精品解析：2022年浙江省杭州市西溪中学数学二模试题卷

杭州市西溪中学2021学年第二学期第二次学科能力检查 九年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间100分钟． 2．答题时，必须在答题卷密封区内写明考场、座位号、姓名、考号等内容．答题必须书写在各规定区域之内，超出答题区域的答案将被视为无效． 一、选择题（30分） 1. 下列计算结果是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据负指数幂及有理数的乘方可直接进行排除选项． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，是负数，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查负指数幂及有理数的乘方，熟练掌握负指数幂及有理数的乘方是解题的关键． 2. 2021年5月11日，第七次全国人口普查结果显示，我国人口已达到141178万．把这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵141178万， 将原数改写为的形式，小数点向左移动9位后得到， 满足， ∴ 141178万用科学记数法表示为 3. 在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直角三角形中锐角余弦的定义求出斜边的长度，再结合勾股定理计算的长度，即可得到答案. 【详解】解：∵ 如图：在中，， 根据锐角余弦定义得， 又，， ，解得， 由勾股定理得，代入，得：. 4. 已知四个实数、、、，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式同向相加的性质推导A选项，再通过举反例排除其余错误选项，得到正确结果 【详解】解：∵ ，，根据不等式同向可加性，得 ，且， ∴ ，A正确； 对B选项，举反例：取，，，，则，，，不满足，B错误； 对C选项，举反例：取，，，，则，，，不满足，C错误； 对D选项，举反例：取，，，，则，，，不满足，D错误 5. 如图，、是的两条切线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的内角和可求得度数，再根据四边形的内角和，可求得的度数． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， 又∵、是的两条切线， ∴， ∴． 6. 如图，一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图象在同一坐标系下如图所示，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象交点与方程的关系解答． 【详解】解：∵一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图象的交点在第二象限， ∴两个交点的横坐标都是负数， ∴函数y＝ax2+（b+1）x+c的图像与x轴的交点的横坐标都为负数， ∴函数y＝ax2+（b+1）x+c的图像与x轴的负半轴有两个交点， 故选：D． 【点睛】本题考查函数图象的应用，熟练掌握函数图象交点与方程的关系是解题关键． 7. 如图，、是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色，同时转动两个转盘，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，不记，重转）的颜色，则两个指针指向区域的颜色是一红一蓝的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表得： B盘 A盘 黑 蓝 红 蓝 （蓝，黑） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，黑） （红，蓝） （红，红） 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中两个指针指向区域的颜色是一红一蓝的情况有种， 故两个指针指向区域的颜色是一红一蓝的概率为． 8. 如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（ ） A. 12 B. 18 C. D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可． 【详解】解：将圆锥的侧面展开成扇形，连接，则蜘蛛爬行的最短路程就是线段的长度． 由题意知，， ， 设，根据弧长公式可求， 则最短路程为：在中，． 9. 对于二次函数（），下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则一元二次方程有两个不相等的实数根 C. 若，则二次函数的图象与坐标轴的交点个数是2或3 D. 若，则一元二次方程有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式和二次函数图象性质逐个判断选项，即可找出错误说法 【详解】解：对选项A，∵ ，即当时，， ∴ 二次函数图象与轴有交点，故，A正确； 对选项B，∵， ∴ 判别式 ， ∵ ， ∴，即， ∴ 一元二次方程有两个不相等的实数根，B正确； 对选项C，∵ ， ∴ 二次函数图象与轴有2个不同交点， 若，则图象过原点，与坐标轴交点共2个； 若，图象与轴交于非原点，与坐标轴交点共3个，故交点个数是2或3，C正确； 对选项D，举反例：取，满足， 此时一元二次方程为，即，无实数根，因此D错误 10. 如图，在中，，CD是的角平分线，过点D作交BC于点E．和的面积分别为和，若，则的值为（ ）． A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，由题意易证△AND∽△DMB，进而可得，设，则有，得出BE，AC，然后求出，问题可进行求解． 