第3章 3.2 一元二次方程的解法-3.2.1 配方法-课时1 直接开平方法解方程-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（湘教版·新教材）
2026-08-17
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教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦九年级上册“一元二次方程的解法”，以直接开平方法为核心，从一元二次方程的解的定义切入，逐步过渡到x²=p、(mx+n)²=p等方程形式，构建从基础概念到具体解法的学习支架。
其亮点在于通过分层训练（刷基础、提升、素养）和易错点警示，结合推理能力培养（如“平均数法”解题）与传统文化（欧几里得《几何原本》方程解法），发展学生数学思维与创新意识。学生能分层巩固知识，教师可高效开展针对性教学。
内容正文：
数 学
九年级上册 XJ
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第3章一元二次方程
3.2 一元二次方程的解法
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3.2.1
配方法
课时1 直接开平方法解方程
5
刷基础
刷提升
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基础
知识点1 一元二次方程的解（根）
1.【2026湖南衡阳校级期末】若关于的一元二次方程
的一个根是，则 的值为( )
B
A.3 B. C.3或 D.
【解析】把代入方程,得 ，解得
，，,的值为 .故选B.
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2.下表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程
的根是( )
… 0 1 2 3 4 …
… 12 6 2 0 0 2 6 12 …
C
A.， B.， C.， D.，
【解析】由题意得，当时，；当时， ，
方程的根是， .故选C.
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3.【2025湖南常德期中】若关于的一元二次方程 的一个实
数根为，则关于的一元二次方程 一定有实数根( )
D
A.2 024 B. C. D.
【解析】 关于的一元二次方程的一个实数根为 ，
，，， 一
定是关于的一元二次方程 的实数根.故选D.
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关键点拨
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握等式的性质和一元二次方程解的定义是
解题的关键.
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4.【2026湖南岳阳期中】若是方程 的解，则代数式
的值为_______.
2 025
【解析】是方程的解，， ，
，故答案为
2 025.
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知识点2 解形如 的方程
5.【2025河南安阳质检】用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程
为( )
C
A. B.
C. D.
【解析】A选项，,, ，此方程有解，故不符合题意；B选
项，,，此方程有解，故不符合题意；C选项, ,
，此方程无解，故符合题意；D选项，, ,
，此方程有解，故不符合题意.故选C.
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6.【2026湖南娄底期中】关于的一元二次方程的两个根分别是 与
，则 ___.
2
【解析】根据题意得，解得 ，故答案为2.
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7.【2026湖南永州质检】解方程：
（1） ；
【解】，，，解得， .
（2） .
【解】，，解得， .
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知识点3 解形如 的方程
8.【2025湖南娄底质检】一元二次方程 用直接开平方法可转化为两
个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 ，则另一个一元一次方程是
( )
C
A. B. C. D.
【解析】，， 另一个一元一次方程是 ，
故选C.
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9.【2026湖南常德质检】若关于的方程有实数根，则 的取值
范围是_______.
【解析】根据题意得，解得.故答案为 .
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10.【2026山西长治期末】已知，则 ___.
8
【解析】，， 或
（舍去）.故答案为8.
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11.解方程：
（1） ；
【解】,，或 ，解得
， .
（2） .
【解】，，，解得， .
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刷易错
易错点 方程两边同时开平方,忽略平方根有2个致错
12.【2025吉林白城期中】 .
解：， 第一步
， 第二步
.……第三步
（1）以上解方程的过程中从第____步开始出现错误，错误的原因是____________
______________.
一
开平方时,忽
略平方根有2个
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（2）请写出正确的解方程过程.
【解】直接开平方，得或，解得或 .
易错警示
注意正数的平方根有两个，且互为相反数，在用直接开平方法解方程时，不要漏解.
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提升
1.［中］在关于的方程中，，，满足
和 ，则方程的根是( )
B
A.1，0 B.1， C.1， D.无法确定
【解析】当时，；当时， ，所以方程的
根分别为1和 .故选B.
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2.【2025湖南岳阳质检，中】已知关于的方程，， 均为
常数，的解是和1，则方程 的解是( )
B
A.或 B.或 C.或 D.无法求解
【解析】 方程的解是和1，或 ，
解得或， 方程的解为或 .故选B.
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3. 传统文化 ［中］欧几里得的《几何原本》记载，对于
形如 的方程，可用如下解法：如图，作直角三角形
，其中 ，，，在斜边 上截取
，则该方程的其中一个正根是( )
C
A.线段的长 B.线段的长 C.线段的长 D.线段 的长
【解析】设，， .根据勾
股定理得，即 ，则这个方程的一个正根是线段
的长.故选C.
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4. 【2026江苏南京期中，中】已知，是方程
（,为常数）的两个实数根.若，则 的值为____.
【解析】，,解得 ,
， ，
，.故答案为 .
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思路分析
先利用直接开平方法求出方程的两个根，再根据两根之差的绝对值建立等式，从
而求出 的值.
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5.［中］已知是方程的一个根，则 的值为
_______.
2 021
【解析】是方程的一个根， ，
，，， 原式
，故
答案为2 021.
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方法技巧
此类题目将所求代数式或其中的一部分看作一个整体，通过将这部分与已知条件
建立关系，进而求解.
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6.［中］如图，点与点表示的数分别为1和3，小宸同学在数轴上以 为直角顶
点作，，再以为圆心，长为半径画圆，交数轴于， 两点，
小莲同学说：“若点和点表示的数分别为和，我发现 是一元二次方程
的一个根.”小琮同学说:“ 一定不是此方程的根.”
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（1）写出与 表示的数;
【解】在中，，， ，
.， ，
，点表示的数为，即， 点表示的
数为，即 .
（2）求出 的值;
【解】把代入方程，得 ，
解得，即的值为 .
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（3）你认为小琮同学说的对吗？为什么？
【解】小琮同学说的不对.理由如下：
由（2）得,.把 代入方程，得左边
右边，
一定是此方程的根.
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刷素养 走向重高
7.核心素养 推理能力 ［中］在解一元二次方程时，发现有这样一种解法.
如：解方程 .
解：原方程可变形，得, ,
,
直接开平方，得， .
我们称这种解法为“平均数法”.
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（1）下面是小明用“平均数法”解方程 时写的解题过程.
解：原方程可变形，得 ,
,
,
直接开平方，得， .
上述解题过程中的，，， （均为正数）所表示的数分别是___，___，___，
____.
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【解析】原方程可变形，得, ，
,
直接开平方，得， .
则过程中的，，， 表示的数分别为5，3，2，12.故答案为5，3，2，12.
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（2）请用“平均数法”解方程：
【解】原方程可变形，得, ，
,
直接开平方，得， .
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