等式组的解集，最后结合整数的概念进行作答即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 这个不等式组的所有整数解：，0，1． 【变式3-3】解不等式组：，并写出所有负整数解． 【答案】，负整数解为，， 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的的所有负整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得： ， ， ， 解不等式②得： ， ， ， ， ， 则不等式组的解集为， 故不等式组的负整数解为，，． 题型 4 由一元一次不等式组的解集求参数. 【例4】已知关于的不等式组有三个整数解，则(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分别解出两个一元一次不等式的解集，进而得到不等式组的公共解集；再根据“不等式组有三个整数解”这一条件，找出对应的三个整数解，最后通过分析边界情况确定的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． ∴不等式组的解集为． ∵不等式组有三个整数解，即，，， ∴： 若，则不等式组的整数解会包含，此时共有四个整数解，不符合题意；若，则不等式组的整数解少于三个，也不符合题意． 故选：B． 【变式4-1】已知关于的不等式组有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解含参数的一元一次不等式组，熟练解一元一次不等式组是解决问题的关键． 先分别解两个不等式，得到的取值范围，再根据不等式组有解的条件，即两个不等式的解集有交集，确定的取值范围． 【详解】解：解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得； 不等式组有解， 存在同时满足和， ， 故选：C． 【变式4-2】已知关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组的整数解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先解不等式组，得到解集为，由于有且只有两个整数解，可知整数解为和，因此需满足，从而求出的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； ∴不等式组的解集为； ∵有且只有两个整数解， ∴整数解为和； ∴； ∴； 故选：B． 【变式4-3】已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解不等式组，得到的范围，再根据整数解的个数确定具体整数解，进而推出的取值范围．本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的方法以及根据整数解确定参数取值范围是解题的关键． 【详解】解：解不等式组， 得， ∵共有5个整数解， ∴整数解为、、0、1、2， ∴. 故选：D. 题型 5 不等式组和方程组结合的问题 【例5】关于x，y的方程组的解满足的值不小于7，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式．首先利用方程组得到关于的表达式，再根据题意列出关于的一元一次不等式求解即可． 【详解】解： ①－②，得 整理，得． ∵的值不小于7 ∴，即， 解得． 【变式5-1】若方程组的解为x，y，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用加减消元法解二元一次方程组求参数，根据已知条件推断出与k的关系是解题关键． 两式相减得到与k的关系，再根据k的取值范围求的取值范围即可． 【详解】解：， 得：， ， ， ， ． 故选：A． 【变式5-2】若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，不等式组的求解，解题的关键是掌握相关的计算法则和步骤． 先求出方程组的解，然后列出不等式组进行求解即可． 【详解】解： 解方程组得， 根据题意得， 解得， ∴整数的最小值为1， 故选：C． 【变式5-3】若x，y满足方程和不等式组，则x的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，则可变形为，可变形，再分别求解即可得出答案． 【详解】解：由得， 则可变形为， 解得， 可变形为， 解得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 题型 6 不等式组的经济问题 【例6】3月19日，“开封清明上河园·忘忧清乐杯”第三届中国围棋国手赛决赛三番棋第二局在河南开封进行，卫冕冠军丁浩九段中盘胜挑战者范廷钰九段，从而以大比分2比0夺冠，实现赛事三连冠．某商家销售A，B两种围棋，每套的进价分别为200元，170元，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种 B种 第一周 2套 3套 1080元 第二周 3套 4套 1520元 (1)求A，B两种围棋每套的售价； (2)若商家准备再采购A，B两种围棋共40套，其中B种围棋的数量不少于A种围棋数量的3倍，要使销售完这40套围棋的利润不少于1280元，共有几种进货方案？（不考虑其他支出） 【答案】(1)A种围棋每套的售价为240元，B种围棋每套的售价为200元； (2)商家共有3种进货方案． 【分析】（1）设A种围棋每套的售价为x元，B种围棋每套的售价为y元，利用表格信息建立方程组解题即可； （2）设采购A种围棋m套．则采购B种围棋套，利用商家准备购进A，B两种围棋共40套，获利不低于1280元，再建立不等式组解题即可． 【详解】（1）解：设A种围棋每套的售价为x元，B种围棋每套的售价为y元． 根据题意，得．解得． 答：A种围棋每套的售价为240元，B种围棋每套的售价为200元． （2）解：设商家采购A种围棋m套，则采购B种围棋套． 根据题意，得． 解得． 是正整数， 可以取8，9或10． 答：商家共有3种进货方案． 【变式6-1】国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． (1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ (2)甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？ (3)已知每辆A型车的进价为15万元，每辆B型车的进价为20万元，在（2）的购车方案中，哪种方案的利润最高？最高利润是多少万元？ 【答案】(1)每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元； (2)共有2种购车方案，方案1：购买2辆A型车，4辆B型车；方案2：购买3辆A型车，3辆B型车； (3)购买2辆A型车4辆B型车的方案利润最高，最高利润是30万元． 【分析】（1）设未知数根据两周的销售额列二元一次方程组，求解得到两种车的售价； （2）设A型车购买数量，根据A型车数量要求和购车费要求列一元一次不等式组，求整数解得到所有购车方案； （3）分别计算各方案的总利润，比较大小得到最高利润的方案和最高利润． 【详解】（1）解：设每辆A型车的售价为万元，每辆B型车的售价为万元，依题意得： ， 解得：， 答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元； （2）解：设购买辆A型车，则购买辆B型车，依题意得： ， 解得：， 又为正整数， 可以为2，3， 共有2种购车方案，方案1：购买2辆A型车，4辆B型车；方案2：购买3辆A型车，3辆B型车； （3）解：由题意得，每辆A型车的利润为（万元），每辆B型车的利润为（万元）， 方案1的总利润：（万元）， 方案2的总利润：（万元）， ， 购买2辆A型车，4辆B型车的方案利润最高，最高利润是30万元． 【变式6-2】为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． (1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 【答案】(1)每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元 (2)有三种购买方案： 方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出1350元；方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出1420元；方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出1490元，总支出最小值为1350元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键： （1）设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，根据购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱，根据题意，列出不等式组，求出整数解即可． 【详解】（1）解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元， 由题意得： 解得：； 答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元． （2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱 由题意得： 解得： 又为整数， 可取5，6，7， 有三种购买方案： 方案1：购买15个型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出（元）； 方案2：购买14个型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出（元）； 方案3：购买13个型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出（元）； ， 总支出最小值为1350元． 【变式6-3】《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒、敖丙的玩偶深受大众喜爱．某商家购进了一批这种玩偶销售，若售出2个哪吒玩偶和4个敖丙玩偶的总销售额为80元，售出3个哪吒玩偶和2个敖丙玩偶的总销售额为60元． (1)求哪吒、敖丙玩偶每个售价各是多少元？ (2)刘老师准备用105元钱购买9个玩偶奖励给学生（两种都要购买，钱可以有剩余）．请通过计算帮助刘老师分析有哪些可能的购买方案． 【答案】(1)哪吒玩偶的售价为10元，敖丙玩偶的售价为15元； (2)一共有三种方案：购买哪吒玩偶6个，购买敖丙玩偶3个或购买哪吒玩偶7个，购买敖丙玩偶2个或购买哪吒玩偶8个，购买敖丙玩偶1个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）设哪吒玩偶的售价为x元，敖丙玩偶的售价为y元，根据“售出2个哪吒玩偶和4个敖丙玩偶的总销售额为80元，售出3个哪吒玩偶和2个敖丙玩偶的总销售额为60元”建立方程组求解即可； （2）设购买哪吒玩偶m个，则购买敖丙玩偶个，根据总费用不超过105元可得，求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】（1）解：设哪吒玩偶的售价为x元，敖丙玩偶的售价为y元， 由题意得，， 解得． 答：哪吒玩偶的售价为10元，敖丙玩偶的售价为15元； （2）解：设购买哪吒玩偶m个，则购买敖丙玩偶个， 由题意得，， 解得， ∴当时，， 当时，， 当时，， 答：一共有三种方案：购买哪吒玩偶6个，购买敖丙玩偶3个或购买哪吒玩偶7个，购买敖丙玩偶2个或购买哪吒玩偶8个，购买敖丙玩偶1个． 题型 7 不等式组的分配问题 【例7】某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分本，那么剩余本；如果前面的每名同学分本，那么最后一人分到了书但是不到本．则共有多少名同学． 【答案】 共有名同学 【分析】结合题意列出一元一次不等式组即可得解． 【详解】解：设共有名同学，则这些书有本， ， 解得， 为整数， ， 共有名同学． 【变式7-1】七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【答案】8或9 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 两次分配的粽子数量是相等的，因此可设有人包粽子，则表示出粽子总量为个，第二次分配时最后一个人的粽子数量为个．根据最后一名学生能分到的粽子不少于个但少于个列出不等式组，求正整数解即可． 【详解】解：设参加端午节包粽子活动的学生有人． 由题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴可取或， 答：参加端午节包粽子活动的学生的人数为或． 【变式7-2】一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数． 【答案】小朋友的人数与玩具数分别为5人、件或6人、件． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解本题的关键在于找出小朋友人数和玩具数之间的关系式． 设小朋友的人数为人，玩具数为，则，，且，的是正整数，将代入求出、的值，当求出的值后，求的值即可． 【详解】解：设小朋友的人数为人，玩具数为，由题意可得： ， ，即：， 解得，由于的是正整数，所以的取值为5人或6人， 当时，件； 当时，件； 所以小朋友的人数及玩具数分别为5人、件或6人、件． 【变式7-3】为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 【答案】全班至少有25人，至多有27人 【分析】本题考查的是二元一次方程与不等式组的应用，设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得，再进一步解题即可． 【详解】解：设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得 由①得：， 将代入②，得， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵是正整数， ∴全班至少有25人，至多有27人． 题型 8 不等式组的方案选择问题 【例8】开学初，小芳和小亮去商店购买中性笔和笔记本，小芳用17元钱买了1支中性笔和3本笔记本，小亮用元买了同样的中性笔支和笔记本本； (1)求每支中性笔和每本笔记本的价格； (2)运动会结束后，班主任把奖励金交给班长，购买上述价格的中性笔和笔记本共件作为奖品，叮嘱他使用这笔钱购买不能超过180元的奖品，并要求笔记本数不少于中性笔数，共有多少种购买方案？ 【答案】(1)每支中性笔元，每本笔记本元 (2)共有5种购买方案 【分析】（1）设每支中性笔的价格为 元，每本笔记本的价格为元，根据“小芳用元买了支中性笔和本笔记本；小亮用元买了同样的中性笔支和笔记本本”，即可得出关于 、的二元一次方程组，解方程组可得出结论． （2）设中性笔支，笔记本本，根据笔记本数不少于中性笔数，总费用不超过，列出不等式组，再进行求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设每支中性笔和每本笔记本的价格分别为元，元，根据题意得： 解得： 答：每支中性笔元，每本笔记本元． （2）解：设中性笔支，笔记本本，则根据题意，得 解得： ∵ 为正整数， ∴a可取20，21，22，23，24， ∴共有5种购买方案，分别是： 方案1：购买中性笔20支，笔记本28本． 方案2：购买中性笔21支，笔记本27本． 方案3：购买中性笔22支，笔记本26本． 方案4：购买中性笔23支，笔记本25本． 方案5：购买中性笔24支，笔记本24本． 【变式8-1】为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购A、B两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个A型垃圾箱与3个B型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个A型垃圾箱的支出，比购买1个B型垃圾箱少20元． (1)求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且A型号垃圾箱个数不多于B型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买A、B两种型号的垃圾箱有哪些方案？ 【答案】(1)A型单价50元，B型单价120元 (2)共有3种购买方案： 方案一：A型13个，B型7个 方案二：A型14个，B型6个 方案三：A型15个，B型5个 【分析】（1）设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，根据购买4个A型垃圾箱与3个B型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个A型垃圾箱的支出，比购买1个B型垃圾箱少20元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买个B型垃圾箱，则购买个A型垃圾箱，根据题意，列出不等式组，求出整数解即可． 【详解】（1）解：设每个A型垃圾箱元，每个B型垃圾箱元， 由题意得： 解得：； 答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元． （2）解：设购买个B型垃圾箱，则购买个A型垃圾箱 由题意得： 解得： 又为整数， 可取7，6，5， 有三种购买方案： 方案一：A型13个，B型7个， 方案二：A型14个，B型6个， 方案三：A型15个，B型5个． 【变式8-2】云南大理白族剪纸是国家级非物质文化遗产，以其细腻的镂空技艺和浓郁的民族风情闻名、春节前夕，某文创店购进了甲、乙两种白族特色剪纸礼盒共60套用于销售，甲种礼盒含《蝴蝶泉》主题剪纸，乙种礼盒含《三月街》主题剪纸．已知购进2套甲种礼盒和1套乙种礼盒共需140元，购进1套甲种礼盒和2套乙种礼盒共需130元． (1)求甲、乙两种白族剪纸礼盒的购进单价各是多少元? (2)已知甲种礼盒售价65元/套，乙种礼盒售价50元/套，要求总进货预算不超过2600元，且全部售完后的利润不低于690元．有哪几种进货方案? 【答案】(1) 甲种礼盒购进单价为50元，乙种礼盒购进单价为40元. (2) 共有3种进货方案，分别是：方案1：购进甲种礼盒18套，乙种礼盒42套；方案2：购进甲种礼盒19套，乙种礼盒41套；方案3：购进甲种礼盒20套，乙种礼盒40套. 【分析】（1）设甲种礼盒购进单价为x元，乙种礼盒购进单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设甲种礼盒购进m套，则乙种礼盒购进套，根据题意可列出关于m的不等式组，解不等式组求出符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲种礼盒购进单价为x元，乙种礼盒购进单价为y元，根据题意可得： ， 解得：， 答：甲种礼盒购进单价为50元，乙种礼盒购进单价为40元. （2）解：设甲种礼盒购买件，则 ， 解得， ∵m为整数， ∴， ∴共有3种进货方案，分别是： 方案1：购进甲种礼盒18套，乙种礼盒42套； 方案2：购进甲种礼盒19套，乙种礼盒41套； 方案3：购进甲种礼盒20套，乙种礼盒40套. 【变式8-3】2026年都江堰放水节（国家级非物质文化遗产）盛大启幕，活动联动成都春假，引爆文旅消费热潮．某景区专营店售卖放水节纪念徽章和李冰治水主题书签两种文创产品，在传播传统文化的同时实现良好经营收益．已知购进2枚纪念徽章和3套主题书签，总进价为130元；购进4枚纪念徽章和1套主题书签，总进价为150元． (1)求每枚纪念徽章、每套主题书签的进价； (2)该店计划购进两种文创产品共50件，其中主题书签的数量不超过纪念徽章数量的2倍，且购进两种产品的总进价不超过1280元．求符合条件的进货方案有哪几种？ 【答案】(1)每枚纪念徽章进价32元，每套主题书签进价22元 (2)进货方案有两种，方案1：纪念徽章17件，主题书签33件；方案2：纪念徽章18件，主题书签32件 【分析】（1）设每枚纪念徽章的进价为x元，每套主题书签的进价为y元，根据题意列方程组，再求解即可； （2）设购进纪念徽章a枚，用含a的式子表示购进主题书签的套数，根据题意列不等式组，再求解，根据解集的整数解得到a的值即可． 【详解】（1）解：设每枚纪念徽章的进价为x元，每套主题书签的进价为y元． 根据题意列方程组，， 解得． 答：每枚纪念徽章进价32元，每套主题书签进价22元； （2）解：设购进纪念徽章a枚，则购进主题书签套． 根据题意列不等式组：， ∴， ∵a为整数， ∴或． 当时，； 当时，； 即符合条件的进货方案有两种： 方案1：纪念徽章17件，主题书签33件；方案2：纪念徽章18件，主题书签32件． 题型9-元一次不等式组的其他应用 【例9】运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了四次才停止，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照程序操作顺序多次运算即可． 【详解】解：根据程序操作可知一轮运算为， ∵操作程序进行了四次才停止， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 【变式9-1】如图是小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而响起“嘀嘀”警示音的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯承载的重量超过450公斤时响起警示音，小丽、小欧的体重分别为55公斤、70公斤．设小丽进入电梯前电梯已承载的重量为公斤，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“小丽进入电梯后不超重，小欧进入电梯后超重”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 【变式9-2】图中是李刚同学设计的一个计算程序，规定从“输入 x”到判断“结果是否”为一次运行过程．如果程序运行两次就输出，那么的取值范围是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可知两次就停止，则有第一次结果15，第二次结果15，由此可得关于x的一元一次不等式组，解之即可得． 【详解】解：由题可得 解得：． 【变式9-3】某校准备组织名学生进行野外考查活动，行李共有件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载人和件行李，乙种汽车每辆最多能载人和件行李．