1.3矩形的性质与判定第2课时（教学课件）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦矩形的判定定理，通过“制作矩形相框”情境引入，衔接矩形性质回顾，引导学生从性质逆命题出发探索判定条件，构建“性质-逆命题-判定定理”的知识支架。 其亮点在于以情境问题培养数学眼光，通过逆命题证明发展推理能力（数学思维），结合规范几何语言与典例应用提升数学语言表达。采用探究式教学，课堂小结系统梳理判定方法，助力学生掌握知识，教师教学更高效。

第一章 特殊平行四边形 1.3 矩形的性质与判定 第2课时 学 习 目 标 1.探索并证明矩形的判定定理，并能灵活运用判定定理进行证明和计算;（重点） 2.探索矩形判定条件的过程，以及合理、准确地运用判定定理解决问题。(难点) 知识回顾 C B A O 几何语言：∵△ABC为直角三角形，BO为AC的中线, ∴BO= . 1.矩形的性质定理： 定理1：矩形的四个角都是 ； 定理2：矩形的对角线 . 直角 相等 2.直角三角形斜边中线定理： 直角三角形斜边上的中线等于 . 斜边的一半 AC 情境引入 问题：小华同学想亲手制作一个矩形相框，作为生日礼物送给妈妈。他找来了两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条，通过拼接制成了一个四边形框架，从边的特征看，这显然是一个平行四边形框架。 平行四边形 ？ 矩形 可小华犯愁了，怎样才能确定这个框架是矩形呢？大家开动脑筋想一想，有没有什么办法来验证？？ 根据矩形的定义，再有一个角是直角就是矩形了. 还有没有其他方法呢?下面我们一起探索吧! 新知探究 探究：矩形的判定 类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法. 有一个角是直角的平行四边形是矩形. ∠B=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. 几何语言： 除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是矩形? 定义法： A B C D ∟ 新知探究 你能写出矩形性质定理的逆命题吗？它们都是真命题吗？为什么？与同伴进行交流. “矩形的四个角都是直角”的逆命题是： 四个角都是直角的四边形是矩形.这是一个真命题. “矩形的对角线相等”的逆命题是： 对角线相等的平行四边形是矩形.这是一个真命题. 理由：因为依据同旁内角互补的两直线平行,得该四边形的两组对边分别平行,即该四边形是平行四边形,又由一个角为直角,得该四边形是矩形。 你能证明这个结论吗？ 新知探究 已知：在□ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：对角线相等的平行四边形是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = DC，AB∥DC， 又∵BC = CB，AC = DB， ∴ △ABC≌△DCB , ∴∠ABC = ∠DCB. ∵AB∥DC, ∴∠ABC + ∠DCB = 180°, ∴ ∠ABC =∠DCB = 180°= 90°, ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. 新知探究 知识归纳 矩形的判定定理1： 几何语言：∵在□ABCD中，AC=BD, ∴ □ABCD是矩形. AC=BD A B D C 矩形ABCD A B C D □ABCD 对角线相等的平行四边形是矩形. 新知探究 1.如图，在□ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定□ABCD是矩形的是（　　） A．AC=BD B．AC=BC C．AD=BC D．AB=AD A 新知探究 A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) A B D C (有三个角是直角) 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形. 一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流. 新知探究 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. A B C D 证明：有三个角是直角的四边形是矩形. 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. 新知探究 知识归纳 矩形的判定定理2： 几何语言：在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°, ∴ □ABCD是矩形. ∠A=∠B=∠C=90° 有三个角是直角的四边形是矩形. A B C D 矩形ABCD 四边形ABCD A B C D 新知探究 2.在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是（　　） A．测量对角线是否相等 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角 D 典例分析 如图，如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB = 4，求这个□ABCD的面积. 例1 ∴∠ABC=90°（矩形的四个角是直角）. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4. ∴OA=OB=OC=OD=4. ∴AC=BD=2OA=2×4=8. ∴□ABCD是矩形. （对角线相等的平行四边形是矩形） 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 , ∴BC=. ∴S□ABCD=AB·BC=4×=16. 典例分析 如图,矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形. 例2 B C D E F G H O A 证明： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD（矩形的对角线相等)， AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分）， ∵ AE=BF=CG=DH， ∴OE=OF=OG=OH， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵EO+OG=FO+OH， 即EG=FH， ∴四边形EFGH是矩形. 巩固练习 1.下列识别图形不正确的是（   ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形   B．有三个角是直角的四边形是矩形 C．对角线相等的四边形是矩形           D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 2.四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是（   ） A．AB=CD，AB∥CD，∠BAD=90° B．AO=CO，BO=DO，AC=BD C．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180° D．∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90° C C 巩固练习 3.如图,直线EF∥MN,PQ交EF，MN于A，C两点,AB，CB，CD，AD分别是∠EAC，∠MCA， ∠ ACN，∠CAF的平分线,则四边形ABCD是 （ ） A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定 D E F M N Q P A B C C 巩固练习 4.若四边形ABCD的对角线AC，BD相等，且互相平分于点O，则四边形ABCD是_____形，若∠AOB=60°，那么AB：AC=______． 矩 1：2 5.如图所示，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC=6，BD=8，若DE//AC， CE// BD则 OE 的长为 . 5 巩固练习 6.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN. 求证：四边形NDMB为矩形． 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO＝OC，OD＝OB. ∵AN＝CM，ON＝OB， ∴ON＝OM＝OD＝OB， ∴四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD， ∴平行四边形NDMB为矩形． 7.如图所示，过△ABC的顶点A分别作∠ACB及其外角的平分线的垂线，垂足分别为 E，F，求证:四边形 AECF是矩形。 巩固练习 证明:∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACD， ∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD. ∵∠ACB+∠ACD=180°, ∴2∠ACE+2∠ACF= 180°， ∴∠ACE+ ∠ACF=90°,即∠ECF= 90°. 又∵AE⊥CE，AF⊥CF， ∴∠AEC=∠AFC=90°， ∴四边形 AECF是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)。 巩固练习 8.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E. 求证：四边形ADCE是矩形． 证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠B＝∠ACB，BD＝DC. ∵AE是∠BAC的外角平分线， ∴∠FAE＝∠EAC. ∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC， ∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC， ∴AE∥CD. 又∵DE∥AB， ∴四边形AEDB是平行四边形， ∴AE平行且相等BD. 对角线相等的平行四边形是矩形. 课堂小结 矩形的性质与判定-第2课时 矩形的判定方法:定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 矩形的判定定理 有三个角是直角的四边形是矩形. 作业布置 1.必做题：习题1.3第3，4，5，8，9题。 2.探究性作业：习题1.3第10题。 感谢聆听! $