【详解】解：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，如图所示： ∵，CD是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴△AND∽△DMB， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 二、填空题（24分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 如图，，若，则_________． 【答案】122°． 【解析】 【分析】根据平角的性质可计算出∠3的度数，再根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，∠2=∠3即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵∠1=58°， ∴∠3=180°-∠1=180°-58°=122°， 又∵a∥b， ∴∠2=∠3=122°． 故答案为：122°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质及平角的性质，熟练应用相关性质进行计算是解决本题的关键． 13. 一个不透明的袋子中，装有若干个红球，4个白球，8个黄球，这些球除颜色外其他均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，经过大量重复实验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，则袋子中红球有__________个． 【答案】8 【解析】 【分析】设袋子中红球的个数为，根据利用频率估计概率可知，摸到红球的概率为，根据概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：设袋子中红球的个数为， 根据题意，得：， 解得，． 14. 如图，是的切线，为切点，连接，交于点，连接，若．则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】由切线的性质可得，求出，再由等边对等角，并结合三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 15. 如图，，为反比例函数的图象上两点，直线分别交轴，轴于点、，若，的面积为，则反比例函数的解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，其中，根据及的面积为，求出点，由中点坐标公式得：点，建立关于的方程求解即可． 【详解】解：设点的坐标为，其中， ，的面积为， 则， 则， 则，即点， ，即点是的中点， 由中点坐标公式得：点， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得． 反比例函数的解析式为． 16. 如图，矩形中，点是上一点，将沿折叠，使点落在上的点处．点、、分别在线段、、上，若，，则__________，当且四边形为矩形时，__________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】（1）由矩形性质、折叠的性质以及勾股定理求得、的长，设，然后在中，由勾股定理列出方程，解方程即可； （2）由线段垂直平分线的性质得，再证，得，则，然后由勾股定理求得的长即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由折叠可得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，， 解得：， 即； 当，且四边形为矩形时，点在的垂直平分线上， 即垂直平分， ， ， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， 即， 解得：， 在中，． 三、解答题（66分） 17. 在数学活动课上，老师出了如下解一元二次方程的试题“”让同学们讨论，甲乙两位同学的做法如下： 甲同学： 解：原式可化为： ，当时，，当时，，，． 乙同学： 解：原式可化为： ，，，，， （1）小组在交流过程中发现甲乙两位同学的结果不同，请判断哪位同学的解法有误______（填“甲”或“乙”），错误的原因是________________； （2）你是否还有其他解法？请写出来并与同学们交流． 【答案】（1）乙，常数项移到方程右边时未变号 （2）解：利用公式法： ，，， ， ， ，． 【解析】 【小问1详解】 解：乙，常数项移到方程右边时未变号； 【小问2详解】 解：略 18. 在中国共产党建党100周年之际，团区委组织开展“童心向党”党史知识宣传教育活动，为了解初中学生对于党史知识的了解情况，某校随机抽取若干名学生进行测试（测试满分100分，得分均为整数），根据测试结果，将结果分为五个等级：不合格，基本合格，合格，良好，优秀，制定统计表格（部分信息未给出）． 若干名学生党史知识测试成绩的频数图 成绩（分） 人数（个） 16 36 20 14 （1）请求出，并说明本次测试中的中位数在哪个等级． （2）求扇形统计图中“合格”所对应的扇形圆心角的度数． （3）如果全校学生（总数1500人）都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？ 【答案】（1）m=14，中位数落在“合格”等级 （2） （3）210人 【解析】 【分析】（1）根据“良好”的频数和频率可求出调查总人数，进而确定 的值，确定中位数所在的等级即可； （2）求出“合格”所占的百分比即可； （3）求出样本中“优秀”所占的百分比即可． 【小问1详解】 调查总人数为：（人， ， 100个数据从小到大排列处在中间位置的两个数是第50、51位的两个数的平均数，而，， 所以中位数落在“合格”等级， ，本次测试中的中位数在合格等级； 【小问2详解】 ， 答：扇形统计图中“合格”所对应的扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 （人， 答：该校获得优秀的学生约为210人． 【点睛】本题考查频数分布表和扇形统计图，理解频数分布表与扇形统计图中数量之间关系是正确解答的关键． 19. 如图，在△ABC中，AC＝BC，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点D、E，BE的垂直平分线正好经过点A，交BC于点F． （1）若AB＝a，BF＝b，求AC的长；（用a、b的代数式表示） （2）求∠C的度数． 【答案】（1）a+2b；（2）36º 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分丝的性质可得结论； （2）先利用垂直平分线的性质和平角的意义得出∠B=2∠C，再利用等腰三角形ABC的内角和定理建立方程即可得出结论． 【详解】解：（1）∵AF是BE的垂直平分线， ∴AB=AE，BF=EF= ∵DE为AC的垂直平分线， ∴AE=CE=AB， ∵AC=BC， ∴AC=BC=BE+CE=2BF+CE=a+2b； （2）在△AEC中，∠AEB为△AEC的外角， ∴∠AEB=∠EAC+∠C 又AE=CE ∴∠EAC=∠C ∴∠AEB=2∠C ∵AB=AE ∴∠ABE=∠AEB=2∠C ∵AC=BC ∴∠CAB=∠ABC=2∠C ∵∠ABC+∠BAC+∠C=180° ∴2∠C+2∠C+∠C=180° ∴∠C=36° 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解答本题的关键是∠B=2∠C． 20. 在平面直角坐标系中，反比例函数（k是常数，且）的图象经过点． （1）若b=4，求y关于x的函数表达式； （2）点也在反比例函数y的图象上： ①当且时，求b的取值范围； ②若B在第二象限，求证：． 【答案】（1）；（2）①，且；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求得即可； （2）①根据题意2（b﹣1）=﹣2a，得出a=1﹣b，从而得出﹣2＜1﹣b≤3，解不等式即可求得结论； ②由2（b﹣1）=﹣2a得出﹣b=a﹣1，因为a＞0，所以a﹣1＞﹣1，即可求得﹣b＞﹣1，进一步证得2a﹣b＞﹣1． 【详解】（1）∵b=4，∴A（3，2）． ∵反比例函数y（k是常数，且k≠0）的图象经过点A，∴k=3×2=6，∴y； （2）①∵反比例函数y（k是常数，且k≠0）的图象经过点A（b﹣1，2），点B（﹣2，a）也在反比例函数y的图象上，∴2（b﹣1）=﹣2a，∴a=1﹣b． ∵﹣2＜a≤3且a≠0，∴﹣2＜1﹣b≤3，解得：﹣2≤b＜3且b≠1． ②∵a=1﹣b，∴b=1﹣a． ∵若B在第二象限，a＞0，∴a﹣1＞﹣1，2a＞0，∴﹣b=a﹣1＞﹣1，∴2a﹣b＞﹣1． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例图象上点的坐标符合解析式． 21. 如图，在正方形中，点为对角线、的交点，平分交于点，交于点 ． （1）判断的形状； （2）若，求的长． 【答案】（1）是等腰三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，再由角平分线确定，利用三角形内角和及外角的定义得出，再由等腰三角形的定义判断即可； （2）根据正方形的性质得出，再由相似三角形的判定和性质得出，得出，即可求解． 【小问1详解】 解：是等腰三角形． 理由：四边形是正方形， ，， 平分， ， ，，， ， 是等腰三角形． 【小问2详解】 四边形是正方形， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 22. 设二次函数，为常数，且． （1）若该二次函数的图象过点，求二次函数的表达式； （2）函数的图象始终过一个定点，若一次函数为常数，的图象也经过这个定点，求，的关系式； （3）已知点，与都在函数的图象上，若，且，求的取值范围（用含的代数式表示）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求该二次函数的表达式． （2）将代入二次函数中，整理得，可知恒过点，代入一次函数为常数，即可求实数，满足的关系式． （3）通过，可求得对称轴为，因为，且，所以只需判断对称轴的位置即可求的取值范围． 【小问1详解】 二次函数的图象经过点，且， ， ， 函数的表达式为； 【小问2详解】 ， 二次函数， 整理得，， 当时，， 恒过点， 代入得， 得， 实数，满足的关系式：， 【小问3详解】 ， 对称轴为， ，且， 当时，对称轴，解得， 当时，对称轴，解得（不符合题意，故不存在）， 故的取值范围为：． 【点睛】此题主要考查利用待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的对称轴的位置来判断函数值的大小． 23. 如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线折叠得到，交于点．连接交于点，延长和相交于点，过点作交于点． （1）求证：直线是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）欲证明直线是的切线，只需推知即可； （2）根据折叠的性质得到：．通过相似三角形的对应边成比例得到：．所以． （3），所以需要求得线段、的长度；利用（2）中的和锐角三角函数的定义求得；根据得到，即；结合勾股定理知．所以．利用方程思想求得答案． 【详解】（1）证明：∵将沿直线折叠得到， ∴． ∴点在的垂直平分线上． 同理得：点在的垂直平分线上． ∴即， ∵． ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． 解得：或（舍去）． ∴，， ∴． 【点睛】此题主要考查了圆的综合应用，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角形等知识，在运用切线的性质时，若已知切点，连接切点和圆心，得垂直；若不知切点，则过圆心向切线作垂直，即“知切点连半径，无切点作垂直”．圆与相似三角形，及三角函数相融合的解答题、与切线有关的性质与判定有关的证明题是近几年中考的热点，故要求学生把所学知识融汇贯穿，灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市西溪中学2021学年第二学期第二次学科能力检查 九年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间100分钟． 2．答题时，必须在答题卷密封区内写明考场、座位号、姓名、考号等内容．答题必须书写在各规定区域之内，超出答题区域的答案将被视为无效． 一、选择题（30分） 1. 下列计算结果是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 2021年5月11日，第七次全国人口普查结果显示，我国人口已达到141178万．把这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知四个实数、、、，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，、是的两条切线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图象在同一坐标系下如图所示，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，、是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色，同时转动两个转盘，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，不记，重转）的颜色，则两个指针指向区域的颜色是一红一蓝的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（ ） A. 12 B. 18 C. D. 24 9. 对于二次函数（），下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则一元二次方程有两个不相等的实数根 C. 若，则二次函数的图象与坐标轴的交点个数是2或3 D. 若，则一元二次方程有两个不相等的实数根 10. 如图，在中，，CD是的角平分线，过点D作交BC于点E．和的面积分别为和，若，则的值为（ ）． A. 3 B. C. D. 二、填空题（24分） 11. 因式分解：__________． 12. 如图，，若，则_________． 13. 一个不透明的袋子中，装有若干个红球，4个白球，8个黄球，这些球除颜色外其他均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，经过大量重复实验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，则袋子中红球有__________个． 14. 如图，是的切线，为切点，连接，交于点，连接，若．则的度数为__________． 15. 如图，，为反比例函数的图象上两点，直线分别交轴，轴于点、，若，的面积为，则反比例函数的解析式为_____． 16. 如图，矩形中，点是上一点，将沿折叠，使点落在上的点处．点、、分别在线段、、上，若，，则__________，当且四边形为矩形时，__________． 三、解答题（66分） 17. 在数学活动课上，老师出了如下解一元二次方程的试题“”让同学们讨论，甲乙两位同学的做法如下： 甲同学： 解：原式可化为： ，当时，，当时，，，． 乙同学： 解：原式可化为： ，，，，， （1）小组在交流过程中发现甲乙两位同学的结果不同，请判断哪位同学的解法有误______（填“甲”或“乙”），错误的原因是________________； （2）你是否还有其他解法？请写出来并与同学们交流． 18. 在中国共产党建党100周年之际，团区委组织开展“童心向党”党史知识宣传教育活动，为了解初中学生对于党史知识的了解情况，某校随机抽取若干名学生进行测试（测试满分100分，得分均为整数），根据测试结果，将结果分为五个等级：不合格，基本合格，合格，良好，优秀，制定统计表格（部分信息未给出）． 若干名学生党史知识测试成绩的频数图 成绩（分） 人数（个） 16 36 20 14 （1）请求出，并说明本次测试中的中位数在哪个等级． （2）求扇形统计图中“合格”所对应的扇形圆心角的度数． （3）如果全校学生（总数1500人）都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？ 19. 如图，在△ABC中，AC＝BC，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点D、E，BE的垂直平分线正好经过点A，交BC于点F． （1）若AB＝a，BF＝b，求AC的长；（用a、b的代数式表示） （2）求∠C的度数． 20. 在平面直角坐标系中，反比例函数（k是常数，且）的图象经过点． （1）若b=4，求y关于x的函数表达式； （2）点也在反比例函数y的图象上： ①当且时，求b的取值范围； ②若B在第二象限，求证：． 21. 如图，在正方形中，点为对角线、的交点，平分交于点，交于点 ． （1）判断的形状； （2）若，求的长． 22. 设二次函数，为常数，且． （1）若该二次函数的图象过点，求二次函数的表达式； （2）函数的图象始终过一个定点，若一次函数为常数，的图象也经过这个定点，求，的关系式； （3）已知点，与都在函数的图象上，若，且，求的取值范围（用含的代数式表示）． 23. 如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线折叠得到，交于点．连接交于点，延长和相交于点，过点作交于点． （1）求证：直线是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $