15.2　随机事件的概率（第2课时 频率与概率）同步课时练-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 本同步练通过三级分层设计，以“概念辨析—实际应用—理论探究”为主线，覆盖频率与概率核心知识点，强化数据观念与模型意识，适配新授课基础巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|概率概念辨析、简单频率计算|以选择填空为主，如第1题辨析概率意义，第2-6题基础频率计算，第7题用频率估计概率，夯实概念理解| |B级|综合概念辨析、实际问题应用|含多选（第11题）及情境题，如第12题教职工学历概率、第15题移动支付统计，提升数据处理与推理能力| |C级|频率与概率关系探究、复杂建模|如第16题理论辨析、第17题保费概率模型，深化数学思维与模型观念，拓展探究能力|

15.2　随机事件的概率 第2课时　频率与概率 A级 基础达标练 1.某地气象局预报:明天本地降水的概率为80%,则下列解释正确的是(　　) A.明天本地有80%的区域降水,20%的区域不降水 B.明天本地有80%的时间降水,20%的时间不降水 C.明天本地降水的可能性是80% D.以上说法均不正确 2.某制药厂正在测试一种减肥药的疗效,有1 000名志愿者服用此药,体重变化结果统计如下表.如果另一人服用此药,估计这个人的体重减轻的概率约为(　　) 体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加 人数 600 200 200 A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.6 3.抛掷一枚质地均匀的硬币,设事件A=“正面向上”,则下列说法正确的是(　　) A.抛掷硬币10次,事件A必发生5次 B.抛掷硬币100次,事件A不可能发生50次 C.抛掷硬币1 000次,事件A发生的频率一定等于0.5 D.随着抛掷硬币次数的增多,事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小 4.(2025苏州月考)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为　　　　.　 5.某人捡到不规则形状的五面体石块,他在每个面上用数字1~5进行了标记,投掷100次,记录下落在桌面上的数字,得到如下频数表: 落在桌面的数字 1 2 3 4 5 频数 32 18 15 13 22 则落在桌面上的数字不小于4的频率为　　　　.  6.从一堆苹果中任取了20个,并得到它们的质量(单位:克)数据分布如下表: 分组 [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150] 频数 1 2 3 10 3 1 在这堆苹果中,质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的　　　　%.  7.某教授为了测试甲地区和乙地区的同龄儿童的智力,出了10道智力题,每道题10分,然后作了统计,下表是统计结果. 甲地区: 参加测试的人数 30 50 100 200 500 800 得60分以上的人数 16 27 52 104 256 402 得60分以上的频率 乙地区: 参加测试的人数 30 50 100 200 500 800 得60分以上的人数 17 29 56 111 276 440 得60分以上的频率 (1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率(结果保留3位有效数字); (2)估计两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率. B级 能力提升练 8.(2025海安期中)下列四个命题中,正确的是(　　) A.设有一批产品,其次品率为0.05,则从中任取200件,必有10件是次品 B.做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面,因此出现正面的概率是 C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D.抛掷骰子100次,得点数是1的结果18次,则出现1点的频率是 9.数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米2 020石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得270粒内夹谷30粒,则这批米内夹谷约为(　　) A.222石 B.224石 C.230石 D.232石 10.下列说法正确的是(　　) A.在抛掷一枚均匀硬币9次的试验中,结果有5次出现正面,所以出现正面的频率是 B.盒子中装有大小均匀的3个红球、3个黑球、2个白球,每种颜色的球被摸到的可能性相同 C.从-4,-3,-2,-1,0,1,2中任取一个数,取得的数小于0和不小于0的可能性相同 D.分别从2名男生、3名女生中各选1名作为代表,那么每名学生被选中的可能性相同 11.(多选题)下列说法错误的有(　　) A.随机事件A发生的概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值 B.在同一次试验中,不同的基本事件不可能同时发生 C.任意事件A发生的概率P(A)满足0<P(A)<1 D.若事件A发生的概率趋近于0,则事件A是不可能事件 12.(2025南京检测)某学校共有教职工120人,对他们进行年龄结构和受教育程度的调查,其结果如下表: 本科 研究生 合计 35岁以下 40 30 70 35~50岁 27 13 40 50岁以上 8 2 10 现从该校教职工中任取1人,则下列结论正确的是(　　) A.该教职工具有本科学历的概率低于60% B.该教职工具有研究生学历的概率超过50% C.该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10% D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10% 13.某地超市委托某机构调查该超市的顾客使用移动支付的情况.调查人员从年龄在[20,60]内的顾客中,随机抽取了200人,调查结果如图所示: 为推广移动支付,超市准备对使用移动支付的每位顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5 000人购物,试根据上述数据估计,该超市当天应准备环保购物袋的数量为　　　　.  14.在一次试验中,一种血清被注射到500只豚鼠体内,最初,这些豚鼠中150只有圆形细胞,250只有椭圆形细胞,100只有不规则形状细胞,被注射这种血清之后,没有一个有圆形细胞的豚鼠被感染,50个有椭圆形细胞的豚鼠被感染,有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染.根据试验结果,则有圆形细胞、有椭圆形细胞、有不规则形状细胞的豚鼠被这种血清感染的概率之和为　　　　.  15.改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下: 　　　支付金额 支付方式　　 不大于2 000元 大于2 000元 仅使用A 27人 3人 仅使用B 24人 1人 (1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数. (2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率. (3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2 000元.结合(2)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化?说明理由. C级 拓展探究练 16.独立地重复一个随机试验n(n∈N*,n≥1)次,设随机事件A发生的频率为f(n),随机事件A发生的概率为P,有如下两个判断:①如果{f(n)|n∈N*,n≥1}是单元素集,则P=1;②集合{f(n)|n∈N*,n≥1}不可能只含有两个元素,其中(　　) A.①正确,②正确 B.①错误,②正确 C.①正确,②错误 D.①错误,②错误 17.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下: 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表: 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值. (2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值. (3)求续保人本年度平均保费的估计值. 参考答案 1.C　选项A,B显然不正确,因为明天本地降水的概率为80%,不是说有80%的区域降水,也不是说有80%的时间降水,而是指降水的可能性是80%. 2.D　由表格可得这个人的体重减轻的概率约为=0.6.故选D. 3.D　不管抛掷硬币多少次,事件A发生的次数是随机事件,故ABC错误;随着抛掷硬币次数的增多,事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小,故选D. 4.0.98　=0.98,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98. 5.0.35　落在桌面上的数字不小于4的频数为13+22=35,所以频率为=0.35. 6.70　计算出样本中质量不小于120克的苹果的频率,来估计这堆苹果中质量不小于120克的苹果所占的比例,实质上也是用频率估算概率. 由题意知×100%=70%. 7.解 (1)甲地区依次填:0.533,0.540,0.520,0.520,0.512,0.503. 乙地区依次填:0.567,0.580,0.560,0.555,0.552,0.550. (2)甲地区和乙地区参加测试的儿童得60分以上的频率逐渐趋于0.5和0.55,故概率分别为0.5和0.55. 8.D　对于A,次品率是大量产品的估计值,并不是必有10件是次品,故A错误;对于B,抛硬币出现正面的概率是,而不是,故B错误;对于C,频率与概率不是同一个概念,故C错误;对于D,利用频率计算公式求得频率为,故D正确.故选D. 9.B　由题意,抽样取米一把,数得270粒内夹谷30粒,估计夹谷占有的概率为,所以2 020石米中夹谷约为2 020×≈224(石). 10.A　对于A,频率为,正确;对于B,摸到白球的概率要小于摸到红球或黑球的概率;对于C,取得的数小于0的概率大于不小于0的概率;对于D,男生被选中的概率为,而女生被选中的概率为,故BCD均不正确. 11.CD　随机事件A发生的概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值,A正确;在同一次试验中,不同的基本事件不可能同时发生,B正确;任意事件A发生的概率P(A)满足0≤P(A)≤1,C错误;不可能事件的概率为0,D错误,故选CD. 12.D　该教职工具有本科学历的概率P1==62.5%>60%,故A错误;该教职工具有研究生学历的概率P2==37.5%<50%,故B错误;该教职工的年龄在50岁以上的概率P3=≈8.3%<10%,故C错误;该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率P4==12.5%>10%,故D正确. 13.3 125　根据频率估计概率,由图中数据可估计该超市顾客使用移动支付的概率为,所以超市当天应准备的环保购物袋个数为5 000×=3 125. 14.1.2　记“有圆形细胞的豚鼠被感染”为事件A,由题意知,A为不可能事件,所以P(A)=0.记“有椭圆形细胞的豚鼠被感染”为事件B,由题意知P(B)==0.2. 记“有不规则形状细胞的豚鼠被感染”为事件C,由题意知事件C为必然事件,所以P(C)=1.所以概率之和P=P(A)+P(B)+P(C)=1.2. 15.解 (1)由题知,样本中仅使用A的学生有27+3=30(人),仅使用B的学生有24+1=25(人),A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40(人).估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为×1 000=400. (2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于2 000元”,则P(C)==0.04. (3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,该学生本月的支付金额大于2 000元”. 假设样本仅使用B的学生中,本月支付金额大于2 000元的人数没有变化,则由(2)知,P(E)=0.04. 答案示例1:可以认为有变化. 理由如下: P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生,一旦发生,就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化,所以可以认为有变化. 答案示例2:无法确定有没有变化. 理由如下: 事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化. 16.B　对于①,比如定义随机试验:从10个红球中任意抽取3个球, 定义随机事件A:三个球中有一个白球,则P=0,且{f(n)|n∈N*,n≥1}={0},①错. 对于②,频率会随着试验的变化而变化,是一个变化的值,但随着试验次数的增加,频率会接近于概率, 因此,{f(n)|n∈N*,n≥1}不可能只含有两个元素,②对.故选B. 17.解 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2. 由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为=0.55,故P(A)的估计值为0.55. (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4. 由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3, 故P(B)的估计值为0.3. (3)由所给数据得 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的200名续保人的平均保费为 0.85a·0.30+a·0.25+1.25a·0.15+1.5a·0.15+1.75a·0.10+2a·0.05=1.192 5a. 因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a元. 学科网（北京）股份有限公司 $