专项3图形的变换压轴题型 2025-2026学年苏科版七年级下册数学期末复习专项｜易错题型 +压轴题型+ 期末满分讲义

专项3 图形的变换压轴题型 目录 题型1 利用平移的性质求解 1 题型2 平移（作图） 9 题型3 根据轴对称图形的特征进行求解和判断 17 题型4 台球桌面的轴对称问题 27 题型5 轴对称中的光线反射问题 33 题型6 折叠问题 43 题型7 根据旋转的性质求解 55 题型8 根据旋转的性质说明线段或角相等 63 题型9 根据中心对称的性质求解 74 题型1 利用平移的性质求解 1．如图，将三角形平移，使点与点重合，点、的对应点分别是点、．此时点的坐标是． (1)请画出平移后的三角形，则点的坐标为________； (2)若点是三角形内的一点，则平移后对应点的坐标为________； (3)三角形的面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的平移以及面积的计算，熟练掌握平面直角坐标系中点的平移是解题的关键． （1）由题意可知将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，根据此特点再将点，向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，，然后依次连接可得，最后根据点的位置得出答案； （2）由（1）可得，平移规律，即可得到点的坐标； （3）用三角形外围矩形面积减去周围个直角三角形面积，即可． 【详解】（1）解：即为所求； 点． （2）解：由（1）可得，平移的规律为：向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度； ∴． （3）解：． 2．如图，矩形（长方形）中，，第1次平移将矩形沿的方向向右平移5个单位，得到矩形，第2次平移将矩形沿的方向向右平移5个单位，得到矩形，……，第次平移将矩形．沿的方向向右平移5个单位，得到矩形． (1)求和的长； (2)若的长为56，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平移的性质得出，进而求出和的长； （2）根据（1）中所求得出数字变化规律，进而得出求出即可． 【详解】（1）解：∵，第1次平移将矩形沿的方向向右平移5个单位，得到矩形， 第2次平移将矩形沿的方向向右平移5个单位，得到矩形…， ∴ ， ∴， ∴的长为：； （2）解：∵ ，……， ∴， ∴， 解得：． 3．已知大正方形的边长为，小正方形的边长为，起始状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以1的速度沿水平方向向右平移，设平移的时间为，两个正方形重叠部分的面积为．完成下列问题： (1)平移时，________； (2)根据小正方形向右平移的运动过程中，两正方形重叠部分的面积表示不同，可以把整个运动过程分为四种，请填写下表： 运动状态 平移时间的范围 两正方形重叠部分的面积 第一种运动状态 ________ 第二种运动状态 ________ 第三种运动状态 ________ ________ 第四种运动状态 ________ 0 (3)当时，小正方形平移的时间为________秒． 【答案】(1)3 (2)答案见解析 (3)1或5 【分析】（1）根据路程速度时间求出平移的距离，再根据重叠部分是长方形，列式计算即可得； （2）分四种情况计算所得图形面积即可； （3）小正方形的高不变，根据面积即可求出小正方形平移的距离． 【详解】（1）解：平移时，小正方形向右移动，； （2）解：当时，重叠面积； 当时，此时小正方形完全在大正方形内部，重叠部分就是小正方形的面积， 当时，小正方形逐渐离开大正方形，重叠部分的长为，所以； 当时，两正方形无重叠，则； 填表如下： 运动状态 平移时间的范围 两正方形重叠部分的面积（） 第一种运动状态 第二种运动状态 4 第三种运动状态 第四种运动状态 0 （3）解：，重叠部分宽为， 重叠部分在大正方形的左边时，秒， 重叠部分在大正方形的右边时，秒 所以小正方形平移的时间为1或5秒． 4．综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含的三角尺如图方式摆放，，，，过点作，是线段上一定点，过点作交于点． (1)知识初探： 勤奋小组求出了的度数，请你直接写出______： (2)深入探究： 智慧小组将线段沿射线的方向平移，得到线段（点的对应点为，点的对应点为），连接，并提出以下两个问题．请你帮忙解决，并写出解答过程． ①如图2，当点在线段上时，若，求的度数； ②如图3，当点在线段上时，若，求的度数． (3)拓展延伸： 创新小组提出问题：在上述平移过程中，当时，请直接写出的度数为_______． 【答案】(1)60 (2)①；② (3)或 【分析】（1）利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补），结合已知的的度数，直接求出的度数． （2）① 过点作，由得，利用平行线的性质将转化为，再通过与的差求解． ② 同理过点作，利用平行线的性质，通过与的差，得到的度数，即为的度数． （3）分两种情况（点在线段上、点在线段上），根据的关系列方程求解，得到的度数． 【详解】（1）解：， ． ， ， ； （2）解：①过点作， 则， ，， ， 线段是由线段平移得到， ， ， ； ②过点作， 则， ，， ， 线段是由线段平移得到， ， ， ； （3）解：如图2， 当时， 由（2）①知， 即， ∴ ， ； 如图3， 当时， 由（2）②知， 即， ∴， ． 5．已知，直线分别交、于点M，N，，平分交于点E．将线段沿方向平移得到线段（点M的对应点为P，点N的对应点为Q）．直线与射线交于点K，连接． (1)当点K在线段上时． ①请在图1中补全图形，求的值； ②已知，求证：平分． (2)在线段平移的过程中，当时，直接写出的度数为____． 【答案】(1)①见解析；；②见解析 (2)或 【分析】（1）①根据题干要求补全图形即可；根据平行线的性质并结合角平分线的定义即可得出的度数；②由平行线的性质并结合三角形内角和定理得出，即可得证； （2）分两种情况：当点K在线段上时；当点K在线段的延长线上时；分别列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：①如图，补全图形， ，， ， 平分， ， 线段是由线段平移得到的， ， ， ②证明：， ， ， ， ， 在中，， ， ， 平分； （2）解：由（1）知， 分两种情况讨论： 当点K在线段上时： 在中，， 设，则， ∴， 解得， ， ∴， ， ， ， 当点K在线段的延长线上时： ， ∴， 设，则， ∴， 解得， ， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 题型2 平移（作图） 6．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1、三角形的顶点均在方格纸的格点上，将三角形平移后得到三角形，使点A落在直线l上的点处． (1)画出平移后的三角形； (2)在直线l上找一格点D，使，，、D所围成的四边形的面积为6． 【答案】(1)如图，三角形如图所示： (2)符合条件的四边形的形状有两种，如图所示： 或 【分析】（１）点A向上平移5个单位，向右平移3个单位，得到，将点、点也向上平移5个单位，再向右平移3个单位，得到点，点，连线得所求的三角形； （2）符合条件的四边形有两种情况，分别是①从点开始，向右平移3个单位，得到点D，四边形构成平行四边形，长度为3，高为2，面积为6；②从点开始，向左平移3个单位，得到点D，四边形构成平行四边形，面积为6． 【详解】（1）略 （2）略 7．如图1是由25个边长为1个单位的小正方形组成的网格，三角形的端点都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题： (1)将三角形向上平移1个单位，向右平移2个单位，画出三角形； (2)连接、，则与之间的数量关系为________；与之间的位置关系为________； (3)如图2，将三角形沿方向平移若干距离得到三角形．若三角形和五边形的周长分别是与，则三角形平移的距离为________． 【答案】(1) (2)， (3)2 【分析】（1）分别作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可得； （2）根据平移的性质：经过平移,对应线段,对应角分别相等;对应点所连的线段平行且相等即可作答； （3）根据平移的性质作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图， ∵三角形向上平移个单位，向右平移个单位，得三角形， ∴，； （3）解∶∵将三角形沿方向平移若干距离得到三角形， ∴平移距离为的长，且，， ， ∵三角形和五边形的周长分别是与， ∴，， ∴， ∴平移距离为的长． 8．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点都在网格点上． (1)写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．在图中画出三角形，并求三角形的面积． (3)过B画y轴的平行线交线段于点D，直接写出点D的坐标_____________ 【答案】(1)，， (2)作图见详解，三角形的面积为7 (3)作图见详解， 【分析】（1）根据题中的图形利用平面直角坐标系特征分别找出对应的点A，B，C的坐标即可； （2）根据题中平移的方式找出平移后点A、B、C的对应点，，，并依次连接即可画出，利用割补法求出的面积即可； （3）先作出对应的图形，利用平行线的性质结合图形求出点D的横坐标，再观察点A，C的坐标，找出对应规律后，从而求得点D的纵坐标，进而得出点D的坐标． 【详解】（1）解：根据图象可知， ，，． （2）解：如图所示，即为所求： ∴． （3）解：如图所示，点D为所求： ∵轴，， ∴， ∵点D为线段的交点，，， 从点A到点C，横坐标增加了，纵坐标减少了， ∴横坐标每增加1，则纵坐标减少， ∵，点D的横坐标比点A的横坐标增加了1， 由横坐标每增加1，则纵坐标减少可知， ∵， ∴， ∴． 9．在如图所示的方格纸中，按要求画图、填空： (1)点向右移动4格，向下移动3格到达格点（网格线的交点叫格点）；再向下移动3格，向左移动5格到达格点，请画出点，点的位置． (2)作射线，连接． (3)过点画线段的垂线，垂足为． (4)画出线段的垂直平分线，其中与的位置关系为_______，依据为______． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)图见详解 (4)图见详解，平行；同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题主要考查平移、平行线的判定、线段、射线及垂线，熟练掌握平移、平行线的判定、线段、射线及垂线的定义是解题的关键； （1）根据平移的性质可进行求解； （2）根据射线及线段的定义可进行求解； （3）根据垂线的定义可进行求解； （4）根据垂线的定义及平行线的判定可进行求解． 