设租用甲种汽车辆，下列符合题意的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式组的应用，解题的关键是理解题意．设租用甲种汽车辆，则租用乙车是辆，根据行李和学生人数列不等式组即可求解． 【详解】解：设租用甲种汽车辆，则租用乙车是辆，对于人数需要满足：， 对于行李则要满足：， 故选：A． 1．下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵给定不等式为，逐一分析各选项： A、若另一个不等式为，与组成不等式组，则可知该不等式组无解，符合题意； B、若另一个不等式为，根据“同小取小”，不等式组解集为，有解，不符合题意； C、若另一个不等式为，不等式组解集为，有解，不符合题意； D、若另一个不等式为，根据“大小小大中间找”，不等式组解集为，有解，不符合题意． 2．不等式组的所有整数解的和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，先分别求解不等式组中两个不等式，得到不等式组的公共解集，再找出解集内的所有整数，计算它们的和即可得到结果． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得，即， ∴不等式组的解集为， ∴该范围内的整数解为和， ∴所有整数解的和为． 3．如图所示，为了测量一颗玻璃球的体积，小明进行了下列操作：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗相同的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围在（   ） A．以上，以下 B．以上，以下 C．以上，以下 D．以上，以下 【答案】D 【分析】根据“颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满，再将一颗相同的玻璃球放入水中，结果水满溢出”即可求解． 【详解】解：∵颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；再将一颗相同的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴颗相同的玻璃球的体积最多是：， ∴1颗玻璃球的体积最多是：， ∵颗相同的玻璃球的体积最少是， ∴1颗玻璃球的体积最少是：， ∴根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围在以上，以下． 4．把若干支钢笔分给班级同学，若每人分支，剩余支；若每人分支，则最后一名同学也分到了钢笔，但钢笔数量不足支．设班级共有名学生，据此列出不等式组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意得到钢笔总数，再表示出最后一名同学分得的钢笔数量，结合数量范围列出不等式组即可. 【详解】解：班级共有名学生，每人分支剩余支， 钢笔总数为支， 若每人分支，只有最后一名同学分得的数量不足支，则前名同学共分得支， 最后一名同学分得的钢笔数量为支， 最后一名同学分到钢笔数量大于，且不足支， ． 5．如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解出第一个不等式的解集，再根据即可确定的取值范围． 【详解】解：， 解不等式， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， ∵不等式组的解集为， ∴． 6．解不等式组：，并把解集表示在数轴上； 【答案】，数轴表示如下： 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 数轴表示略． 7．解不等式组：把它的解集在数轴上表示出来并求整数解． 【答案】不等式组的解是，整数解是、、0，数轴表示如下： 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴不等式组的解集为，整数解是、、0， 数轴表示略． 8．随着人工智能与互联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某企业使用、B两种型号的机器人搬运货物．相关信息如下：若买3台型机器人、4台B型机器人，共需480万元；若买4台型机器人、3台B型机器人，共需500万元．型机器人每天可以搬运货物75吨； 型机器人每天可以搬运货物50吨． (1)求、 两种型号机器人的单价； (2)该企业计划用不超过1000万元购买、 两种型号机器人共15台，且每天搬运货物不低于825吨，请通过计算，说明该企业有哪几种采购方案，并选出最省钱的采购方案． 【答案】(1)型机器人单价为80万元，型机器人单价为60万元． (2)共有3种采购方案，分别为：方案1，购买型机器人3台，型机器人12台；方案2，购买型机器人4台，型机器人11台；方案3，购买型机器人5台，型机器人10台． 最省钱的采购方案为购买型机器人3台，型机器人12台． 【分析】（1）设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元．根据台数和总费用列方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购进A型台，B型 台，根据需要费用不超过1000万元，每天搬运货物不低于825吨列出不等式，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：设A型号智能机器人每台为x万元，B型号智能机器人每台为y万元． 由题意得，， 解得； 型号智能机器人每台分别为80万元，B型号智能机器人每台为60万元． （2）设A型号智能机器人购买m台，则B型号智能机器人购买 台． 由题意得，， 解得：． 为正整数， 可以为3，4，5，共有3种采购方案． 方案一：购买A型机器人3台，购买B型机器人12台，费用为（万元）； 方案二：购买A型机器人4台，购买B型机器人11台，费用为（万元）； 方案三：购买A型机器人5台，购买B型机器人10台，费用为（万元）， ∵， ∴最省钱的是购买A型机器人3台，购买B型机器人12台，费用为960万元． 9．为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该校从商店购买了A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． (1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买A种品牌的足球不超过43个，则有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元 (2)共有2种购买方案，分别为：方案一：购买42个A种品牌足球，8个B种品牌足球；方案二：购买43个A种品牌足球，7个B种品牌足球 【分析】（1）根据总花费和单价差的条件列二元一次方程组，求解即可得到单价； （2）设购买A种足球的数量，根据总费用限制和A数量的限制列不等式组，结合数量为正整数，即可得到所有购买方案． 【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价是元，B种品牌足球的单价是元， 根据题意得： 解得： 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元. （2）设购买A种品牌足球个，则购买B种品牌足球个，为正整数， 根据题意得： 解得， ∵为正整数， ∴的取值为42，43， 当时，； 当时，； 因此共有2种购买方案，分别是：方案一：购买42个A种品牌足球，8个B种品牌足球；方案二：购买43个A种品牌足球，7个B种品牌足球． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 一元一次不等式组 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1一元一次不等式组的定义 题型2求不等式组的解集 题型3求一元一次不等式组的整数解 题型4由一元一次不等式组的解集求参数 题型5不等式组和方程组结合的问题 题型6不等式组的经济问题 题型7不等式组的分配问题 题型8不等式组的方案选择问题 题型9一元一次不等式组的其他应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一元一次不等式组 不等式组的解集 含参数不等式组 不等式组实际应用题 1.理解一元一次不等式组定义:由几个含有同-一个未知数的一元一次不等式合在一起组成;能准确识别不等式组，区分同未知数与不同未知数不等式组。 2.掌握解一元一次不等式组完整流程:分别解每个不等式一数轴画出两个解集一找出公共部分一写出不等式组2解集，熟练运用数轴数形结合判断公共范围。 4.会求不等式组的整数解、正整数解、非负整数解;掌握含参数不等式组，根据解集有无解、整数解个数反向求参数取值范围。 5.能从分配、方案选择、最值限制类实际问题中提取多个不等关系，列出一元一次不等式组求解，结合现实约束筛选符合题意的答案。 学习重点： (1)掌握不等式组解题完整步骤，能借助数轴精准找到两个解集的公共部分，熟记四句解集口诀快速判断结果 (2)熟练求解不等式组并找出指定范围整数解，规范在同一数轴上绘制两个不等式解集，区分空心圈与实心点.。 (3)掌握不等式组实际应用题解题思路:梳理多重限制条件一设未知数一列不等式组一求解集一结合实际取整数作答。 学习难点： (1)无公共部分(无解)的情况判断，容易遗漏“大大小小找不到”的题型。 (2)含参数不等式组:已知解集、整数解数量，反向推导参数取值范围，需分类讨论边界临界值。 (3)实际应用题多重不等关系挖掘，容易漏掉限制条件，解集求出后忽略生活实际只能取整数的要求。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元一次不等式组的定义 一般地，由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式。 即时即练 1．下列是一元一次不等式组的是（   ） A．B．C．D． 知识点02 一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集 即时即练 1．一个不等式组的解集表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解集为（     ）． A． B． C． D． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点03 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的步骤： （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。 即时即练 1．解不等式组 2．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________________； (2)解不等式②，得________________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为________________． 知识点04 一元一次不等式组的应用 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）。 即时即练 1．信阳红是河南省信阳市特产的红茶品类，该茶以信阳毛尖夏秋茶为原料，采用萎凋、揉捻、发酵等12道工序制成，其干茶条索紧细匀整，汤色红亮，具有蜜糖香和醇厚口感．某公司欲采购某品牌信阳红，已知购买3斤普通信阳红和1斤精品信阳红共需1500元，1斤精品信阳红的价格是普通信阳红价格的2倍． (1)求普通信阳红和精品信阳红的单价； (2)已知该公司采购信阳红40斤的预算不超过18000元，且采购精品信阳红的斤数不得少于普通信阳红斤数的，公司有几种采购方案？（斤数取整数，方案不必详细列出） 2．内蒙古自治区教育厅下发通知，从2025年春季学期开始，全区各级各类中小学全面落实每天综合体育活动时间不低于2小时要求，推动实施学生体质强健计划．某体育器材店经销羽毛球拍、乒乓球拍，今年三、四月份销售情况如下表所示： 月份 销售数量（副） 销售额（元） 羽毛球拍 乒乓球拍 三月 30 50 3800 四月 40 60 4800 (1)求每副羽毛球拍、乒乓球拍的销售单价分别是多少元； (2)某学校计划拿出不超过3200元的资金购买一批羽毛球拍和乒乓球拍，这两款球拍共60副，要求乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的，问学校有哪些购买方案． 题型 1-元一次不等式组的定义 【例1】在下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型 2 求不等式组的解集 【例2】解不等式（组）： (1)； (2)． 【变式2-1】解不等式组： 【变式2-2】解不等式组： 【变式2-3】解下列不等式组： (1) (2) 题型 3 求-元-次不等式组的整数解 【例3】解不等式组并求它的所有整数解的和． 【变式3-1】解不等式组：，并写出它的最小整数解． 【变式3-2】解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【变式3-3】解不等式组：，并写出所有负整数解． 题型 4 由一元一次不等式组的解集求参数. 【例4】已知关于的不等式组有三个整数解，则(　　) A． B． C． D． 【变式4-1】已知关于的不等式组有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型 5 不等式组和方程组结合的问题 【例5】关于x，y的方程组的解满足的值不小于7，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】若方程组的解为x，y，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式5-3】若x，y满足方程和不等式组，则x的范围是（　　） A． B． C． D． 题型 6 不等式组的经济问题 【例6】3月19日，“开封清明上河园·忘忧清乐杯”第三届中国围棋国手赛决赛三番棋第二局在河南开封进行，卫冕冠军丁浩九段中盘胜挑战者范廷钰九段，从而以大比分2比0夺冠，实现赛事三连冠．某商家销售A，B两种围棋，每套的进价分别为200元，170元，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种 B种 第一周 2套 3套 1080元 第二周 3套 4套 1520元 (1)求A，B两种围棋每套的售价； (2)若商家准备再采购A，B两种围棋共40套，其中B种围棋的数量不少于A种围棋数量的3倍，要使销售完这40套围棋的利润不少于1280元，共有几种进货方案？（不考虑其他支出） 【变式6-1】国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． (1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ (2)甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？ (3)已知每辆A型车的进价为15万元，每辆B型车的进价为20万元，在（2）的购车方案中，哪种方案的利润最高？最高利润是多少万元？ 【变式6-2】为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． (1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 【变式6-3】《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒、敖丙的玩偶深受大众喜爱．某商家购进了一批这种玩偶销售，若售出2个哪吒玩偶和4个敖丙玩偶的总销售额为80元，售出3个哪吒玩偶和2个敖丙玩偶的总销售额为60元． (1)求哪吒、敖丙玩偶每个售价各是多少元？ (2)刘老师准备用105元钱购买9个玩偶奖励给学生（两种都要购买，钱可以有剩余）．请通过计算帮助刘老师分析有哪些可能的购买方案． 题型 7 不等式组的分配问题 【例7】某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分本，那么剩余本；如果前面的每名同学分本，那么最后一人分到了书但是不到本．则共有多少名同学． 【变式7-1】七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【变式7-2】一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数． 【变式7-3】为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 题型 8 不等式组的方案选择问题 【例8】开学初，小芳和小亮去商店购买中性笔和笔记本，小芳用17元钱买了1支中性笔和3本笔记本，小亮用元买了同样的中性笔支和笔记本本； (1)求每支中性笔和每本笔记本的价格； (2)运动会结束后，班主任把奖励金交给班长，购买上述价格的中性笔和笔记本共件作为奖品，叮嘱他使用这笔钱购买不能超过180元的奖品，并要求笔记本数不少于中性笔数，共有多少种购买方案？ 【变式8-1】为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购A、B两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个A型垃圾箱与3个B型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个A型垃圾箱的支出，比购买1个B型垃圾箱少20元． (1)求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且A型号垃圾箱个数不多于B型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买A、B两种型号的垃圾箱有哪些方案？ 【变式8-2】云南大理白族剪纸是国家级非物质文化遗产，以其细腻的镂空技艺和浓郁的民族风情闻名、春节前夕，某文创店购进了甲、乙两种白族特色剪纸礼盒共60套用于销售，甲种礼盒含《蝴蝶泉》主题剪纸，乙种礼盒含《三月街》主题剪纸．已知购进2套甲种礼盒和1套乙种礼盒共需140元，购进1套甲种礼盒和2套乙种礼盒共需130元． (1)求甲、乙两种白族剪纸礼盒的购进单价各是多少元? (2)已知甲种礼盒售价65元/套，乙种礼盒售价50元/套，要求总进货预算不超过2600元，且全部售完后的利润不低于690元．有哪几种进货方案? 【变式8-3】2026年都江堰放水节（国家级非物质文化遗产）盛大启幕，活动联动成都春假，引爆文旅消费热潮．某景区专营店售卖放水节纪念徽章和李冰治水主题书签两种文创产品，在传播传统文化的同时实现良好经营收益．已知购进2枚纪念徽章和3套主题书签，总进价为130元；购进4枚纪念徽章和1套主题书签，总进价为150元． (1)求每枚纪念徽章、每套主题书签的进价； (2)该店计划购进两种文创产品共50件，其中主题书签的数量不超过纪念徽章数量的2倍，且购进两种产品的总进价不超过1280元．求符合条件的进货方案有哪几种？ 题型9-元一次不等式组的其他应用 【例9】运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了四次才停止，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图是小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而响起“嘀嘀”警示音的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯承载的重量超过450公斤时响起警示音，小丽、小欧的体重分别为55公斤、70公斤．设小丽进入电梯前电梯已承载的重量为公斤，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】图中是李刚同学设计的一个计算程序，规定从“输入 x”到判断“结果是否”为一次运行过程．如果程序运行两次就输出，那么的取值范围是（　　　） A． B． C． D． 【变式9-3】某校准备组织名学生进行野外考查活动，行李共有件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载人和件行李，乙种汽车每辆最多能载人和件行李．设租用甲种汽车辆，下列符合题意的不等式组是（   ） A． B． C． D． 1．下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（     ） A． B． C． D． 2．不等式组的所有整数解的和为（     ） A． B． C． D． 3．如图所示，为了测量一颗玻璃球的体积，小明进行了下列操作：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗相同的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围在（   ） A．以上，以下 B．以上，以下 C．以上，以下 D．以上，以下 4．把若干支钢笔分给班级同学，若每人分支，剩余支；若每人分支，则最后一名同学也分到了钢笔，但钢笔数量不足支．设班级共有名学生，据此列出不等式组为（     ） A． B． C． D． 5．如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．解不等式组：，并把解集表示在数轴上； 7．解不等式组：把它的解集在数轴上表示出来并求整数解． 8．随着人工智能与互联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某企业使用、B两种型号的机器人搬运货物．相关信息如下：若买3台型机器人、4台B型机器人，共需480万元；若买4台型机器人、3台B型机器人，共需500万元．型机器人每天可以搬运货物75吨； 型机器人每天可以搬运货物50吨． (1)求、 两种型号机器人的单价； (2)该企业计划用不超过1000万元购买、 两种型号机器人共15台，且每天搬运货物不低于825吨，请通过计算，说明该企业有哪几种采购方案，并选出最省钱的采购方案． 9．为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该校从商店购买了A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． (1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买A种品牌的足球不超过43个，则有哪几种购买方案？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $