10．2 事件的相互独立性（4大题型）题型训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦事件相互独立性，通过基础题型到重难点拓展的递进设计，系统覆盖概念判断、概率计算及综合应用，培养推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础题型归纳|12题|含判断事件独立性、求解概率、综合解题及方程思想应用，覆盖选择与解答题|从概念理解（判断独立性）到定量计算，再到方程思想融合，形成“概念-运算-综合”逻辑链| |重难点拓展|18题|涉及复杂情境（比赛、游戏等）、多事件关联及数学思想（如函数最值），含选择、填空、解答|在基础上拓展实际应用，强化多事件独立性分析与数学语言表达，提升应用意识|

10．2 事件的相互独立性 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：判断事件是否相互独立 2 题型二：求解相互独立事件概率 3 题型三：相互独立事件概率综合解题 3 题型四：利用方程思想解独立事件概率问题 6 02 重难点拓展 10 题型一：判断事件是否相互独立 1．（2026·高一·江苏扬州·期末）抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（    ）. A．A与B对立 B．A与B互斥 C． D．A与B相互独立 【答案】D 【解析】由题意可得，抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 则事件包含的结果有：（正，正），（正，反），事件包含的结果有：（正，反），（反，反）， 显然事件，事件都包含“（正，反）”这一结果，即事件，事件能同时发生， 所以，事件，事件既不互斥也不对立，故AB错误. 又因为，而，， 所以，，故C错误，D正确. 故选：D 2．（2026·全国·模拟预测）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件， “两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与 间的关系是（    ） A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥 C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立 【答案】A 【解析】由题意得，， 所以. 所以与，与均相互独立，与，与均不互斥. 故选：A. 3．分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A，“第二枚为正面”记为事件B，“两枚结果相同”记为事件C，那么事件A与B，A与C间的关系是（    ） A．A与B，A与C均相互独立 B．A与B相互独立，A与C互斥 C．A与B，A与C均互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立 【答案】A 【解析】因为事件A是否发生对事件B、C是否发生不产生影响，所以A与B，A与C均相互独立. 故选：A 题型二：求解相互独立事件概率 4．（2026·高二·江苏无锡·期中）甲乙两人投篮投中的概率分别为，，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设甲、乙投篮投中的事件分别为. 则两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是. 5．（2026·高三·云南普洱·期末）已知随机事件和相互独立，且，则（   ） A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.9 【答案】B 【解析】因为事件和相互独立，， ∴ 故选：B. 6．（2026·高一·江西景德镇·期末）口袋里共有5个球，其中3个是白球，2个是黑球，这5个球除了颜色之外完全相同.若2个人依次不放回地摸球，则第二个人摸到白球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若第二个人摸到白球，则有2种可能：第一个人摸到白球或第一个人摸到黑球， 所以第二个人摸到白球的概率是. 故选：B. 题型三：相互独立事件概率综合解题 7．（2026·高一·河南·期末）、两队进行围棋比赛，队有甲、乙、丙三位棋手，队只有丁一位棋手．比赛规则如下：队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘（负一盘）或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得连胜，则两队打平．已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为、、，且各盘比赛相互独立．丁连胜两盘、负一盘的概率为，连胜三盘的概率为． (1)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求； (2)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求、两队打平的概率； (3)通过计算判断队怎样安排出场顺序对丁最有利，并说明实际意义． 【解析】（1）因为队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛， 所以丁连胜两盘且其中第二盘必胜，即对乙必胜， 所以． 故． （2）设、两队打平的概率为． 记事件第二盘为丁胜，第一、三盘分别为甲、丙胜． 记事件第二盘为乙胜，第一、三盘都是丁胜，则与为互斥事件， 则. （3）设丁获胜的概率为． 若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，则． 同理，若队按丙、乙、甲的出场顺序与队进行比赛，则． 若队按乙、甲、丙或丙、甲、乙的出场顺序与队进行比赛， 则． 若队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛， 则． 因为，所以队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛时对丁最有利． 因为丁连胜三盘的概率与顺序无关，所以丁连胜两盘、负一盘， 其中第二盘必胜，第二盘的对手实力越强， 连胜两盘的概率越小，第二盘的对手实力越弱，连胜两盘的概率越大， 根据已知丙的实力最弱，故A队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与B队进行比赛时对丁最有利． 8．（2026·高一·江西宜春·月考）甲，乙两人进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响，若甲，乙两人总共进行4局比赛. (1)求甲恰好有2局比赛获胜的概率； (2)求甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率. 【解析】（1）记“甲在第局获胜”为事件， 记“甲恰好有2局比赛获胜”为事件， 所以， 所以. （2）记“甲获胜的局数比乙获胜的局数多”为事件， 所以， 所以 . 即甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率为. 9．（2026·上海徐汇·一模）某企业招聘员工，指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过. 假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由. 【解析】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为， 则. 应聘者选方案一考试通过的概率 应聘者选方案二考试通过的概率 （2） ， 因为，所以,即. 故，即选方案一，该应聘者考试通过的概率较大. 题型四：利用方程思想解独立事件概率问题 10．（2026·高一·贵州遵义·月考）为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立． (1)若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为： ①求，的值； ②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率； (2)若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值． 【解析】（1）①由题意可得，解得或， 因为，所以，，解得； ②一共治愈好2只小白鼠的情况有如下三种情况： 第一种，药物恰好治愈2只小白鼠，药物治愈0只小白鼠，其概率为； 第二种，药物恰好治愈0只小白鼠，药物治愈2只小白鼠，其概率为； 第三种，药物恰好治愈1只小白鼠，药物治愈1只小白鼠，其概率为； 所以，两种药物一共治愈好2只小白鼠的概率为； （2）设药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率为， 则， 因为，所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值为. 11．（2026·高二·山东青岛·期中）在数学学科周中，举行数学素养选拔赛（满分分），为了了解本次比赛成绩的情况，随机抽取了名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． (1)求出频率分布直方图中、的值，并估计此次比赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (2)用分层随机抽样的方法从、两个区间共抽取出名学生，再从这名学生中随机抽取名进行交流分享，求两人至少一人在的概率； (3)甲、乙、丙名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响．求甲、乙、丙人中至少有人解出该题的概率． 【解析】（1）由题意可知，解得， 可知每组的频率依次为、、、、， 所以此次比赛成绩的平均值为（分 ）； （2）用分层随机抽样的方法从、两个区间共抽取出名学生， 其中成绩在内的学生人数为，分别记为、、、， 成绩在的学生人数为，记为， 则从这名学生中随机抽取名进行交流分享的总体样本空间为，共个样本点， 记事件从这名学生中随机抽取名进行交流分享，两人至少一人在内， 则，共个样本点，故. （3）设“甲解出该题”为事件，“乙解出该题”为事件，“丙解出该题”为事件， “甲、乙、丙人中至少有人解出该题”为事件， 由题意得，解得， 所以. 12．（2026·高一·浙江宁波·期末）乒乓球被称为中国的“国球”，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国乒乓球队包揽五块金牌.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜（比如：比分为，得12分者胜），该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，甲先发球. (1)若两人又打了2个球比赛结束且甲获胜的概率为，求的值； (2)若满足（1）中条件取值，记事件“两人又打了4个球该局比赛结束”，事件“两人又打了个球该局比赛结束”. （i）求； （ii）直接写出. 【解析】（1）记表示打第个球是甲胜， 两人又打了2个球比赛结束且甲获胜即，各球的结果相互独立， ，，，. （2）（i），为奇数；，为偶数. . ，，，互斥，各球的结果相互独立. . . . . . （ii），. 1．（2026·上海静安·二模）袋子里装有四枚围棋子，其中两枚黑色棋子、两枚白色棋子，从中随机取出两枚棋子，那么互斥而不对立的事件是（    ）． A．“至多有一枚白色棋子”与“至多有一枚黑色棋子” B．“至多有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” C．“恰好有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” D．“至多有一枚白色棋子”与“都是白色棋子” 【答案】C 【解析】记随机取出两枚棋子，均为黑色棋子为事件，一枚黑色棋子、一枚白色棋子为事件，均为白色棋子为事件. 对于A：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“至多有一枚黑色棋子” 包含事件、事件. 两个事件都包含事件，能同时发生，不是互斥事件.A不满足. 对于B：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“都是黑色棋子”为事件. 两个事件都包含事件，能同时发生，不是互斥事件.B不满足. 对于C：“恰好有一枚白色棋子”为事件，“都是黑色棋子”为事件. 两个事件不能同时发生，且并集不是全集（缺少事件），是互斥而不对立事件.C满足. 对于D：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“都是白色棋子”为事件. 两个事件不能同时发生，且并集是全集，是对立事件.D不满足. 2．（25-26高三下·河北·开学考试）在名男生，名女生中随机选取一名男生和一名女生，记“男生甲和女生乙入选”为事件，“男生甲入选”为事件，“女生乙入选”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】显然男生甲是否入选不会影响女生乙是否入选，故事件相互独立，且， 于是，A错误，B正确； 事件包含“男生甲未入选，女生乙入选”、“男生甲入选，女生乙未入选”、“男生甲､女生乙都未入选”三种情况， 因此，则，所以C错误； 依题意，，， 而且，因此，即，D错误. 3．（2026·广东佛山·一模）甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意知恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章， 则第3，4局必有甲胜，乙负，且前2局中，甲胜一局乙胜一局， 所以所求概率为. 4．（25-26高三下·浙江杭州·月考）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局．每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分．已知甲在每局比赛中获胜的概率是，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局结果相互独立．在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】情况一：甲赢3局，乙赢3局，且甲的累计得分始终不小于乙的累计得分， 符合题意的获胜情况有：甲乙甲乙甲乙、甲乙甲甲乙乙、甲甲乙乙甲乙、甲甲乙甲乙乙、 甲甲甲乙乙乙共5种，此时概率； 情况二：甲赢4局，乙赢2局， 从6局中选4局甲赢，有种， 其中不符合题意的获胜情况有：乙乙甲甲甲甲、 乙甲乙甲甲甲、乙甲甲乙甲甲、 乙甲甲甲乙甲、乙甲甲甲甲乙、甲乙乙甲甲甲共6种， 则符合题意的获胜情况有9种，此时概率； 情况三：甲赢5局，乙赢1局， 符合题意的情况有种，此时概率； 情况四：甲赢6局，乙赢0局，此时概率； 综上，概率． 5．（25-26高三下·浙江·开学考试）在某地区的一个电视节目中某“专家”说1枚防空导弹的拦截率为70%，连发3枚这种防空导弹就有210%的拦截率．你认为发射3枚拦截率为70%的导弹，至少1枚拦截成功的概率为（    ） A．210% B．100% C．97.3% D．70% 【答案】C 【解析】因为一枚都没拦截成功的概率， 所以至少一枚拦截成功的概率为． 6．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，是相互独立事件，若，，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】A 【解析】因为，是相互独立事件，所以，和，均相互独立， 因为两两互斥， 所以， 因为，所以， 则，得． 故选：A 7．（25-26高一上·山西忻州·期末）一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D． 【答案】D 【解析】将2个红球、2个绿球和2个蓝球分别记为， 则从袋中一次性随机取出2个球的样本空间为共15个样本点， 由题意共3个样本点，共9个样本点， 共14个样本点，共6个样本点， 所以，故A与D不互斥，故A错误； ，故B与C不互斥，故B错误； 因为，一个样本点， 所以，即，故C错误； ，故D正确. 故选：D 8．（25-26高二上·山东临沂·期末）甲乙两人独立地参加一项闯关游戏，甲成功的概率为，乙成功的概率为，则甲乙至少有一人成功的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记事件甲成功闯关，事件乙成功闯关，事件至少有一人成功闯关， 则事件、相互独立，且，，， 所以 . 故选：C. 9．（多选题）（2026·安徽合肥·二模）某社区有150名中老年人参加园艺、摄影、书画等三个兴趣班，每人只参加一个兴趣班，各班人数及年龄（单位：岁）分布如下表： 兴趣班年龄 园艺班 摄影班 书画班 合计 12 5 10 27 20 15 25 60 18 10 35 63 合计 50 30 70 150 从这150人中随机抽取1人，设事件为“抽到的人年龄位于区间”，事件为“抽到的人来自园艺班”，则（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．60岁以上的老年人参加园艺班的人数约为28人 D．这150人年龄平均数的估计值为60岁 【答案】BC 【解析】对A：由园艺班中有年龄位于区间的人，故事件与事件可以同时发生， 故事件与事件不互斥，故A错误； 对B：，，， 有，则， 故事件与事件相互独立，故B正确； 对C：，故60岁以上的老年人参加园艺班的人数约为28人，故C正确； 对D：，故D错误. 10．（多选题）（25-26高一上·浙江杭州·月考）有一个掷骰子的游戏，骰子六个面上分别标有1~6六个数字，第一个人将一颗骰子抛掷一次，第二个人将一颗骰子抛掷2次，第三个人将一颗骰子抛掷3次……第n个人将一颗骰子抛掷n次，记表示“第n个人n次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于.现有下列结论正确的有（   ） A．必然发生 B．发生的概率为 C．可能发生 D．发生的概率大于0 【答案】ABC 【解析】对于A：∵抛掷1次出现的点数最小为1， 第1个人1次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和一定大于，所以为必然事件； 对于B：∵抛掷2次出现的点数和最小为2， 表示第2个人2次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于， 除了最小值其他值都符合题意，所以发生的概率为正确； 对于C：∵表示第4个人4次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于， 而4次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和最大为24，所以可能发生； 对于D：∵表示第5个人5次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于， 而5次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和最大为30， 所以不可能发生，即发生的概率为0，错误； 11．（多选题）（25-26高二上·陕西汉中·期末）甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，则下列说法正确的是（   ） A．若，甲得4分的概率为 B．乙至少赢一场的概率为 C．若，乙赢得比赛的概率为 D．要使甲获胜的概率大，的取值范围 【答案】CD 【解析】A选项，甲得4分意味着甲赢局，输局，其概率为，故A错误； B选项，甲全部赢的概率为，则乙至少赢一场的概率为，故B错误； C选项，由AB选项知，甲获胜的概率为， 故乙赢得比赛的概率为，故C正确； D选项，要使甲获胜的概率大，则，得， 则的取值范围，故D正确. 故选：CD 12．（25-26高二下·河北衡水·期中）某知识竞赛题库中有2道类题和2道类题.选手先随机抽取1道题作答（抽后不放回），若答对，则继续抽取下一道（仍不放回）；若答错，则立即终止.已知选手答对类题的概率为，答对类题的概率为，且每次答题结果相互独立.则选手恰好答对1道题的概率为__________. 【答案】 【解析】由选手恰好答对1道题，得第1题对，第2题错， 当第1题为A类题时，， 当第1题为B类题时，， 所以选手恰好答对1道题的概率为. 13．（25-26高一下·北京·期中）为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中为事件对应区域的面积，表示样本空间.下图中，事件与事件相互独立的是______. 【答案】②③ 【解析】对于①，由题图知，为的子集，所以，而为的真子集，则， 所以，故，①不正确； 对于②，由图得，则，，则有，所以图中事件相互独立，②正确； 对于③，设图中的小的长方形的面积为，由，，， 所以，则题图中事件相互独立，③正确. 14．（2026高一·全国·专题练习）甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为_____. 【答案】/0.125 【解析】根据题意知恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章，则第3，4局必有甲胜，乙负，且前2局中，甲胜一局乙胜一局， 所以所求概率为. 15．（25-26高一下·贵州遵义·月考）甲､乙两名同学在遵义会议会址“红色研学趣味挑战赛”中轮流进行“投弹模拟”（每人每次模拟投弹一次），约定甲先投且先击中目标者获胜，一直到有人获胜或每人都已投弹3次时挑战结束.设甲每次投弹命中的概率为，乙每次投弹命中的概率为，且各次模拟投弹互不影响. (1)求甲在本次挑战赛中获胜的概率； (2)求挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率. 【解析】（1）设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投弹时击中，， 则，， 记“甲在本次挑战赛中获胜”为事件C，则 ， 所以甲在本次挑战赛中获胜的概率为. （2）记“挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟”为事件D， 则 ， 所以挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率为. 16．（25-26高二下·上海松江·期中）申辉中学高二（1）班共有24名学生，在近期一次数学测验中，这24名学生数学成绩的茎叶图如下，其中成绩的十位为“茎”，个位为“叶”． (1)在这24名学生的成绩中，设成绩低于70的人数为x，这24名学生成绩的第25百分位数为y．直接写出x和y的值； (2)从该班随机抽取1名学生，记录其数学成绩．记事件A：该学生的数学成绩不小于80，事件B：该学生的数学成绩为偶数．判断A与B是否相互独立，并说明理由． 【解析】（1）将24名学生的成绩按从小到大的顺序排序，可得： 其中低于70分的有：，共有10个，即， 因为，所以第25百分位数为第6个和第7个数据的平均数， 所以第25分位数为. （2）事件与事件相互独立. 理由：在统计数据中，成绩不小于80分的有：，共有8个， 学生数学成绩为偶数的有：，共有12个， 由事件A：该学生的数学成绩不小于80，事件B：该学生的数学成绩为偶数， 可得其概率分别为， 又由事件表示成绩不小于80分且为偶数，有，共有4个， 所以其概率为， 因为，所以， 所以事件与事件相互独立. 17．（2026·上海·一模）从，，，，，中任意选取一个实数作为a，构造函数，，记事件A为“所选取的实数a使得函数有两个不等零点”． (1)写出样本空间与事件A对应的集合，并求事件A发生的概率； (2)记事件B为“所选取的实数a使得函数在上是严格增函数”，试判断事件A，和事件B是否为相互独立事件并说明理由． 【解析】（1）由已知样本空间， 若函数有两个不等的零点，则， 解得或， 事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点” 所以事件对应的集合为， 则； （2）是相互独立事件， 若函数在上是严格增函数， 则，即， 所以事件对应的集合为，， 则事件事件同时发生对应的集合， 则. 所以事件A和事件B是相互独立事件； 18．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． (1)设事件“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 【解析】（1）因为骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型， 样本空间：共个样本点， 事件A含有： 共12个样本点，故； （2）记事件为第i局甲胜，，由题意知，记事件B为甲恰好胜一局，有如下两种情况： ①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜， 因为每局比赛结果相互独立，所以事件与与也独立， 则， ， 因为，且事件与互斥， 所以， 所以甲恰好胜一局的概率为 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 10．2 事件的相互独立性 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：判断事件是否相互独立 2 题型二：求解相互独立事件概率 2 题型三：相互独立事件概率综合解题 2 题型四：利用方程思想解独立事件概率问题 3 02 重难点拓展 6 题型一：判断事件是否相互独立 1．（2026·高一·江苏扬州·期末）抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（    ）. A．A与B对立 B．A与B互斥 C． D．A与B相互独立 2．（2026·全国·模拟预测）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件， “两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与 间的关系是（    ） A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥 C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立 3．分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A，“第二枚为正面”记为事件B，“两枚结果相同”记为事件C，那么事件A与B，A与C间的关系是（    ） A．A与B，A与C均相互独立 B．A与B相互独立，A与C互斥 C．A与B，A与C均互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立 题型二：求解相互独立事件概率 4．（2026·高二·江苏无锡·期中）甲乙两人投篮投中的概率分别为，，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高三·云南普洱·期末）已知随机事件和相互独立，且，则（   ） A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.9 6．（2026·高一·江西景德镇·期末）口袋里共有5个球，其中3个是白球，2个是黑球，这5个球除了颜色之外完全相同.若2个人依次不放回地摸球，则第二个人摸到白球的概率是（    ） A． B． C． D． 题型三：相互独立事件概率综合解题 7．（2026·高一·河南·期末）、两队进行围棋比赛，队有甲、乙、丙三位棋手，队只有丁一位棋手．比赛规则如下：队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘（负一盘）或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得连胜，则两队打平．已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为、、，且各盘比赛相互独立．丁连胜两盘、负一盘的概率为，连胜三盘的概率为． (1)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求； (2)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求、两队打平的概率； (3)通过计算判断队怎样安排出场顺序对丁最有利，并说明实际意义． 8．（2026·高一·江西宜春·月考）甲，乙两人进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响，若甲，乙两人总共进行4局比赛. (1)求甲恰好有2局比赛获胜的概率； (2)求甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率. 9．（2026·上海徐汇·一模）某企业招聘员工，指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过. 假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由. 题型四：利用方程思想解独立事件概率问题 10．（2026·高一·贵州遵义·月考）为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立． (1)若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为： ①求，的值； ②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率； (2)若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值． 11．（2026·高二·山东青岛·期中）在数学学科周中，举行数学素养选拔赛（满分分），为了了解本次比赛成绩的情况，随机抽取了名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． (1)求出频率分布直方图中、的值，并估计此次比赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (2)用分层随机抽样的方法从、两个区间共抽取出名学生，再从这名学生中随机抽取名进行交流分享，求两人至少一人在的概率； (3)甲、乙、丙名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响．求甲、乙、丙人中至少有人解出该题的概率． 12．（2026·高一·浙江宁波·期末）乒乓球被称为中国的“国球”，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国乒乓球队包揽五块金牌.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜（比如：比分为，得12分者胜），该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，甲先发球. (1)若两人又打了2个球比赛结束且甲获胜的概率为，求的值； (2)若满足（1）中条件取值，记事件“两人又打了4个球该局比赛结束”，事件“两人又打了个球该局比赛结束”. （i）求； （ii）直接写出. 1．（2026·上海静安·二模）袋子里装有四枚围棋子，其中两枚黑色棋子、两枚白色棋子，从中随机取出两枚棋子，那么互斥而不对立的事件是（    ）． A．“至多有一枚白色棋子”与“至多有一枚黑色棋子” B．“至多有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” C．“恰好有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” D．“至多有一枚白色棋子”与“都是白色棋子” 2．（25-26高三下·河北·开学考试）在名男生，名女生中随机选取一名男生和一名女生，记“男生甲和女生乙入选”为事件，“男生甲入选”为事件，“女生乙入选”为事件，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东佛山·一模）甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·浙江杭州·月考）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局．每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分．已知甲在每局比赛中获胜的概率是，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局结果相互独立．在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·浙江·开学考试）在某地区的一个电视节目中某“专家”说1枚防空导弹的拦截率为70%，连发3枚这种防空导弹就有210%的拦截率．你认为发射3枚拦截率为70%的导弹，至少1枚拦截成功的概率为（    ） A．210% B．100% C．97.3% D．70% 6．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，是相互独立事件，若，，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 7．（25-26高一上·山西忻州·期末）一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D． 8．（25-26高二上·山东临沂·期末）甲乙两人独立地参加一项闯关游戏，甲成功的概率为，乙成功的概率为，则甲乙至少有一人成功的概率为（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·安徽合肥·二模）某社区有150名中老年人参加园艺、摄影、书画等三个兴趣班，每人只参加一个兴趣班，各班人数及年龄（单位：岁）分布如下表： 兴趣班年龄 园艺班 摄影班 书画班 合计 12 5 10 27 20 15 25 60 18 10 35 63 合计 50 30 70 150 从这150人中随机抽取1人，设事件为“抽到的人年龄位于区间”，事件为“抽到的人来自园艺班”，则（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．60岁以上的老年人参加园艺班的人数约为28人 D．这150人年龄平均数的估计值为60岁 10．（多选题）（25-26高一上·浙江杭州·月考）有一个掷骰子的游戏，骰子六个面上分别标有1~6六个数字，第一个人将一颗骰子抛掷一次，第二个人将一颗骰子抛掷2次，第三个人将一颗骰子抛掷3次……第n个人将一颗骰子抛掷n次，记表示“第n个人n次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于.现有下列结论正确的有（   ） A．必然发生 B．发生的概率为 C．可能发生 D．发生的概率大于0 11．（多选题）（25-26高二上·陕西汉中·期末）甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，则下列说法正确的是（   ） A．若，甲得4分的概率为 B．乙至少赢一场的概率为 C．若，乙赢得比赛的概率为 D．要使甲获胜的概率大，的取值范围 12．（25-26高二下·河北衡水·期中）某知识竞赛题库中有2道类题和2道类题.选手先随机抽取1道题作答（抽后不放回），若答对，则继续抽取下一道（仍不放回）；若答错，则立即终止.已知选手答对类题的概率为，答对类题的概率为，且每次答题结果相互独立.则选手恰好答对1道题的概率为__________. 13．（25-26高一下·北京·期中）为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中为事件对应区域的面积，表示样本空间.下图中，事件与事件相互独立的是______. 14．（2026高一·全国·专题练习）甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为_____. 15．（25-26高一下·贵州遵义·月考）甲､乙两名同学在遵义会议会址“红色研学趣味挑战赛”中轮流进行“投弹模拟”（每人每次模拟投弹一次），约定甲先投且先击中目标者获胜，一直到有人获胜或每人都已投弹3次时挑战结束.设甲每次投弹命中的概率为，乙每次投弹命中的概率为，且各次模拟投弹互不影响. (1)求甲在本次挑战赛中获胜的概率； (2)求挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率. 16．（25-26高二下·上海松江·期中）申辉中学高二（1）班共有24名学生，在近期一次数学测验中，这24名学生数学成绩的茎叶图如下，其中成绩的十位为“茎”，个位为“叶”． (1)在这24名学生的成绩中，设成绩低于70的人数为x，这24名学生成绩的第25百分位数为y．直接写出x和y的值； (2)从该班随机抽取1名学生，记录其数学成绩．记事件A：该学生的数学成绩不小于80，事件B：该学生的数学成绩为偶数．判断A与B是否相互独立，并说明理由． 17．（2026·上海·一模）从，，，，，中任意选取一个实数作为a，构造函数，，记事件A为“所选取的实数a使得函数有两个不等零点”． (1)写出样本空间与事件A对应的集合，并求事件A发生的概率； (2)记事件B为“所选取的实数a使得函数在上是严格增函数”，试判断事件A，和事件B是否为相互独立事件并说明理由． 18．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． (1)设事件“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $