第二十五章 一元二次方程 讲义 -2026-2027学年人教版九年级数学上册考点解惑

该初中数学讲义以思维导图系统构建“一元二次方程”知识体系，从概念（定义、一般形式、根）到解法（直接开平方法、配方法等）再到实际应用（增长率、面积等）层层递进，用表格对比不同解法适用场景，突出根的判别式、韦达定理等重难点，清晰呈现知识内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题巩固概念辨析（如方程定义判断），中等题强化解法应用（如配方法转化），优质题提升模型意识（如利润问题列方程），培养运算能力与推理意识。配套月考、期中、期末覆盖题，支持学生自主复习，助力教师实施精准分层教学。

第二十五章 一元二次方程 思维导图 25.1 一元二次方程的概念 一、一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 判定一个方程是否为一元二次方程，需要同时满足三个条件： · 方程必须是整式方程，即分母和根号中都不含未知数； · 方程只含有一个未知数； · 未知数的最高次数必须为2，且二次项系数不能为0。 二、一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c= 0（a≠ 0），其中： · ax2是二次项，a是二次项系数； · bx是一次项，b是一次项系数； · c是常数项。 需要注意：任何一元二次方程经过整理都可以化为一般形式，其中二次项系数a不能为0，若a=0，方程将退化为一元一次方程；一次项系数b和常数项c可以为0。 三、一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 判断一个数是否为一元二次方程的根，只需要将这个数代入方程，若方程左右两边相等，则该数是方程的根，反之则不是。 25.2 降次——解一元二次方程 一、直接开平方法 直接开平方法适用于形如(x + m)2=n（n≥ 0）的一元二次方程，根据平方根的定义，可得x + m = ，进而解得x = -m。 核心思路：将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程求解。 适用情况：当一元二次方程缺少一次项，或可以整理为完全平方式等于非负数的形式时，优先使用直接开平方法。如果n < 0，方程没有实数根。 二、配方法 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方法的理论依据是完全平方公式：(a ± b)2=a2± 2ab +b2。 用配方法解一元二次方程的一般步骤： · 一化：将二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数a； · 二移：把常数项移到方程的右边； · 三配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成一个完全平方式； · 四开：若右边整理后是非负数，用直接开平方法解方程；若右边是负数，则原方程没有实数根。 配方法是一种重要的代数式变形方法，除了解方程，还经常用于代数式的最值求解、证明恒成立问题等场景。 三、公式法 公式法是通过配方法推导得到的通用求根公式，适用于所有一元二次方程。 对于一元二次方程ax2+bx+c= 0（a≠ 0），当b2- 4ac ≥ 0 时，方程的实数根可以表示为： x = 这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 四、根的判别式 我们把Δ = b² - 4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c= 0（a≠ 0）的根的判别式，它的取值和方程根的情况有如下对应关系： 判别式取值 方程根的情况 Δ > 0 方程有两个不相等的实数根 Δ = 0 方程有两个相等的实数根 Δ < 0 方程没有实数根 说明：此处“两个相等的实数根”不能错误表述为“一个根”，一元二次方程在实数范围内最多有两个根。 五、因式分解法 先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 因式分解法的核心依据是：若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0，即若A·B = 0，则A = 0或B = 0。 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： · 将方程整理为一般形式，使右边为0； · 将左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积，常用分解方法包括提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法； · 令每个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程； · 解一元一次方程，得到原方程的两个根。 三种解法的适用场景对比： 解法 适用方程特点 优势 直接开平方法 可化为完全平方式等于常数的形式 计算最简单，步骤最少 因式分解法 左边易于因式分解、右边为0 计算简便，求解速度快 公式法 所有一元二次方程 通用性强，不需要复杂变形 配方法 二次项系数为1、一次项系数为偶数 常用于推导公式、代数式变形 六、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 如果一元二次方程ax2+bx+c= 0（a≠ 0）的两个实数根是x₁，x₂，那么根与系数满足如下关系： x₁ + x₂ = ，x₁x₂ = 利用韦达定理可以解决很多不需要求出方程根的问题，比如已知方程的一个根求另一个根、求关于根的对称式的值、已知两根的关系求方程中的参数值等。 25.3 实际问题与一元二次方程 一、列一元二次方程解实际问题的一般步骤 列一元二次方程解实际问题的步骤可以概括为“审、设、列、解、检、答”六步： · 审：认真审题，明确题目中的已知量和未知量，找出等量关系； · 设：设未知数，分为直接设未知数（直接设题目要求的量为未知数）和间接设未知数（设和要求量相关的其他量为未知数），根据题目情况合理选择； · 列：根据找到的等量关系，列出一元二次方程； · 解：解列出的一元二次方程，得到未知数的值； · 检：检验方程的解是否符合实际问题的意义，不符合实际意义的解要舍去； · 答：写出最终答案，注意单位完整准确。 和一元一次方程解决实际问题不同，一元二次方程通常会有两个解，必须要检验两个解是否符合实际情境，很多时候会有一个解不符合题意需要舍去，这是解题中最容易出错的环节。 二、常见实际问题类型及核心公式 1. 增长率（下降率）问题 增长率问题是一元二次方程最常见的应用类型，核心模型为： a(1 ± x)n=b 其中：a是增长（下降）前的基础量，x是平均增长（下降）率，n是增长（下降）的次数，b是增长（下降）后的总量。增长用加号，下降用减号。 常见考法：已知初始量和两次增长后的最终量，求平均增长率，此时n=2，直接代入公式即可。 2. 传染问题 传染问题的本质和增长率问题类似，核心模型是：每轮传染中平均一个人传染x个人，初始有m个传染源，经过两轮传染后总感染人数N满足： m(1 + x)2=N 需要注意：传染问题中，原来的传染源在传染后仍然属于感染人数，所以公式是在原来基础上乘以(1+x)，而不是仅仅新增感染人数，这是易错点。 3. 面积问题 面积问题通常需要结合几何图形的面积公式，通过割补法表示出所求图形的面积，进而列出方程。常见考法包括： · 在矩形空地修等宽的小路，剩余面积种植作物，求小路宽度； · 利用已知长度的围栏，借助一面墙围矩形场地，求面积和边长的关系； · 图形截去四周的边框，得到内部矩形的面积，求边框宽度。 解题技巧：对于等宽小路问题，可以通过平移将分散的种植区域合并为一个新的矩形，新矩形的长和宽分别是原矩形长和宽减去两倍（或一倍）小路宽度，计算更简便。 4. 利润（销售）问题 利润问题的核心公式： · 单件利润 = 售价 - 进价（成本） · 总利润 = 单件利润 × 销售量 = 总销售额 - 总成本 常见考法：当售价上涨x元时，销售量会减少kx件；售价下降x元时，销售量会增加kx倍，题目给出总利润，求定价或涨降的幅度。解题时只需要根据上述公式分别表示出单件利润和销售量，相乘得到总利润后即可列出方程求解。 5. 循环问题 循环问题分为单循环和双循环两种： · 单循环：每两个主体之间只进行一次互动（比如握手、比赛一场），若总共有n个主体，总互动次数为； · 双循环：每两个主体之间进行两次互动（比如主客场比赛，互送礼物），若总共有n个主体，总互动次数为n(n-1)。 题目给出总互动次数，求解主体数量n，直接根据上述关系列方程即可。 【类型一】一元二次方程的定义与解 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程，符合题意； D、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意. 2．在下列方程中，是方程的根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．当时，，不是方程的根； B．当时，，不是方程的根； C．当时，，是方程的根； D．当时，，不是方程的根． 3．已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，得到未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列方程即可求解． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程； 解得，即； 由得． ． 【类型二】一元二次方程的一般形式 1．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．4，1，3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程一般式的概念，解题思路是将原方程展开，移项合并同类项整理为一般形式，即可对应得到，，的值． 【详解】解：把一元二次方程化成一般式：， 对比一般式，可得，，． 2．将一元二次方程化为一般形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题将原方程依次进行去括号、移项、合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式，即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为 ， 先去括号，可得 ， 将所有项移到等号左侧，移项变号得 ， 合并同类项得 ． 3．将一元二次方程化为一般形式为______，其一次项为______． 【答案】 【分析】利用完全平方公式展开左边，再移项，合并同类项得到一般形式，再根据定义确定一次项． 【详解】解：将原方程左边展开，得， 移项，合并同类项，得， 因此原一元二次方程的一般形式为， 其一次项为． 【类型三】列一元二次方程 1．2024年8月20日，巴黎奥运表彰大会在北京隆重举行，在庆功聚会上，每2位参与者都热情地握了一次手以表达友谊，据统计，所有人共握手79800次，设有x人参加这次聚会，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，属于握手问题，解题思路是先确定每人的握手次数，再去掉重复计算的部分，根据总握手次数列出方程． 【详解】解：∵设有人参加聚会， ∴每个人需要和除自身外的人握手， 又∵每两人之间仅握手1次，上述计算中每一次握手被重复计算了1次， ∴总握手次数为，结合题意总握手次数为次， 可得方程．故选C． 2．南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为平方步，它的宽比长少步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为步，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据宽与长的关系表示出长，再利用矩形面积公式列出方程． 【详解】解：∵设这块田地的宽为步，宽比长少步， ∴长为步， ∵矩形面积等于长乘宽，该矩形面积为平方步， ∴可列方程为． 3．某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物，礼物数共计72件，那么该小组有_____人． 【答案】 【分析】设该小组共有人，每人向其余同学赠送一件礼物，可得每人赠送件礼物，根据总礼物数为件建立一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果． 【详解】解：设该小组有人，根据题意，得： ， 整理得， 因式分解得， 解得，， 因为人数为正整数，所以舍去， 即该小组有9人． 【类型四】解一元二次方程一直接开平方法与配方法 1．方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程，若一个数的平方等于0，则这个数为0，即可求出方程的根． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴． 2．用配方法解方程时，将原方程转化为的形式可得____． 【答案】 【分析】先移项，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：∵， 移项得， 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得： ， 整理得． 3．解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得：，； （2）解：， ， ， ， 解得：，． 【类型五】解一元二次方程一公式法 1．我们规定一种新运算“”，其意义为，如，若，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据新定义运算法则列出一元二次方程求解即可. 【详解】解：∵， ∴ 即： 解得： 故选：C ． 2．已知，则______． 【答案】或 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程的求根公式求解，化简判别式后计算得到方程的根． 【详解】解： ∴，，， ∴ ， ∴， 解得或． 3．解一元二次方程： (1) ； (2)； (3)（用配方法解）； (4)（用公式法解）． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，理解一元二次方程解法是解答关键. （1）（2）利用开方法来求解； （3）先配方，再利用开方法求解； （4）先求出，判断根的情况，再利用求根公式求解. 【详解】（1）解：原方程移项得， 开平方得. （2）解：原方程开平方得， 解得. （3）解：移项得 配方得， 即 开平方得 解得. （4）解：由原方程可得， 则， 方程有两个不相等的实数根， ， . 【类型六】解一元二次方程一因式分解法 1．方程的解是（    ） A． B． C．， D．无实数根 【答案】C 【分析】利用因式分解法即可解答． 【详解】∵ 移项得 提取公因式得 ∴或 解得． 2．方程的根是__________． 【答案】， 【详解】解∶∵， ∴或， 解得，． 3．在解方程时，小明的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 小明的解法中第几步开始出现错误？错误的原因是什么？请你写出这道题的正确解答过程． 【答案】小明的解法中第二步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时除以时，没有考虑的情况， 正确的解答过程： 第一步：， 第二步：， 第三步：，即， 第四步：或， 第五步：，． 【分析】由方程两边都除以，没有考虑的情况，这会导致漏解，从而得到错误的步骤及原因，然后把方程移项化为，再利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】略 【类型七】一元二次方程的根与系数关系 1．一元二次方程的两个实数根为，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当方程有两个实数根时，两根之和，据此求解即可． 【详解】解∶∵方程中，， ∴． 2．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值为_____． 【答案】 【分析】先根据方程有两个不相等的实数根确定的取值范围，再利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式求解，最后舍去不符合范围的解得到结果. 【详解】解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，，， ， 解得， 方程的两根为，，   ，， ， ， ∴ ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得： ，， ， 不符合题意，舍去， . 3．已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求的取值范围． (2)若方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得 ，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件得到 ，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根， ∴ ， ∴； （2）解：根据题意，得，， ∵， ， ∴． 【类型八】一元二次方程的应用—数字问题 1．三个连续奇数的平方和是371，则这三个奇数中最小的是（   ） A． B．9 C．或9 D．或9 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决数字问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 本题可通过设中间的奇数为未知数，利用连续奇数的差为2表示出另外两个奇数，再根据平方和为371列一元二次方程求解． 【详解】解：设三个连续奇数中间的数为，则最小的奇数为，最大的奇数为，根据题意得， 解得， 当时，最小的奇数为； 当时，最小的奇数为； ∴这三个奇数中最小的是或9， 故选：C． 2．在2024年12月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，则这个最小数为____ 【答案】 【分析】设最小的数为x，则最大的数为，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：设最小的数为x，则最大的数为， ， ∴， ∴（舍去）， ∴这个最小数为. 3．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小4，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小18，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为53 【分析】本题主要考查了列代数式，列一元二次方程解决数字问题，解题的关键是根据题意列出代数式． 设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据题意表示出两位数，然后列出方程求解即可． 【详解】解：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为， 依题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴． 答：原来的两位数为53． 【类型九】一元二次方程的应用一传播问题 1．冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最初有人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了人，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据每轮传染中所有病人均参与传染，两轮后总人数为初始人数乘以，即可作答． 【详解】解：∵最初有人患流感， ∴第一轮传染后，患病人数为， ∴第二轮传染后，患病人数为 ∵两轮传染后该班级共有32人患流感， ∴可列方程为． 2．冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为__________． 【答案】或 【分析】根据传染模型，每轮传染中所有病人均参与传染，两轮后总人数为初始人数乘以的平方，即可作答． 【详解】解：∵初始患流感人数为1， ∴第一轮传染后，患流感人数为 ∴第二轮传染时，有人，每人传染x人， ∴ 新传染人数为， ∴第二轮后总患病人数为， 又∵ 两轮后共有16人患流感， ∴. 3．近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染． (1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 【答案】(1)每轮感染中平均一人传染4人 (2)三轮后共有125人被感染 【分析】（1）设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据经过两轮传播后，共有25人感染，列出方程，解方程即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 答：每轮感染中平均一人传染4人． （2）解：人 答：三轮后共有125人被感染． 【类型十】一元二次方程的应用一增长率、降低率问题 1．随着“云花”品牌全球影响力不断提升，一朵朵鲜切花源源不断地走向国际市场．据昆明海关统计，2023年云南省鲜切花出口值达5.7亿元，2025年云南省鲜切花出口值达12.2亿元．如果设这两年出口值的年平均增长率为x，那么根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平均增长率的计算方法，逐年推导2025年出口值的表达式，即可得到对应方程． 【详解】解：∵设年平均增长率为，2023年出口值为亿元， ∴2024年出口值为亿元， ∴2025年出口值为亿元， 又∵2025年出口值为亿元， ∴可列方程为． 2．2026年3月，国际金价回调，国内金店同步降价．某品牌足金从1400元/克连续两次下调，现降至1260元/克，若两次降价的降低率相同，求该降低率．设两次降价的降低率为，可列方程为____________． 【答案】 【分析】根据降低率问题的数量关系，结合两次降价后的现价即可列出对应方程． 【详解】解：设两次降价的降低率为． 第一次降价后的价格为元/克， 第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行降价，因此第二次降价后的价格为元/克， 已知两次降价后价格为元/克， 因此可列方程． 3．某工厂改进生产线后，某零件日产量从第一周的500件增加到第三周的605件．若第二周、第三周相对于前一周的增长率相同． (1)求每周平均增长率； (2)按此增长率，第四周日产量预计为多少件？ 【答案】(1) (2)666件 【分析】（1）设该厂每周平均增长率为，根据题意列出，即可得到答案； （2）根据增长率列出计算式即可． 【详解】（1）解：设该厂每周平均增长率为， ， 解得，（舍去）， 故增长率为； （2）解：件， 答：第四周日产量预计为件． 【类型一】一元二次方程的根的情况 1．方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再计算根的判别式，根据判别式与0的大小关系即可判断根的情况． 【详解】将原方程整理为一般形式，得， ∴根的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 2．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程定义可得二次项系数不为0，方程有两个不相等的实数根可得判别式大于0，联立不等式即可求解k的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴ ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得 综上，的取值范围是且． 3．如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义得出，根据有实数根得出判别式，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是且． 【类型二】根与系数关系变形求值 1．已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴， 将，代入上式，原式， 故选B． 2．已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．-3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根和与两根积，代入计算即可得到结果． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ． 3．已知a，b是方程的两个根，则的值________ 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系求出与的值，判断的符号，再对所求二次根式进行化简，最后整体代入计算即可． 【详解】解：，是方程的两个根， 由根与系数的关系得，． ，， ，． ∴ ． 【类型三】赋根求值 1．若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据，，得到当时，满足一元二次方程，即可得出结果. 【详解】解：∵系数a，b，c满足，， ∴当时，使一元二次方程成立， 即方程的解为，. 2．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，通过变形将所求方程转化为与已知方程形式一致的式子，利用已知方程的解来求解新方程的根是解题关键． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴ ∴． ∴一元二次方程必有一根为． 故选：C． 3．若，则一元二次方程的一个根为 _____． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入方程，对比已知条件即可得到方程的一个根． 【详解】解：将代入， 得， ， 当时，成立， 根据一元二次方程的解的定义，可知该一元二次方程一定有一个根为2． 【类型四】整体换根 1．关于的方程的根是（均为常数，），则关于的方程的根是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程变形为，对照已知方程及其根得出或，求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的根是， ∴关于的方程，即满足或， 解得：． 2．小安同学发现：关于的两个一元二次方程：①，②（，，均为常数，且）的解存在某个数量关系．若已知的解为，，则方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用换元法和方程的解的定义求解，设，由的解为，得到一元二次方程的解，再把方程变形为，令，可得，通过对应关系求出方程的解． 【详解】解：设， ∵ 的解为，， ∴ ，， 即的解为，， 对方程两边同乘，得， 即， 令，可得， ∴ 该方程的解为，， 即，， 解得，． 3．关于的方程的根是，（，，均为常数且），则关于的方程的所有实根之和是______． 【答案】 【分析】先对所求方程进行整理配方，通过换元法得到所求方程的根与已知方程根的关系，求出所求方程的两个实根即可解答． 【详解】解：对方程进行整理： ， 配方得： ， 变形得： ， 令，则原方程变为， 已知方程的根为，， 因此，， 即或 解得，， 所有实根之和为． 【类型五】新定义运算 1．定义一种新运算，当时，的值为（   ） A． B．4 C．3 D．4或 【答案】D 【分析】先由新定义将转化为方程，再由配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：由新定义可知， ， 则， ， 则或， 解得或． 2．对于任意两个实数，定义运算“”：．若，则的值为（    ） A． B．2 C．1或 D．或2 【答案】D 【分析】根据给定的运算法则即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 3．对于实数，，定义运算“”：，例如：．根据此定义，则方程的根为______． 【答案】， 【分析】根据题意的新运算即可将改为关于x的一元二次方程，解出方程即可． 【详解】根据题意可知， ∴，即． ∴ ∴． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算及解一元二次方程．理解题意是解答本题的关键． 【类型六】一元二次方程的应用一图形问题 1．春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设小路的宽为，根据矩形的面积公式（将绿化区域合并成矩形），进而即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设小路的宽为，则绿化区域的长为，宽为， 根据题意，得． 2．2026年4月，在成都举办的中国教育装备展示会上，正式发布了《中小学信息科技实验室建设与装备规范》．如图，某中学计划修建信息科技实验室，准备扩建一块长，宽的矩形场地，若该场地的长和宽都增加，则扩建后的矩形场地面积为．根据题意，可列方程为______． 【答案】 【分析】由题意，扩建后的矩形场地长为，宽为，根据扩建后的矩形场地面积为列一元二次方程即可． 【详解】解：由题意，扩建后的矩形场地长为，宽为， ∴． 3．为加强劳动教育，丰富学生实践活动，某校生物社团利用总长为8米的篱笆在两面互相垂直且足够长的围墙边围出一块面积为15平方米的矩形菜地，如图所示． (1)求矩形菜地的长和宽． (2)现要给这块菜地施肥，该社团计划购买、两种化肥共20千克．已知种化肥每千克8元，每千克可给1平方米的菜地施肥；种化肥每千克6元，每千克可给0.6平方米的菜地施肥．假设菜地的一部分施种化肥，另一部分施B种化肥，请通过计算说明应如何购买化肥，既能完成施肥任务，又能使总花费最少？ 【答案】(1)矩形菜地的长为5米，宽为3米 (2)购买种化肥7.5千克，种化肥12.5千克，既能完成施肥任务，又能使总花费最少 【分析】（1）根据矩形菜地的面积为15平方米，列一元二次方程进行求解． （2）设购买种化肥千克，根据“要给15平方米的菜地施肥”，可列不等式，确定的取值范围，再根据“总花费=种化肥的花费+种化肥的花费”，列出总花费与的函数关系式，最后确定购买方案． 【详解】（1）解：设矩形菜地的宽为米，则长为米， 由题意，得， 解得，（舍去）， （米）． 答：矩形菜地的长为5米，宽为3米． （2）解：设购买种化肥千克，则购买种化肥千克，总花费为元， 由题意，得， 解得． 由题意，得， ∵， 随的增大而增大， 当取最小值，即时，取最小值， 此时． 答：购买种化肥7.5千克，种化肥12.5千克，既能完成施肥任务，又能使总花费最少． 【类型七】一元二次方程的应用—循环比赛问题 1．我校组织“求实杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了场，设共有个班参加比赛，根据题意，下列方程正确的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环赛制的特点，推导总比赛场数的表达式，结合已知总场数列出方程，判断正确选项． 【详解】解：∵共有个班参加比赛，单循环赛制中每个班需要和除自身外的个班各赛一场， 又∵两个班之间只赛一场，上述计算中每场比赛被重复计算了一次， ∴总比赛场数为， ∵总比赛场数为21， ∴列方程得． 2．某学校进行初二年级篮球比赛，赛制为单循环（两支队伍只赛一场），总共进行了45场比赛，那么这个学校初二年级有__________个班级． 【答案】 【分析】设初二年级共有个班级，单循环赛制中，每支队伍需要和其余所有队伍各赛一场，每场比赛会被重复计算一次，因此总比赛场次为，列一元二次方程求解，取符合题意的正整数解即可得到结果． 【详解】解：设这个学校初二年级有个班级，则比赛总场次为， ，整理得， 因式分解得 ， 解得． 班级个数为正整数，不符合题意，舍去． 因此，即这个学校初二年级有个班级． 3．为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)本次比赛参赛队伍个数为16队 (3)能，参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分 【分析】（1）先求出A组、B组队伍数同为5个班级，且每个小组内场次为场，进而求出结论； （2）设A组、B组队伍数均为x队，列方程求解即可； （3）设A组有y队，则B组有队，列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵该校八年级共有10个班级参加比赛， ∴A组、B组队伍数一样多，同为5个班级， ∴每个小组内场次为场， ∴小组赛结束后，全部队伍累计总得分共分； （2）解：因为参赛队伍总数为偶数个， 所以A组，B组队伍数一样多． 所以设A组、B组队伍数均为x队．则， 解得，（不符合题意，舍去）， 则队， 答：本次比赛参赛队伍个数为16队； （3）解：能，理由如下： 因为参赛队伍总数为奇数，所以设A组有y队，则B组有队． 所以， 解得，（不符合题意，舍去）， 所以， 则队， 答：参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分． 【类型八】一元二次方程的应用—销售问题 1．第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． (1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； (2)从5月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，已知徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，5月销售利润达8400元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，根据题干条件列出一元二次方程，取符合题意的值即可； （2）设该款徽章降价元，根据5月销售利润达8400元，列出一元二次方程，取符合题意的值即可． 【详解】（1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意，可得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为． （2）设该款徽章降价元，则每枚的利润为元，月销售量为枚， 根据题意，可得， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：当该款徽章降价8元时，5月销售利润达8400元． 2．APEC会议预计于2026年11月在深圳举行，这是中国第三次担任此会议的东道主，为让学生更加了解此次会议，学校想要组织学生手工制作联名产品帆布袋，需要购入原材料帆布袋和染料．已知购入4个帆布袋和2套染料共需104元，6个帆布袋和5套染料共需196元． (1)求帆布袋与染料的单价； (2)制作1个成品帆布袋需要1个帆布袋原材料，1套染料可以制作5个帆布袋，不计其余耗材及人工成本；该成品原定售价30元，平均每周可卖出100个；若单个售价每上涨1元，每周销量减少5个．若文创中心想要每周获利1125元，售价应定为多少元？ 【答案】(1)每个帆布袋单价为 16 元，每套染料单价为 20 元 (2)售价应定为 35 元 【分析】（1）设未知数建立方程组求解帆布袋与染料的单价即可； （2）根据利润公式建立方程求解售价即可． 【详解】（1）解：设每个帆布袋单价为x元，每套染料单价为y元． 根据题意列二元一次方程组， 解得， 答：每个帆布袋单价为16元，每套染料单价为20元； （2）解：每套染料可制作5个帆布袋，单个帆布袋分摊染料成本（元）， 单个成品帆布袋总成本：（元）， 设单个售价上涨m元， 则由题意可列方程， 解得， 此时售价：（元）， 答：售价应定为35元． 3．问题情境：综合与实践小组的同学到某食品直营店研学，对该店销售的上海产的“梨膏糖”的生产和销售情况进行了数据收集和信息整理，结果如下： 信息1：该店每日生产的这款“梨膏糖”当日全部售完． 信息2：该店这款“梨膏糖”日产量（千克）的范围是． 信息3：该款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的关系如下表所示． 信息4：该款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的关系可用如图的平面直角坐标系中的线段所示． 日产量（千克） 30 60 90 120 每千克的成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据收集的信息，该“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的变化规律可用学习过的函数模型刻画，其函数关系式为 （无需写定义域）； (2)①该“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的函数关系式为 ； ②该款“梨膏糖”每千克的售价最高是 元，理由是 ； (3)已知销售部计划将某日该款“梨膏糖”的销售利润定额为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的产量应该定为多少比较合理？请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；随的增大而减小，因此当时，取得最大值 (3)当日该产品的产量应该定为千克比较合理，理由如下： 根据题意可列方程：， ∴， 整理，得， 解得，， 当时，总成本为（元）；当时，总成本为（元）， ∴当日该产品的产量应该定为千克，总成本更低，更合理． 【分析】（1）容易判断与成一次函数关系，使用待定系数法求出关系式即可； （2）①使用待定系数法求出函数关系式；②利用一次函数的增减性结合的取值范围求出的最大值； （3）根据题意列出方程，求解出的值，对比两种方案的总成本即可得出结论． 【详解】（1）解：由表格可知，日产量每增加千克，每千克的成本会下降元， ∴与成一次函数关系， 设， 将，；，，代入，得， ， 解得， ∴； （2）解：①设， 将，；，，代入，得， ， 解得， ∴； ②∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴当时，取得最大值（元）． （3）略 【类型九】一元二次方程的应用一规律问题 1．【观察思考】 【规律发现】 (1)第5个图案中“◎”的个数为_____； (2)第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，．．．，第个图案中“★”的个数可表示为_____． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“◎”的个数的3倍． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图形得出规律即可； （2）根据题意得出规律即可； （3）根据题意可知第个图案中“◎”的个数为个，，故可得出方程，解出的值即可． 【详解】（1）解：∵第1个图案中“◎”的个数为个； 第2个图案中“◎”的个数为6个； 第3个图案中“◎”的个数为9个； 第4个图案中“◎”的个数为12个； …… 第个图案中“◎”的个数为个； ∴当时，“◎”的个数为个． （2）解：结合题干信息，得出规律， 第个图案中“★”的个数可表示为． （3）解：第个图案中“◎”的个数为个， ∵， 结合题意，得出方程， 化简得， 解得（舍去）或． 2．【观察思考】如图，“五一”劳动节期间，政府广场上用盆景（用“☆”表示）和花卉（用“☐”表示）组成图案． 【规律发现】 (1)第7个图案中盆景的盆数为____________； (2)第个图案中花卉的盆数可表示为____________（用含的式子表示）； 【规律应用】 (3)若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共121盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆． 【答案】(1)8 (2) (3)盆景和花卉的盆数分别为11盆，110盆． 【分析】（1）根据盆景的盆数比序号数多1解答； （2）先写出前4个图案花卉的盆数，再得出数字变化规律，即可得出答案； （3）先表示出第n个图案有盆景的盆数，再根据题意得出方程，然后整理成完全平方公式的形式，开方可得方程的解． 【详解】（1）解：第1个图案有盆景的盆数为2； 第2个图案有盆景的盆数为3； 第3个图案有盆景的盆数为4； 第4个图案有盆景的盆数为5； 第7个图案有盆景的盆数为8； （2）解：第1个图案有花卉的盆数为； 第2个图案有花卉的盆数为； 第3个图案有花卉的盆数为； 第4个图案有花卉的盆数为； 第n个图案有花卉的盆数为； （3）解：由（1）可知第n个图案有盆景的盆数为，则根据题意，得， 即， 解得或（不合题意，舍去）， 则，， 答：该图案中盆景和花卉的盆数分别为11盆，110盆． 3．【观察思考】 【规律发现】请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为…，第个图案中“★”的个数可表示为 ． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的3倍． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 （1）通过观察图形中“”的数量规律，求出表达式即可； （2）通过观察图形中“★”的数量规律，求出表达式即可； （3）根据题意，列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1） 解：第1个图案中“”的个数为， 第2个图案中“”的个数为， 第3个图案中“”的个数为， 第4个图案中“”的个数为， 第个图案中“”的个数为． （2）解：第1个图案中“★”的个数可表示为， 第2个图案中“★”的个数可表示为， 第3个图案中“★”的个数可表示为， 第4个图案中“★”的个数可表示为 … 第个图案中“★”的个数可表示为． （3）解：由（2）得，，，，， 则， 由题意可得，， 即，化简可得， 解得或， 为正整数， ． 【类型一】降次法 1．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，这种方法称为“降次法”，这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，先求得，代入即可得出答案． 【详解】∵ ， ∴ ∴ ∴ 又 ∵ ， ∴ ∴ 故选 B. 2．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求代数式的值，解一元二次方程． 利用已知方程得到，通过降次法将化简为，再结合求得的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 解方程得， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”，已知，可用“降次法”求得的值是________． 【答案】 【分析】根据题意，将化为，再逐步代入代数式进行求值即可． 【详解】解： ． 【类型二】一元二次方程的估算 1．根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 2．根据下面的表格，估计方程的一个正数解x的大致范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：通过表格可知，当时， ， 当时，输出值为， ∴当时，． 3．设方程的正根介于整数与之间，则____________． 【答案】2 【分析】本题考查解一元二次方程，估算无理数的大小，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法解出的方程后利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：2． 【类型三】特殊解法一换元法 1．解方程时，令，那么换元后去分母整理得到的整式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原方程中对应部分用换元后的y替换，再对分式方程去分母整理得到整式方程即可解答． 【详解】解：∵令，可得 将其代入原方程得： 方程两边同乘（）去分母得：， 移项整理得：， 因此换元后整理得到的整式方程为． 2．若x、y为实数，且，则_____ 【答案】4 【分析】令，代入得到关于的方程，利用因式分解法解方程，再根据，即可得解． 【详解】解：令，代入得， 整理得：， ， 或， 或， ，， ， ，即． 3．【材料阅读】 已知实数m，n满足，试求的值． 解：设， 则原方程可化为，即，解得． ， ． 上面这种解方程的方法属于转化的数学思想，即在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（换元），则能使复杂的问题简单化． 【方法应用】 请仿照材料中的方法解决下列问题： (1)已知，求的值． (2)解方程：． (3)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，则原方程可化为，求出，再根据，得到，即可解答； （2）设，则原方程可化为，求出，再根据，得到，求出x的值即可； （3）设，则原方程可化为，求出，得到或，进而求出x的值即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为 ， ， ， 解得， ∵， ∴； （2）解：设，则原方程可化为 ， 解得， ∵， ∴， 解得； （3）解：原方程可化为， 设，则原方程可化为 解得， ∴或， 即或， 解得，． 【类型四】特殊解法一换根法 1．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得：，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，利用“换根法”求一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍； (2)求解这个新方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程； （2）根据配方法求解即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得：， 故所求方程为； （2）解：， ， ， ， ∴，． 2．阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程，得．化简，得．故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数； (2)已知关于x的一元二次方程（为常数，）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程： （1）设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，即可求得答案； （2）设所求方程的根为，则，所以，把代入方程，即可求得答案． 【详解】（1）设所求方程的根为，则，所以. 把代入已知方程，得，故所求方程为. （2）设所求方程的根为，则， 所以. 把代入方程． 得. 去分母，得． 若，则有，即， 可得有一个解为，因为要求方程有两个不为0的根，所以不符合题意． 故，故所求方程为． 3．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：_____________． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，直接写出一元二次方程的两根为_____________． 【答案】(1) (2) (3)、 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是掌握换根法的使用； （1）根据题意，设所求方程的根是，则，所以，然后把代入原方程，化简可求； （2）根据题意，设所求方程的根是，则，所以，然后把代入原方程，化简可求； （3）由（2）可知，对方程两边同时除以，得，则方程的两根是两根的倒数，进而求解． 【详解】（1）解：设所求方程的根是，则，所以， 把代入，得， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根是，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得； （3）解：由（2）可知，对方程两边同时除以， 得， 则方程的两根是两根的倒数， 所以方程的两根分别是、， 故答案为：、． 【类型五】特殊解法—十字相乘法 1．由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式： (1)尝试：分解因式： ； (2)应用：请运用“十字相乘法”解方程： 【答案】(1)1；5 (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用“十字相乘法”进行因式分解，即可求解； （2）利用“十字相乘法”将方程左边因式分解可得，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：1；5 （2）解：将方程左边因式分解得， ∴或， 解得：． 2．多项式乘法：．将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：． 运用上述方法，解下列方程． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法中的因式分解法． （1）类比题干因式分解方法求解； （2）类比题干因式分解方法求解． 【详解】（1）解：， ， ， 或， 解得：； （2）解：， ， ， 或， 解得：． 3．由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的式子：． 实例：分解因式：． (1)尝试：分解因式：． (2)应用：请用上述方法解方程：． 【答案】(1)3，4 (2)， 【分析】（1）利用“十字相乘法”进行因式分解即可； （2）首先将方程左边用“十字相乘法”进行因式分解，进而求解即可． 【详解】（1）； （2）， 分解因式得：， 可得或， 解得：，． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 【类型六】配方法的应用 1．对于二次三项式，可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使中的前两项与构成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，最后再用平方差公式进一步分解．于是．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做配方法． (1)如果（   ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为 ； (2)用“配方法”分解因式：； (3)用“配方法”分解因式：． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方式的结构特征确定常数项； （2）按照题干给出的配方法，先凑出完全平方式，再利用平方差公式分解因式； （3）先提取公因式，利用配方法分解因式即可． 【详解】（1）解：设括号内的常数为， 由于是完全平方式， 则， 解得：， 因此，括号内的常数应为； （2）解： ； （3）解： ． 2．阅读下列材料： 材料一 “”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ，， 解决下列问题： (1)填空： ． (2)已知，求的值． (3)比较代数式与的大小，并说明理由 【答案】(1)；1 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1），再根据完全平方公式进行配方； （2）将原式变形为，再由非负性求解； （3）利用作差法结合配方法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ∵ ∴， ∴ ∴； （3）解：，理由如下： ∵ ∴， ∴ ∴． 3．配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值．最小值等，例如：求代数式的最小值，解法如下： 解： ∵，∴．∴的最小值是3． 根据材料中的方法，解答下列问题： (1)若，求的值． (2)求代数式的最小值． (3)用配方法说明：不论x为何值；代数式的值总是正数． 【答案】(1) (2)最小值为3 (3)见解析 【分析】（1）先配方，再由完全平方和绝对值的非负性求解即可； （2）将原式配方成，即可求解最小值； （3）将原式配方成，即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解： ∵ ∴ ∴的最小值为3； （3）解： ， ∵， ∴， ∴ ∴不论x为何值；代数式的值总是正数． 【类型七】对称式 1．解答下列各题： (1)已知实数是方程 的两根，求 的值； (2)已知实数满足 ，且，求 的值； (3)若两个不相等的实数满足 ，求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据根与系数的关系求出和的值，再利用完全平方公式将转化为，代入计算即可； （2）先将变形，再结合，判断与是同一个方程的两个根，最后根据根与系数的关系求出的值； （3）联立方程作差，化简得出的关系，代入方程后利用根与系数的关系求，进而得． 【详解】（1）解：∵是方程 即的两个根， ∴，， ∴； （2）解：两边同时除以9，可得， ∵，，且，即， ∴与是方程，即的两个不相等的实数根， 对于方程， 由（1）得两根之积为，即， ∴； （3）解： ，得 ， ， ∵， ∴方程两边同时除以得，， ∴， ∴③， ④， 将④代入①，得 ， ， 将③代入②，得 ， ， ∴是一元二次方程 的两个根， ∴， ∴． 2．学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程展开探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金数”，求“黄金数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）将代入，得，解方程求出正根即可. （2）将变形为，结合，得出a，是一元二次方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数关系即可解答. （3）根据①，②，得出，结合得出③，④，将④代入①，得,将③代入②，得，得出p，q是一元二次方程的两个根，即可求得． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， ∴“黄金数”为； （2）解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴a，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴． （3）证明：∵①，②, ∴，得， ∴ ∵， ∴， ∴③，④， 将④代入①，得， ∴， ∴ ， 将③代入②，得， ∴， ∴， ∴p，q是一元二次方程的两个根， ∴． 3．阅读材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比探究：已知实数，满足，．________． (3)思维拓展：已知实数、、满足、，且，求的最大值． 【答案】(1)， (2)2或 (3)7 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）分类讨论，当时，，当时，由题意得出、可看作方程的解，据此知，，将其代入计算可得； （3）由，，将、看作是方程的两实数根，然后通过根的判别式即可求解． 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得，； 故答案为：；； （2）解：当时，符合题意，则， 当时， ，， 、可看作方程的两个根， ，， ， 故答案为：2或； （3）解：，， 将、看作是方程的两实数根， ， ， ， 则， ， ， ， ， 的最大值为7． 【类型八】一元二次方程的应用一几何动点 1．如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为． (1)_____cm，________cm（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据点从点开始沿边向终点以的速度移动，可以求得； （2）用含的代数式分别表示和的值，运用勾股定理求得为据此求出值； （3）分、、三种情况进行讨论，结合三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：，， ∵， ∴； （2）解：由题意得：， 解得：（舍去），； 当时，的长度等于； （3）解：存在， 根据题意可知，，， ①当时，， ， 整理得：，解得或（舍去）； ②当时，， ， 整理得：， ，方程无解； ③当时，， ， 整理得：，解得（舍去）或； 综上，当或时，三角形的面积等于． 2．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． (4)点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 【答案】(1) (2) (3)11，12 (4)可以 【分析】本题围绕三角形中的动点问题，结合等腰三角形性质与一元一次方程应用展开．需分情况讨论点Q的位置（段、段），利用线段长度关系、等腰三角形的边相等条件建立方程求解；对于周长平分问题，需分析各段路径下线段和的关系来判断是否存在满足条件的． 【详解】（1）点从向运动，速度为，运动时间为，则． 已知，由，可得． （2）点从向运动，速度为，， 故在上时，运动时间满足． 当是等腰三角形时，，则两腰为与 由，，令， 即， 解得． 验证：，符合在上的条件． （3）当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图1，则． ∵， ∴． 又∵ 在中，， ∴． ∴． ∴． ． 已知点的速度为，故． 当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图2，则． ． ∴． 综上所述，当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． （4）周长为，若平分周长，则每部分为． 若在上，（）： ，，则， 令，得，但，不符合在上的条件． 若在上（）： ，． 周长被分成和， 即，与． 令，得（符合）； 验证：时，，，和为； ，，，和为，确实平分． 【点睛】本题核心是利用动点的速度与时间表示线段长度，结合等腰三角形的边相等性质建立方程，同时注意分类讨论点的位置（段、段）及等腰三角形的底边情况．周长平分问题需明确周长的组成与分割方式，通过方程求解并验证范围合理性． 3．如图，在矩形中，．点从点出发，沿运动，速度为每秒2个单位长度；点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为（秒）．连接． (1)点运动到点时，___________；当点运动到点时，的长度为___________． (2)用含的代数式表示的长． (3)当的面积为9时，求的值． 【答案】(1)， (2)当时，；当时，；当时，； (3)当的面积为9时或 【分析】本题考查了矩形的性质，列代数式，一元二次方程的几何动点问题，三角形的面积等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）点P到点C时，所走路程为，根据速度可得出t的值，当点Q到终点时，P点回到中点，可直接求出； （2）分三种情况讨论：点P在上时，时，时，再逐个情况作图，结合动点的速度和方向进行列式表示的长，即可作答． （3）当的面积为9时，类似（2）分三种情况进行讨论可得出结果． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∴， 则点到点时，所走路程为， ∵速度为每秒2个单位长度 ∴， ∵点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度， ∴当点到终点时，， 则点的运动路程为， ∵点从点出发，沿运动，速度为每秒2个单位长度， ∴此时点P在边上， ∴点回到中点， ∴， 故答案为：，； （2）解：分三种情况： ①点P在上时， 则 即，如图所示： 故； ②点P在时， 则， ∴，如图所示： 此时 ③点P在时， ∴ 则，如图所示： 此时； （3）解：①点P在上时，，如图所示： 则，，， ， 解得：，（舍去） ②点P在时，，如图所示： 同理得， ， 解得： ③点P在时，，如图所示： 同理得， ， 解得（舍去） 综上所述，当的面积为9时，则或． 【类型九】一元二次方程的新定义应用 1．定义：若关于x的一元二次方程的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为． 现探究以下问题： (1)“快乐方程”的“快乐数”为______； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”． (3)对于“快乐方程”（b、c为整数），若其“快乐数”（n为正整数），且方程的两根，满足，求该方程的“快乐数”所有可能的值． 【答案】(1) (2)， (3)所有可能的快乐数为和 【分析】（1）根据“快乐数”的定义求解； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）首先表示出 ，得到，然后利用根与系数的关系得到，，表示出 ，得到，根据题意求出或4，进而求解即可． 【详解】（1）解：方程的“快乐数”为 ； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又∵方程是“快乐方程”，且m为整数， ∴方程的根为整数， ∴为完全平方数， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， ∴， ∴其“快乐数”数是； （3）解：根据题意得， ， ∴， ∵方程的两根为，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵是“快乐方程”， ∴，是整数， ∴是整数， ∵n为正整数， ∴n为完全平方数， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴或4， ∴ 或． 2．我们知道一元二次方程的两根为，，若其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为倍“梅石花”方程，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程的两根为，，则称这样的方程为“状元来”方程． (1)根据上述定义，请判断：是_________倍“梅石花”方程； (2)若关于的方程是倍“梅石花”方程，直接写出的最小值是_________． (3)若方程为“状元来”方程，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． （1）利用因式分解法解方程可得，由此即可得； （2）设这个方程的两个根为，则可得，，将代入化简即可得；化简可得，再根据可得，由此即可得； （3）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，则可得，代入化简即可得证． 【详解】（1）解：， ， 解得， ∵， ∴是4倍“梅石花”方程， 故答案为：4． （2）解：设这个方程的两个根为， ∴，， ∴， ∴，为正整数， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为1， 故答案为：1． （3）证明：∵可化成， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 3．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)判断方程是否是“邻根方程”，并说明理由； (2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； (3)若关于的方程（，是常数，且）是“邻根方程”，试求出代数式的最大值． 【答案】(1)不是“邻根方程” (2)或； (3)的最大值为16 【分析】（1）先解方程，再结合新定义可得答案； （2）先解方程，再利用新定义建立方程，再解方程即可； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出t最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：，， ∵，不符合邻根方程的定义， ∴不是邻根方程； （2）解：∵关于x的方程是邻根方程， ∴解方程可得：， ∴， ∴， 故或； （3）解：∵关于x的方程（a、b是常数）是邻根方程，设两个根分别为、， ∴， 由根与系数的关系：， ∴， ∴， 设， ∴， ∴当时，， 答：代数式的最大值为16． 【类型十】特殊方程一无理方程 1．转化思想是常用的数学思想之一，利用转化思想，我们可以解一些新的方程，如下面的无理方程（根号下含有未知数的方程）． 解方程： 解：两边平方，得． 解得，． 经检验，是原方程的根，不是原方程的根． 所以原方程的根是． 由上面解题思路可知，无理方程两边同时平方后可以转化为整式方程．而“去根号”可能产生不适合原方程的根，所以解无理方程必须验根．请你尝试解决以下问题： (1)解方程： (2)代数式的值能否等于9？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的拓展应用． （1）依照阅读材料中的方法求解； （2）假设，先移项得到，再两边平方，整理可得，两边再次平方可得此方程无实数根，可得的值不能等于9． 【详解】（1）解：两边平方，得， 移项，得， 解得，，． 经检验，是原方程的根，不是原方程的根． 所以原方程的根是． （2）解：不能． 理由如下：假设 移项，得， 两边平方，得． 整理，得， 两边平方，得． ∵此方程无实数根（或该式子不成立） ∴代数式的值不能等于9． 2．阅读理解： 转化思想是常用的数学思想之一，在研究新问题或复杂问题时常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化为一元一次方程来解决的，解分式方程是转化为整式方程来解决的．利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程的关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．因为“去根号”可能产生不适合原方程的根，所以解无理方程也必须检验． 例如：解方程 解：两边平方，得． 解得，． 经检验，是原方程的根，不是原方程的根． 所以原方程的根是． 解决问题： (1)解方程． (2)代数式的值能否等于8？若能，求出x的值；若不能，请说明理由 【答案】(1) (2)不能；理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的拓展应用，读懂阅读材料是解题的关键． （1）依照阅读材料中的方法求解； （2）假设，先移项得到，再两边平方，整理可得，两边再次平方，可得，由该方程无实数根，可得的值不能等于8． 【详解】（1）两边平方，得， 移项，得， 解得，． 经检验，是原方程的根，不是原方程的根． 所以原方程的根是． （2）解：不能． 理由如下：假设， 移项，得， 两边平方，得． 整理，得， 两边平方，得． 此方程无实数根． 所以代数式的值不能等于8． 3．苏科版数学九年级上册课本第1章“阅读”《各类方程的解法》中明确，“转化”是一种重要的数学思想．回顾我们学过的各类方程的解法：解二元一次方程组，把它利用消元法转化为一元一次方程；解一元二次方程，利用直接开平方法或因式分解法，将它转化为解两个一元一次方程；解分式方程，利用去分母的方法，将它转化为整式方程，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如： 解无理方程：； 解：方程两边同时平方，得：， 解这个一元一次方程，得：． 检验：当时，左边右边 所以，是原方程的解． 通过“方程两边平方”，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验． 通过上面的学习，请解决以下两个问题： (1)解无理方程：； (2)如图，在平面直角坐标系中，点，，，求点C的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解无理方程，解题的关键是读懂阅读材料，掌握解无理方程的方法． （1）把无理方程转化为整式方程，解方程即可； （2）设，由得，解方程可得答案． 【详解】（1）解：方程两边平方得：， 解一元二次方程得或， 检验：当时，左边右边， 当时，左边右边， 原方程的解为； （2）解：由题意设，且， ，， ∵， ， ， 两边平方得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴． 1．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）下列关于x的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此逐一验证即可． 【详解】解：选项A：中未说明，当时方程不是一元二次方程， ∴A错误； 选项B：分母含有未知数，是分式方程，且含有两个未知数， ∴B错误； 选项C：整理得，未知数最高次数为3， ∴C错误； 选项D：整理得，符合一元二次方程的定义， ∴D正确． 2．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，利用根的定义得到含的关系式，再整体代入所求代数式求值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入方程得 ， 整理得， ∴． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）若将一元二次方程 转化为的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用完全平方公式将原方程配方为指定形式，即可得到的值． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得 ， 整理得 ， 对比，可得． 4．（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程有两个相等实数根得到判别式为0，结合已知条件整理得到a，b，c的关系，进而判断选项． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，且， ， ， 将代入，得， 整理，得， ， ， 将代入，得， ， 故C正确； ， ， 故A错误； ， 故B错误； ，a的值不确定， 不一定等于， 故D错误． 5．（25-26九年级下·湖南邵阳·阶段检测）某书店今年3月份盈利5000元，5月份盈利6000元．设该书店每月盈利的平均增长率为．根据题意，可列方程为_________． 【答案】 【详解】解：已知3月份盈利元，每月盈利的平均增长率为，则4月份盈利为，5月份盈利为，由题意可得 ． 6．（25-26九年级下·河南郑州·阶段检测）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ________ ． 【答案】/ 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 7．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）已知m，n满足，（m，n是实数，且），则的值为______． 【答案】 【详解】解：由m，n满足，（m，n是实数，且），可知：把m，n看作是一元二次方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：． 8．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由完全平方公式得，再开方可得解； （2）先确定，再求出，然后根据求根公式解答． 【详解】（1）解：， 整理，得， 开方，得， ∴； （2）解：， ， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·安徽淮北·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何实数，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为3，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）求出方程的判别式得出，即可证明； （2）将代入方程，得到关于k的一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）证明：， 无论取何实数，方程总有两个实数根 （2）解：把代入该方程中， 得， 解得． 10．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）暑假期间，随着旅游热度的提升，各种文创产品不断出圈，类型也更加丰富．某博物馆超市新购进A，B两种冰箱贴，已知每个A款冰箱贴的售价是每个B款冰箱贴售价的倍，顾客用150元购买A款冰箱贴的数量比用150元购买B款冰箱贴的数量少1个． (1)求每个B款冰箱贴的售价为多少元？ (2)经过统计，该超市每月卖出A款冰箱贴100个，每个A款冰箱贴的利润为16元．为了尽快减少库存，该超市决定采取适当的降价措施．调查发现，每个A款冰箱贴的售价每降低2元，则平均每月可以多售出20个，如果该超市想要每月卖出A款冰箱贴的利润达到1200元，每个A款冰箱贴应降价多少元？ 【答案】(1)每个B款冰箱贴的售价为25元 (2)每个A款冰箱贴应降价10元 【分析】（1）设每个B款冰箱贴的售价为x元，则每个A款冰箱贴的售价为元，根据“用150元购买A款冰箱贴的数量比用150元购买B款冰箱贴的数量少1个”列分式方程求解； （2）设每个A款冰箱贴应降价y元，根据“每月卖出A款冰箱贴的利润达到1200元”列出一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设每个B款冰箱贴的售价为x元，则每个A款冰箱贴的售价为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴每个B款冰箱贴的售价为25元； （2）解：设每个A款冰箱贴应降价y元， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴每个A款冰箱贴应降价10元． 1．（25-26八年级下·吉林长春·期中）一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为（     ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】可通过因式分解法求出方程的两个根，再计算两根之和得到结果． 【详解】解：∵原方程为：对左侧因式分解得： ， ∴或， ∴方程的两个实数根为：， ∴ ． 2．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）关于x的方程根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有1个实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，求出方程的判别式即可判断根的情况. 【详解】解：∵对于一元二次方程，，，， ∴， ∴该方程没有实数根. 3．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）某中学为美化校园环境，计划在院墙旁修建一个长方形花坛．花坛的一面紧靠着院墙的墙面（墙面可视为直线，不占用围栏材料），墙长为，另外三边使用总长为的防腐木栅栏围成．若要使这个花坛的面积恰好达到，那么边的长度应为（     ）． A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】设，则，根据题意列出方程求出的值，再根据墙长限制确定的取值范围即可求解． 【详解】解：设，则， 根据题意得，，   整理得，， 解得，， ∵墙长为， ∴， 解得， ∴不合题意，舍去， ∴，即边的长度应为． 4．（25-26八年级下·浙江金华·期中）对于一元二次方程，下列判断正确的是（    ） A．若是该方程的一个根，则一定有成立； B．若，则方程有一根为； C．若该方程的解为和x，则方程的解是或 D．当，，时，方程一定有实数根； 【答案】D 【分析】A．将代入方程判断即可； B．将变为，将代入方程可得，即方程有一根为； C．根据解为和可将原方程化为，展开后可知，，代入求解即可； D．根据不等式的性质得到，则，判断判别式的正负即可． 【详解】解：对选项A：∵是方程的根，代入方程得，整理得，∴或，并非一定满足，故A错误． 对选项B：∵，移项得，将代入方程得，∴方程有一根为，不是，故B错误． 对选项C：∵原方程的解为和，则原方程可写为，展开得，即，，代入新方程得：，，整理得，解得或，与选项结论不符，故C错误． 对选项D：∵，，∴，可得，又∵，∴，方程判别式，∴方程一定有实数根，故D正确． 5．（25-26八年级下·广西崇左·期中）方程的根是__________． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴或， 解得，． 6．（25-26八年级下·重庆·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和根与系数的关系，先将原方程整理为一般形式，利用根与系数的关系求出的值，再利用方程根的定义对所求代数式降次，最后代入计算得到结果． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得， 方程的两个实数根为，， 根据根与系数的关系可得，， 已知， ∴， 解得， ∴， 是方程的根，将代入原方程得， 整理得， 将代入得， 将，，代入所求代数式得 ， ． 7．（25-26八年级下·浙江金华·期中）若关于x的一元二次方程的两根为，则关于x的一元二次方程的解为______ 【答案】 【分析】将所求方程变形为关于的一元二次方程，结合原方程的根，即可求出所求方程的解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设，则方程化为， 由已知得，一元二次方程的两根为，， 即或 分别解得，． 8．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求的值和它的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)当时，方程的另一个根为；当时，方程的另一个根为 【分析】（1）根据证明即可． （2）利用一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵一元二次方程，且 ∴ ， 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：设是方程的两个根， 则，， 不妨设， ∴把代入方程得：， 故， 整理，得， 或， 当时，， 解得，此时方程的另一个根为； 当时， 解得， 此时方程的另一个根为． 9．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 【答案】(1)； (2)或4时，的面积为 【分析】（1）根据点P、Q运动的速度，表示出、即可； （2）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论． 【详解】（1）解：∵，点从点出发，以的速度沿运动， ∴； ∵点从点出发，以的速度沿运动， ∴； （2）解：由题意得：，，， ∴； 由题意得：， 解得：或， ∴或4时，的面积为． 10．（25-26八年级下·浙江·期中）已知关于的一元二次方程：（）． (1)判断是否是方程的根，并说明理由； (2)现有一个关于的一元二次方程：，若方程，仅有一个相同的根，求证：； (3)若，方程的两实数根，满足，求，的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）把代入方程求解即可； （2）根据题意可得，则有，然后分类进行求解即可； （3）由题意易得，，则有，，然后根据进行分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得，不成立， 故不是方程的根． （2）证明：由题意，得， 则，即， 当时，方程，完全相同，不合题意， 当时，则，故（舍去），， 把代入，得． （3）解：由题意及一元二次方程根与系数的关系得，， ∵， ∴，， ∵， ∴． 当时，，可得，， ∴， 此时，舍去． 当时，即， 可得， ∴． 综上所述，，． 1．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．，2，5 B．2，， C．1，4， D．，， 【答案】B 【分析】将原方程整理为的形式，即可确定，，的值. 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项整理为一般式得， ，，． 2．（25-26八年级下·全国·期末）某服装厂生产一批晚礼服，2024年该晚礼服的出厂价是300元/件，2025年、2026年连续两年改进技术降低成本，2026年该晚礼服的出厂价调整为243元/件．若这两年此类晚礼服的出厂价下降的百分率相同，则年平均下降率是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】解题思路为设出年平均下降率，根据初始价格和两年后的价格列方程，舍去不符合实际意义的根即可得到结果． 【详解】解：设年平均下降率为，由题意得： ， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴年平均下降率为． 3．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，利用方程有两个相等实数根得到的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 两边同除以得， ∴． 4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，关键是利用方程根的定义进行转化；可先将已知方程的根代入原方程，再通过代数变形推导，找到满足第二个方程的根. 【详解】解：∵ 关于的方程有一个实数根为， ∴ 将代入方程得： ， 整理得：， 将上式两边同时除以，得： ， 变形为：， 对比方程，可知当时，方程成立， ∴ 方程必有实数根为． 故答案选：B． 5．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根1代入原方程，构造关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴将代入方程得，， 整理得 ， 解得 ． 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知不相等的实数，满足，，则代数式的值等于______． 【答案】 【分析】根据，满足，得出，是一元二次方程的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系对称，，把变形为，把，代入即可得出答案． 【详解】解：∵不相等的实数，满足，， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴ ． 7．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在正方形中，是边上的一点，点在的延长线上，，为的中点，点在边上，．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，添加辅助线是解答的关键． 设，先利用正方形的性质和直角三角形的性质求得，则，过N作于P，过M作于Q，利用等腰三角形的性质和勾股定理分别求得，，证明是等腰直角三角形，设，则，，利用等面积法列方程求得，进而利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， 在正方形中，，， 在中，，， ∵为的中点，， ∴，则， 由勾股定理得， 解得（负值舍去），则， 过N作于P，过M作于Q，如图， 则，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴设，则，， ∵， ∴， 解得，（不合题意，舍去） ∴， 在中，， 由勾股定理得， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·河南安阳·期末）定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻根方程”． (1)判断方程是否为“邻根方程”并说明理由； (2)若关于x的方程（c是常数）是“邻根方程”，求c的值． 【答案】(1)该方程不是“邻根方程”，理由见解析 (2)c的值为2 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义运算，解二元一次方程组，根与系数的关系，解题的关键是理解题意，熟练掌握“邻根方程”定义． （1）根据“邻根方程”的定义进行判断即可； （2）设该方程的两个根分别为，，且，根据根与系数的关系和“邻根方程”的定义得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：该方程不是“邻根方程”， 理由如下：原方程因式分解得：， ∴或， 解得：，， ∵， ∴该方程不是邻根方程； （2）解：设该方程的两个根分别为，，且， 由条件可知， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴c的值为2． 9．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）项目化学习 项目主题探究东湾驴肉销售利润 项目背景：东湾驴肉是甘肃靖远县传统名吃，历史可追溯至西汉，以其独特的制作方法，色鲜味美和滋补价值而闻名．某校学习小组以探究东湾驴肉销售利润问题为主题开展项目学习． 驱动任务：按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材 某特产专卖店销售东湾驴肉，其进价为每斤元，按每斤元出售，平均每月可售出斤，后经市场调查发现，单价每降低元，平均每月的销售量可增加斤． 解决问题： (1)若每月的销售量为斤，则每斤东湾驴肉的售价为_________元； (2)若专卖店销售东湾驴肉想要平均每月获利元，求东湾驴肉的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)元或元 【分析】（1）先计算销售量增加的数量，再根据每降低5元销量增加50斤的规律，求出降价金额，最后用原售价减去降价金额得到售价． （2）设每斤降价元，分别表示出每斤的利润和每月的销售量，根据总利润=每斤利润×销售量列出一元二次方程，解方程求出的值，再计算对应的售价． 【详解】（1）解：销量增加量斤， 降价次数， 总降价金额为元， 所以每斤东湾驴肉的售价为元； （2）解：设每斤东湾驴肉应降价元，则可列方程：， 解得：， 元，元， 答：东湾驴肉的售价应定为每斤元或每斤元． 10．（25-26九年级上·广东佛山·期末）综合探究 【问题提出】如图1，现有一个长为2，宽为1的矩形，是否存在一个周长与面积均为它的2倍的“加倍”矩形？ 【追根溯源】用数形结合的方式解决这个问题，思路如下： ①设“加倍”矩形的长为，宽为，由题意得． ②两方程对应的函数与在同一坐标系中的图像如图2所示． ③两图像存在交点，相当于存在条件的，的值，即存在满足条件的“加倍”矩形． 【举一反三】 （1）对于矩形，是否存在一个面积为它的2倍，周长为它的倍的“加倍”矩形？如果存在，求的最小值；如果不存在，说明理由． （2）将“矩形”换成满足条件“，，”的（如图3所示），在角度不变的情况下，是否存在一个周长与面积均为它的2倍的“加倍”平行四边形？ 【融会贯通】 （3）定义：较短边与较长边的比值为的平行四边形是黄金平行四边形． 已知周长为2，面积为的（如图4所示），，．在角度不变的情况下，周长为它的2倍、面积为它的4倍的“加倍”平行四边形的边长分别是多长？是否为黄金平行四边形？ 【答案】（1）存在矩形，的最小值为；（2）存在，见解析；（3）加倍平行四边形两邻边分别为，，且是黄金平行四边形 【分析】本题考查了数形结合思想、方程与几何的综合应用．掌握通过建立方程组（由周长和面积关系得到）来探究几何图形“加倍”问题的存在性，并能灵活运用判别式、勾股定理和特殊角的三角函数进行求解是解题的关键． （1）解题关键在于仿照“追根溯源”的思路，设“加倍”矩形的长和宽为x、y，根据“面积为2倍、周长为a倍”的条件建立方程组，消元后得到关于x的一元二次方程．利用方程有实数解（）的条件求出a的取值范围，进而得到a的最小值． （2）解题时需先利用三角函数求出原平行四边形的面积，设“加倍”平行四边形的边长，同样根据周长和面积均为2倍的条件建立方程组．通过计算该方程组对应的一元二次方程的判别式，证明存在满足条件的正数解，从而说明这样的“加倍”平行四边形存在． （3）设边长，利用的条件表示高和面积，根据“周长为2倍、面积为4倍”建立方程组并求解．得到两组解后，根据边长实际意义（）舍去一组，再计算较短边与较长边的比值，判断是否等于黄金比． 【详解】解：（1）假设存在满足条件的矩形，其边长分别为，由题意得， ， 消去整理得， 此方程， 化简得：， ， ， 存在矩形，的最小值为． （2）存在，理由如下： 如图1所示，过点作于点， 在中，， ， ， 如图2所示，设为满足条件的平行四边形， 设，， 过点作于点， 在中，， ， ， 由题意得， 消去整理得， 此方程， 方程有解，且两根和、两根积均为正数， 存在满足条件的正数，值， 存在满足条件的平行四边形． （3）如图3所示，设为满足条件的平行四边形， 设，， 过点作于点， 在中，， ， ， 由题意得， 解得（舍去）或， ， 加倍平行四边形两邻边分别为，，且是黄金平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程 思维导图 25.1 一元二次方程的概念 一、一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 判定一个方程是否为一元二次方程，需要同时满足三个条件： · 方程必须是整式方程，即分母和根号中都不含未知数； · 方程只含有一个未知数； · 未知数的最高次数必须为2，且二次项系数不能为0。 二、一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c= 0（a≠ 0），其中： · ax2是二次项，a是二次项系数； · bx是一次项，b是一次项系数； · c是常数项。 需要注意：任何一元二次方程经过整理都可以化为一般形式，其中二次项系数a不能为0，若a=0，方程将退化为一元一次方程；一次项系数b和常数项c可以为0。 三、一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 判断一个数是否为一元二次方程的根，只需要将这个数代入方程，若方程左右两边相等，则该数是方程的根，反之则不是。 25.2 降次——解一元二次方程 一、直接开平方法 直接开平方法适用于形如(x + m)2=n（n≥ 0）的一元二次方程，根据平方根的定义，可得x + m = ，进而解得x = -m。 核心思路：将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程求解。 适用情况：当一元二次方程缺少一次项，或可以整理为完全平方式等于非负数的形式时，优先使用直接开平方法。如果n < 0，方程没有实数根。 二、配方法 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方法的理论依据是完全平方公式：(a ± b)2=a2± 2ab +b2。 用配方法解一元二次方程的一般步骤： · 一化：将二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数a； · 二移：把常数项移到方程的右边； · 三配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成一个完全平方式； · 四开：若右边整理后是非负数，用直接开平方法解方程；若右边是负数，则原方程没有实数根。 配方法是一种重要的代数式变形方法，除了解方程，还经常用于代数式的最值求解、证明恒成立问题等场景。 三、公式法 公式法是通过配方法推导得到的通用求根公式，适用于所有一元二次方程。 对于一元二次方程ax2+bx+c= 0（a≠ 0），当b2- 4ac ≥ 0 时，方程的实数根可以表示为： x = 这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 四、根的判别式 我们把Δ = b² - 4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c= 0（a≠ 0）的根的判别式，它的取值和方程根的情况有如下对应关系： 判别式取值 方程根的情况 Δ > 0 方程有两个不相等的实数根 Δ = 0 方程有两个相等的实数根 Δ < 0 方程没有实数根 说明：此处“两个相等的实数根”不能错误表述为“一个根”，一元二次方程在实数范围内最多有两个根。 五、因式分解法 先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 因式分解法的核心依据是：若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0，即若A·B = 0，则A = 0或B = 0。 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： · 将方程整理为一般形式，使右边为0； · 将左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积，常用分解方法包括提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法； · 令每个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程； · 解一元一次方程，得到原方程的两个根。 三种解法的适用场景对比： 解法 适用方程特点 优势 直接开平方法 可化为完全平方式等于常数的形式 计算最简单，步骤最少 因式分解法 左边易于因式分解、右边为0 计算简便，求解速度快 公式法 所有一元二次方程 通用性强，不需要复杂变形 配方法 二次项系数为1、一次项系数为偶数 常用于推导公式、代数式变形 六、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 如果一元二次方程ax2+bx+c= 0（a≠ 0）的两个实数根是x₁，x₂，那么根与系数满足如下关系： x₁ + x₂ = ，x₁x₂ = 利用韦达定理可以解决很多不需要求出方程根的问题，比如已知方程的一个根求另一个根、求关于根的对称式的值、已知两根的关系求方程中的参数值等。 25.3 实际问题与一元二次方程 一、列一元二次方程解实际问题的一般步骤 列一元二次方程解实际问题的步骤可以概括为“审、设、列、解、检、答”六步： · 审：认真审题，明确题目中的已知量和未知量，找出等量关系； · 设：设未知数，分为直接设未知数（直接设题目要求的量为未知数）和间接设未知数（设和要求量相关的其他量为未知数），根据题目情况合理选择； · 列：根据找到的等量关系，列出一元二次方程； · 解：解列出的一元二次方程，得到未知数的值； · 检：检验方程的解是否符合实际问题的意义，不符合实际意义的解要舍去； · 答：写出最终答案，注意单位完整准确。 和一元一次方程解决实际问题不同，一元二次方程通常会有两个解，必须要检验两个解是否符合实际情境，很多时候会有一个解不符合题意需要舍去，这是解题中最容易出错的环节。 二、常见实际问题类型及核心公式 1. 增长率（下降率）问题 增长率问题是一元二次方程最常见的应用类型，核心模型为： a(1 ± x)n=b 其中：a是增长（下降）前的基础量，x是平均增长（下降）率，n是增长（下降）的次数，b是增长（下降）后的总量。增长用加号，下降用减号。 常见考法：已知初始量和两次增长后的最终量，求平均增长率，此时n=2，直接代入公式即可。 2. 传染问题 传染问题的本质和增长率问题类似，核心模型是：每轮传染中平均一个人传染x个人，初始有m个传染源，经过两轮传染后总感染人数N满足： m(1 + x)2=N 需要注意：传染问题中，原来的传染源在传染后仍然属于感染人数，所以公式是在原来基础上乘以(1+x)，而不是仅仅新增感染人数，这是易错点。 3. 面积问题 面积问题通常需要结合几何图形的面积公式，通过割补法表示出所求图形的面积，进而列出方程。常见考法包括： · 在矩形空地修等宽的小路，剩余面积种植作物，求小路宽度； · 利用已知长度的围栏，借助一面墙围矩形场地，求面积和边长的关系； · 图形截去四周的边框，得到内部矩形的面积，求边框宽度。 解题技巧：对于等宽小路问题，可以通过平移将分散的种植区域合并为一个新的矩形，新矩形的长和宽分别是原矩形长和宽减去两倍（或一倍）小路宽度，计算更简便。 4. 利润（销售）问题 利润问题的核心公式： · 单件利润 = 售价 - 进价（成本） · 总利润 = 单件利润 × 销售量 = 总销售额 - 总成本 常见考法：当售价上涨x元时，销售量会减少kx件；售价下降x元时，销售量会增加kx倍，题目给出总利润，求定价或涨降的幅度。解题时只需要根据上述公式分别表示出单件利润和销售量，相乘得到总利润后即可列出方程求解。 5. 循环问题 循环问题分为单循环和双循环两种： · 单循环：每两个主体之间只进行一次互动（比如握手、比赛一场），若总共有n个主体，总互动次数为； · 双循环：每两个主体之间进行两次互动（比如主客场比赛，互送礼物），若总共有n个主体，总互动次数为n(n-1)。 题目给出总互动次数，求解主体数量n，直接根据上述关系列方程即可。 【类型一】一元二次方程的定义与解 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．在下列方程中，是方程的根的是（    ） A． B． C． D． 3．已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【类型二】一元二次方程的一般形式 1．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．4，1，3 B． C． D． 2．将一元二次方程化为一般形式是（   ） A． B． C． D． 3．将一元二次方程化为一般形式为______，其一次项为______． 【类型三】列一元二次方程 1．2024年8月20日，巴黎奥运表彰大会在北京隆重举行，在庆功聚会上，每2位参与者都热情地握了一次手以表达友谊，据统计，所有人共握手79800次，设有x人参加这次聚会，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为平方步，它的宽比长少步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为步，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物，礼物数共计72件，那么该小组有_____人． 【类型四】解一元二次方程一直接开平方法与配方法 1．方程的根为（    ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程时，将原方程转化为的形式可得____． 3．解一元二次方程： (1)； (2)． 【类型五】解一元二次方程一公式法 1．我们规定一种新运算“”，其意义为，如，若，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．已知，则______． 3．解一元二次方程： (1) ； (2)； (3)（用配方法解）； (4)（用公式法解）． 【类型六】解一元二次方程一因式分解法 1．方程的解是（    ） A． B． C．， D．无实数根 2．方程的根是__________． 3．在解方程时，小明的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 小明的解法中第几步开始出现错误？错误的原因是什么？请你写出这道题的正确解答过程． 【类型七】一元二次方程的根与系数关系 1．一元二次方程的两个实数根为，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值为_____． 3．已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求的取值范围． (2)若方程的两个实数根为，，且，求的值． 【类型八】一元二次方程的应用—数字问题 1．三个连续奇数的平方和是371，则这三个奇数中最小的是（   ） A． B．9 C．或9 D．或9 2．在2024年12月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，则这个最小数为____ 3．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小4，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小18，求原来的两位数． 【类型九】一元二次方程的应用一传播问题 1．冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最初有人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了人，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为__________． 3．近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染． (1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 【类型十】一元二次方程的应用一增长率、降低率问题 1．随着“云花”品牌全球影响力不断提升，一朵朵鲜切花源源不断地走向国际市场．据昆明海关统计，2023年云南省鲜切花出口值达5.7亿元，2025年云南省鲜切花出口值达12.2亿元．如果设这两年出口值的年平均增长率为x，那么根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．2026年3月，国际金价回调，国内金店同步降价．某品牌足金从1400元/克连续两次下调，现降至1260元/克，若两次降价的降低率相同，求该降低率．设两次降价的降低率为，可列方程为____________． 3．某工厂改进生产线后，某零件日产量从第一周的500件增加到第三周的605件．若第二周、第三周相对于前一周的增长率相同． (1)求每周平均增长率； (2)按此增长率，第四周日产量预计为多少件？ 【类型一】一元二次方程的根的情况 1．方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 2．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 3．如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是________． 【类型二】根与系数关系变形求值 1．已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．-3 B．1 C． D． 3．已知a，b是方程的两个根，则的值________ 【类型三】赋根求值 1．若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 3．若，则一元二次方程的一个根为 _____． 【类型四】整体换根 1．关于的方程的根是（均为常数，），则关于的方程的根是（） A． B． C． D． 2．小安同学发现：关于的两个一元二次方程：①，②（，，均为常数，且）的解存在某个数量关系．若已知的解为，，则方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．关于的方程的根是，（，，均为常数且），则关于的方程的所有实根之和是______． 【类型五】新定义运算 1．定义一种新运算，当时，的值为（   ） A． B．4 C．3 D．4或 2．对于任意两个实数，定义运算“”：．若，则的值为（    ） A． B．2 C．1或 D．或2 3．对于实数，，定义运算“”：，例如：．根据此定义，则方程的根为______． 【类型六】一元二次方程的应用一图形问题 1．春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．2026年4月，在成都举办的中国教育装备展示会上，正式发布了《中小学信息科技实验室建设与装备规范》．如图，某中学计划修建信息科技实验室，准备扩建一块长，宽的矩形场地，若该场地的长和宽都增加，则扩建后的矩形场地面积为．根据题意，可列方程为______． 3．为加强劳动教育，丰富学生实践活动，某校生物社团利用总长为8米的篱笆在两面互相垂直且足够长的围墙边围出一块面积为15平方米的矩形菜地，如图所示． (1)求矩形菜地的长和宽． (2)现要给这块菜地施肥，该社团计划购买、两种化肥共20千克．已知种化肥每千克8元，每千克可给1平方米的菜地施肥；种化肥每千克6元，每千克可给0.6平方米的菜地施肥．假设菜地的一部分施种化肥，另一部分施B种化肥，请通过计算说明应如何购买化肥，既能完成施肥任务，又能使总花费最少？ 【类型七】一元二次方程的应用—循环比赛问题 1．我校组织“求实杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了场，设共有个班参加比赛，根据题意，下列方程正确的为（     ） A． B． C． D． 2．某学校进行初二年级篮球比赛，赛制为单循环（两支队伍只赛一场），总共进行了45场比赛，那么这个学校初二年级有__________个班级． 3．为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 【类型八】一元二次方程的应用—销售问题 1．第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． (1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； (2)从5月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，已知徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，5月销售利润达8400元？ 2．APEC会议预计于2026年11月在深圳举行，这是中国第三次担任此会议的东道主，为让学生更加了解此次会议，学校想要组织学生手工制作联名产品帆布袋，需要购入原材料帆布袋和染料．已知购入4个帆布袋和2套染料共需104元，6个帆布袋和5套染料共需196元． (1)求帆布袋与染料的单价； (2)制作1个成品帆布袋需要1个帆布袋原材料，1套染料可以制作5个帆布袋，不计其余耗材及人工成本；该成品原定售价30元，平均每周可卖出100个；若单个售价每上涨1元，每周销量减少5个．若文创中心想要每周获利1125元，售价应定为多少元？ 3．问题情境：综合与实践小组的同学到某食品直营店研学，对该店销售的上海产的“梨膏糖”的生产和销售情况进行了数据收集和信息整理，结果如下： 信息1：该店每日生产的这款“梨膏糖”当日全部售完． 信息2：该店这款“梨膏糖”日产量（千克）的范围是． 信息3：该款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的关系如下表所示． 信息4：该款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的关系可用如图的平面直角坐标系中的线段所示． 日产量（千克） 30 60 90 120 每千克的成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据收集的信息，该“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的变化规律可用学习过的函数模型刻画，其函数关系式为 （无需写定义域）； (2)①该“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的函数关系式为 ； ②该款“梨膏糖”每千克的售价最高是 元，理由是 ； (3)已知销售部计划将某日该款“梨膏糖”的销售利润定额为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的产量应该定为多少比较合理？请说明理由． 【类型九】一元二次方程的应用一规律问题 1．【观察思考】 【规律发现】 (1)第5个图案中“◎”的个数为_____； (2)第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，．．．，第个图案中“★”的个数可表示为_____． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“◎”的个数的3倍． 2．【观察思考】如图，“五一”劳动节期间，政府广场上用盆景（用“☆”表示）和花卉（用“☐”表示）组成图案． 【规律发现】 (1)第7个图案中盆景的盆数为____________； (2)第个图案中花卉的盆数可表示为____________（用含的式子表示）； 【规律应用】 (3)若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共121盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆． 3．【观察思考】 【规律发现】请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为…，第个图案中“★”的个数可表示为 ． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的3倍． 【类型一】降次法 1．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，这种方法称为“降次法”，这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（） A． B． C． D． 3．将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”，已知，可用“降次法”求得的值是________． 【类型二】一元二次方程的估算 1．根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 2．根据下面的表格，估计方程的一个正数解x的大致范围为(   ) A． B． C． D． 3．设方程的正根介于整数与之间，则____________． 【类型三】特殊解法一换元法 1．解方程时，令，那么换元后去分母整理得到的整式方程是（    ） A． B． C． D． 2．若x、y为实数，且，则_____ 3．【材料阅读】 已知实数m，n满足，试求的值． 解：设， 则原方程可化为，即，解得． ， ． 上面这种解方程的方法属于转化的数学思想，即在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（换元），则能使复杂的问题简单化． 【方法应用】 请仿照材料中的方法解决下列问题： (1)已知，求的值． (2)解方程：． (3)解方程：． 【类型四】特殊解法一换根法 1．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得：，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，利用“换根法”求一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍； (2)求解这个新方程的根． 2．阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程，得．化简，得．故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数； (2)已知关于x的一元二次方程（为常数，）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 3．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：_____________． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，直接写出一元二次方程的两根为_____________． 【类型五】特殊解法—十字相乘法 1．由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式： (1)尝试：分解因式： ； (2)应用：请运用“十字相乘法”解方程： 2．多项式乘法：．将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：． 运用上述方法，解下列方程． (1)． (2)． 3．由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的式子：． 实例：分解因式：． (1)尝试：分解因式：． (2)应用：请用上述方法解方程：． 【类型六】配方法的应用 1．对于二次三项式，可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使中的前两项与构成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，最后再用平方差公式进一步分解．于是．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做配方法． (1)如果（   ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为 ； (2)用“配方法”分解因式：； (3)用“配方法”分解因式：． 2．阅读下列材料： 材料一 “”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ，， 解决下列问题： (1)填空： ． (2)已知，求的值． (3)比较代数式与的大小，并说明理由 3．配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值．最小值等，例如：求代数式的最小值，解法如下： 解： ∵，∴．∴的最小值是3． 根据材料中的方法，解答下列问题： (1)若，求的值． (2)求代数式的最小值． (3)用配方法说明：不论x为何值；代数式的值总是正数． 【类型七】对称式 1．解答下列各题： (1)已知实数是方程 的两根，求 的值； (2)已知实数满足 ，且，求 的值； (3)若两个不相等的实数满足 ，求 的值． 2．学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程展开探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金数”，求“黄金数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 3．阅读材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比探究：已知实数，满足，．________． (3)思维拓展：已知实数、、满足、，且，求的最大值． 【类型八】一元二次方程的应用一几何动点 1．如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为． (1)_____cm，________cm（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由． 2．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． (4)点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 3．如图，在矩形中，．点从点出发，沿运动，速度为每秒2个单位长度；点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为（秒）．连接． (1)点运动到点时，___________；当点运动到点时，的长度为___________． (2)用含的代数式表示的长． (3)当的面积为9时，求的值． 【类型九】一元二次方程的新定义应用 1．定义：若关于x的一元二次方程的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为． 现探究以下问题： (1)“快乐方程”的“快乐数”为______； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”． (3)对于“快乐方程”（b、c为整数），若其“快乐数”（n为正整数），且方程的两根，满足，求该方程的“快乐数”所有可能的值． 2．我们知道一元二次方程的两根为，，若其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为倍“梅石花”方程，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程的两根为，，则称这样的方程为“状元来”方程． (1)根据上述定义，请判断：是_________倍“梅石花”方程； (2)若关于的方程是倍“梅石花”方程，直接写出的最小值是_________． (3)若方程为“状元来”方程，求证：． 3．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)判断方程是否是“邻根方程”，并说明理由； (2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； (3)若关于的方程（，是常数，且）是“邻根方程”，试求出代数式的最大值． 【类型十】特殊方程一无理方程 1．转化思想是常用的数学思想之一，利用转化思想，我们可以解一些新的方程，如下面的无理方程（根号下含有未知数的方程）． 解方程： 解：两边平方，得． 解得，． 经检验，是原方程的根，不是原方程的根． 所以原方程的根是． 由上面解题思路可知，无理方程两边同时平方后可以转化为整式方程．而“去根号”可能产生不适合原方程的根，所以解无理方程必须验根．请你尝试解决以下问题： (1)解方程： (2)代数式的值能否等于9？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 2．阅读理解： 转化思想是常用的数学思想之一，在研究新问题或复杂问题时常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化为一元一次方程来解决的，解分式方程是转化为整式方程来解决的．利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程的关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．因为“去根号”可能产生不适合原方程的根，所以解无理方程也必须检验． 例如：解方程 解：两边平方，得． 解得，． 经检验，是原方程的根，不是原方程的根． 所以原方程的根是． 解决问题： (1)解方程． (2)代数式的值能否等于8？若能，求出x的值；若不能，请说明理由 3．苏科版数学九年级上册课本第1章“阅读”《各类方程的解法》中明确，“转化”是一种重要的数学思想．回顾我们学过的各类方程的解法：解二元一次方程组，把它利用消元法转化为一元一次方程；解一元二次方程，利用直接开平方法或因式分解法，将它转化为解两个一元一次方程；解分式方程，利用去分母的方法，将它转化为整式方程，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如： 解无理方程：； 解：方程两边同时平方，得：， 解这个一元一次方程，得：． 检验：当时，左边右边 所以，是原方程的解． 通过“方程两边平方”，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验． 通过上面的学习，请解决以下两个问题： (1)解无理方程：； (2)如图，在平面直角坐标系中，点，，，求点C的坐标． 1．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）下列关于x的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）若将一元二次方程 转化为的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·湖南邵阳·阶段检测）某书店今年3月份盈利5000元，5月份盈利6000元．设该书店每月盈利的平均增长率为．根据题意，可列方程为_________． 6．（25-26九年级下·河南郑州·阶段检测）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ________ ． 7．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）已知m，n满足，（m，n是实数，且），则的值为______． 8．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）解方程： (1) (2) 9．（25-26八年级下·安徽淮北·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何实数，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为3，求的值． 10．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）暑假期间，随着旅游热度的提升，各种文创产品不断出圈，类型也更加丰富．某博物馆超市新购进A，B两种冰箱贴，已知每个A款冰箱贴的售价是每个B款冰箱贴售价的倍，顾客用150元购买A款冰箱贴的数量比用150元购买B款冰箱贴的数量少1个． (1)求每个B款冰箱贴的售价为多少元？ (2)经过统计，该超市每月卖出A款冰箱贴100个，每个A款冰箱贴的利润为16元．为了尽快减少库存，该超市决定采取适当的降价措施．调查发现，每个A款冰箱贴的售价每降低2元，则平均每月可以多售出20个，如果该超市想要每月卖出A款冰箱贴的利润达到1200元，每个A款冰箱贴应降价多少元？ 1．（25-26八年级下·吉林长春·期中）一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为（     ） A．1 B．2 C．0 D． 2．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）关于x的方程根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有1个实数根 D．有两个不相等的实数根 3．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）某中学为美化校园环境，计划在院墙旁修建一个长方形花坛．花坛的一面紧靠着院墙的墙面（墙面可视为直线，不占用围栏材料），墙长为，另外三边使用总长为的防腐木栅栏围成．若要使这个花坛的面积恰好达到，那么边的长度应为（     ）． A． B．或 C． D． 4．（25-26八年级下·浙江金华·期中）对于一元二次方程，下列判断正确的是（    ） A．若是该方程的一个根，则一定有成立； B．若，则方程有一根为； C．若该方程的解为和x，则方程的解是或 D．当，，时，方程一定有实数根； 5．（25-26八年级下·广西崇左·期中）方程的根是__________． 6．（25-26八年级下·重庆·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 7．（25-26八年级下·浙江金华·期中）若关于x的一元二次方程的两根为，则关于x的一元二次方程的解为______ 8．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求的值和它的另一个根． 9．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 10．（25-26八年级下·浙江·期中）已知关于的一元二次方程：（）． (1)判断是否是方程的根，并说明理由； (2)现有一个关于的一元二次方程：，若方程，仅有一个相同的根，求证：； (3)若，方程的两实数根，满足，求，的值． 1．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．，2，5 B．2，， C．1，4， D．，， 2．（25-26八年级下·全国·期末）某服装厂生产一批晚礼服，2024年该晚礼服的出厂价是300元/件，2025年、2026年连续两年改进技术降低成本，2026年该晚礼服的出厂价调整为243元/件．若这两年此类晚礼服的出厂价下降的百分率相同，则年平均下降率是（     ） A． B． C．或 D． 3．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为_____． 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知不相等的实数，满足，，则代数式的值等于______． 7．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在正方形中，是边上的一点，点在的延长线上，，为的中点，点在边上，．若，，则的长为________． 8．（25-26九年级上·河南安阳·期末）定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻根方程”． (1)判断方程是否为“邻根方程”并说明理由； (2)若关于x的方程（c是常数）是“邻根方程”，求c的值． 9．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）项目化学习 项目主题探究东湾驴肉销售利润 项目背景：东湾驴肉是甘肃靖远县传统名吃，历史可追溯至西汉，以其独特的制作方法，色鲜味美和滋补价值而闻名．某校学习小组以探究东湾驴肉销售利润问题为主题开展项目学习． 驱动任务：按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材 某特产专卖店销售东湾驴肉，其进价为每斤元，按每斤元出售，平均每月可售出斤，后经市场调查发现，单价每降低元，平均每月的销售量可增加斤． 解决问题： (1)若每月的销售量为斤，则每斤东湾驴肉的售价为_________元； (2)若专卖店销售东湾驴肉想要平均每月获利元，求东湾驴肉的售价应定为多少元？ 10．（25-26九年级上·广东佛山·期末）综合探究 【问题提出】如图1，现有一个长为2，宽为1的矩形，是否存在一个周长与面积均为它的2倍的“加倍”矩形？ 【追根溯源】用数形结合的方式解决这个问题，思路如下： ①设“加倍”矩形的长为，宽为，由题意得． ②两方程对应的函数与在同一坐标系中的图像如图2所示． ③两图像存在交点，相当于存在条件的，的值，即存在满足条件的“加倍”矩形． 【举一反三】 （1）对于矩形，是否存在一个面积为它的2倍，周长为它的倍的“加倍”矩形？如果存在，求的最小值；如果不存在，说明理由． （2）将“矩形”换成满足条件“，，”的（如图3所示），在角度不变的情况下，是否存在一个周长与面积均为它的2倍的“加倍”平行四边形？ 【融会贯通】 （3）定义：较短边与较长边的比值为的平行四边形是黄金平行四边形． 已知周长为2，面积为的（如图4所示），，．在角度不变的情况下，周长为它的2倍、面积为它的4倍的“加倍”平行四边形的边长分别是多长？是否为黄金平行四边形？ 学科网（北京）股份有限公司 $