【详解】（1）解：点，点的位置如图所示： （2）解：作射线，连接，如图所示； （3）解：过点画线段的垂线，垂足为，如图所示； （4）解：画出线段的垂直平分线，如图所示；由图可知：与的位置关系为平行，依据为同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； 故答案为平行；同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 10．（1）如图，火车站、码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示河流与铁路． ①请画图说明从火车站到码头怎么走最近？画图的依据是______． ②请画图说明从火车站到河流怎么走最近？画图的依据是______． （2）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示现将平移，使点C变换为点D，点A、B的对应点分别是点E、F．在图中请画出平移后得到的． 【答案】（1）①画图见详解，两点之间线段最短；②画图见详解，垂线段最短；（2）见详解 【分析】本题考查了线段的性质、垂线段的性质，网格平移画图；理解相关性质，会平移作图是解题的关键． （1）①连接，沿线段走最近，即可求解； ②作直线交于，沿线段走最近，即可求解； （2）由点C变换为点D得向右平移，向下平移，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，连接，沿线段走最近， 依据：两点之间，线段最短； 故答案为：两点之间线段最短； ②如图，作直线交于，沿线段走最近， 依据：垂线段最短； 故答案为：垂线段最短； （2）解：点C变换为点D， 向右平移，向下平移； 如图， 为所求作． 题型3 根据轴对称图形的特征进行求解和判断 11．如下图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，，，． (1)试写出EF，AD的长度． (2)求的度数． (3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？ 【答案】(1)， (2) (3)直线MN垂直平分线段BF 【分析】本题考查了轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）（2）（3）根据轴对称的性质即可得出相关信息． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称， ，， ，． （2）解：∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称， ， ∴． （3）解：∵对称轴垂直平分对应点的连线， ∴直线MN垂直平分线段BF． 12．小明同学在画对称轴的过程中，忘记带圆规，只带了一把无刻度的直尺，他选择仅使用直尺工具完成以下问题探究 (1)问题1：轴对称图形对应点连线互相______．（填“平行”或“垂直”） (2)问题2：如图1，画出线段AB与的对称轴．小明采用以下画法：连接与，两条线段交于点，延长BA与交于点，连接，，． ①根据小明的画法完成作图； ②证明：； ③证明：由②结论证明：是与的垂直平分线，也就是对称轴； (3)问题3：如图2，设计一种方法，只用直尺作出与的对称轴，用文字描述你的画法并证明这样画出的直线即为对称轴． 【答案】(1)平行 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）利用轴对称图形的性质判断即可； （2）①根据要求画出图形； ②证明1可得结论； ③证明，推出1，推出1，可得结论； （3）连接交于点，作直线即可．证明点，点在线段的垂直平分线上即可． 【详解】（1）解：轴对称图形对应点连线互相平行． 故答案为：平行； （2）解：图形如图所示： ②证明：∵线段，线段关于某条直线对称， ∴两条线段交点在对称轴上，且，， ； ③证明：在和中， ， ， ， ， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵点也在的垂直平分线上， ∴直线垂直平分线段， 同法可证直线垂直平分线段， ∴直线是线段，的对称轴； （3）如图，直线即为所求． 方法：连接，交于点，作直线即可． 理由：连接． 同法可证， ， ， 点在线段的垂直平分线上， ∵， 点也在线段的垂直平分线上， 直线垂直平分线段， ∴直线是与的对称轴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称图形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 13．综合与实践——折纸中的数学． 某兴趣小组在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过以下的折纸方式找符合要求的直线．如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有，两点，连接，是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点作的平行线的基本步骤如下． 第一步：如图2．过点进行第一次折叠．使点的对应点落在上．折痕与互相垂直，垂足为，打开纸张铺平． 第二步：如图3，过点进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）． (1)根据上述步骤可知，与的位置关系是 ． (2)【联系拓广】①如图4，设直线与正方形上、下两边分别交于点，，试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，求的度数． (3)【类别迁移】如图5，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处，且点，，，在同一直线上．求证：． 【答案】(1) (2)①，见解析；② (3)见解析 【分析】（1）根据平行线的判定判断即可； （2）①由平行的性质和正方形的性质，可知，，从而得到； ②过点作，，，即可求解； （3）经过两次翻折，可知，，由内错角相等，两直线平行得到． 【详解】（1）．理由如下： 由折叠可得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①． 理由如下：如图，连接． 由正方形可知，， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ②如图，过点作， ∴． ∵纸片是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）证明：∵， ∴． ∵纸片沿折叠，使落在处， 再将纸片沿折叠，使落在处， ∴关于对称，关于对称， ∴，， ∴， ∴． 14．已知在纸面上有一个数轴如图，折叠纸面操作一：若数轴上表示数的点与表示数的点重合，则折痕经过的点表示的数是；操作二：若数轴上表示数的点与表示数的点重合，则解答下列各题： (1)此时折痕经过的点表示的数是______；数轴上表示数的点与表示数______的点重合； (2)若点到原点的距离是个单位长度，并且、两点经折叠后重合，则点表示的数是______． (3)若数轴上经折叠后重合的两点、之间的距离为（在的左侧），则点表示的数是______点表示的数是_________． (4)若数轴上，两点之间的距离为，并且，两点经折叠后重合，如果点表示的数比点表示的数大，则点表示的数是_________点表示的数是_____． 【答案】(1)；； (2)或； (3)，； (4)，． 【分析】本题主要考查了数轴的综合应用，读懂题意，根据数轴上两点间的距离计算方法进行计算是解题的关键． 根据题目中对折痕点解释可知，折痕点是两个点的中间数字，再根据表示数的点与表示数的点重合，计算出折痕表示的数即可； 点到原点的距离是个单位长度，点表示的数是或，设点表示的数是，根据数轴上两点间的距离计算方法分两种情况计算即可； 设点表示的数是，则点表示的数是，根据折叠后两点、重合，可列方程，解方程求出的值，即为点表示的数，再根据、之间的距离求出点表示的数； 设点表示的数是，则点表示的数是，根据折叠后两点重合可列方程：，解方程求出的值，即为点表示的数，再根据，两点之间的距离为，求出点表示的数即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点与表示数的点重合， 折痕对应的数是， 设数轴上表示数的点与表示数的点重合， 可得：， 解得：， 故答案为：； （2）解：设点表示的数是， 点到原点的距离是个单位长度， 点表示的数是或， 当点表示的数是时， 可得：， 解得：， 点表示的数是时， 可得：， 解得：， 点表示的数是或， 故答案为：或； （3）解：设点表示的数是，则点表示的数是， 根据题意可得：， 解得：， 则， 点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：，； （4）解：设点表示的数是，则点表示的数是， 根据题意可得：， 解得：， ， 点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：，． 15．综合与实践：校园文化节中，设计小组要制作一个轴对称的活动徽标． (1)【操作思考】 徽标边框是，其中，点是线段的中点，点是线段上任意一点，如图， ①请仅用无刻度的直尺画图：连接，线段与相交于点，再连接并延长，与线段 相交于点． ②点与点是否关于线段成轴对称: ．（选填“是”或“不是”） (2)【模仿实践】 如图2，徽标边框是正方形 （四条边相等，四个角均为直角），点在边上，请仅用无刻度的直尺，利用“正方形的对称性”，在边上找一点，使得 ． (3)【拓展应用】 如图3，在正方形网格中，线段是徽标的对称轴的一部分．请仅用无刻度的直尺，利用格点小正方形的顶点的垂直关系及轴对称的有关知识，画出点 关于线段 的对称点．(保留作图痕迹，关键点加黑加粗) 【答案】(1)①②是 (2) (3) 【分析】（1）①连接交于点，连接并延长交于点；②根据等腰三角形的性质可得关于成轴对称； （2）根据正方形的对称性，所在的直线是正方形的对称轴，连接交于点，连接交于点，连接并延长交于点，则； （3）构造等腰三角形，以所在的直线为对称轴，根据（1）的方法画图，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型4 台球桌面的轴对称问题 16．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 17．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，最后由垂直的概念可得答案． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， 由题意可知：， ， ， ， ， ． 18．如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，生活中的轴对称现象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点，连接交于点，连接，构造等腰直角三角形，取格点，连接，将平移，使点与点重合，交于，交于点，点，点即为所求； （2）作点关于的对称点，连接交一点，连接，点即为所求，作点关于的对称点，连接分别交于点，连接，路径即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点，点即为所求；   ， 由勾股定可得：，，，，，， ，，， 、、是等腰直角三角形， ，， 由平移的性质可得， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：如图2中，点即为所求，路径即为所求．   ． 19．操作题：台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方向．如图，目标球从A点出发经B点到C点，相当于从点出发直接击打目标球C，其实质上是图形的轴对称变换，关键是找母球关于桌边的对称点的位置． (1)如下图，小球起始时位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于点处，仍按原来方向击球，那么在点A，B，C，D，E，F，G，H中，小球会击中的点是___________； (2)在下图中，请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边AB，BC反射后，撞到球Q．（不写作法，保留作图痕迹．） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质画出小球从起始点处出发的路径，即可求解； （2）根据轴对称的性质，找到关于的对称点，连接分别交于点，连接，则路径为 【详解】（1）解：如图，所以小球会击中的点是， 故答案为： （2）解：如图所示，找到关于的对称点，连接分别交于点，连接，则路径为 【点睛】本题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 20．公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求． （2）作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 【详解】（1）解：如图2中，作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求， 原理：∵点和点P关于对称， ∴， ∵， ∴； （2）如图3中， 作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 题型5 轴对称中的光线反射问题 21．光的反射是生活中常见的现象，图①是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． (1)如图①，若入射光线与平面镜的夹角为，则反射角的度数是____________； (2)如图②，已知：入射光线，反射光线．求作：法线（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； (3)如图③，已知：A为入射光线上一点，B为反射光线上一点．求作：入射点O（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）． 【答案】(1)60 (2) 见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据法线与平面镜垂直求出入射角的度数即可得到答案； （2）根据入射角等于反射角可知，法线即为入射光线与反射光线组成的角的角平分线，据此作的角平分线即可； （3）过点A作平面镜所在直线的垂线，垂足为D，以D为圆心，的长为半径画弧交直线于点C，连接交平面镜所在直线于点O，则点O即为所求． 【详解】（1）解：∵入射光线与平面镜的夹角为， ∵法线与平面镜垂直， ∴入射角的度数为， ∴反射角的度数是； （2）解：如图所示，射线即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求． 22．综合实践： 【知识发现】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法． 如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，法线垂直于平面镜，反射光线、入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角． (1)观察图1，写出和数量关系___________； (2)如图2，转动平面镜，若平面镜与桌面形成的夹角，且． ①当，时，求的大小； ②直接用含的代数式表示出的大小． (3)如图3，小明把平面镜水平放置，当时，再添一面平面镜，将两平面镜相对放置，光线经过两次反射，得到反射光线，当平面镜如何放置时，光线？请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)当平面镜水平放置时，光线 【分析】（1）反射角等于入射角，则反射角和入射角的余角相等，即可求解； （2）①过点作，分别表示出，得出，进而根据平行线的性质，即可求解； ②根据①的结论，即可求解． （3）根据题意可得，根据得出，由，，得出，即可判断，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，反射角等于入射角，则反射角和入射角的余角相等，即； （2）解：①如图所示，过点作， ∴， ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ②由①可得； （3）解：如图所示， 依题意， ∵， 又∵ ∴ ∴ ∴，即当平面镜水平放置时，光线 23．如图1是光的反射示意图，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，点O叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则________． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为________． (3)如图3，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，请用无刻度直尺和圆规作出入射点O，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从A沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达B处．则________． 【答案】(1)38 (2)42 (3)见解析 (4)5 【分析】（1）由已知条件可得出，，进而可得． （2）由题意可得，由平角的定义求出，再由计算即可得解． （3）以作垂直平分线的方法结合（1）作图即可． （4）先根据题意画出图形，根据图形得出5次碰撞后是2个半以为边长的正方形，进而可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∵， 则， ∴， （2）解：由题意可得：， ∴， ∴． （3）解：以点A为圆心，适当半径为弧，交l与点C于点D，分别以点C，点D为圆心，以大于为半径画弧交点G，连接交l于点E，再以点E为圆心，为半径画弧交于点，连接交l于点O，点O即为所求． （4）解：如下图： 小球从长方形的点A沿射出，到的点E，． 从E点沿与成射出，到边的F点，， 从F点沿与成射出，到边的G点，， 从G沿与成射出，到边的H点， 从H点沿与成射出，到边的M点， 从M点沿与成射出，到B点， 由（1）中的结论以及轴对称的性质可知： ，，． 根据图可知5次碰撞后是2个半以为边长的正方形， ∵， ∴． 24．【发现】小明拿激光笔照射到水平桌面上的平面镜时，发现光线经过反射后投射到天花板上，当他改变激光笔的角度时，天花板上的光点也随之移动．经过查阅资料，小明了解到光线在镜面上反射时，如图1，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即． 【探究】如图2，小明将平面镜放置在水平桌面上，激光笔发出的光线射到平面镜上，反射光线射到天花板（直线）上，． (1)若平面镜水平放置于桌面上，当激光笔与桌面的夹角时，请在图2中，画出反射光线，并在图中标出反射光线与天花板所夹锐角的大小． (2)如图3，转动平面镜，若平面镜与桌面形成的夹角，，且． ①当，时，求的大小； ②直接用含，的代数式表示出的大小． (3)如图4，小明把平面镜水平放置，当时，再添一面平面镜，将两平面镜相对放置，光线经过两次反射，得到反射光线，当平面镜如何放置时，光线？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)当平面镜水平放置时，光线 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，轴对称的性质； （1）根据入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即可求解； （2）①过点作，分别表示出，得出，进而根据平行线的性质，即可求解； ②根据①的结论，即可求解． （3）根据题意可得，根据得出，由，，得出，即可判断，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：①如图所示，过点作， ∴， ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ②由①可得 （3）解：如图所示， 依题意， ∵， 又∵ ∴ ∴ ∴，即当平面镜水平放置时，光线 25．【阅读材料】 日常生活中，光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射．图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【尝试探究】 （1）如图2，为法线，入射光线与镜面所夹的锐角为，反射光线与镜面所夹的锐角为，试探究和之间的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用（1）中获得的结论解决以下问题： （2）如图3，平面镜，点A在上，点B在上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射后的光线为，其中点C在上，点D在上．请用无刻度的直尺与圆规补全图3中的反射光线（不写作法，保留作图痕迹）． （3）如图4，两平面镜，相交于点O，入射光线经两个平面镜两次反射后的反射光线为，若和相交，设交点为H．通过调整两个平面镜的夹角（）的大小，可以改变反射光线的方向．当时（即），求的大小． （4）如图5，，为两个足够长的平面镜，若，为一条入射光线，B为入射点，且，请问，入射光线经过_________次反射之后，光线将与其中一个平面镜平行射出． 【答案】（1）相等，见解析；（2）见解析；（3）；（4）8 【分析】（1）根据余角的性质，解答即可． （2）根据光的反射原理，作一个角等于已知角的基本作图，解答即可． （3）根据光的反射原理，三角形内角和，三角形外角性质，解答即可． （4）根据光的反射原理，平行线的判定，规律的探索解答即可． 本题考查了余角的性质，平角的定义，平行线的判定，三角形内角和，光的反射定律，熟练掌握平行线的判定，光的反射定律是解题的关键． 【详解】（1）证明：和之间的数量关系是，理由如下： 根据题意，得， 又， ， ． （2）解：根据光的反射原理，作一个角等于已知角的基本作图，画图如下： 则即为所求． （3）解：如图，连接， 根据题意，得， ， ， ， ， ， ， ， 解得． （4）解：如图，， ， ， , 根据反射原理，得第一次入射时，入射光线与平面镜的夹角为：， ， ， 根据反射原理，得第二次反射时，入射光线与平面镜的夹角为：， ， ， 根据光的反射原理，得第三次反射时，入射光线与平面镜的夹角为：， 由此得到规律，每次反射时，入射光线与平面镜的夹角依次为， 根据题意，当第八次时，反射光线与平面镜的夹角为， 故 ， 故答案为：8． 题型6 折叠问题 26．如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，交于点，再将沿折叠，点落在的位置（在折痕的左侧）． (1)如果，求的度数； (2)如果，则                  ； (3)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)30 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据折叠的性质求出，然后根据平行线的性质求解即可； （2）先求出的度数，然后利用平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，根据折叠可求出的度数，由角的和差关系求出的度数，再根据折叠求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可； （3）设，然后类似（2）的方法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴. （3）解： 理由：设， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴． 27．折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】动手折叠若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，在长方形纸片的边上找到一个异于A，D的点E，连接，，将纸片分别沿，折叠，点A落在点F处，点D落在点G处． (1)【问题初探】如图（1），若点F在线段上，直接写出 °； (2)【问题再探】如图（2）、（3），当E，F，G三点不共线时，若，请在图（2）、（3）中选取一个，求出的度数（用含β的代数式表示）； (3)【问题深探】如图（4），在边上取一点M，连接，将纸片沿折叠，点A落在点H处，当点M在边上移动到使时，若，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)90 (2)选择图（2）：；选择图（3） (3)或 【分析】（1）根据折叠可得：，，再根据，即可得出答案； （2）设，，根据图形中角度关系求出，根据求出结果即可； （3）分两种情况讨论：当在下方时，当在上方时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠可得：，， ∵， ∴； （2）解：选图（2），由折叠可知：，， 设，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴ ； 选图（3），由折叠可知，， 设，， ∵， ∴， 即， ∴ ； （3）解：如图，当在下方时， 由折叠可知：，， 设，则， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴； 如图，当在上方时， 由折叠可知：，， 设，则， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴； 综上，或． 28．综合与实践课上，同学们探究长方形纸片的折叠问题． 如图1，已知长方形纸片，点M在边上（不与A，B重合），点N在边上（不与B，C重合）．将长方形纸片沿直线折叠，使顶点B落在点处，点在长方形内部． 【图形感知】 (1)图1中，________（填“>”“=”或“<”）； 【作图探究】 (2)在图1中边上确定一点G（不与A，D重合），使得纸片沿着折叠后，点A的对应点A'刚好落在射线上，请用无刻度直尺和圆规作出该点G；（不写作法，保留作图痕迹） 【计算探究】 (3)如图2，若点F是图1中边上一动点（不与A，D重合），连接，将纸片沿着折叠，点A的对应点为，点落在长方形内部，若，，求的度数． 【答案】(1)= (2) (3)或 【分析】（1）由折叠性质直接得到对应角相等． （2）利用折叠性质，先以为圆心、为半径作弧确定射线上的点，再作的平分线交于点即可． （3）根据折叠性质得到角相等关系，结合平角定义，对点在射线上的两种位置（在左侧或右侧）分别列方程求解． 【详解】（1）解：长方形纸片沿直线折叠，顶点落在点处， ； （2）解：如图，点即为所求。 纸片沿着折叠后点的对应点落在射线上， ， 以点为圆心、为半径作弧，交射线于点， 再作的平分线，交边于点， 则点即为所求作的点； （3）解：长方形沿直线折叠，顶点落在点处， ， ， 长方形沿直线折叠，顶点落在点处， ， ， 当在的左侧时， ， 即， ， ， 当在的右侧时， ， 即， ， ， 综上所述：或． 29．综合与探究 在长方形纸条中，，，． (1)如图1，将纸条沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，交于点．若，则_____； (2)如图2，将长方形纸条沿，同时向中间翻折，点落在点处，点落在点处，若，求的度数； (3)如图3，在图1的基础上将对折，点落在直线上的点处，点落在点处，折痕为，过点作的平行线． 与的位置关系是______； 求和的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）由折叠知，由平行知， 再由平角的定义可求得的度数； （2）由平角的定义可得的度数，结合折叠的性质等量代换，即可得解； （3）由折叠可知，，，再由平行线的性质等量代换即可得解；延长交于点，由平行线的性质可得，，，结合对顶角相等等量代换可得，再结合折叠的性质可得，等量代换即可得解． 【详解】（1）解：由折叠可知，， ， ， ， ； （2）解：， ， 由折叠可知，，， ； （3）解：，理由如下： 由折叠可知，，， ， ， ， ． ，理由如下： 如图，延长交于点， ，， ， ， ， ． ， ． ， ，， ，， ． 由折叠可知，， ， ， ． 30．今天我们来探究：折纸中的数学——长方形纸条的折叠与平行线． 如图1，长方形纸条中，，，，，分别是长方形纸条边，上两点（）将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在处，交于点． (1)①若，则_____________． ②若，则____________（用含的式子表示）． (2)如图2，在图1的基础上将对折，点落在直线上的处，点落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？并说明理由． (3)如图3，在图1的基础上，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，，若，则的度数为_____________． 【答案】(1)①；②； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得 ，则 ，由平行线的性质得 ，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得 ， ，由平行线的性质得 ，推出 ，即可得出； （3）先证 ，再证 ，最后根据平角可得度数，即可得解． 【详解】（1）解：①由题意得：， ， ， ， ； 故答案为：； ②由题意得： ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 由题意得： ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，即交于点， 由折叠的性质得到： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在平角上，则有， ， ． 故答案为：． 题型7 根据旋转的性质求解 31．如图，将两块含的三角尺的直角顶点叠放在一起，，． (1)若，则______；若，则______； (2)猜想与的大小有何数量关系；并说明理由； (3)若一开始将三角形与三角形完全重合（与重合），保持三角形不动，将三角形绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为秒，在旋转的过程中，为何值时． 【答案】(1)，； (2)解：，理由如下： ， ， ， 即． (3)为12或48时． 【分析】本题考查了旋转以及平行线的性质： （1）是两个角之和减去重合部分的角度； （2）利用来求解即可； （3）分情况讨论，利用平行线的性质得到旋转角，再计算旋转时间． 【详解】（1）解：若， 则， 若， 则． （2）略 （3）如图①， 当时， ， 即旋转角为， ． 如图②， 当时， ， 旋转角度为， ． 综上所述，为12或48时，． 32．如图，将绕点逆时针方向旋转得到，． (1)若，求旋转角的度数； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）旋转角，根据旋转的性质，，而，，即可求解旋转角； （2）旋转角，由两直线平行，可知同旁内角互补，，从而求解． 【详解】（1） 解：∵将绕点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2） 解：根据旋转的性质，有， ∵，， ∴， 即， ∴． 33．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的以及点O． (1)将先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，画出（点分别为点A、B、C的对应点）； (2)作关于点O成中心对称的（点分别为点A、B、C的对应点）； (3)可以由经过一次 变换得到．（选填“平移”、“轴对称”、“旋转”） 【答案】(1) (2) (3)旋转 【详解】（1）解：略； （2）解：略； （3）解：略． 34．校园文化节开展“数学寻宝大闯关”活动，寻宝区域设定在长方形草坪中（如图），已知，，宝藏藏匿点与草坪内（包含草坪边界）一动点的位置息息相关，闯关规则需结合翻折、平移、旋转三种图形变换确定位置，闯关成功即可找到宝藏，具体变换规则如下： 1.将沿直线进行翻折，得到； 2.将翻折后得到的点沿着水平方向向右平移2个单位长度，得到新的点；闯关者需根据以上变换规则，完成闯关问题，解锁宝藏坐标： 闯关问题 (1)当动点恰好位于长方形草坪的边上时，在图中画出相应的示意图（无需尺规作图）并求线段的长度； (2)若动点可以在长方形草坪内部任意移动（包含草坪边界），连接，结合翻折、平移的图形性质，则线段长度的最小值_________； (3)在（2）的条件下，即取最小值时，连接，，将绕点B顺时针旋转，其中点A、点C的对应点分别为M、N，点Q为边上的动点，当点与点Q距离最近的时候，点Q所在的位置就是宝藏藏匿点的位置，请根据题意，在备用图中画出宝藏藏匿点的位置（只要画出示意图，不需要尺规作图），并直接写出此时线段的长度． 【答案】(1)图见解析， (2) (3)图见解析， 【分析】（1）根据题意画出图形，连接交于点，由题意可得，结合折叠的性质可得，由平移的性质可得，即可得出结果； （2）当点与点重合时，由轴对称的性质可得点与点重合，再由平移的性质可得，此时最小，由此计算即可得出结果； （2）由垂线段最短可得，当时，最小，由旋转的性质可得，，，由等面积法求出的最小值为，最后再由计算即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意画出图形如图所示：连接交于点， 由折叠的性质可得，， ∵四边形为长方形，， ∴， ∴， 由平移的性质可得， ∴； （2）解：如图：当点与点重合时，由轴对称的性质可得点与点重合，再由平移的性质可得， 此时最小，为； （3）解：如图：由垂线段最短可得，当时，最小， 由旋转的性质可得：，，， ∵， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴此时线段的长度最小，为． 35．已知直角三角板中，，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图1），则___________； (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的，判断边与边的位置关系，并说明理由； (3)当时， 若，求的度数． 如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点为边上一点．，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数的值． 【答案】(1) (2)图见解析，，理由见解析 (3)或； 【分析】（1）由旋转的性质可得，，， 进而根据角的和差关系即可求解； （2）根据题意画出图形，然后根据旋转的性质以及平行线的判定定理即可得证； （3）分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形，然后根据角的数量关系列方程求解即可；由旋转的性质得， 根据角的和差关系依次表示出， ， ，根据为定值可令含未知数的系数为，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为， ，， ， ， ； （2）解：如图，即为所求； ，理由如下： 由旋转的性质可得，， ， ； （3）解：如图，当旋转方向为逆时针方向时，，， ， ， 解得； 当旋转方向为顺时针方向时，，， ， ， 解得； 综上，的度数为或； 由旋转性质可得，， ，， ， ， ， 与始终满足为定值， ，解得， 常数的值为． 题型8 根据旋转的性质说明线段或角相等 36．在同一平面内，三角形和三角形，，，，．三角形保持不动，三角形绕点顺时针旋转，即． (1)如图，当与重合时，写出和的度数； (2)三角形从（1）中的图1位置开始旋转，在旋转过程中，两个三角形有一组边互相平行时，画出图形，写出相应的度数； (3)如图，若和分别是和的平分线，写出的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)画图见解析；或或 (3)；理由见解析 【分析】本题考查了作图旋转变换，余角的定义和性质以及角平分线，关键是明确同角的余角相等，灵活运用角的和差关系进行计算． （1）根据直角三角形的性质即可解决问题； （2）分三种情况画图，根据平行线的性质即可解决问题； （3）根据角平分线定义与角的和差即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，当与重合时， 三角形和三角形，，，，， ，； （2）解：①如图，， ， ②如图，， ， ③如图，延长交于点， ， ， ， ， ， 综上所述：度数为或或； （3），理由如下： 如图2，平分， ， 平分， ， ． 37．如图1，点是直线上一点，，直角三角尺的直角顶点与重合，两条直角边分别与射线重合． (1)如图2，直角三角尺绕点逆时针旋转，同时射线也绕点逆时针旋转至，且平分． ①若，则 ； ②若，则 ； (2)如图3，若直角三角尺绕点逆时针旋转，使得，在（1）的条件下，则与的关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举反例． (3)在（1）的条件下，若直角三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转一周后停止旋转，同时射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，当直角三角形停止旋转时射线也停止旋转．当时，请直接写出射线旋转的时间t的值． 【答案】(1)①；② (2)，成立，理由见详解 (3)当时，射线旋转的时间t的值为或 【分析】本题主要考查角的变换计算与角的和差运算，角平分线的性质，解一元一次方程的综合，掌握角平分线的性质与角的和差运算，射线运动与角度数量关系是解题的关键． （1）根据题意，，①根据图示得，由此即可求解；②根据图示得，由此即可求解； （2）解析方法与②的类似； （3）根据题意，分类讨论，①如图所示，射线旋转后得射线，射线未追上射线；②如图所示，射线追上射线；运用角平分线的性质，图形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∵直角三角尺， ∴， ∵平分， ∴， ①若， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②根据上述的证明可得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，成立，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵直角三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转一周后停止， ∴旋转一周的时间为：（秒）， ∵射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，当直角三角形停止旋转时射线也停止旋转， ∴当停止时，射线旋转的度数为：， 根据题意，设运动时间为，射线的运动速度比的速度快， ①如图所示，射线旋转后得射线，射线未追上射线， ∴，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴， 解得，，即当时，射线旋转的时间t的值为； ②如图所示，射线追上射线， 根据①中证明，当时，，即当时，射线与射线重合， ∴当时，， 根据题意，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 解得，，即当时，射线旋转的时间t的值为； 综上所示，当时，射线旋转的时间t的值为或． 38．如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边、在直线上，其中．      (1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，求旋转角？ (2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线、重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在与第二次相遇前，当时，求出旋转时间t的值． 【答案】(1) (2)当在外部时，，当在内部时，，理由见解析 (3)或或60或70秒 【分析】（1）先根据平分，得到，即可求出； （2）先根据题意可得，，然后作差即可； （3）先求出旋转前与的夹角，然后再求出与第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t，再分在的左侧和在的右侧两种情况解答即可． 【详解】（1）平分， ， 三角板旋转的角：， （2）当在外部时，，理由如下： ，， ，， ； 当在内部时，，理由如下： ，， ； （3）射线平分，射线平分， ，， 选择前与的夹角为， 与第一次相遇的时间为秒，此时旋转的角度为， 此时OC与OE的夹角为， 与第二次相遇的时间为（秒）， 设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t， ①，解得，； ②，解得，； ③，解得，， ； ④，解得，， ， 在与第二次相遇前，当时，旋转时间t为或或60或70 【点睛】本题考查了角的运算，角的旋转，角的平分线，余角和补角等知识，掌握角的平分线、余角、补角等概念合理运用“等量代换”及旋转时会出现多种情况运用，清楚“旋转前后的图形是完全相等的，各边旋转角度相同，”是解题关键． 39．将一副直角三角板，，按如图放置，其中B与E重合，，． (1)如图1，点F在线段的延长线上，求的度数； (2)将三角板从图1位置开始绕A点逆时针旋转，，分别为，的角平分线．如图2，当旋转至的内部时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据邻补角的定义求解即可 （2）根据角平分线的性质、、，即可求得的度数 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴ （2）∵，分别为，的角平分线， ∴，， ∵、， ∴，， ∴，， ∴ 【点睛】本题考查了根据旋转的性质说明线段或角相等、邻补角的定义、角平分线的性质，熟悉直角三角板的角度是解决问题的关键 40．青岛灯光秀，尤其是浮山湾灯光秀，是青岛城市夜景的核心品牌，被官方和媒体广泛认可为集科技、文化与生态于一体的高水平城市光影工程．青岛利用浮山湾180度扇面地理优势，以53栋连续高层建筑为舞台，打造世界最长的滨海曲面灯光影视屏幕，通过水墨崂山、“五月的风”雕塑、胶东机场、青岛港、海洋生物等元素，展现青岛的开放、宜居与海洋文化．灯光秀中，灯带作为建筑立面亮化的基础单元，与投影、激光等技术融合，共同构成“以城为景、以天为幕”的巨型视觉叙事载体，展现青岛历史、科技与生态等多元主题．如图1，灯A位于灯带上，灯B位于灯带上．灯A射线自逆时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒．假定两侧的灯带是平行的，即，且． (1)当时，灯A射线经过多少秒，第一次照射到灯B； (2)若，，且两灯同时转动．设两灯转动的时间为秒，若满足两灯的射线光束互相平行，求此时对应的t； (3)两灯以（2）中的速度同时转动，在灯B射线到达之前，若灯A射出的光束与灯B射出的光束交于点C． ①用含t的代数式表示； ②若D是上一点，且，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)灯A射线经过20秒，第一次照射到灯B (2) (3)①或；②或 【分析】（1）根据平行线的性质求出，据此可得答案； （2）设和为灯A和灯B发出的射线，再根据平行线的性质求解即可； （3）①分当时，当时，当时三种情况进行讨论求解即可；②根据①所求，分当时，当时，两种情况分别求出与即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 灯A转动的速度是秒， 灯A射线经过秒，第一次照射到灯B； （2）解：如图所示，设和为灯A和灯B发出的射线，则， ，， ，， ， 解得； （3）解：①如图所示，当时，过点C作，则， ，， ； 当时，两条射线的交点C不在两灯带之间，不符合题意，舍去； 如图所示，当时， 同理可得 ； 综上所述，或； ②如图所示，当时， 由（3）①得，． ， ， ； 如图所示，当时， 由（3）①得， ， ， ； 综上所述，或． 【点睛】本题的关键是利用平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补），结合光线的动态转动，分情况讨论角度变化，通过构造辅助线和用含t的代数式表示角度，再消元求解数量关系． 题型9 根据中心对称的性质求解 41．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)20 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，确定对称中心等知识，掌握中心对称图形的性质是关键． （1）根据中心对称图形的性质知：对应点的连线交于一点，此点即为对称中心，由此连接即可得对称中心O； （2）由中心对称的性质：对应角相等，即可求解； （3）由中心对称的性质：大小不变，则周长与面积不变，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点O，此点即为对称中心； （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴； 故答案为：； （3）解：∵和关于点成中心对称， ∴和的周长相等， ∵的周长为， ∴的周长为20； 故答案为：20． 42．【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【答案】（1）经过对称中心；（2）见解析；（3）经过两个中心对称图形的对称中心；（4）见解析 【分析】本题考查作图中心对称设计图案，中心对称图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中心对称图形的性质解答即可； （2）连接，交于点，作直线即可； （3）根据（2）总结规律即可； （4）把几何图形分割成两个矩形，分别作出两个矩形的对称中心，，作直线即可． 【详解】解：（1）一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过对称中心； （2）如图，直线即为所求； （3）由两个中心对称图形组合成的图形，经过两个中心对称图形的对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过两个中心对称图形的对称中心； （4）如图，直线即为所求． ． 43．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)20 【分析】（1）根据中心对称图形的性质知：对应点的连线交于一点，此点即为对称中心，由此连接即可得对称中心O； （2）由中心对称的性质：对应角相等，即可求解； （3）由中心对称的性质：大小不变，则周长与面积不变，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点O，此点即为对称中心； （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴． （3）解：∵和关于点成中心对称， ∴和的周长相等， ∵的周长为， ∴的周长为20． 44．已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 【答案】(1)①②③；①②③④ (2) (3)或 【分析】（1）根据“中心对称图形”的定义，对选项依次判断；再利用“中心对称图形面积相等”以及“大图形面积相等，减去同样面积的部分，剩下的面积也相等”的逻辑，判断各组图形的面积是否相等； （2）由平移距离，用表示出长方形和的边长，结合（1）的“面积相等”关系列方程，求解得； （3）分“在上”“在上”两种情况进行讨论，根据面积相等列方程，用表示，再计算． 【详解】（1）解：长方形是中心对称图形，且对称中心在长方形的对角线上， ①三角形与三角形；②三角形与三角形；③三角形与三角形，都可以组成长方形， ∴①②③两个图形能关于某点成中心对称， ∴①②③中的两个三角形的面积相等； ①三角形与三角形；②三角形与三角形的面积相等， ∴四边形和四边形的面积相等， 又③三角形与三角形的面积相等， 则四边形和四边形的面积分别减去三角形与三角形的面积之后的图形面积相等， 即④长方形与长方形的面积相等， 答：①②③；①②③④． （2）解：依题意，，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：． 答：． （3）解：如图，当在上时， 依题意，，，，， ，，， 同理可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ； 当在上时，如图， ，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ． 综上所述，的值为或． 答：或． 【点睛】本题考查中心对称图形的判定，图形面积的等量关系，平移的性质，一元一次方程的应用，根据面积相等关系列方程求解未知量是解题关键． 45．如图，在长方形中，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点P在边上运动时， （用含t的代数式表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当时，求t的值； (4)若点P关于点B的中心对称点为点，直接写出的面积是面积的一半时t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了长方形的性质，三角形的面积，中心对称的性质，一元一次方程的几何应用等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）判断出时间的取值范围，根据线段的和差定义求解； （2）先判断的位置，再根据，构建方程求解； （3）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解； （4）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解； 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：当时，重合，此时不重合， 当重合时，， ； （3）解：当时，或， 解得，或， 或； （4）解：当点在上时，连接，如图甲所示， ， ， ∵， ∴， 解得； 当点在上时，如图乙所示， ， ， ， 解得； 综上所述，的值为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项3 图形的变换压轴题型 目录 题型1 利用平移的性质求解 1 题型2 平移（作图） 4 题型3 根据轴对称图形的特征进行求解和判断 6 题型4 台球桌面的轴对称问题 9 题型5 轴对称中的光线反射问题 11 题型6 折叠问题 14 题型7 根据旋转的性质求解 17 题型8 根据旋转的性质说明线段或角相等 20 题型9 根据中心对称的性质求解 22 题型1 利用平移的性质求解 1．如图，将三角形平移，使点与点重合，点、的对应点分别是点、．此时点的坐标是． (1)请画出平移后的三角形，则点的坐标为________； (2)若点是三角形内的一点，则平移后对应点的坐标为________； (3)三角形的面积是多少？ 2．如图，矩形（长方形）中，，第1次平移将矩形沿的方向向右平移5个单位，得到矩形，第2次平移将矩形沿的方向向右平移5个单位，得到矩形，……，第次平移将矩形．沿的方向向右平移5个单位，得到矩形． (1)求和的长； (2)若的长为56，求的值． 3．已知大正方形的边长为，小正方形的边长为，起始状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以1的速度沿水平方向向右平移，设平移的时间为，两个正方形重叠部分的面积为．完成下列问题： (1)平移时，________； (2)根据小正方形向右平移的运动过程中，两正方形重叠部分的面积表示不同，可以把整个运动过程分为四种，请填写下表： 运动状态 平移时间的范围 两正方形重叠部分的面积 第一种运动状态 ________ 第二种运动状态 ________ 第三种运动状态 ________ ________ 第四种运动状态 ________ 0 (3)当时，小正方形平移的时间为________秒． 4．综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含的三角尺如图方式摆放，，，，过点作，是线段上一定点，过点作交于点． (1)知识初探： 勤奋小组求出了的度数，请你直接写出______： (2)深入探究： 智慧小组将线段沿射线的方向平移，得到线段（点的对应点为，点的对应点为），连接，并提出以下两个问题．请你帮忙解决，并写出解答过程． ①如图2，当点在线段上时，若，求的度数； ②如图3，当点在线段上时，若，求的度数． (3)拓展延伸： 创新小组提出问题：在上述平移过程中，当时，请直接写出的度数为_______． 5．已知，直线分别交、于点M，N，，平分交于点E．将线段沿方向平移得到线段（点M的对应点为P，点N的对应点为Q）．直线与射线交于点K，连接． (1)当点K在线段上时． ①请在图1中补全图形，求的值； ②已知，求证：平分． (2)在线段平移的过程中，当时，直接写出的度数为____． 题型2 平移（作图） 6．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1、三角形的顶点均在方格纸的格点上，将三角形平移后得到三角形，使点A落在直线l上的点处． (1)画出平移后的三角形； (2)在直线l上找一格点D，使，，、D所围成的四边形的面积为6． 7．如图1是由25个边长为1个单位的小正方形组成的网格，三角形的端点都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题： (1)将三角形向上平移1个单位，向右平移2个单位，画出三角形； (2)连接、，则与之间的数量关系为________；与之间的位置关系为________； (3)如图2，将三角形沿方向平移若干距离得到三角形．若三角形和五边形的周长分别是与，则三角形平移的距离为________． 8．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点都在网格点上． (1)写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．在图中画出三角形，并求三角形的面积． (3)过B画y轴的平行线交线段于点D，直接写出点D的坐标_____________ 9．在如图所示的方格纸中，按要求画图、填空： (1)点向右移动4格，向下移动3格到达格点（网格线的交点叫格点）；再向下移动3格，向左移动5格到达格点，请画出点，点的位置． (2)作射线，连接． (3)过点画线段的垂线，垂足为． (4)画出线段的垂直平分线，其中与的位置关系为_______，依据为______． 10．（1）如图，火车站、码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示河流与铁路． ①请画图说明从火车站到码头怎么走最近？画图的依据是______． ②请画图说明从火车站到河流怎么走最近？画图的依据是______． （2）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示现将平移，使点C变换为点D，点A、B的对应点分别是点E、F．在图中请画出平移后得到的． 题型3 根据轴对称图形的特征进行求解和判断 11．如下图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，，，． (1)试写出EF，AD的长度． (2)求的度数． (3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？ 12．小明同学在画对称轴的过程中，忘记带圆规，只带了一把无刻度的直尺，他选择仅使用直尺工具完成以下问题探究 (1)问题1：轴对称图形对应点连线互相______．（填“平行”或“垂直”） (2)问题2：如图1，画出线段AB与的对称轴．小明采用以下画法：连接与，两条线段交于点，延长BA与交于点，连接，，． ①根据小明的画法完成作图； ②证明：； ③证明：由②结论证明：是与的垂直平分线，也就是对称轴； (3)问题3：如图2，设计一种方法，只用直尺作出与的对称轴，用文字描述你的画法并证明这样画出的直线即为对称轴． 13．综合与实践——折纸中的数学． 某兴趣小组在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过以下的折纸方式找符合要求的直线．如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有，两点，连接，是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点作的平行线的基本步骤如下． 第一步：如图2．过点进行第一次折叠．使点的对应点落在上．折痕与互相垂直，垂足为，打开纸张铺平． 第二步：如图3，过点进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）． (1)根据上述步骤可知，与的位置关系是 ． (2)【联系拓广】①如图4，设直线与正方形上、下两边分别交于点，，试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，求的度数． (3)【类别迁移】如图5，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处，且点，，，在同一直线上．求证：． 14．已知在纸面上有一个数轴如图，折叠纸面操作一：若数轴上表示数的点与表示数的点重合，则折痕经过的点表示的数是；操作二：若数轴上表示数的点与表示数的点重合，则解答下列各题： (1)此时折痕经过的点表示的数是______；数轴上表示数的点与表示数______的点重合； (2)若点到原点的距离是个单位长度，并且、两点经折叠后重合，则点表示的数是______． (3)若数轴上经折叠后重合的两点、之间的距离为（在的左侧），则点表示的数是______点表示的数是_________． (4)若数轴上，两点之间的距离为，并且，两点经折叠后重合，如果点表示的数比点表示的数大，则点表示的数是_________点表示的数是_____． 15．综合与实践：校园文化节中，设计小组要制作一个轴对称的活动徽标． (1)【操作思考】 徽标边框是，其中，点是线段的中点，点是线段上任意一点，如图， ①请仅用无刻度的直尺画图：连接，线段与相交于点，再连接并延长，与线段 相交于点． ②点与点是否关于线段成轴对称: ．（选填“是”或“不是”） (2)【模仿实践】 如图2，徽标边框是正方形 （四条边相等，四个角均为直角），点在边上，请仅用无刻度的直尺，利用“正方形的对称性”，在边上找一点，使得 ． (3)【拓展应用】 如图3，在正方形网格中，线段是徽标的对称轴的一部分．请仅用无刻度的直尺，利用格点小正方形的顶点的垂直关系及轴对称的有关知识，画出点 关于线段 的对称点．(保留作图痕迹，关键点加黑加粗) 题型4 台球桌面的轴对称问题 16．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 17．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 18．如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 19．操作题：台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方向．如图，目标球从A点出发经B点到C点，相当于从点出发直接击打目标球C，其实质上是图形的轴对称变换，关键是找母球关于桌边的对称点的位置． (1)如下图，小球起始时位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于点处，仍按原来方向击球，那么在点A，B，C，D，E，F，G，H中，小球会击中的点是___________； (2)在下图中，请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边AB，BC反射后，撞到球Q．（不写作法，保留作图痕迹．） 20．公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 题型5 轴对称中的光线反射问题 21．光的反射是生活中常见的现象，图①是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． (1)如图①，若入射光线与平面镜的夹角为，则反射角的度数是____________； (2)如图②，已知：入射光线，反射光线．求作：法线（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； (3)如图③，已知：A为入射光线上一点，B为反射光线上一点．求作：入射点O（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）． 22．综合实践： 【知识发现】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法． 如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，法线垂直于平面镜，反射光线、入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角． (1)观察图1，写出和数量关系___________； (2)如图2，转动平面镜，若平面镜与桌面形成的夹角，且． ①当，时，求的大小； ②直接用含的代数式表示出的大小． (3)如图3，小明把平面镜水平放置，当时，再添一面平面镜，将两平面镜相对放置，光线经过两次反射，得到反射光线，当平面镜如何放置时，光线？请说明理由． 23．如图1是光的反射示意图，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，点O叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则________． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为________． (3)如图3，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，请用无刻度直尺和圆规作出入射点O，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从A沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达B处．则________． 24．【发现】小明拿激光笔照射到水平桌面上的平面镜时，发现光线经过反射后投射到天花板上，当他改变激光笔的角度时，天花板上的光点也随之移动．经过查阅资料，小明了解到光线在镜面上反射时，如图1，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即． 【探究】如图2，小明将平面镜放置在水平桌面上，激光笔发出的光线射到平面镜上，反射光线射到天花板（直线）上，． (1)若平面镜水平放置于桌面上，当激光笔与桌面的夹角时，请在图2中，画出反射光线，并在图中标出反射光线与天花板所夹锐角的大小． (2)如图3，转动平面镜，若平面镜与桌面形成的夹角，，且． ①当，时，求的大小； ②直接用含，的代数式表示出的大小． (3)如图4，小明把平面镜水平放置，当时，再添一面平面镜，将两平面镜相对放置，光线经过两次反射，得到反射光线，当平面镜如何放置时，光线？请说明理由． 25．【阅读材料】 日常生活中，光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射．图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【尝试探究】 （1）如图2，为法线，入射光线与镜面所夹的锐角为，反射光线与镜面所夹的锐角为，试探究和之间的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用（1）中获得的结论解决以下问题： （2）如图3，平面镜，点A在上，点B在上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射后的光线为，其中点C在上，点D在上．请用无刻度的直尺与圆规补全图3中的反射光线（不写作法，保留作图痕迹）． （3）如图4，两平面镜，相交于点O，入射光线经两个平面镜两次反射后的反射光线为，若和相交，设交点为H．通过调整两个平面镜的夹角（）的大小，可以改变反射光线的方向．当时（即），求的大小． （4）如图5，，为两个足够长的平面镜，若，为一条入射光线，B为入射点，且，请问，入射光线经过_________次反射之后，光线将与其中一个平面镜平行射出． 题型6 折叠问题 26．如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，交于点，再将沿折叠，点落在的位置（在折痕的左侧）． (1)如果，求的度数； (2)如果，则                  ； (3)探究与的数量关系，并说明理由． 27．折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】动手折叠若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，在长方形纸片的边上找到一个异于A，D的点E，连接，，将纸片分别沿，折叠，点A落在点F处，点D落在点G处． (1)【问题初探】如图（1），若点F在线段上，直接写出 °； (2)【问题再探】如图（2）、（3），当E，F，G三点不共线时，若，请在图（2）、（3）中选取一个，求出的度数（用含β的代数式表示）； (3)【问题深探】如图（4），在边上取一点M，连接，将纸片沿折叠，点A落在点H处，当点M在边上移动到使时，若，直接写出和的数量关系． 28．综合与实践课上，同学们探究长方形纸片的折叠问题． 如图1，已知长方形纸片，点M在边上（不与A，B重合），点N在边上（不与B，C重合）．将长方形纸片沿直线折叠，使顶点B落在点处，点在长方形内部． 【图形感知】 (1)图1中，________（填“>”“=”或“<”）； 【作图探究】 (2)在图1中边上确定一点G（不与A，D重合），使得纸片沿着折叠后，点A的对应点A'刚好落在射线上，请用无刻度直尺和圆规作出该点G；（不写作法，保留作图痕迹） 【计算探究】 (3)如图2，若点F是图1中边上一动点（不与A，D重合），连接，将纸片沿着折叠，点A的对应点为，点落在长方形内部，若，，求的度数． 29．综合与探究 在长方形纸条中，，，． (1)如图1，将纸条沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，交于点．若，则_____； (2)如图2，将长方形纸条沿，同时向中间翻折，点落在点处，点落在点处，若，求的度数； (3)如图3，在图1的基础上将对折，点落在直线上的点处，点落在点处，折痕为，过点作的平行线． 与的位置关系是______； 求和的数量关系． 30．今天我们来探究：折纸中的数学——长方形纸条的折叠与平行线． 如图1，长方形纸条中，，，，，分别是长方形纸条边，上两点（）将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在处，交于点． (1)①若，则_____________． ②若，则____________（用含的式子表示）． (2)如图2，在图1的基础上将对折，点落在直线上的处，点落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？并说明理由． (3)如图3，在图1的基础上，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，，若，则的度数为_____________． 题型7 根据旋转的性质求解 31．如图，将两块含的三角尺的直角顶点叠放在一起，，． (1)若，则______；若，则______； (2)猜想与的大小有何数量关系；并说明理由； (3)若一开始将三角形与三角形完全重合（与重合），保持三角形不动，将三角形绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为秒，在旋转的过程中，为何值时． 32．如图，将绕点逆时针方向旋转得到，． (1)若，求旋转角的度数； (2)若，且，求的度数． 33．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的以及点O． (1)将先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，画出（点分别为点A、B、C的对应点）； (2)作关于点O成中心对称的（点分别为点A、B、C的对应点）； (3)可以由经过一次 变换得到．（选填“平移”、“轴对称”、“旋转”） 34．校园文化节开展“数学寻宝大闯关”活动，寻宝区域设定在长方形草坪中（如图），已知，，宝藏藏匿点与草坪内（包含草坪边界）一动点的位置息息相关，闯关规则需结合翻折、平移、旋转三种图形变换确定位置，闯关成功即可找到宝藏，具体变换规则如下： 1.将沿直线进行翻折，得到； 2.将翻折后得到的点沿着水平方向向右平移2个单位长度，得到新的点；闯关者需根据以上变换规则，完成闯关问题，解锁宝藏坐标： 闯关问题 (1)当动点恰好位于长方形草坪的边上时，在图中画出相应的示意图（无需尺规作图）并求线段的长度； (2)若动点可以在长方形草坪内部任意移动（包含草坪边界），连接，结合翻折、平移的图形性质，则线段长度的最小值_________； (3)在（2）的条件下，即取最小值时，连接，，将绕点B顺时针旋转，其中点A、点C的对应点分别为M、N，点Q为边上的动点，当点与点Q距离最近的时候，点Q所在的位置就是宝藏藏匿点的位置，请根据题意，在备用图中画出宝藏藏匿点的位置（只要画出示意图，不需要尺规作图），并直接写出此时线段的长度． 35．已知直角三角板中，，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图1），则___________； (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的，判断边与边的位置关系，并说明理由； (3)当时， 若，求的度数． 如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点为边上一点．，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数的值． 题型8 根据旋转的性质说明线段或角相等 36．在同一平面内，三角形和三角形，，，，．三角形保持不动，三角形绕点顺时针旋转，即． (1)如图，当与重合时，写出和的度数； (2)三角形从（1）中的图1位置开始旋转，在旋转过程中，两个三角形有一组边互相平行时，画出图形，写出相应的度数； (3)如图，若和分别是和的平分线，写出的大小，并说明理由． 37．如图1，点是直线上一点，，直角三角尺的直角顶点与重合，两条直角边分别与射线重合． (1)如图2，直角三角尺绕点逆时针旋转，同时射线也绕点逆时针旋转至，且平分． ①若，则 ； ②若，则 ； (2)如图3，若直角三角尺绕点逆时针旋转，使得，在（1）的条件下，则与的关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举反例． (3)在（1）的条件下，若直角三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转一周后停止旋转，同时射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，当直角三角形停止旋转时射线也停止旋转．当时，请直接写出射线旋转的时间t的值． 38．如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边、在直线上，其中．      (1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，求旋转角？ (2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线、重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在与第二次相遇前，当时，求出旋转时间t的值． 39．将一副直角三角板，，按如图放置，其中B与E重合，，． (1)如图1，点F在线段的延长线上，求的度数； (2)将三角板从图1位置开始绕A点逆时针旋转，，分别为，的角平分线．如图2，当旋转至的内部时，求的度数． 40．青岛灯光秀，尤其是浮山湾灯光秀，是青岛城市夜景的核心品牌，被官方和媒体广泛认可为集科技、文化与生态于一体的高水平城市光影工程．青岛利用浮山湾180度扇面地理优势，以53栋连续高层建筑为舞台，打造世界最长的滨海曲面灯光影视屏幕，通过水墨崂山、“五月的风”雕塑、胶东机场、青岛港、海洋生物等元素，展现青岛的开放、宜居与海洋文化．灯光秀中，灯带作为建筑立面亮化的基础单元，与投影、激光等技术融合，共同构成“以城为景、以天为幕”的巨型视觉叙事载体，展现青岛历史、科技与生态等多元主题．如图1，灯A位于灯带上，灯B位于灯带上．灯A射线自逆时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒．假定两侧的灯带是平行的，即，且． (1)当时，灯A射线经过多少秒，第一次照射到灯B； (2)若，，且两灯同时转动．设两灯转动的时间为秒，若满足两灯的射线光束互相平行，求此时对应的t； (3)两灯以（2）中的速度同时转动，在灯B射线到达之前，若灯A射出的光束与灯B射出的光束交于点C． ①用含t的代数式表示； ②若D是上一点，且，请直接写出与的数量关系． 题型9 根据中心对称的性质求解 41．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 42．【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 43．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 44．已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 45．如图，在长方形中，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点P在边上运动时， （用含t的代数式表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当时，求t的值； (4)若点P关于点B的中心对称点为点，直接写出的面积是面积的一半时t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $