专题02 事件的相互独立性（六大题型）专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版2019版必修第二册

**基本信息** 以题型分层递进构建独立事件完整认知体系，通过辨析-计算-应用的逻辑链条培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |独立事件的判断|3题|结合掷骰子、抽号签等情境考查概念辨析|从定义出发建立独立事件的判断标准| |相互独立与互斥事件|7题|通过不放回抽样、家庭孩子性别等场景对比两种事件关系|深化事件关系的逻辑推理能力| |独立事件的乘法公式|7题|涵盖简单计算、多次射击等模型应用|强化概率计算的数学表达能力| |独立事件的实际应用|3题|设置算法竞赛、知识竞赛等真实情境问题|培养用数学语言解决实际问题的应用意识| |互斥与独立事件综合|5题|多事件交叉情境中考查概率综合运算|构建事件关系的综合认知框架| |独立事件与其他知识综合|5题|结合分布直方图、分层抽样等跨模块知识|发展知识迁移与综合解题能力|

专题02 事件的相互独立性 【题型1 独立事件的判断】 【题型2 相互独立事件与互斥事件】 【题型3 独立事件的乘法公式】 【题型4 独立事件的实际应用】 【题型5 互斥事件、事件的相互独立性的综合应用】 【题型6 独立事件与其他知识综合】 【题型1 独立事件的判断】 1．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为2或3”，事件为“向上的点数为偶数”，则事件与事件（      ） A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．相等 2．（多选）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（    ） A．A与B独立 B．B与C对立 C． D． 3．（多选）连续抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有1，2，3，4，5，6的骰子两次，分别记录两次骰子正面朝上的点数，表示事件“第一次正面朝上的点数为2”，表示事件“第二次正面朝上的点数为偶数”，表示事件“两次正面朝上的点数之和为6”，表示事件“恰有一次正面朝上的点数不大于3”，则（   ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【题型2 相互独立事件与互斥事件】 4．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 5．假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有若干个小孩，事件表示“一个家庭中既有男孩又有女孩”，事件表示“一个家庭中最多有一个男孩”．对下列两种情形，判断事件与事件是否相互独立． (1)一个家庭中有2个小孩； (2)一个家庭中有3个小孩． 6．某大街在甲，乙两处设有红绿灯，汽车在这两处遇绿灯的概率分别是，，假设在两处遇到绿灯互不影响，则汽车在这两处恰好遇到一次红灯的概率为（   ） A． B． C． D． 7．甲、乙两人独立地做同一道题，若甲、乙做对该题的概率分别为 ，则两人中只有甲做对该题的概率为_____. 8．（多选）先后抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A表示“第1枚正面向上”，事件B表示“第2枚反面向上”，事件C表示“恰有1枚正面向上”，事件D表示“两枚都正面向上”，则（    ） A．A与B相互独立 B．A与C相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D互斥 9．（多选）现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 10．新高考实行“”模式，其中“3”为语文，数学，外语这3门必选科目，“1”由考生在物理，历史2门首选科目中选择1门，“2”由考生在政治，地理，化学，生物这4门再选科目中选择2门.已知武汉大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学，生物至少1门. (1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率； (2)假设甲，乙，丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率. 【题型3 独立事件的乘法公式】 11．天气预报测出端午节当天会下雨，已知甲地下雨概率为0.7，乙地下雨的概率为0.5．且两地下雨互不影响，则甲乙两地都下雨的概率为__________． 12．某科技公司为提升员工的编程技能，举办了一场“算法挑战赛”，若甲、乙、丙三名员工进入决赛，他们获一等奖的概率分别为，，，且获奖相互独立，则至少两人获一等奖的概率为________． 13．甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响.两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，若约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（    ） A． B． C． D． 14．现要举办A，B两个活动，每个活动进行一次，已知先举办活动A，活动A失误的概率为，不失误的概率为．若活动A没有失误，则活动B失误的概率为，不失误的概率为；若活动A出现失误，则活动B失误与否的概率均为，则这两个活动有且仅有一个失误的概率为（    ） A． B． C． D． 15．甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是______. 16．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则恰有一人中靶的概率为____________. 17．某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为____________． 【题型4 独立事件的实际应用】 18．Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． (1)求乙答对题的概率； (2)若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 19．已知甲、乙两队参加知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响． (1)分别求甲队总得分为0分和2分的概率； (2)求甲队得2分且乙队得1分的概率． 20．（多选）甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，．若他们3人分别向目标各发一枪，且他们相互之间没有影响，则这3枪中（     ） A．至少有一枪命中目标的概率为 B．恰好有一枪命中目标的概率为 C．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让甲打第2枪 D．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让丙打第2枪 【题型5 互斥事件、事件的相互独立性的综合应用】 21．（多选）已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若A与B互斥，则 B．若，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则A与B相互独立 22．（多选）已知事件，满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 23．（多选）先后抛掷质地均匀的骰子两次，事件“第一次向上的点数是1”，事件“第二次向上的点数是2”，事件“两次向上的点数之和是7”，则（   ） A． B．事件与事件互斥 C． D．事件与事件相互独立 24．（多选）（改编自北师大必修一 P197例1）袋中有白球个（编号为、、）、黑球个（编号为、），这个球除颜色、编号外完全相同．现在从中不放回地依次摸取出个，每次摸个，记事件为“第一次取到的球编号为”，事件为“第一次取到的球是黑球”，事件为“取到的两个球都是白球”．则（   ） A．与互斥 B． C． D．与独立 25．（多选）已知事件，满足，，则下列说法正确的是.（   ） A．若，则 B．若与相互独立，则 C．若，则与相互独立 D．若与互斥，则 【题型6 独立事件与其他知识综合】 26．在一次数学练习中，甲､乙两人同时独立做同一道数学题，已知甲､乙能做对的概率分别是0.7和0.6. (1)求两人都做对此数学题的概率； (2)求恰有一人做对此数学题的概率. 27．甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件. (1)求事件“甲只回答2道题且通过”的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 28．为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示. (1)求的值； (2)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (3)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为、、三个等级.若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格.已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得、、等级的概率分别是、、；乙在每项考核中取得、、等级的概率分别是、、.求甲、乙能同时获得参赛资格的概率. 29．在高中生物实验技能竞赛中，有“植物标本识别”的轮次考核，每轮活动由选手甲、选手乙各识别一份未知的植物标本（识别正确记为成功，识别错误记为失败）.已知甲每轮正确识别植物标本的概率为 ，乙每轮正确识别植物标本的概率为 ，甲、乙的识别结果相互独立，各轮考核的结果也互不影响. (1)求在一轮考核中，甲，乙两人中恰好有一人成功的概率； (2)求在两轮考核中，“竞赛队”（由甲，乙组成）成功识别标本的总次数为3次的概率. 30．为了了解某校高二年级学生的体育成绩（满分100分）选取40名学生参加考核，考核成绩的频率分布直方图如图所示： (1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的40名学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)为了提升同学们的体育成绩，校方准备招聘高水平的教练进行授课．现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求至少有一人分数不低于80的概率； (3)现有体育成绩在90分以上的甲、乙两名同学要参加文旅部门组织的国庆营考试，已知考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考两门学科，每科笔试成绩从高到低依次有共四个等级，若两科笔试成绩均为，则直接参加国庆营；若一科成绩为．另一科成绩不是但不低于，则要参加第二轮面试，面试通过参加国庆营，否则不能参加．若两人考试互不影响，且甲在每科笔试中取得四个等级的概率分别是；乙在每科笔试中取得四个等级的概率分别是，甲、乙面试通过的概率都为，求甲、乙能同时参加国庆营的概率．（结果用分数表示） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 事件的相互独立性 【题型1 独立事件的判断】 【题型2 相互独立事件与互斥事件】 【题型3 独立事件的乘法公式】 【题型4 独立事件的实际应用】 【题型5 互斥事件、事件的相互独立性的综合应用】 【题型6 独立事件与其他知识综合】 【题型1 独立事件的判断】 1．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为2或3”，事件为“向上的点数为偶数”，则事件与事件（      ） A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．相等 【答案】B 【分析】利用互斥事件，相互独立事件的定义依次判断选项即可. 【详解】抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为2或3”，对于A，C选项，事件与事件能同时发生，A，C错误； 对于B,抛掷一颗质地均匀的骰子，基本事件总数，,,, 满足,所以事件与事件为相互独立事件，故B正确； 对于D，事件包含两个基本事件，事件包含三个基本事件，所以事件与事件不相等，故D错误； 2．（多选）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（    ） A．A与B独立 B．B与C对立 C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A，，，且, 因为，所以与独立. 选项B，因为， ，所以与不对立. 选项C，. 选项D，. 3．（多选）连续抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有1，2，3，4，5，6的骰子两次，分别记录两次骰子正面朝上的点数，表示事件“第一次正面朝上的点数为2”，表示事件“第二次正面朝上的点数为偶数”，表示事件“两次正面朝上的点数之和为6”，表示事件“恰有一次正面朝上的点数不大于3”，则（   ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】AC 【分析】根据相互独立事件的定义判断可得； 【详解】根据题意得，，， ，. 选项A.，，满足，A正确. 选项B.，，B错误. 选项C.，，满足，C正确. 选项D.，，D错误. 【题型2 相互独立事件与互斥事件】 4．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 【答案】B 【分析】根据题意列出两次取球所有可能情况，并分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件、互斥事件的定义判断即可. 【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，，，，，，，，，，，共种情况； 第一次取出的球的数字是1，所有可能为，，共3种情况； 第二次取出的球的数字是2，所有可能为，，共3种情况； 则两次取出球的数字之和为的所有可能为，，，共种情况； 两次取出球的数字之和为的所有可能为，共种情况； 记“第一次取出的球的数字是1”为，“第二次取出的球的数字是2”为， “两次取出的球的数字之和是5”为，“两次取出的球的数字之和是4”为， 则，，，. A：当甲丙同时发生时，取出的恰是，此时， 故甲丙相互独立，故A正确； B：当甲乙同时发生时，取出的恰是，此时，， 故甲乙不相互独立，故B错误； C：由不可能同时发生，故丙与丁互斥，故C正确； D：当第二次取出的球的数字是2时，第一次不可能取2，即两次取出的数字之和不能为4，故乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故D正确； 故选：B. 5．假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有若干个小孩，事件表示“一个家庭中既有男孩又有女孩”，事件表示“一个家庭中最多有一个男孩”．对下列两种情形，判断事件与事件是否相互独立． (1)一个家庭中有2个小孩； (2)一个家庭中有3个小孩． 【答案】(1)事件与事件不相互独立 (2)事件与事件相互独立 【分析】（1）列举所有可能性，求出对应概率，根据独立事件概念判断即可； （2）列举所有可能性，求出对应概率，根据独立事件概念判断即可. 【详解】（1）若家庭中有2个小孩，样本空间为{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，共有4个样本点． 由等可能性，知每个样本点发生的概率都为． 此时（男，女），（女，男）（男，女），（女，男），（女，女）， 而（男，女），（女，男）， 则，，． 显然， 故在一个家庭中有2个小孩的前提下，事件与事件不相互独立． （2）若家庭中有3个小孩，样本空间为｛（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，女，男），（女，男，女），（女，女，女）}，共有8个样本点． 由等可能性，知每个样本点发生的概率都为． 此时（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，女，男），（女，男，女）（男，女，女），（女，女，男），（女，男，女），（女，女，女）， 而（男，女，女），（女，女，男），（女，男，女）， 则，，． 显然，故在一个家庭中有3个小孩的前提下，事件与事件相互独立． 6．某大街在甲，乙两处设有红绿灯，汽车在这两处遇绿灯的概率分别是，，假设在两处遇到绿灯互不影响，则汽车在这两处恰好遇到一次红灯的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据独立事件概率乘积公式结合互斥事件概率和公式计算求解. 【详解】在甲，乙两处设有红绿灯，汽车在这两处遇绿灯的概率分别是，， 则汽车在这两处恰好遇到一次红灯的概率为. 故选：B. 7．甲、乙两人独立地做同一道题，若甲、乙做对该题的概率分别为 ，则两人中只有甲做对该题的概率为_____. 【答案】 【分析】利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算. 【详解】设甲、乙做对该题分别为事件A、B，则有，， 两人中只有甲做对该题为事件C，则 . 故答案为： 8．（多选）先后抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A表示“第1枚正面向上”，事件B表示“第2枚反面向上”，事件C表示“恰有1枚正面向上”，事件D表示“两枚都正面向上”，则（    ） A．A与B相互独立 B．A与C相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D互斥 【答案】ABD 【分析】根据相互独立事件、互斥事件的定义一一分析结合列举法判定选项即可. 【详解】先后抛掷两枚硬币出现的结果有：正正，正反，反正，反反四种情况， 则事件A包含正正，正反两种情况；事件B包含正反，反反两种情况； 事件C包含正反，反正两种情况；事件D包含正正一种情况； 所以， 显然，， ，，即ABD正确. 故选：ABD 9．（多选）现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 【答案】BD 【分析】利用样本空间法，分别计算4个事件的概率，以及选项中两个事件同时发生是概率，再结合独立事件，互斥事件的定义，即可判断选项. 【详解】，事件丙包含，共5个基本事件，所以，，所以，甲与丙不相互独立，故A错误； 事件丁包含共6个基本事件，所以，，所以，甲与丙相互独立，故B正确； ，，所以，乙与丙不相互独立，故C错误； 事件丙和丁没有公共事件，不可能同时发生，所以丙和丁互斥，故D正确. 故选：BD 10．新高考实行“”模式，其中“3”为语文，数学，外语这3门必选科目，“1”由考生在物理，历史2门首选科目中选择1门，“2”由考生在政治，地理，化学，生物这4门再选科目中选择2门.已知武汉大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学，生物至少1门. (1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率； (2)假设甲，乙，丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型计算即可； （2）根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式计算即可. 【详解】（1）用a,b分别表示“选择物理”,“选择历史”, 用c,d,e,f分别表示选择“选择化学”,“选择生物”,“选择政治”,“选择地理”, 则所有选课组合的样本空间为 , 则, 设M为选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求, 则,, 所以选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率为； （2）设甲、乙、丙每人选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求分别是事件,,, 由题意可知,,相互独立, 由（1）可得, 记N为甲、乙、丙三人中恰好有一人的选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求, 则, 因为事件两两互斥,根据互斥事件概率加法公式可得. 【题型3 独立事件的乘法公式】 11．天气预报测出端午节当天会下雨，已知甲地下雨概率为0.7，乙地下雨的概率为0.5．且两地下雨互不影响，则甲乙两地都下雨的概率为__________． 【答案】/ 【分析】根据事件的独立性，利用独立事件的概率乘法公式计算两地同时下雨的概率. 【详解】设”甲地下雨”为事件，”乙地下雨”为事件，则，. 由两地下雨互不影响，可知事件与相互独立. 因此，甲乙两地都下雨的概率为. 12．某科技公司为提升员工的编程技能，举办了一场“算法挑战赛”，若甲、乙、丙三名员工进入决赛，他们获一等奖的概率分别为，，，且获奖相互独立，则至少两人获一等奖的概率为________． 【答案】 【详解】设事件甲、乙、丙获奖分别为A，B，C，至少两位员工获奖有如下情况： 甲、乙获奖丙未获奖，甲、丙获奖乙未获奖，乙、丙获奖甲未获奖，甲、乙、丙三人均获奖， 则 ． 13．甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响.两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，若约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论满足“前4次中甲恰好射击3次”的所有三种不同射击顺序，利用相互独立事件的乘法公式分别计算出每种情况的概率，最后相加求和. 【详解】设前4次中甲射击3次的概率为，共有三种情况： 甲中-乙中-甲没中-甲，概率为； 甲没中-甲没中-甲中-乙：； 甲没中-甲中-乙中-甲：， 所以. 14．现要举办A，B两个活动，每个活动进行一次，已知先举办活动A，活动A失误的概率为，不失误的概率为．若活动A没有失误，则活动B失误的概率为，不失误的概率为；若活动A出现失误，则活动B失误与否的概率均为，则这两个活动有且仅有一个失误的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互斥事件的概率加法公式和条件概率的乘法公式，即可求解. 【详解】记事件E表示“活动A失误”，事件F表示“活动B失误”，这两个活动有且仅有一个失误的概率为. 15．甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是______. 【答案】 【详解】甲一次投篮不命中的概率为， 乙一次投篮不命中的概率为， ∴两人都不命中的概率为， ∴至少有一人命中的概率为． 16．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则恰有一人中靶的概率为____________. 【答案】0.46/ 【分析】设出事件，根据相互独立事件的概率计算公式计算即可. 【详解】设甲中靶为事件，乙中靶为事件， 则恰有一人中靶的概率为， 故答案为：. 17．某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为____________． 【答案】/ 【分析】首先由题意抽象为独立事件同时发生的事件，再代入概率公式，即可求解. 【详解】设答错第一道选择题为事件，答错第二道选择题为事件,两事件相互独立， 且， 两个题都选错为事件，则. 故答案为： 【题型4 独立事件的实际应用】 18．Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． (1)求乙答对题的概率； (2)若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出关于的方程解得即可. （2）两人共答对3次，只可能为甲答对2次乙答对1次或甲答对1次乙答对2次，列式解得即可. 【详解】（1）设“甲答对每题的概率”为事件，“乙答对每题的概率”为事件， 由已知， 则乙连续2次答错的概率， 由题意得，解得或（舍去）， 乙答对题的概率为． （2）事件甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次，可表示为事件：甲答对一次、乙2次全部答对， 与事件：乙只答对一次、甲2次全部答对的和事件． 甲答对一次、乙2次全部答对的概率为， 乙只答对一次、甲2次全部答对的概率为， 故两人共答对3次的概率为． 所以甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次的概率为． 19．已知甲、乙两队参加知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响． (1)分别求甲队总得分为0分和2分的概率； (2)求甲队得2分且乙队得1分的概率． 【答案】(1)甲队总得分为0分和2分的概率分别为. (2)甲队得2分且乙队得1分的概率为. 【分析】（1）（2）运用独立事件概率相关知识，可容易解出. 【详解】（1）设甲队总得分为0分为事件，甲队总得分为2分为事件. 甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率. 甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余2人答对，其概率. （2）设乙队得1分为事件，甲队得2分且乙队得1分为事件.则 ， 所以. 综上，(1)甲队总得分为0分和2分的概率分别为；(2)甲队得2分且乙队得1分的概率为. 20．（多选）甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，．若他们3人分别向目标各发一枪，且他们相互之间没有影响，则这3枪中（     ） A．至少有一枪命中目标的概率为 B．恰好有一枪命中目标的概率为 C．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让甲打第2枪 D．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让丙打第2枪 【答案】AD 【分析】由独立事件乘法公式和对立事件概率计算公式、互斥事件和事件概率公式可判断AB，分别计算甲、乙、丙在第2枪时，连续命中两枪的概率，即可判断CD. 【详解】对于A：三枪全不中的概率， 故至少有一枪命中目标的概率为，A正确； 对于B：恰好有一枪命中目标的概率，B错误； 对于C、D： 设枪连续命中的概率为，枪连续命中的概率为，三枪都中的概率为， 则由题意至少连续两枪命中的概率， 若甲在第2枪：乙在第1枪，丙在第3枪， 若甲在第2枪：乙在第3枪，丙在第1枪， 即甲在第2枪，连续命中两枪的概率为， 同理：若乙在第2枪， 连续命中两枪的概率为， 若丙在第2枪： 连续命中两枪的概率为， 因此丙在第2枪时概率最大，C错误，D正确. 【题型5 互斥事件、事件的相互独立性的综合应用】 21．（多选）已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若A与B互斥，则 B．若，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则A与B相互独立 【答案】CD 【详解】对于A，若A与B互斥，则，故错误； 对于B，若，则，故错误； 对于C，若A与B相互独立，则与也相互独立， 所以，故正确； 对于D，，可得， 所以，则A与B相互独立，故正确. 22．（多选）已知事件，满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 【答案】BCD 【分析】根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式判断各选项. 【详解】对于A，只有当与相互独立时，，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，与互斥，则， 那么，故C正确； 对于D，如果与相互独立， 那么，故D正确. 23．（多选）先后抛掷质地均匀的骰子两次，事件“第一次向上的点数是1”，事件“第二次向上的点数是2”，事件“两次向上的点数之和是7”，则（   ） A． B．事件与事件互斥 C． D．事件与事件相互独立 【答案】ACD 【分析】根据古典概型的概率公式，分别计算事件A，B，C以及，，进而可判断各个选项. 【详解】因为先后抛掷质地均匀的骰子两次共有（种）结果，事件包含共6种结果，所以，故A正确； 事件包含共6种结果， 显然既在事件A的样本空间里又在事件B的样本空间里，故事件与事件不互斥，所以B错误； 事件包含共5种结果，故，所以C正确； 事件C包含共6种结果，所以， 事件包含一个样本点，所以，所以，故事件与事件相互独立，所以D正确. 故选：ACD 24．（多选）（改编自北师大必修一 P197例1）袋中有白球个（编号为、、）、黑球个（编号为、），这个球除颜色、编号外完全相同．现在从中不放回地依次摸取出个，每次摸个，记事件为“第一次取到的球编号为”，事件为“第一次取到的球是黑球”，事件为“取到的两个球都是白球”．则（   ） A．与互斥 B． C． D．与独立 【答案】BC 【分析】利用互斥事件的定义可判断A选项；利用对立事件的概率公式可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；利用独立事件的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，事件“第一次摸到编号为的黑球”，故与不互斥，A错； 对于B选项，将个编号为、、的白球分别记为、、， 将个编号为、的黑球分别记为、，基本事件总数为， ， 所以，B对； 对于C选项，，所以，C对； 对于D选项，， ， ， 所以，，， 所以，故、不独立，D错. 故选：BC. 25．（多选）已知事件，满足，，则下列说法正确的是.（   ） A．若，则 B．若与相互独立，则 C．若，则与相互独立 D．若与互斥，则 【答案】ACD 【分析】根据独立事件概率乘积公式及互斥事件概率和公式，对立事件概率公式计算判断各个选项. 【详解】事件，满足，， 对于A：若，则，A选项正确； 对于B：若与相互独立，则，B选项错误； 对于C：因为，即，则与相互独立，C选项正确； 对于D：若与互斥，则，D选项正确； 故选：ACD. 【题型6 独立事件与其他知识综合】 26．在一次数学练习中，甲､乙两人同时独立做同一道数学题，已知甲､乙能做对的概率分别是0.7和0.6. (1)求两人都做对此数学题的概率； (2)求恰有一人做对此数学题的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率的乘法公式求解即可； （2）根据概率的加法与乘法公式求解即可. 【详解】（1）设事件：“甲做对”，事件：“乙做对”，则“两人都做对”为事件， 因为相互独立，故； （2）恰有一人做对为事件，事件互斥, 相互独立，相互独立， 所以. 27．甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件. (1)求事件“甲只回答2道题且通过”的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意直接计算即可； （2）先由题意求出即可由独立事件概率乘法公式计算求解； （3）先依次分析计算求出甲、乙通过面试的概率，再由独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式计算即可求解. 【详解】（1）由题可得（甲只回答2道题且通过）； （2）由题可得， 若事件发生，则乙前两题对一题，错一题，第三题答对， ， 由题意可知事件相互独立， 所以； （3）记甲没有通过面试为事件， 包括前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则甲没有通过面试的概率为 则甲通过面试的概率为， 乙通过面试的事件记为，则概率为， 乙没有通过面试概率为， 由题意可知事件相互独立，甲、乙两人恰有一人通过面试的事件记为， 则概率为 . 28．为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示. (1)求的值； (2)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (3)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为、、三个等级.若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格.已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得、、等级的概率分别是、、；乙在每项考核中取得、、等级的概率分别是、、.求甲、乙能同时获得参赛资格的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有直方图面积之和为可得出关于的等式，即可解得的值； （2）利用列举法结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （3）求出甲、乙各自获得参赛资格的概率，再利用独立事件的概率公式可求得甲、乙能同时获得参赛资格的概率. 【详解】（1）由题意得，，解得. （2）因为按、分层，采用分层随机抽样的方法抽取人， 所以从成绩在中抽出的人数为，分别记为、、， 从成绩在中抽出的人数为：，分别记为， 从人中抽取人进行考核，样本空间为， 则，记“至少有人分数低于分”为事件， 则. 即，因此. 故人中至少有人分数低于分的概率为. （3）记甲获得参赛资格的概率为，乙获得参赛资格的概率为， 由题意可得，，. 由于甲、乙的考核结果互相不受影响， 所以甲获得参赛资格与乙获得参赛资格相互独立. 则甲、乙能同时获得参赛资格的概率为. 29．在高中生物实验技能竞赛中，有“植物标本识别”的轮次考核，每轮活动由选手甲、选手乙各识别一份未知的植物标本（识别正确记为成功，识别错误记为失败）.已知甲每轮正确识别植物标本的概率为 ，乙每轮正确识别植物标本的概率为 ，甲、乙的识别结果相互独立，各轮考核的结果也互不影响. (1)求在一轮考核中，甲，乙两人中恰好有一人成功的概率； (2)求在两轮考核中，“竞赛队”（由甲，乙组成）成功识别标本的总次数为3次的概率. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式求解； （2）所求事件可分为甲正确识别2个乙正确识别1个，甲正确识别1个乙正确识别2个两互斥事件的和求解. 【详解】（1）设“甲每轮识别成功”为事件A，“乙每轮识别成功”为事件B， 由题意：； ， 由甲，乙的识别结果相互独立，，都相互独立； 甲，乙两人中恰好有一人成功=“”，且互斥， ∴； （2）设A1，A2分别表示甲两轮考核中识别成功1个，2个植物标本，B1，B2分别表示乙两轮识别成功1个，2个植物标本， ， ， 设“在两轮考核中，“竞赛队”（由甲，乙组成）成功识别标本的总次数为3次”， ∴，且与互斥，与与分别相互独立， ∴ ， 因此，在两轮考核中，“竞赛队”成功识别标本的总次数为3次概率为． 30．为了了解某校高二年级学生的体育成绩（满分100分）选取40名学生参加考核，考核成绩的频率分布直方图如图所示： (1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的40名学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)为了提升同学们的体育成绩，校方准备招聘高水平的教练进行授课．现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求至少有一人分数不低于80的概率； (3)现有体育成绩在90分以上的甲、乙两名同学要参加文旅部门组织的国庆营考试，已知考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考两门学科，每科笔试成绩从高到低依次有共四个等级，若两科笔试成绩均为，则直接参加国庆营；若一科成绩为．另一科成绩不是但不低于，则要参加第二轮面试，面试通过参加国庆营，否则不能参加．若两人考试互不影响，且甲在每科笔试中取得四个等级的概率分别是；乙在每科笔试中取得四个等级的概率分别是，甲、乙面试通过的概率都为，求甲、乙能同时参加国庆营的概率．（结果用分数表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由概率之和为1即可计算求解t，由频率分布直方图的平均数计算方法直接计算即可求解平均数； （2）求出两组各的人数即可由古典概型计算求解； （3）分别求出甲、乙能参加国庆营的概率即可求甲、乙能同时参加国庆营的概率. 【详解】（1）由题可得， 所以所抽取的40名学生成绩的平均数约为. （2）由题可得两组各抽2人和3人，分别记为和， 则从5人中挑出两人进行试课，则样本空间为，共有10个样本点， 记事件“至少有一人分数不低于80”，则 ，共有9个样本点， 所以至少有一人分数不低于80的概率为； （3）由题可得甲能参加国庆营情况有以下三种情况： 第一种情况是甲笔试两科成绩均为A； 第二种情况是甲两科笔试成绩分别为A和B且第二轮面试通过； 第三种情况是甲两科笔试成绩分别为A和C且第二轮面试通过. 所以甲能参加国庆营的概率为， 同理乙能参加国庆营的概率， 所以甲、乙能同时参加国庆营的概率为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $