专项2第八章整式乘法压轴题型 2025-2026学年苏科版七年级下册数学期末复习专项｜易错题型 +压轴题型+ 期末满分讲义

专项2 第八章 整式乘法压轴题型 目录 题型1 单项式乘单项式 1 题型2 单项式乘多项式 6 题型3 多项式乘多项式 12 题型4 多项式乘法中的规律问题 17 题型5 整式乘法混合运算 26 题型6平方差公式 32 题型7 完全平方公式 38 题型8 整式的混合运算 45 题型1 单项式乘单项式 1．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式. 2．阅读与思考：请阅读下列材料，并完成下列问题． 【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列1，2，4，8，…为等比数列，其中，，公比． 根据以上材料，解答下列问题： (1)等比数列3，9，27，…的公比为______，第5项是______； (2)【公式推导】如果一个数列是等比数列，且公比为，那么根据定义可得，，，，，所以，，，． 由此，请你填空完成等比数列的通项公式：______； (3)【拓广探究】等比数列的求和公式并不复杂，但是其推导过程-错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值所采用的方法： 设，① 则，② 得，． 【解决问题】请仿照小明的方法计算的值． 【答案】(1)3；243 (2) (3) 【分析】（1）根据题目中给出的等比数列的定义即可求解； （2）根据公式推导过程即可求解； （3）设根据例题的方法求得，即可求解； 【详解】（1）解：根据题意得：等比数列的公比为 3 ，第 5 项是； 故答案为： 3；243 ； （2）解：根据题意得：等比数列的通项公式：； 故答案为：． （3）解：设，① 则，② 得， ． 3．在个旧市某住房小区建设中，为了提高业主的宜居环境，该小区规划修建一个广场（平面图如图所示）． (1)用含m、n的代数式表示该广场的面积S（图中阴影部分）； (2)若m、n满足，求该广场的面积． 【答案】(1) (2)35 【分析】本题考查列代数式、单项式乘以单项式的应用，绝对值和偶次方的非负性质、代数式求值，掌握长方形的面积计算公式、绝对值和偶次方的非负性质是解题的关键． （1）利用长方形的面积公式，根据广场的面积大长方形的面积空白长方形的面积计算即可； （2）根据绝对值和偶次方的非负性质求出、的值，再代入的表达式并计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ，， ，， ， 该广场的面积是35． 4．观察图，回答下列问题： (1)用含的代数式表示边的长度 ； (2)用含，的代数式，表示阴影部分的周长是 ； (3)用含，的代数式，表示阴影部分的面积是 ； (4)当，时，阴影部分的周长是 ，面积是 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)； 【分析】（1）结合图形知，阴影部分是长为，宽为的大长方形截去一个长为，宽为的小长方形后的剩余部分，根据线段的和差可得； （2）将阴影部分的逐个边相加即可得出阴影部分的周长； （3）用大长方形的面积减去小长方形的面积即可得出阴影部分的面积； （4）将，代入第（2）、（3）题的表达式进行计算即可． 【详解】（1）解：结合图形知，阴影部分是长为，宽为的大长方形截去一个长为，宽为的小长方形后的剩余部分， ∴， 即边的长度为， 故答案为：； （2）解：∵上下各两条边（包括阴影部分里面的两条边）：， 左右两侧边：， ∴阴影部分的周长是：， 故答案为：； （3）解：∵大长方形的面积是：， 小长方形的面积是：， ∴阴影部分的面积是：， 故答案为：； （4）解：当，时， 阴影部分的周长是：， 阴影部分的面积是：， 故答案为：；． 【点睛】本题考查整式加减的应用，列代数式、求代数式的值的应用，几何图形中周长与面积的计算，长方形的面积与周长．正确理解题意并列出代数式是解题的关键． 5．如图，用7张长为，宽为的长方形纸片互不重叠地放在长方形区域内，设边的长为，未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为（正值）． (1)若，则的值为多少时？ (2)对于下列两个问题，先回答，再通过“数学运算”说明理由； ①（1）中的值每增加的值增加（或减少）多少？ ②若，能赋予一个值使得的值不随的值的变化而变化吗？ 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用，单项式乘以多项式与图形面积． （1）如图，标注图形各顶点，，，，，再利用建立方程求解即可． （2）①结合（1）可得：，进一步分析即可； ②先表示，，，，可得，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，标注图形各顶点， 由题意可得：， ∴，，，， ∵未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为， ∴， 解得：． （2）解：①结合（1）可得： ， ∴（1）中的值每增加的值增加． ②∵， ∴，，，， ∵未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为： ， ∵的值不随的值的变化而变化， ∴， 解得：． 题型2 单项式乘多项式 6．我们在数学课上学习过积的乘方公式：，将这个公式从右往左看，得到公式：，我们可以借助这个公式用整体思想解决一些代数式求值的问题． (1)若，则_______；若，则_______． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式运算，积的乘方逆运算，代数式求值，熟练掌握整体代入思想是解题关键． （1）利用积的乘方逆运算变形，然后整体代入求值即可． （2）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：， ； ， ； 故答案为：；． （2）解： ， ∵， ∴原式 ． 7．阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)22 【分析】本题考查了单项式乘以多项式运算，积的乘方逆运算，代数式求值． （1）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后代入求值； （2）先将原式变形为，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：因为， 所以． 所以 ． 8．如图，在边长为的正方形中剪掉矩形，记阴影矩形的面积为，被剪掉的矩形的面积为，． (1)用表示； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的性质可知，因为，所以，根据矩形的面积公式可得：； （2）根据矩形的面积公式可得，根据，可得：，从而可求． 【详解】（1）解：四边形为正方形，，， ， ； （2）解：， ， ． 9．阅读：已知，求的值． 思路分析：根据整体的思想，先计算单项式乘以多项式，再将整体代入求值． 解： ． 请你利用整体的思想解决下列问题． (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据整体的思想，先计算单项式乘以多项式，再将整体代入求值； （2）根据整体的思想，将代数式变形为含的式子，代入求值即可. 【详解】（1）解：原式 ， 当时， 原式 ； （2）解：∵， ∴， 原式 ． 10．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式是， (3) 【分析】本题主要考查了整式的乘法； （1）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于p、n的方程，求解即可； （2）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于k、n的方程，求解即可； （3）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于m、n、b的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设二次三项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， 解得， 答：p的值为6； （2）设关于x的多项式的另一个因式是， 则， 即， ∴， 解得， ∴关于x的多项式的另一个因式是，； （3）设关于x的多项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， ∴， 即． 题型3 多项式乘多项式 11．阅读下列材料，完成后面的任务． 定义：一个多项式乘一个多项式，运算结果化简后得到多项式，若的项数比的项数多1，则称是的“友好多项式”；若的项数与的项数相同，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断是否为的“友好多项式”，并说明理由； (2)若，是关于的多项式，且是的“特别友好多项式”． ①嘉嘉同学认为可能是二项式，请你写出一个符合条件的二项式，即_____； ②乐乐同学认为也可能是三项式，设（，是常数，，），请判断乐乐同学的说法是否正确？若正确，求出多项式，若不正确，请说明理由． 【答案】(1)是，理由如下： ，， ， 的项数比的项数多1， 是的“友好多项式”； (2)①（答案不唯一）；②乐乐同学的说法正确， 【分析】（1）首先计算、的乘积，再利用“友好多项式”的定义判断即可； （2）①根据“特别友好多项式”的定义，写出符合条件的二项式即可； ②利用多项式乘以多项式法则计算、的乘积，再利用“特别友好多项式”的定义求解． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， 若， ∴， 此时的项数与的项数相同，是的“特别友好多项式”， ∴写出一个符合条件的二项式，即（答案不唯一）； ②乐乐同学的说法正确，理由如下： 若，（，是常数，，）， ∴ ∵， ∴， 若是的“特别友好多项式”， ∴的项数与的项数相同，即C是二项式， ∴，， 解得，， ∴． 12．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是某年1月份的日历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现，结果都是7． (1)将每个方框的左上角数字设为n，请用含n的式子表示你发现的规律：___________． (2)请利用整式的运算对以上规律进行说明． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用含n的式子求出方框内的四个数字，再根据题干给出的式子发现规律； （2）利用整式运算法则将（1）中规律展开进行说明即可． 【详解】（1）解：每个方框的左上角数字设为n，则右上角数字为，左下角数字为，右下角数字为， 则规律为：； （2）略． 13．阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式，，，（，，，是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，，，，因为 所以，多项式，，，是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小萃发现多项式，，，是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据她的思路求该组平衡多项式的平衡因子； (2)若多项式，，，（是常数）是一组平衡多项式，求的值． 【答案】(1) (2)或或． 【分析】（1）根据平衡多项式定义，把两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的求差计算即可求出平衡因子； （2）根据定义先计算多项式的乘法运算，再分类讨论的值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ， 所以平衡因子是； （2）解：∵①，， ②，， ③，， ∵多项式，，，（是常数）是一组平衡多项式， 当是一组平衡多项式时， ∴，解得：， 当是一组平衡多项式时 ， ∴，解得， 当是一组平衡多项式时 ， ∴，解得：， 综上：或或． 14．已知的乘积中不含项和项． (1)求、的值． (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）先化简，得到，根据的乘积中不含项和项，得到，求出，即可解答； （2）先根据同底数幂的乘法的逆运算与积的乘方的逆运算化简，再代值求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵的乘积中不含项和项， ∴， 解得， ∴的值为，的值为2． （2）解：∵， ∴． 15．为响应儿童友好空间建设的号召，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域，用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区，其中、游戏娱乐区和文化体验区均为长方形，绿化休息区为边长为的正方形． (1)分别求出游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区这三个区域的面积（用含的式子表示）． (2)该公园计划对这片儿童活动区域的地面进行处理，为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米元；为绿化休息区铺设草坪，造价为每平方米元．求处理这片儿童活动区域的地面所需的费用（用含的式子表示）． 【答案】(1)游戏娱乐区的面积；文化体验区的面积；绿化休息区的面积 (2)元 【分析】（1）根据题干中的图形列式计算即可； （2）结合（1）中所求结果列式计算即可． 【详解】（1）解：游戏娱乐区的面积 ． 文化体验区的面积 ． 绿化休息区的面积． （2）解：处理这片儿童活动区域的地面所需的费用 元． 题型4 多项式乘法中的规律问题 16．观察下列各式的规律，解答下列问题 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． … (1)根据上述规律，请写出第5个等式：__________________． (2)猜想：__________________． (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知等式写出第5个等式即可； （2）观察可知第n个式子左边的第一个多项式为，第二个多项式中是按照字母a的指数降序排列的，且每一项只含有a、b两个字母，每一项的系数都为1，字母的指数之和为n，等式右边是，据此可得答案； （3）将待求式与（2）中结论的因式对比，可知当时形式相同，再利用结论进行求解． 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……， 以此类推可知，； （3）解：由（2）可知：， 即， ∴． 17．《详解九章算法》一书中给出的杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，此图揭示了（n为正整数）展开式的项数及各项系数的规律．请利用杨辉三角解决以下问题： (1)依次类推，写出______； (2)的展开式中一共有______项，各项系数之和为______； (3)的展开式中从左往右数第四项为______，x的三次项系数为______； (4)当代数式的值为1时，则的值为______． 【答案】(1) (2)2027， (3)；0 (4)0或 【分析】（1）根据杨辉三角的规律，的展开式系数对应杨辉三角第行的数字， 则当时，对应杨辉三角第6行数字1，5，10，10，5，1，即可解答； （2）观察杨辉三角可知，的展开式项数为，所以的展开式项数为，令，，得到，即可解答； （3）根据杨辉三角第7行的系数分别为1，6，15，20，15，6，1，得到 ，据此解答即可； （4）先对代数式变形为，令，则，分类讨论：①当时，②当时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：根据杨辉三角的规律，的展开式系数对应杨辉三角第行的数字， 则当时，对应杨辉三角第6行数字1，5，10，10，5，1， ∴； （2）解：观察杨辉三角可知，的展开式项数为，所以的展开式项数为； 令，，则 此值就是展开式各项系数之和， ∴各项系数之和为． （3）解：∵杨辉三角第7行的系数分别为：1，6，15，20，15，6，1， ∴ ， ， 从左往右数第四项为， 化简各项后，x的指数依次为：，没有指数为3的项，因此的三次项的系数为0． （4）解：先对代数式变形： 令，则 ： ①当时，， 解得， 则 ②当时，， 解得， 则 ∴的值为或． 18．阅读材料并解答下列问题：下面是关于杨辉三角的介绍． 如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写． (1)判断的展开式共有______项；写出的第三项的系数是______； (2)结合杨辉三角解决以下问题： ①计算（结果用乘方表示）：； ②猜想：的展开式中含项的系数是多少． (3)运用：若今天是星期六，那么再过天是星期几． 【答案】(1)六，15 (2)①；② (3)日 【分析】（1）通过观察，可知展开式有五项，分别写出和展开式的系数，从而得到展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1，从而得到答案； （2）①通过观察可知，，从而得出答案；②写出的展开项，从而算得的系数； （3），其展开式除最后一项外，均含有因数，都能被整除，求出其展开式的最后一项为，往后数一天即可． 【详解】（1）解：根据题意，可知展开式有五项，系数分别是1，4，6，4，1， 展开式有六项，系数分别是1，5，10，10，5，1， 展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1， 故的第三项的系数是15； （2）解：①根据杨辉三角规律：的展开式系数为， 即：， 代入， ∴； ②，理由如下： 展开后共项， 第一项是： 第二项是： 第三项是： 第四项是： 故的展开式中含项的系数是； （3）解：，其展开式除最后一项外，均含有因数，都能被整除， 其展开式的最后一项为 从星期六往后数天是星期日． 19．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角” 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数依次为______、______； (2)展开式共有______项，第100项的系数为______； (3)根据上面的规律，写出的展开式______； (4)利用上面的规律计算：； (5)假如今天是星期六，那么再过是星期几？（直接写出结果） 【答案】(1)6，10 (2)102，5050 (3) (4) (5)星期日 【分析】（1）观察杨辉三角的规律，杨辉三角中，每行数字左右对称，且每个数等于它上方两数之和即可求解； （2）对于（为非负整数）的展开式，其项数为项，进行求解，再进行展开求解即可； （3）根据杨辉三角的规律，的展开式各项系数依次找出，求解即可； （4）观察算式，它与二项式的展开式结构完全一致，其中，，因此原式可化简为，计算即可； （5）将转化为与有关的形式进行求解即可． 【详解】（1）解：根据规律可得，； 故图中括号内的数依次为6、10； （2）解：展开式的项数为项， 在杨辉三角中，第行第个数（从开始计数）就是展开式中第项的系数， 那么展开式第项，即第个系数（从开始计数）， 根据杨辉三角的对称性，它与第个系数相同， 通过杨辉三角的规律可知，展开式第个系数为， 所以第项的系数为． （3）解：根据杨辉三角的规律，的展开式各项系数依次为；；；；；；， 所以． （4）解：观察原式， 发现它与的展开式形式相似， 令，，则原式可转化为． （5）解：因为， 所以：． 则， 前面所有项都有因数 7，所以这些项都是7 的倍数，除以 7 余数都是 0； 只有最后一项：，不是 7 的倍数． 所以，除以 7 的余数，就等于最后一项的余数：1， 余数是 1，说明再过天，相当于在星期六的基础上往后数 1 天， 那么再过是星期日． 20．阅读下面材料，并完成相应的任务． “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； (1)直接写出结果：_____；_____． (2)发现如下速算规律：十位数字是（是1至9的整数），个位数字是5的两位数平方的结果是：_____（用含的代数式表示）； (3)善于思考的小聪通过计算 ；；； 发现“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”也有与上述材料类似的规律．设两个因数的十位数字为，个位数字分别为，且，请用含的等式表示小聪发现的规律，并说明该等式成立． 【答案】(1)1225，9025 (2) (3)解：小聪发现的规律是，其中 ∵； ； ； ∴规律是，其中， 证明：左边， ∵ ∴左边 右边 ∴左边右边 ∴该等式成立． 【分析】（1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解答； （2）根据（1）中归纳规律即可解答； （3）先根据四组数据找到规律，再利用多项式乘法运算法则化简即可． 【详解】（1）解：∵；……． ∴个位数字是5的两位数字的平方，用十位数字乘十位数字加上1所得积作为高位的部分，低位部分的数为25， ∴ （2）解：由（1）可知，十位数字是a（a是1至9的整数），个位数字是5的两位数字平方的结果是：． （3）略 题型5 整式乘法混合运算 21．已知， (1)求； (2)若的值与的取值无关，当时，求A的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据整式乘法运算法则进行计算即可； （2）的值与x的取值无关，得出，最后将代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ； （2）解：的值与x的取值无关， ， ， 当时，． 22．我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为对消多项式，这个常数称为它们的“对消值”，如与互为对消多项式，它们的对消值为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； ①与；②与；③与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为对消多项式，求它们的对消值． 【答案】(1)② (2) 【分析】（1）根据定义，计算判断即可； （2）根据题意可得的结果是常数，据此求出、，再求出对消值即可． 【详解】（1）解：①，结果不是常数，所以不互为“对消多项式”； ②，是常数，所以多项式互为“对消多项式”； ③，结果不是常数，所以不互为“对消多项式”； （2）解： 因为多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”， ∴，， ∴，， ∴对消值为． 23．阅读下列材料，解答问题 运算能力是数学的核心能力，能既快速又准确的进行计算，有助于提高我们的数学学习和思考的效率．学完全平方公式时，同学小军巧妙运用代数知识衔接数字运算，主动探索速算技巧，他做了以下探究： 对的结果进行变形，可得： 利用上述结论，小军对个位数是5的数的平方能很快得出结果． 例如： …… (1)请利用小军的结论直接写出计算结果：________； (2)继续研究，小军发现仿照上述变形方法可以得到算式：的速算方法．小军的思考过程如下： 用“”替换上面算式中的“”，将其一般化表述为：，于是， 请利用上述思考方式探究并计算：________，________； (3)通过上面的例子，我们发现了这类“十位相同、个位和为”的乘法速算规律．请仿照第（2）题的变形方式，用一个含，，的等式，把这个规律表示出来（已知）． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）按照题干的规律进行计算即可； （2）按照题干的规律进行探究并计算即可； （3）先表示出两个两位数，和，相乘后利用多项式的乘法法则进行展开，再合并同类项，结合进行化简，最后变形成题干的形式即可． 【详解】（1）解：根据题意，； （2）解：根据题意，探究： ， 用“”替代“”，得， ， ∴； 探究： ， 用“”替代“”，得， ， ； （3）解：根据题意，两个两位数为和， ， ∵， ∴． 24．定义：对于依次排列的多项式（是常数），当它们满足：，且为常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如：对于多项式，因为，所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． (1)已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子； (2)若是一组平衡数，且，请直接写出与的数量关系： (3)若是一组平衡数（n是常数）且平衡因子为14，求的值． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了平衡数与平衡因子概念，整式的混合运算，解题的关键在于正确理解平衡数与平衡因子概念． （1）根据建立等式求解，即可解题； （2）利用整式的混合运算法则，结合，整理得到，再根据，且为常数，推出一次项系数为零，即可解题； （3）根据题意列式，再进行整理得到，进而即可计算出的值． 【详解】（1）解：由题知， ； （2）解： ， ， 上式， ，且为常数， ， 整理得； （3）解：由题知， ， ， ， ， 则， 则． 25．阅读下列材料，完成相应的任务： 三角形数，古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，，这样的数称为“三角形数”，第n个“三角形数”可表示为：． 任务： (1)第5个三角形数是______； (2)请从下面，两题中任选一题作答．我选择______题． A．智慧小组发现，从第2个“三角形数”开始，每相邻两个“三角形数”的差有一定的规律．如：；；； ①第6个“三角形数”与第5个“三角形数”的差为______； ②第个“三角形数”与第个“三角形数”的差的规律可用下面的等式表示______，请补全该等式并说明它的正确性． B．创新小组发现，每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律．如：；；； ①第5个“三角形数”与第6个“三角形数”的和为______； ②第n个“三角形数”与第个“三角形数”的和的规律可用下面的等式表示：__________________，请补全该等式并说明它的正确性． 【答案】(1)15 (2)选择A，①6；②，说明见解析（或选择B，①36；②，， 【分析】本题考查了整式乘法的混合运算，求代数式的值，熟练掌握整式乘法的混合运算是解题的关键． （1）把代入计算即可； （2）若选A，①把代入计算得第6个“三角形数”，然后计算第6个“三角形数”与第5个“三角形数”的差即可；②列式计算即可； 若选B，①J计算第5个“三角形数”与第6个“三角形数”的和即可；②列式计算即可． 【详解】（1）解：当时， 所以第5个三角形数是15； （2）解：选A或均可， 故答案为：或均可； 若选A， 当时，， 所以第6个“三角形数”与第5个“三角形数”的差为； 故答案为：； 第个“三角形数”与第个“三角形数”的差是； 理由：； 故答案为：； 若选B， 第5个“三角形数”与第6个“三角形数”的和为； 故答案为：36； 第n个“三角形数”与第个“三角形数”的和的规律可用下面的等式表示：． 理由：． 故答案为：，，． 题型6平方差公式 26．阅读下列材料： 某同学在计算时，把3写成4－1后，发现可以连续运用平方差公式计算： ． 回答下列问题： (1)请借鉴该同学的方法，计算：； (2)借用上面的方法，再逆用平方差公式计算： ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）为了利用平方差公式，将原式第一部分乘以和进行配凑然后再连续利用平方差公式计算； （2）把每个因式逆用平方差公式分解，然后根据有理数的乘法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示） (1)如图，可以求出阴影部分的面积是________（写成平方差的形式）． (2)如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，比较左、右的阴影部分面积，可以得到公式________． (3)请应用这个公式完成下列各题： ①计算： ②计算： 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）用大正方形的面积减去小正方形的面积，即可得解； （2）根据图形，即可得到长方形的长和宽，利用长乘宽就可得到长方形的面积，根据阴影面积相等，列出等式即可； （3）①利用公式进行计算即可； ②利用（2）中公式，逐项展开，进行计算即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积是：； （2）解：由图可知：长方形的宽为，长为，面积为； 由题意，得：； （3）解：①由，可知： ②原式 ． 28．理解与尝试 在计算时有两种算法， 方法1：请你直接计算； 方法2：用字母代替数，转化成整式计算来完成． 例如：设，原式 (1)请你完成以上计算； 应用： (2)计算 【答案】(1) (2) 【分析】（1）第一种直接按照有理数运算法则计算，第二种换元后利用整式乘法与平方差公式化简计算，两种方法均可得到结果； （2）观察算式中数字的关系，用换元法将数字替换为字母，提取公因式后结合完全平方公式化简，再代入数值计算即可简化运算，得到最终结果． 【详解】（1）解：方法1：； 方法2：设， 原式 ； （2）解：设，，可得， ∴ ． 29．小明利用图①中的三种材料若干玩纸片拼图游戏． (1)用三种材料若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式． 比如图②可以解释为： 则图③可以解释为等式：________________________________________． (2)若用图①中4块长方形材料拼成如图④所示的大正方形，它边长为m，中间空白小正方形的边长为n，观察图案，指出以下关系式： ①；②；③；④ 其中正确的关系式是_________________________；（填编号） (3)若用图①中8块长方形材料可以拼成如图⑤所示的长方形，它的宽为 ，则每个小长方形材料的面积是______________． 【答案】(1) (2)①②④ (3) 【分析】（1）看图即可得出所求的式子； （2）根据图④所示的图形，利用面积之间的关系进行判断即可； （3）根据题意，设每个小长方形材料的长为，宽为，列出方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：由图分析可知，图③所表示的等式为：； （2）解：①，正确，符合题意； ②，正确，符合题意； ③∵， ∴， ∴，原式错误，不符合题意； ④ ，正确，符合题意； ∴正确的关系式有①②④； （3）解：根据题意及图示，设每个小长方形材料的长为，宽为，则： ， 解得：， ∴， ∴每个小长方形材料的面积是：． 30．看图完成各题： (1)如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）．通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ；（用含a、b的等式表示） (2)运用（1）中所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 【答案】(1) (2)①1；② 【分析】（1）图①中的阴影部分面积用大正方形面积减小正方形面积表示，图②中的阴影部分面积用长方形面积公式表示，即可得解； （2）运用（1）中所得到的公式计算即可． 【详解】（1）解：图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为， 可以得到乘法公式； （2）解：① ； ② 题型7 完全平方公式 31．现有一张矩形卡片，卡片的边长如图1所示（ ），将这张卡片沿虚线剪成4个完全相同的小矩形，再将这4个小矩形围成如图2所示的正方形．            图1                        图2 (1)用含a，b的式子表示图2中正方形的周长． (2)嘉嘉结合图形猜想：两整数和的平方减去这两个整数差的平方，结果一定是4的倍数．请用代数式的相关运算验证这个猜想． (3)若图1中1个小矩形的面积为7，图2中正方形的面积为36，直接写出a的值． 【答案】(1) (2)设x，y是任意两个整数， 则 ， ，y均为整数， 为整数， ∴两整数和的平方减去这两个整数差的平方，结果一定是4的倍数． (3) 【分析】（1）由图2可得正方形的边长为，即可计算周长； （2）设x，y是任意两个整数，利用完全平方公式计算，即可证明； （3）根据题意得，，再由图2可得，，则，，即可计算． 【详解】（1）解：正方形的周长为； （2）解：略 （3）解：∵图1中1个小矩形的面积为7， ∴， ∵图2中正方形的面积为36， ∴， ∵， ∴， 由图2可得，， ∵， ∴， ∴． 32．如图，某居民小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一个雕塑，底座是边长为米的正方形． (1)绿化的面积是多少平方米？ (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)63平方米 【分析】（1）绿化面积等于长方形的面积减去正方形的面积，据此列出式子，运用整式的乘法和加减法计算即可； （2）把a，b的值代入（1）中的式子，计算即可． 【详解】（1）解：绿化的面积为 （平方米）． （2）解：当，时，， 即绿化面积为63平方米． 33．将四个长为a，宽为b的长方形（如图1），拼成如图2的“回形”正方形和正方形． (1)观察与发现：图2中，正方形与正方形的面积分别记为，则_____，_____（用含有字母、的代数式表示）；观察图2，请你写出之间的一个等量关系式：_____； (2)运用与探究：根据（1）的结论，解决下列问题：已知，求的值； (3)实践与拓展：将两个正方形、按图3摆放（点与点重合），若两个正方形面积之和为106，，求图中阴影部分面积之和． 【答案】(1)，， (2)1 (3)28 【分析】（1）根据大正方形的面积等于4个小长方形面积和小正方形面积之和，可得结论； （2）利用（1）中关系式计算可得结论； （3）利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可． 【详解】（1）解：图2，正方形是边长为， 因此， 正方形的边长为， 因此， 四个长方形的面积和为， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b， 由题意得，，， ∵，即， ∴， 又∵，而， ∴， ∴ ． 34．把整式通过配凑，得到完全平方式，再运用完全平方公式的逆运用 ，得到平方式：， 再利用平方的非负数这一性质来解决问题，这种方法叫做配方法． 例如：求的最小值． 解：， ， ， ∴当时， 的值最小，最小值是0， ∴当时，的值最小，最小值是1． 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)填空： （_______________）， (2)求 的最小值； (3) ，求的值． 【答案】(1)，3 (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式变形即可； （2）利用完全平方公式变形，再根据偶次方的性质即可解答； （3）利用完全平方公式变形，然后根据偶次方的非负性可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解： ， ， 故当时，取最小值0，最小值为； （3）解： ， ， ， ， ， 当且仅当且时，等式成立， 解得， ∴ ． 35．【阅读理解】 若x满足，求的值． 解：设，，则，，所以，我们把这种方法叫作换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)若x满足，则______； (2)若x满足，求的值； (3)如图，在长方形中，，点E，F分别是边，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1)15 (2)150 (3) 【分析】（1）仿照例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）仿照例题的解题思路进行计算，即可解答； （3）根据题意可得：，，然后设，，则，，最后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：设，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 即； （3）解：由题意得：，，， 设，， ∴， ∵长方形的面积为， ∴， ∵四边形和是正方形， ∴图中阴影部分的面积和 ， 即图中阴影部分的面积和为． 题型8 整式的混合运算 36．计算和化简求值 (1)； (2)； (3)，其中，． 【答案】(1) (2) (3) ， 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ， 当，时，原式． 37．先化简再求值：．其中，． 【答案】； 【分析】先利用完全平方公式和整式乘法法则展开原式，合并同类项化简后，再代入x和y的值计算结果． 【详解】解： ， 当，时，原式． 38．学习了平方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方差公式：，他发现，运用立方差公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方差公式解决以下问题： (1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子 ①化简：= ； ②计算： ； (2)【公式运用】已知：，求的值． 【答案】(1)①；②98； (2) 【分析】（1）①用多项式乘多项式法则计算即可； ②把变形成， 再计算即可； （2）由，求出， 再将变形成， 代入计算即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：， ， ， ． 39．在数学活动中，数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助我们理解代数问题． ①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到代数恒等式； ②如图2，用长为、宽为的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可得到另一个代数恒等式． 基于上述内容，解决以下问题： (1)若，，求的值； (2)若，求的值； (3)如图3，在航空航天国防科普展中，面积为平方米的长方形展厅中设置两个长方形展区（和），中间重合部分搭建长方形互动体验，米，米，阴影部分为参观区域，参观区域总周长为米，求展厅的长比宽多多少米？ 【答案】(1) (2) (3)展厅的长比宽多米 【分析】（1）利用进行计算即可； （2）设，，则，，利用进行计算即可； （3）设米，米，则米，米，由参观区域的周长可得，由矩形的面积可得．利用题干的公式可计算出，结合可得． 【详解】（1）解：由题意可知，； （2）解：设，， ∴，， ∴； （3）解：设米，米， ∵米， 又∵米， ∴米， 同理，米， ∵参观区域总周长为米， ∴， ∴， 化简，得， ∵长方形展厅为平方米， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：展厅的长比宽多米． 40．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数能否表示为（均为自然数）”的问题．指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 4的倍数 表示结果 … … 一般结论 _______________ 按如表规律，完成下列问题： (1)（_____________）（_____________）；_____________； (2)兴趣小组还猜测：像，，，，…这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你完善以下证明过程： 假设，其中均为自然数．分下列三种情形分析： ①若均为偶数，设，其中均为自然数， 则为4的倍数． 而不是4的倍数，矛盾． 故不可能均为偶数． ②若均为奇数，设，其中均为自然数．…… ③若一个是奇数一个是偶数，则和均为奇数．所以为奇数，而是偶数，矛盾，故不可能一个是奇数一个是偶数．由①②③可知，猜测正确． 阅读以上内容，请独立尝试继续完成在情形②的证明． 【答案】(1)6，5； (2)见解析 【分析】（1）根据规律即可求解；根据规律即可求解； （2）先利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可． 【详解】（1）解：由表格可得，奇数的一般规律为： ∴当时，解得： ∴ 故答案为：，； 由表格可得：的倍数的规律为： 故答案为：． （2）解：②若均为奇数， 设，其中均为自然数． ∴ ． ∵为的倍数，而不是的倍数，矛盾， ∴不可能均为奇数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项2 第八章 整式乘法压轴题型 目录 题型1 单项式乘单项式 1 题型2 单项式乘多项式 3 题型3 多项式乘多项式 5 题型4 多项式乘法中的规律问题 6 题型5 整式乘法混合运算 9 题型6平方差公式 11 题型7 完全平方公式 13 题型8 整式的混合运算 15 题型1 单项式乘单项式 1．计算： (1)； (2)； (3)． 2．阅读与思考：请阅读下列材料，并完成下列问题． 【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列1，2，4，8，…为等比数列，其中，，公比． 根据以上材料，解答下列问题： (1)等比数列3，9，27，…的公比为______，第5项是______； (2)【公式推导】如果一个数列是等比数列，且公比为，那么根据定义可得，，，，，所以，，，． 由此，请你填空完成等比数列的通项公式：______； (3)【拓广探究】等比数列的求和公式并不复杂，但是其推导过程-错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值所采用的方法： 设，① 则，② 得，． 【解决问题】请仿照小明的方法计算的值． 3．在个旧市某住房小区建设中，为了提高业主的宜居环境，该小区规划修建一个广场（平面图如图所示）． (1)用含m、n的代数式表示该广场的面积S（图中阴影部分）； (2)若m、n满足，求该广场的面积． 4．观察图，回答下列问题： (1)用含的代数式表示边的长度 ； (2)用含，的代数式，表示阴影部分的周长是 ； (3)用含，的代数式，表示阴影部分的面积是 ； (4)当，时，阴影部分的周长是 ，面积是 ． 5．如图，用7张长为，宽为的长方形纸片互不重叠地放在长方形区域内，设边的长为，未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为（正值）． (1)若，则的值为多少时？ (2)对于下列两个问题，先回答，再通过“数学运算”说明理由； ①（1）中的值每增加的值增加（或减少）多少？ ②若，能赋予一个值使得的值不随的值的变化而变化吗？ 题型2 单项式乘多项式 6．我们在数学课上学习过积的乘方公式：，将这个公式从右往左看，得到公式：，我们可以借助这个公式用整体思想解决一些代数式求值的问题． (1)若，则_______；若，则_______． (2)已知，求代数式的值． 7．阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 8．如图，在边长为的正方形中剪掉矩形，记阴影矩形的面积为，被剪掉的矩形的面积为，． (1)用表示； (2)若，求的值． 9．阅读：已知，求的值． 思路分析：根据整体的思想，先计算单项式乘以多项式，再将整体代入求值． 解： ． 请你利用整体的思想解决下列问题． (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 10．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 题型3 多项式乘多项式 11．阅读下列材料，完成后面的任务． 定义：一个多项式乘一个多项式，运算结果化简后得到多项式，若的项数比的项数多1，则称是的“友好多项式”；若的项数与的项数相同，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断是否为的“友好多项式”，并说明理由； (2)若，是关于的多项式，且是的“特别友好多项式”． ①嘉嘉同学认为可能是二项式，请你写出一个符合条件的二项式，即_____； ②乐乐同学认为也可能是三项式，设（，是常数，，），请判断乐乐同学的说法是否正确？若正确，求出多项式，若不正确，请说明理由． 12．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是某年1月份的日历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现，结果都是7． (1)将每个方框的左上角数字设为n，请用含n的式子表示你发现的规律：___________． (2)请利用整式的运算对以上规律进行说明． 13．阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式，，，（，，，是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，，，，因为 所以，多项式，，，是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小萃发现多项式，，，是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据她的思路求该组平衡多项式的平衡因子； (2)若多项式，，，（是常数）是一组平衡多项式，求的值． 14．已知的乘积中不含项和项． (1)求、的值． (2)求代数式的值． 15．为响应儿童友好空间建设的号召，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域，用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区，其中、游戏娱乐区和文化体验区均为长方形，绿化休息区为边长为的正方形． (1)分别求出游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区这三个区域的面积（用含的式子表示）． (2)该公园计划对这片儿童活动区域的地面进行处理，为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米元；为绿化休息区铺设草坪，造价为每平方米元．求处理这片儿童活动区域的地面所需的费用（用含的式子表示）． 题型4 多项式乘法中的规律问题 16．观察下列各式的规律，解答下列问题 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． … (1)根据上述规律，请写出第5个等式：__________________． (2)猜想：__________________． (3)利用（2）中的结论，求的值． 17．《详解九章算法》一书中给出的杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，此图揭示了（n为正整数）展开式的项数及各项系数的规律．请利用杨辉三角解决以下问题： (1)依次类推，写出______； (2)的展开式中一共有______项，各项系数之和为______； (3)的展开式中从左往右数第四项为______，x的三次项系数为______； (4)当代数式的值为1时，则的值为______． 18．阅读材料并解答下列问题：下面是关于杨辉三角的介绍． 如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写． (1)判断的展开式共有______项；写出的第三项的系数是______； (2)结合杨辉三角解决以下问题： ①计算（结果用乘方表示）：； ②猜想：的展开式中含项的系数是多少． (3)运用：若今天是星期六，那么再过天是星期几． 19．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角” 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数依次为______、______； (2)展开式共有______项，第100项的系数为______； (3)根据上面的规律，写出的展开式______； (4)利用上面的规律计算：； (5)假如今天是星期六，那么再过是星期几？（直接写出结果） 20．阅读下面材料，并完成相应的任务． “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； (1)直接写出结果：_____；_____． (2)发现如下速算规律：十位数字是（是1至9的整数），个位数字是5的两位数平方的结果是：_____（用含的代数式表示）； (3)善于思考的小聪通过计算 ；；； 发现“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”也有与上述材料类似的规律．设两个因数的十位数字为，个位数字分别为，且，请用含的等式表示小聪发现的规律，并说明该等式成立． 题型5 整式乘法混合运算 21．已知， (1)求； (2)若的值与的取值无关，当时，求A的值． 22．我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为对消多项式，这个常数称为它们的“对消值”，如与互为对消多项式，它们的对消值为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； ①与；②与；③与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为对消多项式，求它们的对消值． 23．阅读下列材料，解答问题 运算能力是数学的核心能力，能既快速又准确的进行计算，有助于提高我们的数学学习和思考的效率．学完全平方公式时，同学小军巧妙运用代数知识衔接数字运算，主动探索速算技巧，他做了以下探究： 对的结果进行变形，可得： 利用上述结论，小军对个位数是5的数的平方能很快得出结果． 例如： …… (1)请利用小军的结论直接写出计算结果：________； (2)继续研究，小军发现仿照上述变形方法可以得到算式：的速算方法．小军的思考过程如下： 用“”替换上面算式中的“”，将其一般化表述为：，于是， 请利用上述思考方式探究并计算：________，________； (3)通过上面的例子，我们发现了这类“十位相同、个位和为”的乘法速算规律．请仿照第（2）题的变形方式，用一个含，，的等式，把这个规律表示出来（已知）． 24．定义：对于依次排列的多项式（是常数），当它们满足：，且为常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如：对于多项式，因为，所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． (1)已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子； (2)若是一组平衡数，且，请直接写出与的数量关系： (3)若是一组平衡数（n是常数）且平衡因子为14，求的值． 25．阅读下列材料，完成相应的任务： 三角形数，古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，，这样的数称为“三角形数”，第n个“三角形数”可表示为：． 任务： (1)第5个三角形数是______； (2)请从下面，两题中任选一题作答．我选择______题． A．智慧小组发现，从第2个“三角形数”开始，每相邻两个“三角形数”的差有一定的规律．如：；；； ①第6个“三角形数”与第5个“三角形数”的差为______； ②第个“三角形数”与第个“三角形数”的差的规律可用下面的等式表示______，请补全该等式并说明它的正确性． B．创新小组发现，每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律．如：；；； ①第5个“三角形数”与第6个“三角形数”的和为______； ②第n个“三角形数”与第个“三角形数”的和的规律可用下面的等式表示：__________________，请补全该等式并说明它的正确性． 题型6平方差公式 26．阅读下列材料： 某同学在计算时，把3写成4－1后，发现可以连续运用平方差公式计算： ． 回答下列问题： (1)请借鉴该同学的方法，计算：； (2)借用上面的方法，再逆用平方差公式计算： ． 27．如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示） (1)如图，可以求出阴影部分的面积是________（写成平方差的形式）． (2)如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，比较左、右的阴影部分面积，可以得到公式________． (3)请应用这个公式完成下列各题： ①计算： ②计算： 28．理解与尝试 在计算时有两种算法， 方法1：请你直接计算； 方法2：用字母代替数，转化成整式计算来完成． 例如：设，原式 (1)请你完成以上计算； 应用： (2)计算 29．小明利用图①中的三种材料若干玩纸片拼图游戏． (1)用三种材料若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式． 比如图②可以解释为： 则图③可以解释为等式：________________________________________． (2)若用图①中4块长方形材料拼成如图④所示的大正方形，它边长为m，中间空白小正方形的边长为n，观察图案，指出以下关系式： ①；②；③；④ 其中正确的关系式是_________________________；（填编号） (3)若用图①中8块长方形材料可以拼成如图⑤所示的长方形，它的宽为 ，则每个小长方形材料的面积是______________． 30．看图完成各题： (1)如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）．通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ；（用含a、b的等式表示） (2)运用（1）中所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 题型7 完全平方公式 31．现有一张矩形卡片，卡片的边长如图1所示（ ），将这张卡片沿虚线剪成4个完全相同的小矩形，再将这4个小矩形围成如图2所示的正方形．            图1                        图2 (1)用含a，b的式子表示图2中正方形的周长． (2)嘉嘉结合图形猜想：两整数和的平方减去这两个整数差的平方，结果一定是4的倍数．请用代数式的相关运算验证这个猜想． (3)若图1中1个小矩形的面积为7，图2中正方形的面积为36，直接写出a的值． 32．如图，某居民小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一个雕塑，底座是边长为米的正方形． (1)绿化的面积是多少平方米？ (2)求出当，时的绿化面积． 33．将四个长为a，宽为b的长方形（如图1），拼成如图2的“回形”正方形和正方形． (1)观察与发现：图2中，正方形与正方形的面积分别记为，则_____，_____（用含有字母、的代数式表示）；观察图2，请你写出之间的一个等量关系式：_____； (2)运用与探究：根据（1）的结论，解决下列问题：已知，求的值； (3)实践与拓展：将两个正方形、按图3摆放（点与点重合），若两个正方形面积之和为106，，求图中阴影部分面积之和． 34．把整式通过配凑，得到完全平方式，再运用完全平方公式的逆运用 ，得到平方式：， 再利用平方的非负数这一性质来解决问题，这种方法叫做配方法． 例如：求的最小值． 解：， ， ， ∴当时， 的值最小，最小值是0， ∴当时，的值最小，最小值是1． 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)填空： （_______________）， (2)求 的最小值； (3) ，求的值． 35．【阅读理解】 若x满足，求的值． 解：设，，则，，所以，我们把这种方法叫作换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)若x满足，则______； (2)若x满足，求的值； (3)如图，在长方形中，，点E，F分别是边，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 题型8 整式的混合运算 36．计算和化简求值 (1)； (2)； (3)，其中，． 37．先化简再求值：．其中，． 38．学习了平方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方差公式：，他发现，运用立方差公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方差公式解决以下问题： (1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子 ①化简：= ； ②计算： ； (2)【公式运用】已知：，求的值． 39．在数学活动中，数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助我们理解代数问题． ①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到代数恒等式； ②如图2，用长为、宽为的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可得到另一个代数恒等式． 基于上述内容，解决以下问题： (1)若，，求的值； (2)若，求的值； (3)如图3，在航空航天国防科普展中，面积为平方米的长方形展厅中设置两个长方形展区（和），中间重合部分搭建长方形互动体验，米，米，阴影部分为参观区域，参观区域总周长为米，求展厅的长比宽多多少米？ 40．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数能否表示为（均为自然数）”的问题．指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 4的倍数 表示结果 … … 一般结论 _______________ 按如表规律，完成下列问题： (1)（_____________）（_____________）；_____________； (2)兴趣小组还猜测：像，，，，…这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你完善以下证明过程： 假设，其中均为自然数．分下列三种情形分析： ①若均为偶数，设，其中均为自然数， 则为4的倍数． 而不是4的倍数，矛盾． 故不可能均为偶数． ②若均为奇数，设，其中均为自然数．…… ③若一个是奇数一个是偶数，则和均为奇数．所以为奇数，而是偶数，矛盾，故不可能一个是奇数一个是偶数．由①②③可知，猜测正确． 阅读以上内容，请独立尝试继续完成在情形②的证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $