专题01 随机事件与概率（十二大题型）专项训练-2025-2026学年高一下学期数学《知识解读•题型专练》（人教A版必修第二册）

**基本信息** 该专项以12类题型系统覆盖随机事件与概率核心内容，通过概念辨析-关系推理-模型应用的递进设计，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |随机事件基础|10题|随机现象判断、事件分类、样本空间构建|从具体情境抽象事件本质，建立概率研究对象| |事件关系与运算|12题|包含关系分析、交并补运算、互斥对立判定|用集合语言表达事件关系，培养逻辑思维| |古典概型|10题|基本事件列举、概率计算与参数求解|基于计数原理构建概率模型，强化数学建模| |概率公式应用|9题|加法公式、对立事件公式的灵活应用|通过公式推导提升数学表达与运算能力| |综合应用|5题|古典概型与统计图表的交汇问题|结合数据分析，体现数学应用的实践价值|

专题01 随机事件与概率 【题型1 随机现象】 【题型2 事件的分类】 【题型3 事件与样本空间】 【题型4 确定所给事件的包含关系】 【题型5 事件的运算及其含义】 【题型6 互斥事件与对立事件】 【题型7 写出基本事件、样本空间】 【题型8 计算古典概型问题的概率】 【题型9 根据古典概型的概率求参数】 【题型10 互斥事件的概率加法公式】 【题型11 利用对立事件的概率公式求概率】 【题型12 古典概型与统计的交汇问题】 【题型1 随机现象】 1．袋中有2个黑球、6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（    ） A．取到的球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到1个红球 D．至少取到1个红球的概率 【答案】B 【分析】根据随机变量的定义判断 【详解】A的取值不具有随机性，C是一个事件而非随机变量，D中概率值是一个定值而非随机变量，只有B满足要求 故选：B 2．下列事件中，是随机事件的是（    ） ①明天本市会下雨 ②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14 ③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上 ④13个人中至少有2个人的生日在同一个月 A．①③ B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】A 【分析】由随机事件，不可能事件和必然事件的定义判断. 【详解】由题可知，①③可能发生，也可能不发生，是随机事件； ②不可能发生，是不可能事件； ④一定发生，是必然事件. 故选：A 【题型2 事件的分类】 3．抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数不大于2”，事件“点数大于1”，则下列结论中正确的是（    ） A．M是不可能事件 B．N是必然事件 C．是不可能事件 D．是必然事件 【答案】D 【分析】根据事件的定义判断． 【详解】事件是点数为1或2，事件是点数是2，3，4，5或6，它们都是随机事件， 是点为2，是随机事件，是可能发生的， 是点数为1，2，3，4，5或6，一定会发生，是必然事件， 故选：D． 4．若随机试验的样本空间为，则下列说法不正确的是（    ） A．事件是随机事件 B．事件是必然事件 C．事件是不可能事件 D．事件是随机事件 【答案】D 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念判断即可. 【详解】随机试验的样本空间为， 则事件是随机事件，故A正确； 事件是必然事件，故B正确； 事件是不可能事件，故C正确； 事件是不可能事件，故D错误. 故选：D 5．下列事件中，不是确定事件的是（    ） A．守株待兔 B．瓮中捉鳖 C．水中捞月 D．水滴石穿 【答案】A 【分析】根据确定事件的概念可得答案. 【详解】守株待兔不是确定事件，故A选项正确； 瓮中捉鳖是必然事件，故B选项错误； 水中捞月是不可能事件，故C选项错误； 水滴石穿是必然事件，故D选项错误； 故选：A. 6．在1，2，3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于5”这一事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上选项均有可能 【答案】A 【解析】根据必然事件的概念，结合题意即可得解. 【详解】从1，2，3，…，10这十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字和的最小值为， ∴事件“这三个数字的和大于5”一定会发生， ∴由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件. 故选：A. 【点睛】本题考查事件的分类和概念，属于基础题. 【题型3 事件与样本空间】 7．试验：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合样本空间的概念即可求解． 【详解】由题意可知，考查的是个位数字与十位数字的和的情况， 因此样本空间中的样本点为和的结果，个位数字取值从0到9，十位数字取值从1到9， 所以该试验的样本空间为. 故选：B． 8．在一个袋子中装有分别标注1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据给定条件，写出符合要求的样本点即可. 【详解】取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点为， 所以取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为4. 故选：C 9．抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，该试验的样本空间中样本点的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用基本事件的定义，列举即可． 【详解】先后抛掷两枚质地均匀的硬币，有先后顺序， 则此试验的样本空间为（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）． 故选：C. 10．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为1号，2号），记随机事件“两个骰子点数之和为10”，样本点用的形式表示，事件__________. 【答案】 【详解】根据题意得：两个骰子点数之和为10的样本点为：， 所以事件. 【题型4 确定所给事件的包含关系】 11．连续掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：为“3次正面向上”， 为“只有1次正面向上”， 为“至少有1次正面向上”，试判断事件之间的包含关系． 【答案】，事件与事件之间不存在包含关系 【分析】根据事件之间的关系即可求解. 【详解】当事件A发生时，事件一定发生，当事件发生时，事件一定发生，因此有，； 当事件发生时，事件一定不发生，当事件发生时，事件一定不发生， 因此事件与事件之间不存在包含关系． 12．在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件={出现1点}，事件={出现2点}，事件={出现3点}，事件={出现4点}，事件={出现5点}，事件={出现6点}，事件={出现的点数不大于1}，事件={出现的点数大于3}，事件={出现的点数小于5}，事件E={出现的点数小于7}，事件F={出现的点数为偶数}，事件G={出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，请举出符合包含关系、相等关系的事件； 【答案】答案见解析 【分析】根据事件的包含关系和相等关系的概念，即可得到答案. 【详解】因为事件，，，发生，则事件必发生， 所以，，，． 所以事件包含事件，，，； 同理可得，事件E包含事件，，，，，； 事件包含事件，，； 事件F包含事件，，； 事件G包含事件，，． 因为在掷骰子的试验中，出现的点数不大于1即为出现1点， 所以事件与事件相等，即． 13．用红、黄、蓝三种不同的颜色给三个不同的圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件A：三个圆的颜色全不相同，事件B：三个圆的颜色不全相同，事件C：其中两个圆的颜色相同，事件D：三个圆的颜色全相同． (1)写出试验的样本空间； (2)用集合的形式表示事件A，B，C，D； (3)事件B与事件C有什么关系？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)事件B包含事件C． 【分析】（1）根据样本空间的概念作答即可； （2）一一列举事件即可； （3）根据条件，直接判断事件的关系即可． 【详解】（1）解：（1）由题意可知3个圆可能颜色一样，可能有2个一样，另1个异色，或者三个球都异色． 则试验的样本空间（红，红，红）、（红，红，黄）、（红，红，蓝）、（红，黄，红）、 （红，黄，黄）、（红，黄，蓝）、（红，蓝，红）、（红，蓝，黄）、 （红，蓝，蓝）、（黄，红，红）、（黄，红，黄）、（黄，红，蓝）、 （黄，黄，红）、（黄，黄，黄）、（黄，黄，蓝）、（黄，蓝，红）、 （黄，蓝，黄）、（黄，蓝，蓝）；（蓝，红，红）、（蓝，红，黄）、 （蓝，红，蓝）、（蓝，黄，红）、（蓝，黄，黄）、（蓝，黄，蓝）、 （蓝，蓝，红）、（蓝，蓝，黄）、（蓝，蓝，蓝）； （2）解：（红，黄，蓝）、（红，蓝，黄）、（黄，红，蓝）、（黄，蓝，红）、（蓝，红，黄）、（蓝，黄，红）； （红，红，黄）、（红，红，蓝）、（红，黄，红）、（红，黄，黄）、（红，黄，蓝）、（红，蓝，红）、 （红，蓝，黄）、（红，蓝，蓝）、（黄，红，红）、（黄，红，黄）、（黄，红，蓝）、（黄，黄，红）、 （黄，黄，蓝）、（黄，蓝，红）、（黄，蓝，黄）、（黄，蓝，蓝）、（蓝，红，红）、（蓝，红，黄）、 （蓝，红，蓝）、（蓝，黄，红）、（蓝，黄，黄）、（蓝，黄，蓝）、（蓝，蓝，红）、（蓝，蓝，黄）； （红，红，黄）、（红，红，蓝）、（红，黄，红）、（红，黄，黄）、（红，蓝，红）、（红，蓝，蓝）、 （黄，红，红）、（黄，红，黄）、（黄，黄，红）、（黄，黄，蓝）、（黄，蓝，黄）、（黄，蓝，蓝）、 （蓝，红，红）、（蓝，红，蓝）、（蓝，黄，黄）、（蓝，黄，蓝）、（蓝，蓝，红）、（蓝，蓝，黄）； （红，红，红）、（蓝，蓝，蓝）、（黄，黄，黄）； （3）解：由（2）可知，所以事件包含事件． 14．向上抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”，则事件C与A，B的运算关系是_____． 【答案】 【分析】根据和事件的关系定义判断即可. 【详解】设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”“点数为2或4或6”， 则. 故答案为：. 【题型5 事件的运算及其含义】 15．某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意依次判断各项事件运算对应的含义，即可得. 【详解】表示前两次测试成绩均及格，故A错误； 表示后两次测试都没有及格，故B错误； 表示前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格，故C正确； 表示三次测试成绩均不及格，故D错误， 故选：C 16．（多选）对空中移动的目标连续射击两次，设{两次都击中目标}，{两次都没击中目标}，{恰有一次击中目标}，{至少有一次击中目标}，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据事件之间的关系与运算对每个选项进行判断即可. 【详解】对于选项A，事件包含于事件，故A正确； 对于选项B，由于事件，不能同时发生，故，故B正确； 对于选项C，由题意知，故C错误； 对于选项D，由于 至少有一次击中目标， 恰有一次击中目标，所以 两次都击中目标，故D正确． 故选：ABD. 17．把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10张一样的卡片上，并随机抽取1张．设出现偶数，出现3的倍数．写出下面两个事件的对应子集： (1)至少有一个发生； (2)同时发生． 【答案】(1) (2) 【分析】由题可得事件与事件，再由事件的交与并即可求解． 【详解】（1）由题可得，，， 则至少有一个发生对应事件集合为：． （2）由题可得，同时发生对应事件集合为：． 【题型6 互斥事件与对立事件】 18．已知两个随机事件A、B，则“A与B互斥”是“A与B对立”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【详解】根据互斥事件和对立事件的概念可知，互斥不一定对立，对立一定互斥，所以“ ､为互斥事件”是“ ､为对立事件”的必要非充分条件. 19．（多选）（多选）从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（   ） A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球 C．至少一个红球；都是白球 D．至多一个红球；都是红球 【答案】CD 【分析】依据互斥事件不能同时发生、对立事件不能同时发生且必有一个发生的定义，逐一判断每个选项中两个事件的关系即可得到答案. 【详解】 从2红2白中取2个球，所有基本事件共三种：两个红球，一红一白，两个白球， 对于A：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“至少一个白球”包含一红一白、两个白球， 二者可同时发生（取到一红一白时），不互斥，A错误； 对于B：“恰有一个红球”即一红一白，“都是白球”即两个白球，二者互斥，但存在“两个红球”的情况， 二者不是必有一个发生，不对立，B错误； 对于C：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“都是白球”即两个白球， 二者不能同时发生，且并集是全部样本空间，是互斥且对立，C正确； 对于D：“至多一个红球”包含两个白球、一红一白，“都是红球”即两个红球， 二者不能同时发生，且并集是全部样本空间，是互斥且对立，D正确. 20．（多选）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（    ） A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件 B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件 C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件 D．“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件 【答案】BD 【分析】由互斥事件及对立事件的定义进行依次判断． 【详解】“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故A错误； “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故B正确； “恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故C错误； “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故D正确． 故选：BD． 21．某人打靶连续射击3次，设“共中靶次”，，则的对立事件是（   ） A．“全部中靶” B．“至少中靶1次” C．“至少中靶2次” D．“至多中靶1次” 【答案】C 【分析】根据对立事件的定义判断即可. 【详解】某人打靶连续射击3次，设“共中靶次”，， 则表示共中靶0次，表示共中靶1次， 所以表示共中靶0次或1次，所以其对立事件表示共中靶至少2次. 故选：C. 22．（多选）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（    ） A．与互斥，但不对立 B．与互斥，但不对立 C． D． 【答案】BC 【分析】分析各事件的含义，结合事件的互斥性和对立性判断选项A，B；分析的关联，判断选项C；分析的关联判断选项D． 【详解】选项A：电路不可能同时通路和断路，故，互斥成立； 全集是所有元件状态组合，覆盖了通路和断路所有情况，故是对立事件，故A错误； 选项B：表示至多两个元件正常，表示恰有三个元件正常， ，互斥成立，仅覆盖正常数，未包含 “四个元件都正常”，故不对立，故B正确； 选项C：恰有三个元件正常时，必有一个元件失效，由电路图可知： 任意三个元件正常时，电路均保持通路，即必然发生， ，故C正确； 选项D：“电路是断路”， 表示至多两个元件正常， 若正常，失效，此时正常元件数为2，但电路为通路， 故发生时不一定发生，故D错误． 故选：BC． 【题型7 写出基本事件、样本空间】 23．从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球，其样本空间中的样本点共有____________个． 【答案】3 【分析】写出样本空间，由此确定结论. 【详解】试验的样本空间（红球，白球），（红球，黑球），（白球，黑球），样本点共有3个． 故答案为：. 24．两个男生、两个女生随机站一排， (1)写出样本空间； (2)写出每个人的相邻之人总是异性这个事件所对应的子集； (3)写出每个人的相邻之人至少有一个异性这个事件所对应的子集． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析. 【分析】（1）对给定的男生、女生编号，再写出样本空间. （2）（3）由（1）的信息写出相应的子集. 【详解】（1）记两个男生为，两个女生为， 样本空间， . （2）每个人的相邻之人总是异性这个事件所对应的子集为：. （3）每个人的相邻之人至少有一个异性这个事件所对应的子集为： . 25．写出下列试验的样本空间． (1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币的结果； (2)某人射击一次命中的环数(均为整数)； (3)从集合中任取两个元素． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】根据样本点的概念，结合题意列举试验的样本空间即得． 【详解】（1）由题可知，共有4个样本点，故样本空间为(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)． （2）由题可知，共有11个样本点，故样本空间为． （3）由题可知，共有6个样本点，故样本空间为． 【题型8 计算古典概型问题的概率】 26．采用简单随机抽样的方法，从含有25个个体的总体中抽取1个容量为10的样本，则某个个体被抽到的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于每个个体被抽到的概率相等，所以每个个体被抽到的概率是. 27．从标有的个小球中随机摸取个，则摸到的个小球上数字之和是的倍数的概率为_____________． 【答案】/0.4 【分析】根据题意求出取个小球的结果总数，再找出之和为的倍数的情况，然后求其概率. 【详解】从袋中的个小球中取出个小球，共有种情况， 取出小球之和为的倍数情况为：，，，，共种情况， 所以取出之和为的倍数的概率：． 28．连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次可能出现的情况和至少出现一次1点的情况，再由古典概率求解即可. 【详解】一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，可能出现的情况为：， ，， ，， 共种， 其中至少出现一次1点的情况有：，共种， 故至少出现一次1点的概率是. 故选：B 【题型9 根据古典概型的概率求参数】 29．一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 【答案】(1)； (2)3. 【分析】（1）写出所有样本点，根据古典概型的计算公式即可得到答案； （2）根据古典概型公式得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题可知袋中共有5个球，记作， 从中依次不放回取出2个球，样本点有 ， ， ， 共20个样本点， 记＂第次取到红球＂为事件，则＂第次取到绿球＂为事件， 不妨设为红球，为绿球．两次都取到红球，则． 先取到绿球再取到红球，则， 于是， 即第二次取到红球的概率为. （2）两次都取到红球为事件. 所以两次取出红球的概率为， 即，解得． 30．在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为___________． 【答案】10 【分析】由古典概型概率公式得方程，求解即可. 【详解】根据题意， 从袋中随机摸出一个红球的概率是， 所以. 故答案为：10 31．管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内捞出60条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内共有___________条鱼. 【答案】900 【分析】估计该池塘内共有n条鱼，利用等可能事件概率计算公式列方程，能求出n的值. 【详解】解：估计该池塘内共有n条鱼， 则， 解得n=900. 故答案为：900. 32．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设袋中球的总个数为，根据已知条件可得出关于的等式，由此可求得的值. 【详解】设袋中球的总个数为，由题意可得，解得. 故选：C. 【题型10 互斥事件的概率加法公式】 33．已知A、B为互斥事件，且，则______． 【答案】0.2/ 【分析】利用互斥事件和的概率公式求得再利用对立事件的概率求解即得. 【详解】因为为互斥事件，则， 所以. 34．已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ． 35．某产品按质量分为甲、乙、丙三个级别，从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到甲级品”的概率为0.80，“抽到乙级品”的概率为0.15，则“抽到丙级品”的概率为______． 【答案】/ 【详解】因为一批产品按质量只分为甲、乙、丙三个级别，随机抽取一件产品，抽到三个等级的事件是互斥事件，且所有可能结果的概率和为， 所以抽到丙级品的概率为：. 36．已知事件与互斥，且，，则___________． 【答案】 【分析】利用互斥事件与和事件的概念计算即可. 【详解】由题意可知. 故答案为： 37．已知事件A，B，C两两互斥，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合互斥事件概率加法公式可得，进而可得结果. 【详解】因为事件A，B，C两两互斥， 则． 又因为， 可得，解得， 所以． 故选：B. 【题型11 利用对立事件的概率公式求概率】 38．已知事件满足 ，则 ______． 【答案】0.6/ 【详解】因为， 所以. 39．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，则乙不输的概率为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 【答案】C 【分析】根据对立事件的概率公式运算求解即可, 【详解】因为事件“甲获胜”与“乙不输”互为对立事件， 所以乙不输的概率为. 故选：C. 40．设是一个随机试验中的两个事件，且，则_______. 【答案】 【分析】利用对立事件的概率公式求出，再利用互斥事件的加法公式求出，最后结合并事件的概率公式求解即可. 【详解】由对立事件的概率公式得， 由互斥事件的加法公式得， 而，得到，解得， 由并事件的性质得. 故答案为： 41．已知事件A的对立事件为，，．若，则______，______ 【答案】 0.6 0.3 【分析】根据事件A的对立事件为求出，因为，则，，从而求出相应概率值. 【详解】已知事件A的对立事件为，则, 因为，根据并事件的性质： 所以; 因为，根据交事件的性质：. 所以. 故答案为：；. 【题型12 古典概型与统计的交汇问题】 42．某汽车调查研究机构从4辆燃油车和2辆新能源车中随机选出3辆去参加一项智能驾驶测试大赛，则选出的3辆中至少有1辆新能源车的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概型的概率计算公式，结合对立事件概率之间的关系求解. 【详解】设“选出的3辆车都是燃油车”为事件，则. 设“选出的3辆中至少有1辆新能源车”为事件，则事件、为对立事件， 所以. 故选：C 43．从某校学生中随机抽出50名学生参加消防安全知识竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.数据的分组依次为，. (1)求图中的值，并估计这50名学生的平均成绩.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)若成绩在前的学生可获得“消防达人”称号，则成绩至少要达到多少分才可以被评为“消防达人”？ (3)从低于60分的学生中随机抽取2名学生，求这2名学生成绩不在同一分组的概率. 【答案】(1)0.016，76.2 (2) (3) 【分析】（1）由频率分布直方图面积和为1，可求，再由平均数计算公式即可求解； （2）由百分位数计算公式即可求解； （3）确定样本空间，由古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】（1）由， 得， 平均数为； （2） 前4个矩形面积为： ， 前5个矩形面积为： ， 所以若成绩在前的学生可获得“消防达人”的称号， 则成绩至少要达到； （3）区间有人，区间有人， 设内两人为，内3人为， 则随机抽取2名学生有：，共10种结果， 来自不同组的有，共6种结果， 所以这2名学生成绩不在同一分组的概率为. 44．从某次测试中随机抽取100份测试卷进行成绩调查，发现抽取的测试卷的成绩都在40~100之间，将抽取的测试卷按成绩分成六组：，，，，，，画出如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值和抽取测试卷的成绩的中位数（精确到0.1）； (2)采用比例分配的分层随机抽样方法从成绩在和的测试卷中抽取5份，再从这5份测试卷中随机抽取3份了解答题情况，求这3份测试卷成绩至少有一份在的概率． 【答案】(1)，中位数为 (2) 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质建立方程求解，利用频率分布直方图中位数定义求解即可. （2）利用分层抽样的性质求解抽取的人数，再求出整体样本空间和符合条件的事件，最后利用古典概型概率公式求解概率即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得． 又由频率分布直方图可得， ，，的频率依次为， 所以前3组的频率为， 前4组的频率为， 故中位数在区间上，因此中位数为． （2）采用比例分配的分层抽样从和抽取5份测试卷， 由于，故成绩在的测试卷中抽取份数为，记作； 成绩在的测试卷中抽取份数为，记作， 则从抽取的5份测试卷中随机抽取3份测试卷的所有可能样本点构成的样本空间为： ， 共有10个样本点，即． 设事件“这3份测试卷成绩至少有一份在”， 则， 共有9个样本点，故， 则． 这3份测试卷成绩至少有一份在的概率为. 45．某科技公司开发了一款AI绘画软件，为了测试该软件生成的人像照片的真实度，工程师邀请了100名用户对生成的照片进行评分（满分100分）.将评分数据按，，，，，分成6组，并绘制了如下的频率分布直方图.    (1)求的值； (2)试估计这100名用户评分的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若从评分在内的用户中，按分层随机抽样的方法抽取5人进行回访，再从这5人中随机抽取2人赠送会员，求这2人来自不同评分区间的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图结合频率和为1求得a; （2）根据频率分布直方图和平均数的计算方法，可得答案； （3）根据分层抽样的比例确定各组中的人数，列出所有基本事件，根据古典概型的概率公式可得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， ，∴； （2）估计用户评分的平均数为: ； （3）样本在，的人数分别为2，8， 利用分层抽样从的用户中随机抽取5人， 则在，的人数分别为1，4, 从中抽取的1人记为，从中抽取的4人记为1，2，3，4， 则从5人中随机抽取2人的样本空间， 记“这2人来自不同评分区间”为事件A，则有,,共4个基本事件， ∴. 46．某科研管理部门拟了解下辖的甲、乙两个科研所对重点领域项目的推进情况以便后期工作实施，准备用分层抽样的方法从两个科研所中抽取5名科技工作者进行调研.已知两个科研所的人数分别为480人，320人. (1)应从甲、乙两个科研所中分别抽取多少人? (2)设抽出的5个人分别用，，，，表示，现从中随机抽取2名科研工作者就某一重大项目进行主题发言，求“抽取的2人来自不同科研所”的概率. 【答案】(1)应从甲、乙两个科研所分别抽取3人和2人 (2) 【分析】（1）利用分层抽样中各层的比例，求出样本容量． （2）利用列举法得出所有可能的抽取结果及事件M包含的基本事件，利用古典概型求得事件M发生的概率． 【详解】（1）由已知，两个科研所的人数之比是3：2， 采用分层抽样的方法抽取5名科技工作者， ∴应从甲、乙两个科研所分别抽取3人和2人． （2）抽出的5个人分别用，，，，表示，记甲科研所的3人为，，，乙科研所的2人为，， 则从中随机抽取2名科研工作者共有10种，分别为： {，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}． 设M为事件“抽取的2人来自不同科研所”， 则事件M包含的基本事件有6种，分别为： {，}，{，}， {，}，{，}，{，}，{，}． ∴事件M发生的概率． 所以“抽取的2人来自不同科研所”的概率为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 随机事件与概率 【题型1 随机现象】 【题型2 事件的分类】 【题型3 事件与样本空间】 【题型4 确定所给事件的包含关系】 【题型5 事件的运算及其含义】 【题型6 互斥事件与对立事件】 【题型7 写出基本事件、样本空间】 【题型8 计算古典概型问题的概率】 【题型9 根据古典概型的概率求参数】 【题型10 互斥事件的概率加法公式】 【题型11 利用对立事件的概率公式求概率】 【题型12 古典概型与统计的交汇问题】 【题型1 随机现象】 1．袋中有2个黑球、6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（    ） A．取到的球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到1个红球 D．至少取到1个红球的概率 2．下列事件中，是随机事件的是（    ） ①明天本市会下雨 ②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14 ③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上 ④13个人中至少有2个人的生日在同一个月 A．①③ B．③④ C．①④ D．②③ 【题型2 事件的分类】 3．抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数不大于2”，事件“点数大于1”，则下列结论中正确的是（    ） A．M是不可能事件 B．N是必然事件 C．是不可能事件 D．是必然事件 4．若随机试验的样本空间为，则下列说法不正确的是（    ） A．事件是随机事件 B．事件是必然事件 C．事件是不可能事件 D．事件是随机事件 5．下列事件中，不是确定事件的是（    ） A．守株待兔 B．瓮中捉鳖 C．水中捞月 D．水滴石穿 6．在1，2，3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于5”这一事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上选项均有可能 【题型3 事件与样本空间】 7．试验：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为（    ） A． B． C． D． 8．在一个袋子中装有分别标注1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，该试验的样本空间中样本点的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 10．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为1号，2号），记随机事件“两个骰子点数之和为10”，样本点用的形式表示，事件__________. 【题型4 确定所给事件的包含关系】 11．连续掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：为“3次正面向上”， 为“只有1次正面向上”， 为“至少有1次正面向上”，试判断事件之间的包含关系． 12．在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件={出现1点}，事件={出现2点}，事件={出现3点}，事件={出现4点}，事件={出现5点}，事件={出现6点}，事件={出现的点数不大于1}，事件={出现的点数大于3}，事件={出现的点数小于5}，事件E={出现的点数小于7}，事件F={出现的点数为偶数}，事件G={出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，请举出符合包含关系、相等关系的事件； 13．用红、黄、蓝三种不同的颜色给三个不同的圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件A：三个圆的颜色全不相同，事件B：三个圆的颜色不全相同，事件C：其中两个圆的颜色相同，事件D：三个圆的颜色全相同． (1)写出试验的样本空间； (2)用集合的形式表示事件A，B，C，D； (3)事件B与事件C有什么关系？ 14．向上抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”，则事件C与A，B的运算关系是_____． 【题型5 事件的运算及其含义】 15．某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 16．（多选）对空中移动的目标连续射击两次，设{两次都击中目标}，{两次都没击中目标}，{恰有一次击中目标}，{至少有一次击中目标}，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 17．把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10张一样的卡片上，并随机抽取1张．设出现偶数，出现3的倍数．写出下面两个事件的对应子集： (1)至少有一个发生； (2)同时发生． 【题型6 互斥事件与对立事件】 18．已知两个随机事件A、B，则“A与B互斥”是“A与B对立”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 19．（多选）（多选）从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（   ） A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球 C．至少一个红球；都是白球 D．至多一个红球；都是红球 20．（多选）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（    ） A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件 B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件 C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件 D．“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件 21．某人打靶连续射击3次，设“共中靶次”，，则的对立事件是（   ） A．“全部中靶” B．“至少中靶1次” C．“至少中靶2次” D．“至多中靶1次” 22．（多选）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（    ） A．与互斥，但不对立 B．与互斥，但不对立 C． D． 【题型7 写出基本事件、样本空间】 23．从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球，其样本空间中的样本点共有____________个． 24．两个男生、两个女生随机站一排， (1)写出样本空间； (2)写出每个人的相邻之人总是异性这个事件所对应的子集； (3)写出每个人的相邻之人至少有一个异性这个事件所对应的子集． 25．写出下列试验的样本空间． (1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币的结果； (2)某人射击一次命中的环数(均为整数)； (3)从集合中任取两个元素． 【题型8 计算古典概型问题的概率】 26．采用简单随机抽样的方法，从含有25个个体的总体中抽取1个容量为10的样本，则某个个体被抽到的概率为（ ） A． B． C． D． 27．从标有的个小球中随机摸取个，则摸到的个小球上数字之和是的倍数的概率为_____________． 28．连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是（   ） A． B． C． D． 【题型9 根据古典概型的概率求参数】 29．一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 30．在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为___________． 31．管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内捞出60条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内共有___________条鱼. 32．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（    ） A． B． C． D． 【题型10 互斥事件的概率加法公式】 33．已知A、B为互斥事件，且，则______． 34．已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 35．某产品按质量分为甲、乙、丙三个级别，从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到甲级品”的概率为0.80，“抽到乙级品”的概率为0.15，则“抽到丙级品”的概率为______． 36．已知事件与互斥，且，，则___________． 37．已知事件A，B，C两两互斥，且，则（   ） A． B． C． D． 【题型11 利用对立事件的概率公式求概率】 38．已知事件满足 ，则 ______． 39．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，则乙不输的概率为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 40．设是一个随机试验中的两个事件，且，则_______. 41．已知事件A的对立事件为，，．若，则______，______ 【题型12 古典概型与统计的交汇问题】 42．某汽车调查研究机构从4辆燃油车和2辆新能源车中随机选出3辆去参加一项智能驾驶测试大赛，则选出的3辆中至少有1辆新能源车的概率为（   ） A． B． C． D． 43．从某校学生中随机抽出50名学生参加消防安全知识竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.数据的分组依次为，. (1)求图中的值，并估计这50名学生的平均成绩.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)若成绩在前的学生可获得“消防达人”称号，则成绩至少要达到多少分才可以被评为“消防达人”？ (3)从低于60分的学生中随机抽取2名学生，求这2名学生成绩不在同一分组的概率. 44．从某次测试中随机抽取100份测试卷进行成绩调查，发现抽取的测试卷的成绩都在40~100之间，将抽取的测试卷按成绩分成六组：，，，，，，画出如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值和抽取测试卷的成绩的中位数（精确到0.1）； (2)采用比例分配的分层随机抽样方法从成绩在和的测试卷中抽取5份，再从这5份测试卷中随机抽取3份了解答题情况，求这3份测试卷成绩至少有一份在的概率． 45．某科技公司开发了一款AI绘画软件，为了测试该软件生成的人像照片的真实度，工程师邀请了100名用户对生成的照片进行评分（满分100分）.将评分数据按，，，，，分成6组，并绘制了如下的频率分布直方图.    (1)求的值； (2)试估计这100名用户评分的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若从评分在内的用户中，按分层随机抽样的方法抽取5人进行回访，再从这5人中随机抽取2人赠送会员，求这2人来自不同评分区间的概率. 46．某科研管理部门拟了解下辖的甲、乙两个科研所对重点领域项目的推进情况以便后期工作实施，准备用分层抽样的方法从两个科研所中抽取5名科技工作者进行调研.已知两个科研所的人数分别为480人，320人. (1)应从甲、乙两个科研所中分别抽取多少人? (2)设抽出的5个人分别用，，，，表示，现从中随机抽取2名科研工作者就某一重大项目进行主题发言，求“抽取的2人来自不同科研所”的概率. 1 学科网（北京）股份有限公司 $