1.3 矩形的性质与判定 第2课时 课件 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件围绕矩形的判定展开，核心知识点为“对角线相等的平行四边形是矩形”和“有三个角是直角的四边形是矩形”。课堂导入通过回顾菱形判定方法，引导学生思考矩形性质定理的逆定理，搭建从性质到判定的知识迁移支架。 其亮点在于以数学思维培养为核心，通过严谨证明过程（如对角线相等的平行四边形判定矩形的推导）发展推理能力，结合几何语言规范表述（表格归纳判定方法与几何语言）强化数学语言表达。实例丰富，如检验桌面是否为矩形、木匠制作矩形踏板等，引导学生用数学眼光观察现实世界，助力学生系统掌握知识，也为教师提供清晰教学思路。

1.3 矩形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第2课时 矩形的判定 课时导入 还记得我们是怎样得到菱形的判定条件的吗？你能用类似的方法发现矩形的判定条件吗？ 通过性质定理的逆定理发现的. 思考·交流 你能写出矩形性质定理的逆定理吗？它们都是真命题吗？为什么？与同伴进行交流. 可以发现：有三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形. 知识讲解 知识点1 对角线相等的平行四边形是矩形 已知：如图，在□ABCD中，AC ， DB是它的两条对角线， AC=DB. 求证：□ABCD是矩形. A B D C 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB = DC,AB ∥ DC， 又∵BC = CB，AC = DB， ∴ △ABC≌△DCB . ∴∠ABC = ∠DCB . ∵AB∥DC，∴∠ABC + ∠DCB = 180°. ∴∠ABC=∠DCB= ×180°=90°. ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. 定理：对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言： 如图，在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形. A B D C 1.要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（ 　 ） A．测量两对角线是否相等 B．度量两个角是否是90° C．测量两对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D．测量两组对边是否分别相等 随 堂 小 测 C 2.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ 　 ） A．AB=BE B．CE⊥DE C．∠ADB=90° D．BE⊥AB D 知识点2 有三个角是直角的四边形是矩形 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°. ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. A B C D 定理：有三个角是直角的四边形是矩形. A B C D 几何语言： 如图，在四边形ABCD中， ∵ ∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 例2 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ， △ABO是等边三角形， AB=4，求□ABCD的面积. A B D C O 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA= OC，OB = OD. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA= OB=AB= 4，∴OA= OB=OC = OD= 4. ∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8. ∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）. 例2 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ， △ABO是等边三角形， AB=4，求□ABCD的面积. A B D C O ∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） . 在Rt△ABC中,由勾股定理,得 AB 2 + BC 2 =AC 2 , ∴BC= . ∴S□ABCD=AB·BC=4× = . 随 堂 小 测 3.一个木匠要制作矩形的踏板.他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板.理由是 . 有三个角是直角的平行四边形是矩形 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E. 求证：四边形ADCE为矩形． 证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC. 又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线， ∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM, ∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝ (∠BAC＋∠CAM)＝90°. 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠CEA＝90°, ∴四边形ADCE为矩形（有三个角是直角 的四边形是矩形）． 小结 矩形的判定方法 几何语言 图形 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°， ∴ 四边形ABCD是矩形. 定理 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中，∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形 定理 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形 A B C D A B D C A B D C 1. 在▱ABCD中，若∠A＋∠C＝180°，下列最符合条件的 图形是（　C　） C 巩固练习 A层基础练 2. 如图，在△ABC中，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E， DF⊥BC于点F，当∠B＝ °时，四边形BEDF是矩形。 第2题图　　　　 90　 A层基础练 3. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加 下列条件后，不能判定▱ABCD为矩形的是（　C　） A. ∠ABC＝90° B. AC＝BD C. AD＝AB D. ∠BAD＝∠ADC C A层基础练 4. 如图，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到点D，使DO＝BO， 连接AD，CD。四边形ABCD是矩形吗？请说明理由。 解：四边形ABCD是矩形。理由如下： ∵BO是Rt△ABC斜边上的中线， ∴BO＝ AC，AO＝CO＝ AC。 ∴BO＝AO＝CO。又∵DO＝BO， ∴DO＝BO＝AO＝CO。∴四边形ABCD是平行四边形。 ∵BD＝DO＋BO，AC＝AO＋CO，∴BD＝AC。 ∴▱ABCD是矩形。 解：四边形ABCD是矩形。理由如下： ∵BO是Rt△ABC斜边上的中线， ∴BO＝ AC，AO＝CO＝ AC。 ∴BO＝AO＝CO。 ∴DO＝BO＝AO＝CO。∴四边形ABCD是平行四边形。 ∵BD＝DO＋BO，AC＝AO＋CO，∴BD＝AC。 ∴▱ABCD是矩形。 又∵DO＝BO， A层基础练 5. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点B作 BE∥AC，且BE＝ AC，连接CE。求证：四边形BECO是矩形。 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OC＝ AC。∴∠BOC＝90°。 ∵BE＝ AC，∴BE＝OC。又∵BE∥AC， ∴四边形BECO是平行四边形。 ∵∠BOC＝90°，∴▱BECO是矩形。 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OC＝ AC。∴∠BOC＝90°。 ∵BE＝ AC，∴BE＝OC。 ∴四边形BECO是平行四边形。 ∵∠BOC＝90°，∴▱BECO是矩形。 又∵BE∥AC， A层基础练 6. 木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为150 cm， 宽为80 cm，对角线为170 cm，那么这个桌面 （填 “合格”或“不合格”）。 合格　 B层 提升练 7. 如图是四根木棒搭成的平行四边形框架，AB＝8 cm，AD ＝6 cm，使AB固定，转动AD，当∠DAB＝ 时， ▱ABCD的面积最大，此时▱ABCD是 形，面积为 。 90°　 矩　 48cm2 B层 提升练 8. （教材P15习题T5）如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线， 分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C，D。试判断四边形ACBD 的形状，并证明你的结论。 解：四边形ACBD是矩形。证明如下： ∵CD∥MN，∴∠OCB＝∠CBM。∵BC平分∠ABM， ∴∠OBC＝∠CBM。∴∠OCB＝∠OBC。∴OC＝OB。 同理可得OB＝OD。∴OB＝OC＝OD。 ∵O是AB的中点，∴OA＝OB。 ∴四边形ACBD是平行四边形。 ∵AB＝OA＋OB，CD＝OC＋OD， ∴AB＝CD。∴▱ACBD是矩形。 解：四边形ACBD是矩形。证明如下： ∵CD∥MN，∴∠OCB＝∠CBM。 ∵BC平分∠ABM，∴∠OBC＝∠CBM。 同理可得OB＝OD。∴OB＝OC＝OD。 ∵O是AB的中点，∴OA＝OB。 ∴四边形ACBD是平行四边形。 ∵AB＝OA＋OB，CD＝OC＋OD， ∴AB＝CD。∴▱ACBD是矩形。 ∴∠OCB＝∠OBC。∴OC＝OB。 B层 提升练 9. （思想方法·辅助线）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点 O，E是▱ABCD外一点，且∠AEC＝∠BED＝90°。求证：四边形 ABCD是矩形。 证明：如图，连接OE。 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC，BD的中点。 ∴在Rt△AEC中，OE＝ AC， 在Rt△EBD中，OE＝ BD。 ∴AC＝BD。∴▱ABCD是矩形。 答图 ∵∠AEC＝∠BED＝90°， C层 拓展练 $