专项5 第十一章一元一次不等式 压轴题型 2025-2026学年苏科版七年级下册数学期末复习 专项 讲义

专项5第十一章 一元一次不等式压轴题型 目录 题型1 不等式的性质 1 题型2 一元一次不等式的整数解 5 题型3 一元一次不等式解的最值 12 题型4 一元一次不等式组的参数问题 17 题型5 不等式组和方程结合问题 28 题型6 用不等式组解决实际问题 34 题型7 一元一次不等式解决实际问题 43 题型1 不等式的性质 1．在证明“如果，那么”结论的正确性时，小明的证明方法如下： 证明：， ． ． ． ． 请将上面的证明过程补充完整． 【答案】；；； 【分析】本题根据不等式的基本性质逐步推导补充证明，用到的性质为：不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变；不等式两边加同一个整式，不等号方向不变． 【详解】证明： 2．问题呈现：已知实数、满足：，，求的取值范围． 解：由两边同乘以得， 的取值范围为：． 类比学习： (1)若实数、满足：，，求的取值范围； (2)若实数、满足：，，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据已知的取值范围，不等式两边同乘得到的取值范围，再将的范围与的范围对应相加，即可得到的取值范围； （2）同（1）求出的取值范围，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：由两边同乘以得，， ， 的取值范围为：； （2）解：由两边同乘以得，， ， ， 的取值范围为： ， 的最大值为． 3．代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性．例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)请你尝试证明：若，则． (2)已知有理数、满足，证明：． 【答案】(1)证明：， 不等式的两边同时加上同一个数，得， 不等式的两边同时除以同一个正数2，得． (2)证明：， 不等式的两边同时乘以同一个正数，得；不等式的两边同时乘以同一个正数，得， ， ． 【分析】（1）不等式的两边同时加上同一个数得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题． 【详解】（1）略 （2）略 4．代数推理是学习数学的一种重要推理方法，请你阅读以下推理过程并完成所给的题目： 【阅读材料】如果、、、都是正数，且，，那么． 证明：，是正数，第一步 ．（依据：________）第二步 又，是正数，第三步 ________，第四步 ．第五步 (1)上述证明过程中，第二步的依据为________，第四步应填________． (2)如果、、、都是负数，且，，那么与的大小关系如何？请说明你的结论的正确性． 【答案】(1)不等式两边乘同一个正数，不等号的方向不变； (2) 【分析】（1）根据不等式的性质进行求解； （2）根据不等式的性质进行证明． 【详解】（1）解：第二步的依据为不等式两边乘同一个正数，不等号的方向不变， 第四步应填； （2）解：，理由如下： ，是负数， ， 又，是负数， ， ． 5．下面是华师版七年级下册数学教材第62页的部分内容．请你认真阅读并完成下列任务． ▶例2  利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性： （1）如果，，那么； 解（1）因为，所以 ．① 又因为，所以 ．② 由①②，可得． 由数的大小比较可知，不等关系具有传递性，即如果且，那么．它也可以作为推理的依据． 任务： (1)填空： ①若，，则的取值范围是______； ②若，，则的取值范围是______． (2)如果，，，都是负数，且，，那么与的大小关系如何？请说明你的结论的正确性． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【分析】（1）①利用不等式的性质即可解答；②利用不等式的性质即可解答； （2）由不等式的基本性质得，，即可得证． 【详解】（1）解：①由题意得， ； ②∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， （2）解：，理由如下： a、b、c、d都是负数，、且， ，， ． 题型2 一元一次不等式的整数解 6．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：，即，③ 把方程①代入③得：，解得， 把代入①得， 原方程组的解为 请你根据上述材料解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组 (2)若关于x，y的二元一次方程组的解满足，请求出满足条件的m的所有正整数值． 【答案】(1) (2)m的正整数值为1，2，3 【分析】（1）根据题干方法求解即可； （2）将两式相加，再解不等式． 【详解】（1）解： 由②得：，③   把①代入③中，得，解得，   把代入①中，得，解得， 原方程组的解为； （2）解：由①＋②得：，则，   ， ，   解得， 满足条件的m的正整数值为1，2，3． 7．定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数x的系数a互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为． (1)方程的“亲密方程”为____； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“亲密方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数m，n，t，满足条件，并且是关于x，y的二元一次方程的“亲密方程”，求m的值． 【答案】(1) (2)2025 (3)5 【分析】（1）根据题意列出已知方程的亲密方程； （2）根据“亲密方程”的定义建立方程组，解方程组求出x，y的值，再代入方程可得，据此计算即可得； （3）根据“亲密方程”的定义求出方程的“亲密方程”，解方程组求出，然后根据整数m，n，t，满足，得出，解得整数m满足． 【详解】（1）解：根据定义得：的“亲密方程”为； （2）的“亲密方程”方程为， 联立得，解得， ∵， ∴， ∴方程组的解为， ∵恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的值为2025； （3）∵是关于x，y的二元一次方程的“亲密方程”， ∴，化简得， ∵整数m，n，t，满足， ∴， ∴整数m满足， ∴m的值为5． 8．若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，求式子的值． 【答案】 【分析】先求得不等式的最小整数解为．代入一元一次方程求得，再代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：， 解不等式，得． ∴不等式的最小整数解为． ∵不等式的最小整数解是关于x的方程的解， ∴将代入方程，得， 解得． ∴． 9．已知关于x的方程． (1)求x的值（用含a的式子表示）； (2)若关于x的方程的解不小于，求a的取值范围； (3)请直接写出满足（2）的条件的所有a的正整数值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）结合该方程的解不小于，可得关于的一元一次不等式，求解即可获得答案； （3）结合（2）及正整数的定义，即可获得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴； （2）由（1）可知，， ∵该方程的解不小于， ∴， 解得； （3）由（2）可知，， ∴满足（2）的条件的所有a的正整数值． 10．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是不等式最小整数解，且满足．点从点出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止． (1)______，______，_______． (2)点从点开始运动后，到达点的过程中，经过秒钟，，求的值． (3)点从点出发的同时，数轴上的动点分别从点和点同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)或或 (3)1，，，8． 【分析】（1）根据绝对值以及偶次方的非负性即可得出a、c的值，再求解不等式的整数解得出b的值； （2）由题意知，依次求出的长，再进行分类讨论即可：当从到A时，当从A到时，两种情况分类讨论． （3）用表示出，对应的数，根据的取值分类讨论确定，，的位置关系，根据中点数值的两倍是端点数字的和求解值即可． 本题考查了非负数的性质，数轴上两点间距离，数轴的动点问题，一元一次方程的应用．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵且，满足， ∴， ∴， 解不等式得， ∴不等式最小整数解为， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意知，此过程中，当点P在上时． ∴． ∴． 又∵． ∴． 当从到时，如图所示： ∵， 可以列方程为：， 解得：； 当从到时，分两种情况讨论： ①当P在线段之间时，如图所示： 可以列方程为：, 解得：， ②当P在线段之间时，如图所示： ∵， ∵， ∴， ∴， 可列方程为：， 解得：． 综上所述，或或． （3）解：点对应的数字为：，点对应的数字为：， 时，点对应的数字为：， 时，点对应的数字为：， 时，点对应的数字为：， 当，重合时，或或， 解得：或（舍）或（舍）， 当，重合时，或或， 解得：（舍）或或（舍）， 当，重合时，， 解得：， 当，在，之间， ， 解得：，不符合题意； 当时，在，之间， ， 解得：，不符合题意； 当时，在，之间， ， 解得：； 当时，在，之间， ， 解得：； 当时，在，之间， ， 解得：； 当时，在，之间， ， 解得：； 综上所述，或或或． 题型3 一元一次不等式解的最值 11．定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)整数的最小值为2． 【分析】（1）解方程求得方程的解，根据定义判定求解即可； （2）解方程组求得方程组的解，根据定义建立不等式，求解即可； （3）根据定义求解即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： 解方程，得． 解不等式，得， 又因为， 所以方程的解是不等式的“内含解”； （2）解：， 由，得， 又因为， 所以， 解得； （3）解：解方程，得． 因为， 所以． 解不等式， 得． 由“内含解”的定义，得， 解得， 所以整数的最小值为2． 12．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义建立方程，解一元一次方程即可得； （2）根据新运算的定义建立一元一次不等式，解不等式即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， 解得． （2）解：由题意得：， ， ∵， ∴， 解得， 所以不等式的最大整数解为． 13．规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最大整数值． 【答案】(1)，； (2)， (3)1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入②求出即可； （3）根据新运算得出方程组，再①②得出，根据求出的范围，再求出最大整数解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：； （2）解：由（1），， ∴， ， ， ①②，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （3）解：，，， ， ①②，得，即， ， ， ， 的最大整数值是1． 14．按如图程序进行运算．如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求（结果大于10）为止． (1)当输入的数是6时，请求出输出的结果； (2)当输入的数是x时，经过第一次运算，结果即符合要求，请求出x的最小整数值． 【答案】(1)12； (2)8 【分析】（1）当输入的数是6时，依据程序进行计算，满足结果大于10，输出结果，反之，将计算结果再依程序计算，直到符合要求即可； （2）根据题意，列不等式2x-4＞10，解不等式即可找到最小整数解. 【详解】（1）解：当输入的数是6时，6×2-4=8＜10， 将x=8再次代入8×2-4=12>10，输出结果为12 （2）由题意，得2x-4＞10，解得x＞7 ∴最小整数解为8. 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算和解不等式求最值的问题，正确的计算能力是解决本题的关键. 15．集合这个概念是非常基本和自然的，并且自古以来在一些数学著作中就已经使用．然而，人们通常把集合创始人归功于19世纪中期德国数学家康托尔（G．Cantor），因为他对集合论作出巨大贡献．把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：、，我们称之为集合，其中的每个数称为该集合的元素．如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数a是集合的元素时，也必是这个集合的元素，那么这样的集合我们称为“好的集合”．例如，集合就是一个“好的集合”． (1)集合__________“好的集合”（填“是”或“不是”） (2)若一个“好的集合”中最大的一个元素为3013，则该集合是否存在最小的元素？如果存在，请直接写出答案；如果不存在，请说明理由． (3)若一个“好的集合”中所有元素之和为整数M，且，则该集合共有几个元素？请说明理由． 【答案】(1)是 (2)存在， (3)该集合共有22个元素，理由见解析 【分析】本题考查了有理数以及探究性问题，关键是明确什么是“好的集合”，集合中的各个数都是元素，明确“好的集合”中的元素个数都是偶数个，在此还要应用到估算的知识． （1）根据“好的集合”的概念求解即可； （2）根据“好的集合”的概念可得最大和最小的和是，据此求解即可； （3）根据“好的集合”的概念求解即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴集合是“好的集合”， 故答案为：是； （2）解：存在． 由新定义得：是集合的一个元素， 因为一个好集合中最大的一个元素为3013， 所以， 解得：， 则最小的元素为； （3）解：该集合共有22个元素，理由如下： 因为在“好的集合”中，如果一个元素为a，则存在另一个元素为，当时，， 所以“好的集合”中元素不包含时一定为偶数个，包含时一定为奇数个； 因为“好的集合”中的每一对对应元素的和为：，，，， 又因为一个“好的集合”中所有元素之和为整数M，且， 当“好的集合”中元素不包含时，这个“好的集合”共有（个）元素； 当“好的集合”中元素包含时，，和都不在范围内，不存在符合条件的和； 答：该集合共有22个元素． 题型4 一元一次不等式组的参数问题 16．定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”． (1)在方程①，②，③中，不等式组的“相依方程”是 ；（填序号） (2)若不等式组的一个“相依方程”的解是整数，求这个关于的“相依方程”中的值； (3)若方程和都是关于的不等式组的“相依方程”，则的取值范围是 ． 【答案】(1)②③ (2)或 (3) 【分析】（1）分别求出三个一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集即可得到答案； （2）先求出不等式组的解集，然后确定出不等式组的整数解，进而把所求的整数解代入一元一次方程中求出a的值即可； （3）先求出两个“相依方程”的解，然后求出不等式组的解，然后根据“相依方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 解得：， ①， 解得：，不是一元一次不等式组的解， ②， 解得：，是一元一次不等式组的解， ③， 解得：，是一元一次不等式组的解， ∴不等式组的“相依方程”是②③； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为或， 若是的解，则 ，解得：； 若是的解，则 ，解得：； 综上所述，或； （3）解：解方程得：， 解方程得：， 解关于的不等式组得：， ∵方程和都是关于的不等式组的“相依方程”， ∴和是的解， ∴， ∴的取值范围是． 17．若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“容纳”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．例如：不等式被不等式“容纳”； (1)下列不等式（组）中，能被不等式“容纳”的是______（填字母序号）； A．    B．   C．     D． (2)若关于x的不等式被“容纳”，求m的取值范围； (3)若关于x的不等式被“容纳”，若且，，求M的最大值． (4)已知，，，，且k为整数，关于x的不等式，，若存在k，使得P和Q存在“容纳”关系，且Q被P“容纳”，请直接写出k的值． 【答案】(1)C (2) (3) (4)或 【分析】（1）A解集为，存在不满足的解；B解集为，与无包含关系；C解集为，所有解都满足且有解，符合要求；D不等式组无解，不符合前提； （2）先解不等式，得，该不等式被“容纳”，说明的所有解都满足，则可得，进行求解即可； （3）由被容纳，可得且，解得．通过方程组消元得，，代入化简得．因随增大而增大，故时取最大值； （4）由解得，，结合、得，整数为．解得，解得，由被容纳，即的所有解都满足，逐一验证得和符合要求． 【详解】（1）解：A、 解得， ∵解集中存在如这样不满足的数， ∴不能被容纳，故该选项不符合题意； B、 解得， 解集与无容纳关系， ∴不能被容纳，故该选项不符合题意； C、 解得， 解集中所有都满足，且不等式有解， ∴能被容纳，故该选项符合题意； D、， 解得，此不等式组无解． ∵不等式（组）需均有解， ∴不符合要求，故该选项不符合题意； （2）解： 解得， ∵该不等式被容纳，即解集中所有都满足， ∴ 解得； （3）解：∵不等式被容纳， ∴，且， 解得，且， ∴的取值范围为， ∵， ∴ 解得， 将代入中， 得 解得， 将，代入中， 得 ， ∵， ∴当时，取得最大值，最大为； （4）解：∵， ∴，代入中， 得 解得， ∴， ∵，， ∴且 解得， 又∵为整数， ∴的可能值为， 由题意得，： 解得， ： ∴， ∴当时， 解得， ∴所有实数对恒成立， ∴的所有解都满足，符合要求； 当时， 解得， ∵的解集中存在这样不满足的数，不符合要求； 当时， 解得， ∵的解集中存在这样不满足的数， ∴不符合要求； 当时， 解得， ∴的所有解都满足，符合要求； 综上所述，符合条件的的值为和． 18．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”． 【问题解决】 (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是_____（填序号）； (2)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； (3)若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，请求出m的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】（1）根据“相伴方程”的定义进行判断即可． （2）根据题意，得出关于k的不等式，据此得出关于k的取值范围即可． （3）根据题意，得出关于m的不等式，据此得出关于m的取值范围即可． 【详解】（1）解：由得，； 由得，． 解不等式组得，． 因为，， 所以不等式组的“相伴方程”是②． （2）解：由得，x． 解不等式组得，， 则， 解得． （3）解：由得，； 由得，； 由得，． 因为所给方程都是不等式组的“相伴方程”， 所以， 解得． 19．定义运算“F”，规定（其中a、b均为常数），例如．已知，． (1)求a、b的值； (2)根据有理数的除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．即：若，则或，若，则或．根据上述规律，求关于x的不等式时，x的取值范围． (3)若关于x的不等式恰有2个整数解，直接写出实数t的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据题意，将，分别代入中，建立一个关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可求出a，b的值； （2）由（1）可得，，由，可得①或②，解不等式组，即可求出x的取值范围； （3）由，即，分和两种情况，进行讨论，结合不等式有2个整数解，求出实数t的取值范围． 【详解】（1）解：由，得到， ， 解得，． （2）解：由（1）可得，，由， ∴， 即①或②， 解①得，； 解②得，； 综上，或． （3）解：由，即， 当时，即时， 则，解得， ∵不等式有2个整数解， ∴，解得； 当时，即， 则，解得， ∵不等式有2个整数解， ∴，解得； 综上，当或时，不等式恰有2个整数解． 20．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， 求m的取值范围，并化简； (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 【答案】(1) (2)，10 (3) 【分析】（1）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可； （2）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，进一步计算即可求解， （3）求出方程的解为，不等式组的解集为，由所有整数“梦想解”的和为列出不等式组，解得． 【详解】（1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； 故答案为：； （2）解：解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵，， ∴； （3）解：由方程得，， 解不等式组得：， ∵所有整数“梦想解”的和为， ∴整数“梦想解”为1、2、3、4或0、1、2、3、4， ∵关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”， ∴，且，解得：且． 综上，． 题型5 不等式组和方程结合问题 21．已知方程组的解满足为负数，为非正数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，当取何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1) (2) 和 【分析】（1）求出方程组的解，根据方程组的解的情况，列出不等式组，进行求解即可； （2）根据不等式的性质，得到，结合（1）中的取值范围，进行求解即可. 【详解】（1）解：解方程组， 两式相加得，解得. 两式相减得，解得. 根据题意可得，代入得. 解得； （2）解：对不等式整理得， 不等式的解集为，不等号方向改变. ，解得； 由（1）知， ∴， 该范围内的整数为和， 即符合条件的整数为和. 22．学科素养·应用意识阅读下列材料： 问题：已知，且，，求的取值范围． 解：，．又，，．又，①，．即②．①+②得．的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是________；的取值范围是________； (2)已知，且，，根据上述做法得到，求、的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题干的方法及不等式的性质求解即可； （2）仿照题干的方法得出，确定方程组求解即可． 【详解】（1）解：， ． 又， ， ． 又， ①， ． 即②． ①+②得． 的取值范围是． （2）， ， 又， ， ， 又， ， ①． ， ，即， ②， ①+②，得． ， ， 解得． 23．感知：解不等式 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或 解不等式组得，解不等式组得 原不等式的解集为或 问题解决： (1)应用：不等式的解集为 ； (2)变式：求不等式的解集； (3)综合：已知关于的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）按照例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）按照例题的解题思路进行计算，即可解答； （3）先求解出二元一次方程组的解用含的参数表示出来，再根据，按照例题的思路进行求解即可 【详解】（1）解：根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转化为或， 解不等式组得：且，故不等式组无解， 解不等式组得， 原不等式的解集为； （2）解：根据两数相除，异号得负，原不等式可以转化为或， 解不等式组得：且，故不等式组无解， 解不等式组得， ∴原不等式的解集为； （3）解：解方程组得：， ∵ ， ∴或， 解不等式组得， 解不等式组得且，故不等式组无解， ∴的取值范围为． 24．【教材呈现】如下是华师版七年级下册数学教材第77页的部分内容． 7．已知关于的方程的解是非负数，求的取值范围． (1)请写出这道题完整的解题过程． 【拓展】已知关于、的方程组满足为非正数、为非负数； (2)求的取值范围； (3)化简：． 【答案】(1)过程见解析 (2) (3) 【分析】（1）先求出方程的解，再根据题意得到关于的一元一次不等式，求解即可； （2）先求出方程组的解，根据题意得到关于的一元一次不等式组，求解即可； （3）由（2）可知，，从而判断出和的符号，结合绝对值的意义进行化简即可． 【详解】（1）解：， 解得， ∵是非负数， ∴， 解得； （2）解：， 解得， ∵为非正数、为非负数， ∴， 解得； （3）解：由（2）可知，， ∴，， ∴． 25．已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围； (3)在（）的条件下，若不等式的解集为，求的整数值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（）把两个方程相加可得 ，即得，解方程即可求解； （）用第二个方程减去第一个方程可得 ，即得 ，再解不等式即可求解； （）由不等式可得 ，进而根据解集得到 ，求出的解集再结合（）得到，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ①②，得， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）解：， ②①，得， ∵方程组的解满足， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴不等式的解集为， ∴， 解得， 又由（）得，， ∴， ∴的整数值为或或． 题型6 用不等式组解决实际问题 26．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 27．综合实践： 背景：上海市徐汇中学依托科创办学优势，开设模拟飞行、水下机器人两大科创拓展课．下学期计划采购飞行模拟器配件、水下机器人零件套装两类耗材，供两个拓展课社团实操使用． 素材1： 采购总预算不超过340元；采购约定：飞行模拟器配件数量是水下机器人零件套装数量的3倍，水下机器人零件套装至少采购9套． 素材2： 单价信息：买2件飞行模拟器配件+1套水下机器人零件共12元； 买3件飞行模拟器配件+2套水下机器人零件共19元． 素材3： 供货商两种优惠方案（采购仅能选择其中一种），设采购水下机器人零件套装 套． 方案1：所有耗材原价统一8折； 方案2：原价总金额元按原价结算，超过300元的部分打5折． 问题： (1)求单件飞行模拟器配件、单套水下机器人零件套装的单价； (2)若只选用一种优惠方案采购，分别求所有符合条件的两种耗材采购数量（即求出 的所有可能取值） 【答案】(1)飞行配件5元/件，机器人套装2元/套 (2)方案一：；方案二： 【分析】（1）设飞行配件元/件，机器人套装元/套，根据买2件飞行模拟器配件+1套水下机器人零件共12元；买3件飞行模拟器配件+2套水下机器人零件共19元，再建立方程组解题即可； （2）设采购水下机器人零件套装套，根据分段收费的方式列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设飞行配件元/件，机器人套装元/套， 则 ， 解得：， 答：飞行配件5元/件，机器人套装2元/套． （2）解：由题意，原价总费用为：（为整数）， 方案（1）（全场8折）， 实际付款：， ， ， ∴取， 方案（2）（分段优惠） 当， ， ∴， ， 当，则， 又因为实际花费， ， ， ∴取， 综上，方案（2）中为． 28．用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板_____张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板．若要用15张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒多少个？ 【答案】(1)解：3；4 (2)解：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； (3)解：最多可以制作横式纸盒20个． 【分析】本题考查二元一次方程和不等式的应用，找准数量关系，列等式或不等式解题即可； （1）根据无盖纸盒的图示可以得到结果； （2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据所需纸板的数量列方程组解题即可； （3）设a张大纸板全部裁成A型，b张全部裁成B型，c张同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板,可以制作横式纸盒个，根据题意列不等式组，求最大值即可． 【详解】（1）解：由题意可得，1个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张型和1张型， 故答案为：3，4； （2）解：设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据题意得， ，解得， 答：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； （3）解：设a张大纸板全部裁成A型，b张全部裁成B型，c张同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板,可以制作横式纸盒个， ∴， 由①得， 代入③得：， ∴， ∴（）， 由， 则， 得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵t是整数， 解得t的最大值为20， 在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒20个． 29．在某市创建全国卫生城市活动中，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍． (1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ (2)该小区至少需要安放23个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共50个，且费用不超过5000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 【答案】(1)温馨提示牌的单价是50元，垃圾箱的单价是150元 (2)共有3种购买方案，分别是：方案1：购买23个垃圾箱，27个温馨提示牌；方案2：购买24个垃圾箱，26个温馨提示牌；方案3：购买25个垃圾箱，25个温馨提示牌；购买23个垃圾箱、27个温馨提示牌的方案所需资金最少，最少是4800元. 【分析】（1）设温馨提示牌的单价是x元，垃圾箱的单价是y元，根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个垃圾箱，则购买个温馨提示牌，根据“至少需要购买23个垃圾箱，且购买费用不超过5000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出各购买方案，再求出选择各方案所需资金，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设温馨提示牌的单价是x元，垃圾箱的单价是y元， 依题意得：， 解得：． 答：温馨提示牌的单价是50元，垃圾箱的单价是150元． （2）解：设购买m个垃圾箱，则购买个温馨提示牌， 依题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案，方案1：购买23个垃圾箱，27个温馨提示牌；方案2：购买24个垃圾箱，26个温馨提示牌；方案3：购买25个垃圾箱，25个温馨提示牌； 选择方案1所需资金为（元）； 选择方案2所需资金为（元）； 选择方案3所需资金为（元）． ∵， ∴方案1所需资金最少，最少是4800元． 30．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 题型7 一元一次不等式解决实际问题 31．中药馆为药柜补充中草药，甲、乙两员工现要将仓库的1500件中草药摆放到陈列台上，已知甲10分钟摆放的数量与乙12分钟摆放的数量相等，两人开始摆放时距离下班还有1小时，经过20分钟后，两人共摆放440件． (1)甲、乙两人每分钟各摆放中草药多少件？ (2)为赶在下班前完成工作，从第20分钟后甲摆放的速度提高了25%，则乙每分钟至少要多摆放多少件？ 【答案】(1)甲每分钟摆放12件，乙每分钟摆放10件 (2)乙每分钟至少要多摆放2件 【分析】（1）设甲每分钟摆放x件，乙每分钟摆放y件．根据“工作效率工作时间工作量”，结合已知条件，列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可； （2）设乙每分钟至少多摆放m件．先算出甲摆放的速度提高了25%后每分钟摆放的数量，根据题意，列不等式，解不等式，注意m取正整数，据此即可得答案． 【详解】（1）解：设甲每分钟摆放x件，乙每分钟摆放y件． 由题意可得：， 解得：， 答：甲每分钟摆放12件，乙每分钟摆放10件． （2）解：设乙每分钟至少多摆放m件． 甲摆放的速度提高了25%后每分钟摆放的数量为：（件）， ∵两人开始摆放时距离下班还有1小时，1小时分钟， ∴剩下的时间为：（分钟）， 根据题意可列不等式为：， 即， ∴， ∴， 解得：， ∵m取正整数， ∴m最小取2， 答：乙每分钟至少要多摆放2件． 32．某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一： A型智能机器人台数 B型智能机器人台数 总费用/万元 1 3 260 3 2 360 信息二： A型智能机器人每台每天可分拣快递22万件； B型智能机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)分别求出A，B两种型号智能机器人的单价． (2)现该企业准备用不超过660万元购买A，B两种型号智能机器人共10台（两种都购买），则该企业有哪几种购买方案？要使每天分拣快递的件数最多，应选择哪种购买方案？每天最多分拣快递多少万件？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元/台，B型智能机器人的单价为60万元/台 (2)共有3种购买方案：方案一：购买A型智能机器人1台，B型智能机器人9台；方案二：购买A型智能机器人2台，B型智能机器人8台；方案三：购买A型智能机器人3台，B型智能机器人7台；该企业选择购买A型智能机器人3台，B型智能机器人7台，能使每天分拣快递的件数最多，每天最多分拣快递192万件 【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元/台，B型智能机器人的单价为y万元/台，根据题意列二元一次方程组求解； （2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，根据题意列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元/台，B型智能机器人的单价为y万元/台． 根据题意，得， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元/台．B型智能机器人的单价为60万元/台． （2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台， 根据题意，得， 解得， ∵a为正整数， ∴a的值可以为1，2，3，对应的值分别为9，8，7． ∴共有3种购买方案： 方案一：购买A型智能机器人1台，B型智能机器人9台．每天分拣快递的件数为（万件）； 方案二：购买A型智能机器人2台，B型智能机器人8台，每天分拣快递的件数为（万件）； 方案三：购买A型智能机器人3台，B型智能机器人7台，每天分拣快递的件数为（万件）． ∵， ∴该企业选择购买A型智能机器人3台，B型智能机器人7台，能使每天分拣快递的件数最多，每天最多分拣快递192万件． 33．一家水果店花费10000元购进了大樱桃和小樱桃共，大樱桃进价30元，小樱桃进价20元． (1)求大樱桃和小樱桃分别购进了多少千克？ (2)计划大樱桃和小樱桃分别以39元和29元的价格销售． ①大樱桃在运输中损耗了，若小樱桃的售价不变，为了使获得的总利润不低于预期利润的，大樱桃的售价至少要定为每千克多少元？ ②小樱桃在运输中无损耗，若小樱桃全部包装成礼盒出售，每盒10千克，按计划销售了一部分后发现剩下的礼盒数量小于已售的礼盒数量的，大于已售的礼盒数量的，店主担心变质损耗，于是决定将剩下的小樱桃礼盒全部以总价m元卖给食品加工厂，这批小樱桃总能获得至少1200元的利润，则m的最小值是________． 【答案】(1)大樱桃购进了千克，小樱桃购进了千克． (2)①大樱桃的售价至少要定为每千克元．②元 【分析】（1）设大樱桃购进了千克，小樱桃购进了千克，可得方程，进一步求解即可； （2）①设大樱桃的售价至少要定为每千克x元,根据题意,得，进一步解不等式即可；②设已售的礼盒数为盒，则剩下的礼盒数为盒，可得，进一步可得，再结合且为整数分析即可. 【详解】（1）解：设大樱桃购进了千克，小樱桃购进了千克， ， 解得：， ∴， 答：大樱桃购进了千克，小樱桃购进了千克． （2）解：①设大樱桃的售价定为每千克x元,根据题意,得 原计划可得利润：（元）， 根据题意，得， 解得， 答：大樱桃的售价至少要定为每千克元． ②由（1）得：小樱桃购进了千克，每盒10千克， ∴可装礼盒数为：（盒）， 设已售的礼盒数为盒，则剩下的礼盒数为盒， ∵剩下的礼盒数量小于已售的礼盒数量的，大于已售的礼盒数量的， ∴， 解得：， ∵小樱桃的总成本为：（元）， 已售礼盒的销售额为：（元）， ∴小樱桃的总销售额为：（元）， ∴， ∴， ∵且为整数， ∴， ∴当时，（元）， ∴的最小值为. 34．某超市销售甲、乙两种型号的电器，其进价分别为180元/台和160元/台，下表是近两周的销售情况（进价、售价均保持不变，利润售价进价）： 销售时段 销售数量/台 销售收入/元 甲种型号 乙种型号 第一周 3 2 1120 第二周 4 3 1560 (1)求甲、乙两种型号电器的售价； (2)若超市准备用不多于6000元的金额再采购这两种型号的电器共35台，则最多能采购甲种型号电器多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这35台电器能否实现利润超过1750元的目标？若能，请说明哪种采购方案利润最大；若不能，请说明理由． 【答案】(1) 甲种型号电器的售价为240元，乙种型号电器的售价为200元 (2) 最多能采购甲种型号电器20台 (3) 能实现利润超过1750元的目标，采购甲种型号电器20台、乙种型号电器15台时利润最大 【分析】（1）根据两周的销售收入条件列二元一次方程组，求解得到两种型号电器的售价； （2）根据总采购金额的限制列一元一次不等式，求解得到甲种型号电器的最大采购量； （3）根据利润要求列不等式，结合（2）的结论得到所有可行方案，比较各方案利润得到最大利润对应的采购方案； 【详解】（1）解：设甲种型号电器的售价为元，乙种型号电器的售价为元， 由题意得：， 解得：， 答：甲种型号电器的售价为240元，乙种型号电器的售价为200元； （2）解：设采购甲种型号电器台，则采购乙种型号电器台， 由题意得：， 解得：， 答：最多能采购甲种型号电器20台； （3）解：由题意得，总利润满足：， 解得：， ，且为正整数， ∴，且为正整数， 可取18，19，20，说明能实现利润超过1750元的目标， 分别计算三种方案的利润：当时，利润为（元）， 当时，利润为（元）， 当时，利润为（元）， ， 当采购甲种型号电器20台，乙种型号电器15台时，利润最大． 35．某校餐厅为学生们准备了，两种品牌的酸奶，每盒酸奶的容量均为，其营养成分表如下： 品牌 营养成分表 品牌 营养成分表 项目 每 项目 每 能量 能量 蛋白质 蛋白质 脂肪 脂肪 碳水化合物 碳水化合物 钠 钠 (1)若一个学生一天内要从这两种品牌的酸奶中摄取的能量和的蛋白质，则应饮用，两种品牌的酸奶各多少盒？ (2)已知品牌酸奶的价格是元／盒，品牌酸奶的价格是元／盒．某班级计划用不超过元从餐厅购买两种酸奶共盒，经与餐厅沟通，每盒品牌酸奶售价不变，品牌酸奶的售价打九折．求最多能购买品牌酸奶多少盒？ 【答案】(1)应饮用品牌酸奶盒，品牌酸奶盒 (2)最多能购买品牌酸奶盒 【分析】（1）根据能量总量和蛋白质总量的限制，设未知数后列二元一次方程组求解即可； （2）根据总费用不超过1000元的限制，设未知数后列一元一次不等式，取符合题意的最大正整数解即可求解． 【详解】（1）解：设应饮用A品牌酸奶盒，B品牌酸奶盒； 根据题意，得 解得 答：应饮用A品牌酸奶2盒，B品牌酸奶3盒． （2）设购买A品牌酸奶盒，则购买B品牌酸奶盒， 根据题意，得 化简得 整理得 移项得 解得 为非负整数 的最大值为 答：最多能购买A品牌酸奶146盒． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项5第十一章 一元一次不等式压轴题型 目录 题型1 不等式的性质 1 题型2 一元一次不等式的整数解 3 题型3 一元一次不等式解的最值 4 题型4 一元一次不等式组的参数问题 6 题型5 不等式组和方程结合问题 8 题型6 用不等式组解决实际问题 9 题型7 一元一次不等式解决实际问题 12 题型1 不等式的性质 1．在证明“如果，那么”结论的正确性时，小明的证明方法如下： 证明：， ． ． ． ． 请将上面的证明过程补充完整． 2．问题呈现：已知实数、满足：，，求的取值范围． 解：由两边同乘以得， 的取值范围为：． 类比学习： (1)若实数、满足：，，求的取值范围； (2)若实数、满足：，，求的最大值． 3．代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性．例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)请你尝试证明：若，则． (2)已知有理数、满足，证明：． 4．代数推理是学习数学的一种重要推理方法，请你阅读以下推理过程并完成所给的题目： 【阅读材料】如果、、、都是正数，且，，那么． 证明：，是正数，第一步 ．（依据：________）第二步 又，是正数，第三步 ________，第四步 ．第五步 (1)上述证明过程中，第二步的依据为________，第四步应填________． (2)如果、、、都是负数，且，，那么与的大小关系如何？请说明你的结论的正确性． 5．下面是华师版七年级下册数学教材第62页的部分内容．请你认真阅读并完成下列任务． ▶例2  利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性： （1）如果，，那么； 解（1）因为，所以 ．① 又因为，所以 ．② 由①②，可得． 由数的大小比较可知，不等关系具有传递性，即如果且，那么．它也可以作为推理的依据． 任务： (1)填空： ①若，，则的取值范围是______； ②若，，则的取值范围是______． (2)如果，，，都是负数，且，，那么与的大小关系如何？请说明你的结论的正确性． 题型2 一元一次不等式的整数解 6．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：，即，③ 把方程①代入③得：，解得， 把代入①得， 原方程组的解为 请你根据上述材料解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组 (2)若关于x，y的二元一次方程组的解满足，请求出满足条件的m的所有正整数值． 7．定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数x的系数a互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为． (1)方程的“亲密方程”为____； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“亲密方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数m，n，t，满足条件，并且是关于x，y的二元一次方程的“亲密方程”，求m的值． 8．若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，求式子的值． 9．已知关于x的方程． (1)求x的值（用含a的式子表示）； (2)若关于x的方程的解不小于，求a的取值范围； (3)请直接写出满足（2）的条件的所有a的正整数值． 10．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是不等式最小整数解，且满足．点从点出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止． (1)______，______，_______． (2)点从点开始运动后，到达点的过程中，经过秒钟，，求的值． (3)点从点出发的同时，数轴上的动点分别从点和点同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值． 题型3 一元一次不等式解的最值 11．定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值． 12．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 13．规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最大整数值． 14．按如图程序进行运算．如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求（结果大于10）为止． (1)当输入的数是6时，请求出输出的结果； (2)当输入的数是x时，经过第一次运算，结果即符合要求，请求出x的最小整数值． 15．集合这个概念是非常基本和自然的，并且自古以来在一些数学著作中就已经使用．然而，人们通常把集合创始人归功于19世纪中期德国数学家康托尔（G．Cantor），因为他对集合论作出巨大贡献．把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：、，我们称之为集合，其中的每个数称为该集合的元素．如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数a是集合的元素时，也必是这个集合的元素，那么这样的集合我们称为“好的集合”．例如，集合就是一个“好的集合”． (1)集合__________“好的集合”（填“是”或“不是”） (2)若一个“好的集合”中最大的一个元素为3013，则该集合是否存在最小的元素？如果存在，请直接写出答案；如果不存在，请说明理由． (3)若一个“好的集合”中所有元素之和为整数M，且，则该集合共有几个元素？请说明理由． 题型4 一元一次不等式组的参数问题 16．定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”． (1)在方程①，②，③中，不等式组的“相依方程”是 ；（填序号） (2)若不等式组的一个“相依方程”的解是整数，求这个关于的“相依方程”中的值； (3)若方程和都是关于的不等式组的“相依方程”，则的取值范围是 ． 17．若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“容纳”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．例如：不等式被不等式“容纳”； (1)下列不等式（组）中，能被不等式“容纳”的是______（填字母序号）； A．    B．   C．     D． (2)若关于x的不等式被“容纳”，求m的取值范围； (3)若关于x的不等式被“容纳”，若且，，求M的最大值． (4)已知，，，，且k为整数，关于x的不等式，，若存在k，使得P和Q存在“容纳”关系，且Q被P“容纳”，请直接写出k的值． 18．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”． 【问题解决】 (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是_____（填序号）； (2)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； (3)若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，请求出m的取值范围． 19．定义运算“F”，规定（其中a、b均为常数），例如．已知，． (1)求a、b的值； (2)根据有理数的除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．即：若，则或，若，则或．根据上述规律，求关于x的不等式时，x的取值范围． (3)若关于x的不等式恰有2个整数解，直接写出实数t的取值范围． 20．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， 求m的取值范围，并化简； (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 题型5 不等式组和方程结合问题 21．已知方程组的解满足为负数，为非正数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，当取何整数时，不等式的解集为？ 22．学科素养·应用意识阅读下列材料： 问题：已知，且，，求的取值范围． 解：，．又，，．又，①，．即②．①+②得．的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是________；的取值范围是________； (2)已知，且，，根据上述做法得到，求、的值． 23．感知：解不等式 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或 解不等式组得，解不等式组得 原不等式的解集为或 问题解决： (1)应用：不等式的解集为 ； (2)变式：求不等式的解集； (3)综合：已知关于的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 24．【教材呈现】如下是华师版七年级下册数学教材第77页的部分内容． 7．已知关于的方程的解是非负数，求的取值范围． (1)请写出这道题完整的解题过程． 【拓展】已知关于、的方程组满足为非正数、为非负数； (2)求的取值范围； (3)化简：． 25．已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围； (3)在（）的条件下，若不等式的解集为，求的整数值． 题型6 用不等式组解决实际问题 26．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 27．综合实践： 背景：上海市徐汇中学依托科创办学优势，开设模拟飞行、水下机器人两大科创拓展课．下学期计划采购飞行模拟器配件、水下机器人零件套装两类耗材，供两个拓展课社团实操使用． 素材1： 采购总预算不超过340元；采购约定：飞行模拟器配件数量是水下机器人零件套装数量的3倍，水下机器人零件套装至少采购9套． 素材2： 单价信息：买2件飞行模拟器配件+1套水下机器人零件共12元； 买3件飞行模拟器配件+2套水下机器人零件共19元． 素材3： 供货商两种优惠方案（采购仅能选择其中一种），设采购水下机器人零件套装 套． 方案1：所有耗材原价统一8折； 方案2：原价总金额元按原价结算，超过300元的部分打5折． 问题： (1)求单件飞行模拟器配件、单套水下机器人零件套装的单价； (2)若只选用一种优惠方案采购，分别求所有符合条件的两种耗材采购数量（即求出 的所有可能取值） 28．用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板_____张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板．若要用15张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒多少个？ 29．在某市创建全国卫生城市活动中，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍． (1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ (2)该小区至少需要安放23个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共50个，且费用不超过5000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 30．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 题型7 一元一次不等式解决实际问题 31．中药馆为药柜补充中草药，甲、乙两员工现要将仓库的1500件中草药摆放到陈列台上，已知甲10分钟摆放的数量与乙12分钟摆放的数量相等，两人开始摆放时距离下班还有1小时，经过20分钟后，两人共摆放440件． (1)甲、乙两人每分钟各摆放中草药多少件？ (2)为赶在下班前完成工作，从第20分钟后甲摆放的速度提高了25%，则乙每分钟至少要多摆放多少件？ 32．某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一： A型智能机器人台数 B型智能机器人台数 总费用/万元 1 3 260 3 2 360 信息二： A型智能机器人每台每天可分拣快递22万件； B型智能机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)分别求出A，B两种型号智能机器人的单价． (2)现该企业准备用不超过660万元购买A，B两种型号智能机器人共10台（两种都购买），则该企业有哪几种购买方案？要使每天分拣快递的件数最多，应选择哪种购买方案？每天最多分拣快递多少万件？ 33．一家水果店花费10000元购进了大樱桃和小樱桃共，大樱桃进价30元，小樱桃进价20元． (1)求大樱桃和小樱桃分别购进了多少千克？ (2)计划大樱桃和小樱桃分别以39元和29元的价格销售． ①大樱桃在运输中损耗了，若小樱桃的售价不变，为了使获得的总利润不低于预期利润的，大樱桃的售价至少要定为每千克多少元？ ②小樱桃在运输中无损耗，若小樱桃全部包装成礼盒出售，每盒10千克，按计划销售了一部分后发现剩下的礼盒数量小于已售的礼盒数量的，大于已售的礼盒数量的，店主担心变质损耗，于是决定将剩下的小樱桃礼盒全部以总价m元卖给食品加工厂，这批小樱桃总能获得至少1200元的利润，则m的最小值是________． 34．某超市销售甲、乙两种型号的电器，其进价分别为180元/台和160元/台，下表是近两周的销售情况（进价、售价均保持不变，利润售价进价）： 销售时段 销售数量/台 销售收入/元 甲种型号 乙种型号 第一周 3 2 1120 第二周 4 3 1560 (1)求甲、乙两种型号电器的售价； (2)若超市准备用不多于6000元的金额再采购这两种型号的电器共35台，则最多能采购甲种型号电器多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这35台电器能否实现利润超过1750元的目标？若能，请说明哪种采购方案利润最大；若不能，请说明理由． 35．某校餐厅为学生们准备了，两种品牌的酸奶，每盒酸奶的容量均为，其营养成分表如下： 品牌 营养成分表 品牌 营养成分表 项目 每 项目 每 能量 能量 蛋白质 蛋白质 脂肪 脂肪 碳水化合物 碳水化合物 钠 钠 (1)若一个学生一天内要从这两种品牌的酸奶中摄取的能量和的蛋白质，则应饮用，两种品牌的酸奶各多少盒？ (2)已知品牌酸奶的价格是元／盒，品牌酸奶的价格是元／盒．某班级计划用不超过元从餐厅购买两种酸奶共盒，经与餐厅沟通，每盒品牌酸奶售价不变，品牌酸奶的售价打九折．求最多能购买品牌酸奶多少盒？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $