2025-2026学年高中数学苏教版必修 第二册第15章 概率 15.2 随机事 件的概率导学案（阅读课）（同步练习）

该高中数学导学案聚焦“随机事件的概率”核心内容，围绕概率统计定义、古典概型特征与计算、概率基本性质三大模块，设计知识目标（区分频率与概率、判断古典概型等）、能力目标（数据收集分析、问题转化）、素养目标（数学思想运用、数据分析与建模），通过前置思维导图构建、核心问题引导、合作研学探究、例题分层讲解、学以致用练习的递进式任务，形成完整学习路径。 亮点在于“实验探究+生活应用”的主题设计，如抛硬币实验分析频率稳定性规律、课堂辩论理解概率意义，培养学生用数学眼光观察（发现频率规律）、用数学思维思考（推理古典概型条件）、用数学语言表达（建模解决实际问题）的核心素养。提供易错点解析、方法提炼及分层练习，既支持学生深度学习，又为教师实施单元教学提供系统指导与评价工具。

2025-2026学年高中数学苏教版必修 第二册第15章 概率 15.2 随机事 件的概率导学案（阅读课）（同步练习） 【模块一 学习目标】 一、知识目标 1. 能说出随机事件概率的统计定义，准确区分频率与概率的不同含义。 2. 能判断一个试验是否为古典概型，说出古典概型的两个基本特征。 3. 能运用古典概型概率公式计算简单随机事件的概率，正确率达到80%以上。 二、能力目标 1. 通过掷硬币、摸球等实验活动，提升数据收集与分析能力，能从实验数据中发现频率的稳定性规律。 2. 能将生活中的实际问题转化为古典概型模型，独立完成3步以上的概率计算问题。 三、素养目标 1. 在概率学习过程中，能指出运用了从特殊到一般、数形结合等具体数学思想。 2. 结合真实情境运用概率知识，形成可展示的学习成果，发展数据分析与数学建模核心素养。 【模块二 前置学习】 一、思维导图框架 请在预习时尝试搭建本节知识的大致框架。本节主要围绕三个核心展开：第一个是概率的统计定义，第二个是古典概型的特征与计算，第三个是概率的基本性质。你可以用大括号的形式，把这三个核心概念作为主干，每个主干下面再补充一到两个你认为重要的关键词。不用追求完整，带着你的框架来上课，课后再完善。 二、核心问题 带着下面三个问题阅读教材，边读边思考： 1. 我们平时说"明天降雨概率是60%"，这里的60%到底是什么意思？是明天有60%的时间在下雨吗？ 2. 掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是二分之一。那掷两次硬币是不是一定有一次正面朝上？为什么？ 3. 为什么有的随机事件可以用"事件数除以总数"来算概率，有的却不行？关键区别在哪里？ 三、预习检测 1. 判断正误：频率就是概率。（ ） 2. 从标有1到5的五张卡片中随机抽取一张，抽到偶数的可能结果有几种？总共有几种等可能的结果？ 3. 一个袋子里有3个红球和2个白球，除颜色外完全相同。从中随机摸出一个球，摸到红球的可能性大还是摸到白球的可能性大？请简单说明理由。 把你预习中遇到的疑问标记出来，课堂上我们一起解决。 【模块三 合作研学】 开门见山地说，今天我们要解决一个核心问题：怎么给"可能性大小"找一个准确的数字？ 问题一：抛硬币游戏背后藏着什么规律？ 咱们先做个思想实验。假设你和同桌玩抛硬币游戏，抛10次，你觉得正面朝上的次数会是多少次？可能是5次，也可能是3次，还可能是7次。那抛100次呢？1000次呢？正面朝上的比例会怎么变？ 答案是，抛的次数越多，正面朝上的比例会越来越接近二分之一。这就是频率的稳定性。历史上有很多数学家真的做过这个实验，抛了成千上万次，结果都验证了这个规律。 【关键点】 频率是变化的，每次实验得到的频率可能都不一样；概率是一个固定的数值，是事件发生可能性大小的本质属性。当实验次数足够多时，频率会在概率附近波动，这就是概率的统计定义。 问题二：什么样的问题能用"数数"的方法算概率？ 不是所有概率问题都能靠数个数来解决。比如"明天会不会下雨"，你没法数出有多少种等可能的情况。那什么样的问题可以呢？ 我们来看两个例子。第一个例子，掷一枚均匀的骰子，有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同。第二个例子，从一副扑克牌里随机抽一张，有54种可能的结果，每张牌被抽到的可能性相同。 这两个例子有什么共同点？第一，结果是有限个；第二，每个结果出现的可能性相等。满足这两个条件的概率模型，我们叫它古典概型。 【要牢记】 古典概型有两个必备条件：有限性和等可能性。缺了任何一个，都不能直接用"事件包含的基本事件数除以基本事件总数"这个公式。 问题三：古典概型的概率怎么算？ 假设一个试验有n个等可能的基本事件，事件A包含了其中的m个基本事件。那事件A发生的概率P(A)就等于m除以n。这个公式看起来简单，用起来却容易出错。 这里容易踩坑。很多同学拿到题目就直接数，数完就相除，却忘了先判断是不是古典概型。比如"掷两枚骰子，点数之和为7的概率"，有的同学会说点数之和从2到12共有11种情况，所以概率是十一分之一。这就错了。 为什么错了？因为点数之和为2和点数之和为7，这两种情况不是等可能的。点数之和为2只有一种情况（1+1），点数之和为7有六种情况（1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1）。所以正确的做法是，先列出所有36种等可能的结果，再看其中有多少种满足点数之和为7。 【案例分析】 我们来做一个课堂辩论。正方观点："买彩票中奖的概率太低了，所以买了也不会中，干脆别买。"反方观点："虽然概率低，但还是有可能中奖的，买了就有希望。" 请大家分组讨论两分钟，然后各派一名代表发言。辩论的目的不是争输赢，而是让大家更深入地理解概率的意义。概率小不代表不可能发生，概率大也不代表一定会发生。概率描述的是长期的、整体的规律，不能用来预测单次事件的结果。 问题四：概率有哪些基本性质？ 第一个性质，任何事件的概率都在0到1之间，也就是0小于等于P(A)小于等于1。不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1。 第二个性质，如果事件A和事件B互斥，也就是它们不能同时发生，那么P(A或B)等于P(A)加P(B)。这个叫概率的加法公式。 第三个性质，对立事件的概率和为1。什么是对立事件？就是两个事件非此即彼，必有一个发生且只有一个发生。比如"掷骰子点数大于3"和"掷骰子点数不大于3"就是对立事件。所以P(A)等于1减去P(A的对立事件)。 这个性质很有用。有时候算"至少有一个"的概率，直接算很麻烦，算它的对立事件"一个都没有"反而简单，然后用1去减就行。 问题五：怎么判断两个事件是不是互斥或者对立？ 互斥事件和对立事件有什么区别和联系？咱们来梳理一下。 互斥事件指的是两个事件不能同时发生。比如掷一枚骰子，"点数为1"和"点数为2"就是互斥事件，因为你不可能同时掷出1和2。 对立事件指的是两个事件非此即彼，也就是它们不能同时发生，而且必有一个发生。比如掷一枚骰子，"点数为奇数"和"点数为偶数"就是对立事件。 所以对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。对立事件是互斥事件的一种特殊情况。 【重点】 古典概型的识别与计算是本节的重点内容。学生在哪个具体步骤容易出错呢？主要在两个地方。第一个地方是"等可能性"的判断。很多同学想当然地认为自己列出的结果都是等可能的，却没有仔细验证。比如掷两枚硬币，有的同学认为有"两正、两反、一正一反"三种情况，所以一正一反的概率是三分之一。这就是典型的错误，因为一正一反实际上包含了"正、反"和"反、正"两种情况，和两正、两反不是等可能的。 第二个容易出错的地方是基本事件的计数。特别是涉及到"有放回"和"无放回"的问题，学生经常搞混。有放回地摸两次球，第一次摸完放回去，第二次摸的时候总数不变；无放回地摸两次，第一次摸完不放回去，第二次摸的时候总数少了一个。这两种情况的基本事件总数是不一样的，算出来的概率自然也不同。 突破这两个易错点的方法，一是养成"先判断模型，再计算"的习惯，拿到题目先问自己"这是不是古典概型？等可能性成立吗？"二是用列举法、列表法或树状图把所有基本事件列出来，不要凭感觉数。 【难点】 频率与概率的区别与联系是本节的难点。学生在哪个具体步骤容易出错呢？主要是对"频率稳定在概率附近"这句话理解不到位。有的同学认为"实验次数越多，频率就越接近概率"，这个说法大体上是对的，但不够准确。更准确的说法是，随着实验次数增加，频率大幅度偏离概率的可能性会越来越小。 为什么这是难点？因为这里面涉及到极限思想，而学生的思维还停留在确定性数学的阶段。他们习惯了"算出来就是一个确定的数"，不太适应"随着次数增加逐渐稳定"这种描述。 突破方法有三个。第一个是做实验。课堂上分组抛硬币，每组抛50次，记录正面朝上的频率，然后把全班的数据汇总起来，看总频率是不是更接近二分之一。让学生亲身体验频率的稳定性。第二个是用计算机模拟。用软件模拟抛一万次、十万次硬币，展示频率如何在概率附近波动，并且波动幅度越来越小。第三个是举生活中的例子。比如保险公司就是利用概率的统计规律来制定保费的，虽然不能预测某一个人会不会出事，但能预测大概有多少比例的人会出事，从而保证公司不亏本。 板书设计： 中间写标题"15.2 随机事件的概率"。左边写概率的统计定义，下面分频率和概率两个要点，用箭头表示"频率稳定于概率"。中间写古典概型，下面分两个特征（有限性、等可能性）和一个公式（P(A)=m/n）。右边写概率的基本性质，分三条：0≤P(A)≤1、加法公式、对立事件公式。最下面用一个方框框住"先判断模型，再计算"作为提醒。 【模块四 例题讲解】 例1 判断下列试验是不是古典概型，并说明理由。 （1）从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽取一张，观察抽到的牌的花色。 （2）向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意位置都是等可能的，观察点的位置。 （3）掷一枚质地不均匀的骰子，观察朝上的点数。 解： （1）是古典概型。因为去掉大小王后有52张牌，总共有52种可能的结果，结果是有限的；每张牌被抽到的可能性相同，满足等可能性。所以这是古典概型。 （2）不是古典概型。因为圆面内有无数个点，试验的结果有无限个，不满足有限性的条件。所以这不是古典概型。 （3）不是古典概型。因为骰子质地不均匀，各个点数朝上的可能性不相等，不满足等可能性的条件。所以这不是古典概型。 方法总结：判断一个试验是不是古典概型，就看两个条件：有限性和等可能性。两个条件都满足才是古典概型，缺一个都不是。 例2 一个袋子里装有大小相同的5个球，其中3个红球，2个白球。从中随机摸出2个球。 （1）求摸出的2个球都是红球的概率； （2）求摸出的2个球恰好1个红球1个白球的概率。 解： 我们先给球编号，3个红球分别记为红1、红2、红3，2个白球分别记为白1、白2。从5个球中随机摸出2个，所有可能的结果有： （红1,红2）、（红1,红3）、（红1,白1）、（红1,白2）、 （红2,红3）、（红2,白1）、（红2,白2）、 （红3,白1）、（红3,白2）、 （白1,白2） 一共10种等可能的结果。 （1）记"摸出的2个球都是红球"为事件A。事件A包含的结果有（红1,红2）、（红1,红3）、（红2,红3），共3种。 所以P(A) = 3/10。 （2）记"摸出的2个球恰好1个红球1个白球"为事件B。事件B包含的结果有（红1,白1）、（红1,白2）、（红2,白1）、（红2,白2）、（红3,白1）、（红3,白2），共6种。 所以P(B) = 6/10 = 3/5。 方法总结：解决古典概型问题的步骤是：第一步，判断是不是古典概型；第二步，列出所有等可能的基本事件，数出总数n；第三步，数出事件A包含的基本事件数m；第四步，用公式P(A)=m/n计算。列举的时候要按一定的顺序，避免重复或遗漏。 例3 同时掷两枚均匀的骰子，计算： （1）两枚骰子点数相同的概率； （2）两枚骰子点数之和大于9的概率。 解： 同时掷两枚骰子，我们可以用列表的方法列出所有可能的结果。第一枚骰子有6种可能，第二枚骰子也有6种可能，所以总共有6×6=36种等可能的结果。 （1）记"两枚骰子点数相同"为事件A。事件A包含的结果有（1,1）、（2,2）、（3,3）、（4,4）、（5,5）、（6,6），共6种。 所以P(A) = 6/36 = 1/6。 （2）记"两枚骰子点数之和大于9"为事件B。点数之和大于9，也就是点数之和为10、11或12。 点数之和为10的有（4,6）、（5,5）、（6,4），共3种； 点数之和为11的有（5,6）、（6,5），共2种； 点数之和为12的有（6,6），共1种。 所以事件B包含的结果共有3+2+1=6种。 所以P(B) = 6/36 = 1/6。 方法总结：对于涉及两个独立步骤的古典概型问题，可以用乘法原理快速算出基本事件总数。列举的时候，列表法是很实用的方法，能帮助我们有条理地找出所有满足条件的结果。 【模块五 学以致用】 1. 下列事件中，概率为1的是（ ） A. 掷一枚均匀的硬币，正面朝上 B. 掷一枚均匀的骰子，朝上的点数小于7 C. 明天会下雨 D. 从装有3个红球和2个白球的袋子中摸出一个黑球 2. 从1,2,3,4,5这五个数中随机取一个数，取到奇数的概率是（ ） A. 1/5 B. 2/5 C. 3/5 D. 4/5 3. 同时抛两枚均匀的硬币，两枚都是正面朝上的概率是（ ） A. 1/2 B. 1/3 C. 1/4 D. 1/6 4. 一个不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，它们除颜色外完全相同。从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 。 5. 从标有1,2,3,4,5,6的六张卡片中随机抽取两张，求这两张卡片上的数字之和为偶数的概率。 6. 某班有男生25人，女生20人。从中随机选一名同学担任数学课代表，求选中女生的概率。 7. 甲、乙两人玩"石头、剪刀、布"的游戏，假设两人每次出什么都是等可能的，求一次游戏中甲获胜的概率。 【模块六 参考解答】 第一部分 课堂练习答案 1. 【答案】B 【解析】A项，掷硬币正面朝上的概率是1/2，不是1；B项，骰子的点数最大是6，所以点数一定小于7，这是必然事件，概率为1；C项，明天是否下雨是随机事件，概率不是1；D项，袋子里没有黑球，摸出黑球是不可能事件，概率为0。故选B。 2. 【答案】C 【解析】从五个数中随机取一个，总共有5种等可能的结果。其中奇数有1、3、5，共3种。所以取到奇数的概率是3/5。故选C。 3. 【答案】C 【解析】同时抛两枚硬币，所有等可能的结果有（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反），共4种。两枚都是正面朝上的结果只有1种。所以概率是1/4。故选C。 4. 【答案】2/5 【解析】袋子里一共有2+3=5个球，从中随机摸出一个，总共有5种等可能的结果。其中红球有2个，所以摸到红球的概率是2/5。 5. 【答案】2/5 【解析】从六张卡片中随机抽取两张，总共有6×5÷2=15种等可能的结果。 两张卡片上的数字之和为偶数，有两种情况：两张都是奇数，或者两张都是偶数。 奇数有1、3、5共3个，从中取2个，有3×2÷2=3种结果； 偶数有2、4、6共3个，从中取2个，也有3种结果。 所以数字之和为偶数的结果共有3+3=6种。 因此所求概率为6/15=2/5。 6. 【答案】4/9 【解析】全班共有25+20=45人，从中随机选一名同学，总共有45种等可能的结果。女生有20人，所以选中女生的概率是20/45=4/9。 7. 【答案】1/3 【解析】甲、乙两人各有3种出法，所以总共有3×3=9种等可能的结果。 甲获胜的情况有三种：甲出石头乙出剪刀，甲出剪刀乙出布，甲出布乙出石头。 所以甲获胜的概率是3/9=1/3。 第二部分 课后巩固答案 1. 【答案】2/9 【解析】从1到9这九个整数中随机取一个，总共有9种等可能的结果。 其中4的倍数有4和8，共2个。 所以取到的数是4的倍数的概率为2/9。 2. 【答案】2/3 【解析】从1到12这十二个整数中随机取一个，总共有12种等可能的结果。 偶数有2、4、6、8、10、12，共6个； 3的倍数有3、6、9、12，共4个； 既是偶数又是3的倍数的有6、12，共2个。 根据概率的加法公式，取到的数是偶数或3的倍数的概率为： P = 6/12 + 4/12 - 2/12 = 8/12 = 2/3。 3. 【答案】11/15 【解析】袋子里一共有3+2+1=6个球，从中随机摸出2个，总共有6×5÷2=15种等可能的结果。 "2个球颜色不同"的对立事件是"2个球颜色相同"。我们先算对立事件的概率。 颜色相同的情况有： 两个都是红球：3×2÷2=3种； 两个都是白球：2×1÷2=1种； 两个都是黑球：只有1个黑球，不可能摸出两个黑球，所以0种。 所以颜色相同的结果共有3+1=4种。 因此颜色不同的结果有15-4=11种。 所以所求概率为11/15。 4. 【答案】1/3 【解析】甲、乙、丙三人站成一排，所有等可能的排列有： 甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种。 其中甲站在中间的有：乙甲丙、丙甲乙，共2种。 所以甲站在中间的概率为2/6=1/3。 【模块七 能力提升】 1. （10分）从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个整数中随机取一个数，求取到的数是4的倍数的概率。 2. （15分）从1到12这十二个整数中随机取一个数，求取到的数是偶数或3的倍数的概率。 3. （15分）一个袋子里有3个红球、2个白球和1个黑球，它们除颜色外完全相同。从中随机摸出2个球，求这2个球颜色不同的概率。 4. （20分）甲、乙、丙三人站成一排照相，求甲站在中间的概率。 【模块八 方法提炼】 一、反思提问 1. 你能说清楚频率和概率的区别吗？能不能举一个生活中的例子来说明？ 2. 做古典概型题目时，你最容易在哪个步骤出错？你打算怎么提醒自己？ 3. 对立事件的概率公式为什么好用？你能总结一下什么时候用对立事件来算更简便吗？ 二、学习建议 第一，养成"先判断，后计算"的习惯。拿到一道概率题，不要着急算，先问问自己：这是古典概型吗？有限性满足吗？等可能性成立吗？想清楚了再动手。 第二，学会用列举法。不管题目看起来多简单，都试着把所有基本事件列出来，或者用列表法、树状图来表示。这样不容易数错，也能帮你发现等可能性的问题。 第三，多联系生活。概率在生活中无处不在，彩票、保险、天气预报、游戏公平性，都能用概率知识来分析。平时多观察、多思考，你会发现概率其实很有用，也很有趣。 说白了，学概率不是为了会做几道题，而是为了学会用概率的眼光看世界，在不确定中找到规律，做出更理性的判断。 学科网（北京）股份有限公司 $