9.2.2 用坐标表示平移 导学案 （第一课时）2025-2026学年初中数学人教版七年级下册

该初中数学导学案以“用坐标表示平移”为核心，围绕点与图形平移的坐标变化规律，设定描述规律、计算坐标、反推平移方向距离的学习目标。通过“目标引领-课前预习-要点精讲-巩固提升-收获盘点”的模块递进，构建从具体操作到抽象规律再到综合应用的完整学习路径。 亮点在于“合作研讨”的辩论活动设计，引导学生对比口诀记忆与原理理解，培养数学思维和推理意识。分层练习（基础题与拓展题）满足不同学生需求，思维导图梳理知识框架强化空间观念。为教师提供从预习诊断到难点突破的全流程指导，助力学生实现从知识掌握到能力提升的深度学习。

2025-2026学年初中数学人教版七年级下册第九章 平面直角坐标系 9.2 坐标方法的简单应用 9.2.2 用坐标表示平移导学案（阅读课）（第一课时） 【模块一 目标引领】 上课前咱们先做个小实验。拿出方格纸，画一个平面直角坐标系，在坐标(2,3)的位置标个点。现在把这个点向右平移2格，新位置在哪？再向上平移1格呢？别着急说答案，动手画一画。 画完了吧。这节课咱们就来研究这个事儿——点在坐标系里平移的时候，坐标怎么变。学完这节课，你要能做到这三件事： 一、能说出点沿坐标轴方向平移时坐标的变化规律，用自己的话讲给同桌听。 二、能根据平移方向和距离，算出平移后点的坐标，正确率要达到80%以上。 三、能根据平移前后两个点的坐标，反推出平移的方向和距离，至少会3种不同的描述方法。 【模块二 课前预习】 这部分内容你课前要先看看，带着问题进课堂效果更好。 一、回顾题。上节课我们学了平面直角坐标系的基本概念，你来填一填：在平面直角坐标系中，点的坐标用______表示，第一个数叫______，第二个数叫______。横坐标表示点在______轴上的位置，纵坐标表示点在______轴上的位置。 二、思考题。我们在第五章学过图形的平移，你还记得平移的性质吗？平移不改变图形的______和______，只改变图形的______。平移前后对应点的连线互相______且______。那如果把图形放在坐标系里，平移的时候坐标会怎么变呢？大胆猜一猜。 三、生活题。你玩过贪吃蛇游戏吧？蛇在屏幕上移动的时候，其实就是每个小方块在平移。假设屏幕就是一个坐标系，蛇头原来在(5,5)的位置，向右移动一格后，坐标变成了多少？向下移动两格呢？把你的想法写在旁边，上课我们来验证。 【模块三 要点精讲】 这节课的核心内容来了，注意听。咱们分三个大点来讲，每个大点下面有三个小点，讲透了。 一、点的平移与坐标变化 （一）左右平移。点在平面直角坐标系中左右移动的时候，横坐标变，纵坐标不变。向右平移，横坐标增加；向左平移，横坐标减少。说白了就是"右加左减"。举个例子，点A(3,2)向右平移4个单位，横坐标3+4=7，纵坐标还是2，所以平移后是A'(7,2)。 【注意】这里容易踩坑。很多同学一看到"左"就想加，看到"右"就想减，搞反了。你就想数轴，数轴上右边的数大，左边的数小，对吧？向右走数变大，就是加；向左走数变小，就是减。坐标系的x轴和数轴是一样的道理。 （二）上下平移。点上下移动的时候，纵坐标变，横坐标不变。向上平移，纵坐标增加；向下平移，纵坐标减少。也就是"上加下减"。比如点B(-1,3)向下平移2个单位，纵坐标3-2=1，横坐标还是-1，所以平移后是B'(-1,1)。 【温馨提示】上下平移改纵坐标，这个很多同学也容易搞混。你就想，y轴是竖着的，越往上数越大，越往下数越小。往上走数变大，就是加；往下走数变小，就是减。跟x轴的道理是一样的，只是换了个方向。 （三）组合平移。如果一个点先左右平移，再上下平移，那就是两次平移的组合。横坐标按左右平移的规则算，纵坐标按上下平移的规则算，各算各的，互不影响。比如点C(2,-1)先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，横坐标2+3=5，纵坐标-1+2=1，所以平移后是C'(5,1)。顺序不影响结果，先上后右也是一样的。 二、图形的平移与坐标变化 （一）图形平移的本质。一个图形平移的时候，图形上所有的点都做相同的平移。也就是说，每个点的横坐标都加（或减）同一个数，纵坐标都加（或减）同一个数。所以你要画一个图形平移后的样子，不用整个图形搬，只要把几个关键点的坐标算出来，再连起来就行了。 【注意】这里有个关键点——必须是所有点都做相同的平移，才叫图形的平移。如果有的点移得多，有的点移得少，那就不是平移了，图形形状会变。平移的时候，图形的形状、大小都不变，只是位置变了。 （二）多边形平移的画法。给你一个多边形，告诉你怎么平移，让你画平移后的图形。步骤是这样的：先找出多边形的所有顶点，写出每个顶点的坐标；然后根据平移的方向和距离，算出每个顶点平移后的坐标；最后把这些新的顶点按顺序连起来，就得到平移后的多边形了。 【温馨提示】顶点找全了吗？三角形有3个顶点，四边形有4个顶点，五边形有5个顶点，别漏了。连的时候也要按原来的顺序连，别连错了，不然图形就变形了。画完后检查一下，看看形状大小是不是没变。 （三）逆向判断平移过程。反过来，如果给你平移前后两个图形，让你说说是怎么平移的，你怎么判断？很简单，找一对对应点，看看横坐标变了多少，纵坐标变了多少。横坐标增加了多少，就是向右平移了多少；横坐标减少了多少，就是向左平移了多少。纵坐标同理。 三、坐标平移的应用 （一）描述图形位置变化。用坐标可以精确地描述图形的位置变化。比如你要告诉别人一个图形怎么移的，不用比划，直接说"横坐标加3，纵坐标减2"，对方就能准确画出来。这比说"向右移一点，再往下移一点"要精确多了。 【注意】为什么要用坐标表示平移？因为坐标是数，数是精确的。你说"移一点"，每个人理解的"一点"不一样，有人觉得移1格，有人觉得移3格。但你说"横坐标加2"，所有人都知道是向右移2个单位，不会有歧义。 （二）实际生活中的应用。坐标平移在生活中用处可大了。比如地图导航，你从家走到学校，GPS就是通过坐标的变化来记录你的移动轨迹的。再比如游戏里的角色移动，也是通过改变角色的坐标来实现的。还有建筑设计、工程制图，都会用到坐标平移的知识。 【温馨提示】你可能觉得这些离你很远，其实不是。你玩手机的时候，手指在屏幕上滑动，屏幕上的内容跟着动，这背后就是坐标平移的原理。你刷短视频的时候上下划，也是一样的道理。数学就在你身边，只是你没注意到。 （三）与其他知识的联系。坐标平移是数形结合的典型例子。把图形的移动（形）转化为坐标的加减（数），这就是把几何问题转化为代数问题。以后我们学函数图像的时候，也会用到平移的知识，比如一次函数图像的平移，二次函数图像的平移，都是这个道理。 【合作研讨】 接下来咱们来个小辩论。正方观点："左减右加，上加下减"这个口诀很好用，应该背下来。反方观点：口诀容易记混，不如理解原理，自己推导。给你们3分钟时间讨论，然后各派代表说说理由。 时间到。正方先说。反方补充。 其实两边说的都有道理。口诀确实能提高做题速度，但前提是你理解了为什么是"左减右加"。如果死记硬背，很容易记混，特别是考试紧张的时候。所以我的建议是，先理解原理，再用口诀辅助，双保险。 【重点】 这节课的重点是掌握点的平移与坐标变化的规律。为什么这个是重点？因为它是整个坐标方法的基础，后面学图形平移、函数图像平移，都要用到这个规律。你要是点的平移都没搞明白，后面图形平移就更糊涂了。 具体来说，你要搞清楚三件事：第一，平移方向和坐标变化的对应关系——左右平移改横坐标，上下平移改纵坐标；第二，变化量的符号——向右、向上是加，向左、向下是减；第三，平移的距离就是坐标变化的绝对值。这三点缺一不可。 很多同学学到这里会犯一个错误，就是方向搞反。比如看到"向左平移"，就给横坐标加，看到"向右平移"就减，完全反了。为什么会这样？因为他们死记口诀，没理解原理。你只要记住x轴向右是正方向，y轴向上是正方向，往正方向走就是加，往负方向走就是减，就永远不会错。 【难点】 这节课的难点有两个。第一个难点是理解图形平移的本质——图形上所有点都做相同的平移。很多同学觉得图形平移很复杂，要把整个图形搬过去。其实不是，你只要抓住几个关键点就行了，其他点自然跟着动。但这个"转化思想"很多同学一时转不过弯来，总觉得要把每个点都算一遍。 突破方法很简单，就是动手操作。你在方格纸上画一个三角形，然后把每个顶点都向右移2格，连起来看看，是不是整个三角形都向右移了2格？再移一次，这次向上移3格，看看是不是每个点都向上移了3格。多做几次，你就有感觉了——图形平移就是所有点一起平移，一荣俱荣，一损俱损。 第二个难点是逆向思维——根据坐标变化反推平移过程。正向思维大家比较习惯，知道怎么移，算坐标。反过来，给你两个坐标，让你说怎么移的，很多同学就懵了。其实就是反过来想，横坐标从2变成5，增加了3，说明向右移了3个单位；纵坐标从4变成1，减少了3，说明向下移了3个单位。就这么简单。 突破方法：多做对比练习。做一道正向题，马上做一道对应的逆向题，来回切换着练。比如先算点(1,2)向右移3个单位后的坐标，再算点(4,2)是由哪个点向左移3个单位得到的。这样练个五六道，逆向思维就建立起来了。 板书设计： 黑板左边写标题"用坐标表示平移"。中间分两栏，左边写"点的平移"，下面分左右平移、上下平移、组合平移，每条后面写规律和口诀。右边写"图形的平移"，下面写本质、画法、逆向判断。黑板右边写"数形结合"四个大字，下面画个箭头，从"形"指向"数"，再从"数"指向"形"。 【模块四 巩固提升】 学完了知识点，咱们来练一练。这几道题难度不一样，你根据自己的情况选着做。基础薄弱的同学做前4道，基础好的同学可以全做。 1. 点P(2, -3)向右平移5个单位长度后，得到的点P'的坐标是什么？ 2. 点Q(-4, 1)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的点Q'的坐标是什么？ 3. 将点A(3, 2)平移后得到点A'(1, 5)，请描述这个平移过程。 4. 已知三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(1, 1)、B(4, 1)、C(3, 3)。将三角形ABC向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，写出平移后三个顶点A'、B'、C'的坐标。 5. 在平面直角坐标系中，点M(a, b)先向右平移4个单位，再向上平移2个单位后得到点M'(3, -1)，求a和b的值。 6. 一个长方形的四个顶点坐标分别是(0, 0)、(3, 0)、(3, 2)、(0, 2)。将这个长方形平移后，其中一个顶点的坐标变成了(5, 3)。请问有几种平移方式？分别写出平移过程。 7. 点P在第二象限，将点P向右平移3个单位长度后得到点P'，点P'在第一象限。请写出两个满足条件的点P的坐标。 【模块五 参考解答】 这部分是刚才练习题的答案，你做完了再对答案，别边做边看。 1. 【答案】(7, -3) 【解析】点P向右平移5个单位，横坐标加5，纵坐标不变。横坐标2+5=7，纵坐标还是-3，所以P'的坐标是(7, -3)。这里要注意，向右平移是横坐标加，别搞反了。 2. 【答案】(-6, 4) 【解析】分两步算。第一步，向上平移3个单位，纵坐标加3，横坐标不变，得到(-4, 1+3)=(-4, 4)。第二步，向左平移2个单位，横坐标减2，纵坐标不变，得到(-4-2, 4)=(-6, 4)。也可以一步到位，横坐标-4-2=-6，纵坐标1+3=4，结果一样。 3. 【答案】向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度（或先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度） 【解析】找对应点A和A'。横坐标从3变成1，1-3=-2，减少了2，说明向左平移了2个单位。纵坐标从2变成5，5-2=3，增加了3，说明向上平移了3个单位。顺序不影响结果，先左后上和先上后左都可以。 4. 【答案】A'(3, 0)，B'(6, 0)，C'(5, 2) 【解析】图形平移，每个顶点都做相同的平移。向右平移2个单位，横坐标都加2；向下平移1个单位，纵坐标都减1。 A点：横坐标1+2=3，纵坐标1-1=0，所以A'(3, 0)。 B点：横坐标4+2=6，纵坐标1-1=0，所以B'(6, 0)。 C点：横坐标3+2=5，纵坐标3-1=2，所以C'(5, 2)。 你可以画个图验证一下，看看三角形的形状大小有没有变。 5. 【答案】a=-1，b=-3 【解析】这是逆向题。点M向右平移4个单位，再向上平移2个单位后得到M'(3, -1)。反过来想，M'向左平移4个单位，再向下平移2个单位就得到M。 横坐标：3-4=-1，所以a=-1。 纵坐标：-1-2=-3，所以b=-3。 验证一下：点(-1, -3)向右移4个单位是(3, -3)，再向上移2个单位是(3, -1)，对的。 6. 【答案】有4种平移方式。 【解析】长方形有4个顶点，每个顶点都可能平移到(5, 3)的位置，所以有4种可能。 第一种：(0, 0)平移到(5, 3)，横坐标加5，纵坐标加3，即向右平移5个单位，向上平移3个单位。 第二种：(3, 0)平移到(5, 3)，横坐标加2，纵坐标加3，即向右平移2个单位，向上平移3个单位。 第三种：(3, 2)平移到(5, 3)，横坐标加2，纵坐标加1，即向右平移2个单位，向上平移1个单位。 第四种：(0, 2)平移到(5, 3)，横坐标加5，纵坐标加1，即向右平移5个单位，向上平移1个单位。 这道题容易漏，要考虑到每个顶点都可能是平移到(5, 3)的那个点。 7. 【答案】答案不唯一，例如(-1, 1)、(-2, 3)等。 【解析】点P在第二象限，说明横坐标小于0，纵坐标大于0。向右平移3个单位后到第一象限，说明横坐标加3后大于0。设点P的横坐标为x，则x<0且x+3>0，即-3<x<0。纵坐标只要大于0就行。所以横坐标在-3到0之间（不包括端点），纵坐标大于0的点都满足条件。比如(-1, 2)、(-2, 5)、(-0.5, 1)等等。 【模块六 收获盘点】 这节课快结束了，咱们来盘点一下收获。用思维导图的方式梳理一下，思路更清晰。 中心主题：用坐标表示平移 分两个大分支：点的平移、图形的平移。 点的平移下面分三个小分支：左右平移、上下平移、组合平移。每个小分支后面写上规律和口诀。左右平移：横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移：纵坐标下减上加，横坐标不变；组合平移：横纵各算各的，结果叠加。 图形的平移下面也分三个小分支：平移本质、平移画法、逆向判断。平移本质：所有点做相同平移；平移画法：找关键点→算新坐标→顺次连接；逆向判断：找对应点→算坐标差→定平移方向距离。 还有一个大分支：数学思想。下面写数形结合、转化思想。 方法提炼： 一、记口诀不如懂原理。"左减右加，下减上加"这个口诀可以用，但前提是你理解了为什么是这样。x轴向右是正方向，y轴向上是正方向，往正方向走就是加，往负方向走就是减。理解了这个，口诀就不会记混。 二、图形平移抓关键点。不管多复杂的图形，平移的时候只要抓住几个关键点就行了，顶点、端点、交点这些。算出关键点平移后的坐标，再连起来，整个图形就平移好了。这叫"以点带面"，是数学里常用的方法。 三、正向逆向都要会。正向题是已知平移算坐标，逆向题是已知坐标反推平移。两种题都要练熟，不能只会正向不会逆向。逆向题其实就是反过来想，正向是加，逆向就是减；正向是减，逆向就是加。 学科网（北京）股份有限公司 $