第二十五章一元二次方程讲义20262027学年暑期八升九数学人教版

人教第二十五章 一元二次方程 ★知识精讲★ 一、一元二次方程的概念 1.概念：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程 2.形式：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0） 3.一元二次方程必须同时满足以下三个条件： （1）是整式方程； （2）只含有 个未知数； （3）未知数的最高次数是 . 示例1： 将 3x(x-1) = 5(x+2)化为一般形式 解：去括号得 3x2 -3x = 5x + 10 → 移项合并得 3x2 -8x-10 =0 其中a=3，b=−8，c=−10 示例2： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3 1 1 1 0 4 易错警示：对于方程，只有当时才是一元二次方程；若是一元二次方程，则必然隐含着. 二、一元二次方程的解法（基本思路：降次） 1. 一元二次方程的解法 （1）配方法（适用于所有一元二次方程） 基本思路：将方程转化为 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当 时，两边同时开平方，转化为一元一次方程即可求根. 例：用配方法解方程 . 解： …………将常数项移到方程的右边 …………两边都加 （一次项系数 的一半的平方） 即 …………将方程转化为 的形式 …………两边开平方 , …………求解 配方关键点：将常数项移到方程右边后，一定要注意等号两侧要同时加一次项系数一半的平方 注：当方程为 的形式时，可运用直接开平方法. （2） 公式法（适用于所有一元二次方程） 求根公式为 （ ），在使用求根公式时需牢记两点：①要先将一元二次方程化为一般式；②确定 , , 的值时要带符号. 注：对于一元二次方程 ，当 0时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 0时，方程没有实数根. （3）因式分解法（适用于方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程） 在使用因式分解法时需牢记三点：①方程的右边 ；②方程的左边进行因式分解；③方程化为两个一元一次方程；④写出方程的两个解. 例：用因式分解法解方程 . 解： …………移项，使方程右边 …………进行因式分解 或 …………将一元二次方程转化为两个一元一次方程 ， …………求解 【易错警示】方程两边不能同时约去 ,可能存在 的情况 . 2.一元二次方程根与系数的关系 当 时，一元二次方程 有两个实数根 、 ，则有： ， . 三、一元二次方程的实际应用 （1）打折销售问题 数量关系：①售价 标价 折扣（例：打8折就是标价 ） ②销售额 售价 销量；利润 售价 成本价 ③利润率 例1 ：某种商品的进价是200元，标价是280元，打折销售时的利润率为 ，此商品是按八折销售的. 【分析】由题可知，利润率 利润率 ；设该商品按 折销售，则售价为 元，利润为 元，则可列方程为 . （2）每每问题 例2： 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，则每千克核桃应降价4或6元. 【分析】由题可知，核桃的进价为每千克40元，售价为每千克60元，原来平均每天可售出100千克，现在单价每降低2元，平均每天的销售量可增加20千克，设每千克核桃降价 元，则现在利润为 元，增加的销售量为 千克，则可列方程为 . （3） 行程问题 数量关系：路程 速度 时间 （1） 相遇问题：总路程=甲走的路程 乙走的路程； （2） 追及问题：①同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程； ②同时不同地出发：甲的时间 乙的时间，前者走的路程 不同出发点距离=追者走的路程； （3）航行问题：①顺水速度 静水速度 水流速度；②逆水速度 静水速度 水流速度 （4）工程问题 数量关系：①工作量 工作效率 时间 ②甲的工作量 乙的工作量 甲、乙合作的工作量 （5） 变化率问题 ① 若基础量为 ，平均增长率为 ，则第一次增长后为 ，第二次增长后为 ，若增长两次后的量为 ，则有 ； ② 若基础量为 ，平均下降率为 ，则第一次下降后为 ，第二次下降后为 ，若下降两次后的量为 ，则有 . 例3 ：目前以 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展.某市2020年底有 用户2万户，计划到2022年底全市 用户数累计达到8.72万户，设全市 用户数年平均增长率为 ，根据题意可列方程为 . （6）握手、单循环赛与送礼物问题 数量关系：①握手、单循环赛总次数为 （ 为人数， ）； ②送礼物总份数为 （ 为人数, ）. 例4 ：学校组织一次足球赛，要求每两队之间都要赛一场.若共赛了28场，则有几支球队参赛？设有 支球队参赛，则可列方程为 . 例5 ：2026年新年期间，班上数学兴趣小组的同学互发微信祝贺，每两名同学都互相发一次.小明统计全组共互发了72次微信，设数学兴趣小组的人数为 ，则可列方程为 . 例6 ：某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场5个. （7）日历问题 ①日历中的数量关系： 每一横排相邻两个数字相差1； 每一竖排相邻两个数字相差7； 左上到右下相邻两个数字相差8； 右上到左下相邻两个数字相差6； ②日历中矩形框内的数量关系： 落在矩形框内的9个数字，最中间的数字是 这9个数字的平均值； 每一横排、竖排、对角线，中间的数字都是它们的平均值. ★课后作业★ 类型一 一元二次方程的概念及基本形式 1．下列是一元二次方程的是（　　） A．x2+y＝0 B． C．xy＝1 D．x2＝6x 2．若方程（a+3）x|a|﹣1﹣x＝2是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．不存在 3．下列方程中：①2x2﹣1＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．将一元二次方程3x2＝﹣2x+1化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，2，﹣1 B．3，﹣2，1 C．3，2，1 D．3，﹣2，﹣1 5．把一元二次方程x2﹣2（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣1＝0 B．x2﹣5x+2＝0 C．x2﹣x﹣2＝0 D．x2﹣x+2＝0 6．把一元二次方程（x+2）（x﹣2）＝4x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣4x+4＝0 C．x2+4x﹣4＝0 D．x2+4x+4＝0 7．把方程x（x+2）＝5（x﹣2）化成一般形式，得到x2﹣ax+10＝0，则a的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7 类型二 一元二次方程的解法 8．如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（　　） A．﹣2 B．±2 C．±1 D．1 9．若一元二次方程有一个根是x＝0，则这个方程可以是（　　） A．（x+1）（x+2）＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2﹣1＝0 D．x2﹣x＝0 10．解一元二次方程（x+2）2＝4时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为x+2＝2，则另一个方程为（　　） A．x﹣2＝﹣2 B．x+2＝﹣2 C．x﹣2＝2 D．x+2＝2 11．如果关于x的方程（x﹣9）2＝m+3可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m≥0 C．m＞﹣3 D．m≥﹣3 12．将一元二次方程x2﹣8x＝0配方后变形为（x+a）2＝b，则a的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 13．解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，配方后正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣1）2＝4 14．用配方法解方程x2﹣2x＝2时，左右两边需同时加上常数是（　　） A．1 B．﹣2 C．2 D．﹣1 15．用配方法将方程x2+6x﹣1＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（　　） A．﹣3，9 B．3，9 C．﹣3，10 D．3，10 16．解方程时，设，则原方程可化为关于y的整式方程是（　　） A．3y2﹣2y﹣1＝0 B．y2﹣2y﹣3＝0 C．y2+2y﹣3＝0 D．y2﹣3y﹣2＝0 17．若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A．3x2+x﹣5＝0 B．3x2﹣x﹣5＝0 C．x2﹣3x﹣5＝0 D．x2+3x﹣5＝0 18．定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{1，3}＝3，因此max{﹣1，﹣3}＝﹣1；按照这个规定，若max{x，﹣x}，则x的值是（　　） A．﹣1 B．﹣1或2 C．2 D．1或2 19．用公式法解方程2x2+7x＝5时，得，则“□”处应填（　　） A．5 B．﹣5 C．﹣7 D．7 20．某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x2＝3x，解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以x，得x＝3． 移项，得x2﹣3x＝0 ∴x（x﹣3）＝0． ∴x﹣3＝0或x＝0，解得x1＝3，x2＝0． 其中完全正确的是（　　） A．甲 B．都正确 C．乙 D．都不正确 21．关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值为　 　 ． 22．若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣m）＝0的一个根是10，则另一个根是　 　 ． 23．已知三角形的一条边边长为2，另外两边边长分别是方程x2﹣3x+2＝0的两个解，则这个三角形的周长为　 　 ． 24．解方程： （1）4x2+2＝66； （2）2x2﹣4x﹣5＝0． 25．解方程： （1）5（x﹣2）2＝20； （2）2x2﹣4x﹣1＝0． 26．解方程： （1）x2﹣2x＝5； （2）x2﹣x﹣1＝0． 类型三 一元二次方程根的判别 27．若关于x的一元二次方程（x﹣1）（x+m）＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 28．若关于方程ax2+4x+a＝0有且只有一个实数根，则实数a的值是（　　） A．a＝0，a＝±2 B．a＝±2 C．a＝2 D．a＝0 29．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是（　　） A．2 B．1 C． D．0 30.一元二次方程4x2﹣7x+3＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 31.设m，n是方程x2+x﹣2027＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（　　） A．2029 B．2028 C．2026 D．2025 类型四 一元二次方程根与系数的关系 32.一元二次方程x2﹣x＝0的两个实数根为x1和x2，则代数式x1+x2的值为（　　） A．1 B．2 C．0 D．﹣1 33.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2的值为（　　） A．﹣3 B．0 C．1 D．3 34.若关于x的一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两根之和是（　　） A．﹣1 B．0 C．4 D．5 35.若一元二次方程x2+3x﹣4＝0的两根是x1、x2，则x1•x2＝（　　） A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4 类型五 一元二次方程的实际应用 36.某商店今年1月份的销售额为200万元，经过促销第一季度（1月、2月、3月）总销售额达到798万元．设2、3月份每月销售额的平均增长率为x，则根据题意可列方程为（　　） A．200（1+x）2＝798 B．200+200x+200x2＝798 C．200（1+2x）＝798 D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝798 37.四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（　　） A．x（x﹣1）＝72 B．x（x﹣1）＝72 C．x（x+1）＝72 D．x（x+1）＝72 38.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，根据题意可列分式方程为（　　） A． B． C． D． 39.为传承中华优秀传统文化，某校开展了“古法数学趣探究”活动．同学们对《增删算法统宗》中的“圆中方”问题进行了实地模拟：在校园规划一块圆形空地，中间设计正方形的水池，打造“可耕可赏”的校园景观．已知除水池外，可种植绿植的面积恰好为72平方米，从水池边到圆周，每边均相距3米．设水池的边长为x米，则下列方程能正确表示数量关系的是（　　） A．π（x+3）2﹣x2＝72 B． C．π（x+3）2﹣x2＝36 D． 40.某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这道数学题．设一人每次教会了x名同学，则下列方程正确的是（　　） A．1+x2＝36 B．1+x（x+1）＝36 C．x+x2＝36 D．1+x+x（x+1）＝36 41．为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量y（件）与每件售价x（元）的函数关系如图所示． （1）求y与x的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元． 42．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 43．如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． （1）如图，若圈出的4个数a、b、c、d中，最小的数a＝x，则b＝x+1，c＝　 　 ，d＝　 　 ．（用含x的代数式表示） （2）在小组活动中，小轩通过计算，发现ad﹣bc的差恒为常数，请你证明． （3）若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． 44．如图，在长15m，宽6m的矩形地面内修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下部分铺上草坪，要使草坪的面积达到70m2，道路的宽应为多少？ 45．综合与实践． 项目主题：制作新学期的开学手册封面 素材一：小华设计的开学手册的封面是尺寸为长34cm，宽22cm的长方形，正中央有一个长方形边框，其四周是边衬．上下边衬等宽，左右边衬等宽，且上下边衬的宽度是左右边衬宽度的一半．小华设计的边衬面积为172cm2． 素材二：封面边框内需要张贴一张长方形的校园照片．为了使排版规范，照片的长宽比例等于边框的长宽比例．小华设计照片到边框下方的下距为22cm，到边框左右的左距与右距，以及到边框上方的上距都为1cm． 【任务一】设上边衬的宽度为xcm，用含x的代数式表示边框的长和宽． 【任务二】求边框的长和宽． 【任务三】通过计算说明，小华的设计是否规范． 46．近年来，各地深挖传统文化，结合现代设计推出文创潮品，既拉近文物与公众距离，又推动文化产业发展与消费升级．我省晋祠景区设置了一块矩形文创展销区，已知该展销区的长比宽多2米，为迎接旅游旺季，工作人员计划对该展销区进行扩建，从而可多摆放一些文创展示架；若将该展销区的长和宽分别增加3米，则扩建后展销区的面积为48平方米，求原矩形文创展销区的长和宽． 47．根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个； 市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务一 求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． 任务二 工厂为了提升利润，决定调整售价．要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少？ 任务三 有员工提出目标，希望月销售利润能达到20000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的涨价方案；如果不能，请说明理由． 48．APEC会议预计于2026年11月在深圳举行，这是中国第三次担任此会议的东道主，为让学生更加了解此次会议，学校想要组织学生手工制作联名产品帆布袋，需要购入原材料帆布袋和染料．已知购入4个帆布袋和2套染料共需104元，6个帆布袋和5套染料共需196元． （1）求帆布袋与染料的单价； （2）制作1个成品帆布袋需要1个帆布袋原材料，1套染料可以制作5个帆布袋，不计其余耗材及人工成本；该成品原定售价30元，平均每周可卖出100个；若单个售价每上涨1元，每周销量减少5个．若文创中心想要每周获利1125元，售价应定为多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教第二十五章 一元二次方程 ★知识精讲★ 一、一元二次方程的概念 1.概念：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程 2.形式：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0） 3.一元二次方程必须同时满足以下三个条件： （1）是整式方程； （2）只含有 个未知数； （3）未知数的最高次数是 . 示例1： 将 3x(x-1) = 5(x+2)化为一般形式 解：去括号得 3x2 -3x = 5x + 10 → 移项合并得 3x2 -8x-10 =0 其中a=3，b=−8，c=−10 示例2： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3 1 1 1 0 4 易错警示：对于方程，只有当时才是一元二次方程；若是一元二次方程，则必然隐含着. 二、一元二次方程的解法（基本思路：降次） 1. 一元二次方程的解法 （1）配方法（适用于所有一元二次方程） 基本思路：将方程转化为 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当 时，两边同时开平方，转化为一元一次方程即可求根. 例：用配方法解方程 . 解： …………将常数项移到方程的右边 …………两边都加 （一次项系数 的一半的平方） 即 …………将方程转化为 的形式 …………两边开平方 , …………求解 配方关键点：将常数项移到方程右边后，一定要注意等号两侧要同时加一次项系数一半的平方 注：当方程为 的形式时，可运用直接开平方法. （2） 公式法（适用于所有一元二次方程） 求根公式为 （ ），在使用求根公式时需牢记两点：①要先将一元二次方程化为一般式；②确定 , , 的值时要带符号. 注：对于一元二次方程 ，当 0时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 0时，方程没有实数根. （3）因式分解法（适用于方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程） 在使用因式分解法时需牢记三点：①方程的右边 ；②方程的左边进行因式分解；③方程化为两个一元一次方程；④写出方程的两个解. 例：用因式分解法解方程 . 解： …………移项，使方程右边 …………进行因式分解 或 …………将一元二次方程转化为两个一元一次方程 ， …………求解 【易错警示】方程两边不能同时约去 ,可能存在 的情况 . 2.一元二次方程根与系数的关系 当 时，一元二次方程 有两个实数根 、 ，则有： ， . 三、一元二次方程的实际应用 （1）打折销售问题 数量关系：①售价 标价 折扣（例：打8折就是标价 ） ②销售额 售价 销量；利润 售价 成本价 ③利润率 例1 ：某种商品的进价是200元，标价是280元，打折销售时的利润率为 ，此商品是按八折销售的. 【分析】由题可知，利润率 利润率 ；设该商品按 折销售，则售价为 元，利润为 元，则可列方程为 . （2）每每问题 例2： 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，则每千克核桃应降价4或6元. 【分析】由题可知，核桃的进价为每千克40元，售价为每千克60元，原来平均每天可售出100千克，现在单价每降低2元，平均每天的销售量可增加20千克，设每千克核桃降价 元，则现在利润为 元，增加的销售量为 千克，则可列方程为 . （3） 行程问题 数量关系：路程 速度 时间 （1） 相遇问题：总路程=甲走的路程 乙走的路程； （2） 追及问题：①同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程； ②同时不同地出发：甲的时间 乙的时间，前者走的路程 不同出发点距离=追者走的路程； （3）航行问题：①顺水速度 静水速度 水流速度；②逆水速度 静水速度 水流速度 （4）工程问题 数量关系：①工作量 工作效率 时间 ②甲的工作量 乙的工作量 甲、乙合作的工作量 （5） 变化率问题 ① 若基础量为 ，平均增长率为 ，则第一次增长后为 ，第二次增长后为 ，若增长两次后的量为 ，则有 ； ② 若基础量为 ，平均下降率为 ，则第一次下降后为 ，第二次下降后为 ，若下降两次后的量为 ，则有 . 例3 ：目前以 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展.某市2020年底有 用户2万户，计划到2022年底全市 用户数累计达到8.72万户，设全市 用户数年平均增长率为 ，根据题意可列方程为 . （6）握手、单循环赛与送礼物问题 数量关系：①握手、单循环赛总次数为 （ 为人数， ）； ②送礼物总份数为 （ 为人数, ）. 例4 ：学校组织一次足球赛，要求每两队之间都要赛一场.若共赛了28场，则有几支球队参赛？设有 支球队参赛，则可列方程为 . 例5 ：2026年新年期间，班上数学兴趣小组的同学互发微信祝贺，每两名同学都互相发一次.小明统计全组共互发了72次微信，设数学兴趣小组的人数为 ，则可列方程为 . 例6 ：某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场5个. （7）日历问题 ①日历中的数量关系： 每一横排相邻两个数字相差1； 每一竖排相邻两个数字相差7； 左上到右下相邻两个数字相差8； 右上到左下相邻两个数字相差6； ②日历中矩形框内的数量关系： 落在矩形框内的9个数字，最中间的数字是 这9个数字的平均值； 每一横排、竖排、对角线，中间的数字都是它们的平均值. ★课后作业★ 类型一 一元二次方程的概念及基本形式 1．下列是一元二次方程的是（　　） A．x2+y＝0 B． C．xy＝1 D．x2＝6x 2．若方程（a+3）x|a|﹣1﹣x＝2是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．不存在 3．下列方程中：①2x2﹣1＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．将一元二次方程3x2＝﹣2x+1化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，2，﹣1 B．3，﹣2，1 C．3，2，1 D．3，﹣2，﹣1 5．把一元二次方程x2﹣2（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣1＝0 B．x2﹣5x+2＝0 C．x2﹣x﹣2＝0 D．x2﹣x+2＝0 6．把一元二次方程（x+2）（x﹣2）＝4x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣4x+4＝0 C．x2+4x﹣4＝0 D．x2+4x+4＝0 7．把方程x（x+2）＝5（x﹣2）化成一般形式，得到x2﹣ax+10＝0，则a的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7 类型二 一元二次方程的解法 8．如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（　　） A．﹣2 B．±2 C．±1 D．1 9．若一元二次方程有一个根是x＝0，则这个方程可以是（　　） A．（x+1）（x+2）＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2﹣1＝0 D．x2﹣x＝0 10．解一元二次方程（x+2）2＝4时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为x+2＝2，则另一个方程为（　　） A．x﹣2＝﹣2 B．x+2＝﹣2 C．x﹣2＝2 D．x+2＝2 11．如果关于x的方程（x﹣9）2＝m+3可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m≥0 C．m＞﹣3 D．m≥﹣3 12．将一元二次方程x2﹣8x＝0配方后变形为（x+a）2＝b，则a的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 13．解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，配方后正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣1）2＝4 14．用配方法解方程x2﹣2x＝2时，左右两边需同时加上常数是（　　） A．1 B．﹣2 C．2 D．﹣1 15．用配方法将方程x2+6x﹣1＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（　　） A．﹣3，9 B．3，9 C．﹣3，10 D．3，10 16．解方程时，设，则原方程可化为关于y的整式方程是（　　） A．3y2﹣2y﹣1＝0 B．y2﹣2y﹣3＝0 C．y2+2y﹣3＝0 D．y2﹣3y﹣2＝0 17．若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A．3x2+x﹣5＝0 B．3x2﹣x﹣5＝0 C．x2﹣3x﹣5＝0 D．x2+3x﹣5＝0 18．定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{1，3}＝3，因此max{﹣1，﹣3}＝﹣1；按照这个规定，若max{x，﹣x}，则x的值是（　　） A．﹣1 B．﹣1或2 C．2 D．1或2 19．用公式法解方程2x2+7x＝5时，得，则“□”处应填（　　） A．5 B．﹣5 C．﹣7 D．7 20．某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x2＝3x，解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以x，得x＝3． 移项，得x2﹣3x＝0 ∴x（x﹣3）＝0． ∴x﹣3＝0或x＝0，解得x1＝3，x2＝0． 其中完全正确的是（　　） A．甲 B．都正确 C．乙 D．都不正确 21．关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值为　 　 ． 22．若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣m）＝0的一个根是10，则另一个根是　 　 ． 23．已知三角形的一条边边长为2，另外两边边长分别是方程x2﹣3x+2＝0的两个解，则这个三角形的周长为　 　 ． 24．解方程： （1）4x2+2＝66； （2）2x2﹣4x﹣5＝0． 25．解方程： （1）5（x﹣2）2＝20； （2）2x2﹣4x﹣1＝0． 26．解方程： （1）x2﹣2x＝5； （2）x2﹣x﹣1＝0． 类型三 一元二次方程根的判别 27．若关于x的一元二次方程（x﹣1）（x+m）＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 28．若关于方程ax2+4x+a＝0有且只有一个实数根，则实数a的值是（　　） A．a＝0，a＝±2 B．a＝±2 C．a＝2 D．a＝0 29．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是（　　） A．2 B．1 C． D．0 30.一元二次方程4x2﹣7x+3＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 31.设m，n是方程x2+x﹣2027＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（　　） A．2029 B．2028 C．2026 D．2025 类型四 一元二次方程根与系数的关系 32.一元二次方程x2﹣x＝0的两个实数根为x1和x2，则代数式x1+x2的值为（　　） A．1 B．2 C．0 D．﹣1 33.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2的值为（　　） A．﹣3 B．0 C．1 D．3 34.若关于x的一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两根之和是（　　） A．﹣1 B．0 C．4 D．5 35.若一元二次方程x2+3x﹣4＝0的两根是x1、x2，则x1•x2＝（　　） A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4 类型五 一元二次方程的实际应用 36.某商店今年1月份的销售额为200万元，经过促销第一季度（1月、2月、3月）总销售额达到798万元．设2、3月份每月销售额的平均增长率为x，则根据题意可列方程为（　　） A．200（1+x）2＝798 B．200+200x+200x2＝798 C．200（1+2x）＝798 D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝798 37.四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（　　） A．x（x﹣1）＝72 B．x（x﹣1）＝72 C．x（x+1）＝72 D．x（x+1）＝72 38.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，根据题意可列分式方程为（　　） A． B． C． D． 39.为传承中华优秀传统文化，某校开展了“古法数学趣探究”活动．同学们对《增删算法统宗》中的“圆中方”问题进行了实地模拟：在校园规划一块圆形空地，中间设计正方形的水池，打造“可耕可赏”的校园景观．已知除水池外，可种植绿植的面积恰好为72平方米，从水池边到圆周，每边均相距3米．设水池的边长为x米，则下列方程能正确表示数量关系的是（　　） A．π（x+3）2﹣x2＝72 B． C．π（x+3）2﹣x2＝36 D． 40.某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这道数学题．设一人每次教会了x名同学，则下列方程正确的是（　　） A．1+x2＝36 B．1+x（x+1）＝36 C．x+x2＝36 D．1+x+x（x+1）＝36 41．为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量y（件）与每件售价x（元）的函数关系如图所示． （1）求y与x的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元． 42．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 43．如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． （1）如图，若圈出的4个数a、b、c、d中，最小的数a＝x，则b＝x+1，c＝　 　 ，d＝　 　 ．（用含x的代数式表示） （2）在小组活动中，小轩通过计算，发现ad﹣bc的差恒为常数，请你证明． （3）若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． 44．如图，在长15m，宽6m的矩形地面内修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下部分铺上草坪，要使草坪的面积达到70m2，道路的宽应为多少？ 45．综合与实践． 项目主题：制作新学期的开学手册封面 素材一：小华设计的开学手册的封面是尺寸为长34cm，宽22cm的长方形，正中央有一个长方形边框，其四周是边衬．上下边衬等宽，左右边衬等宽，且上下边衬的宽度是左右边衬宽度的一半．小华设计的边衬面积为172cm2． 素材二：封面边框内需要张贴一张长方形的校园照片．为了使排版规范，照片的长宽比例等于边框的长宽比例．小华设计照片到边框下方的下距为22cm，到边框左右的左距与右距，以及到边框上方的上距都为1cm． 【任务一】设上边衬的宽度为xcm，用含x的代数式表示边框的长和宽． 【任务二】求边框的长和宽． 【任务三】通过计算说明，小华的设计是否规范． 46．近年来，各地深挖传统文化，结合现代设计推出文创潮品，既拉近文物与公众距离，又推动文化产业发展与消费升级．我省晋祠景区设置了一块矩形文创展销区，已知该展销区的长比宽多2米，为迎接旅游旺季，工作人员计划对该展销区进行扩建，从而可多摆放一些文创展示架；若将该展销区的长和宽分别增加3米，则扩建后展销区的面积为48平方米，求原矩形文创展销区的长和宽． 47．根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个； 市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务一 求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． 任务二 工厂为了提升利润，决定调整售价．要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少？ 任务三 有员工提出目标，希望月销售利润能达到20000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的涨价方案；如果不能，请说明理由． 48．APEC会议预计于2026年11月在深圳举行，这是中国第三次担任此会议的东道主，为让学生更加了解此次会议，学校想要组织学生手工制作联名产品帆布袋，需要购入原材料帆布袋和染料．已知购入4个帆布袋和2套染料共需104元，6个帆布袋和5套染料共需196元． （1）求帆布袋与染料的单价； （2）制作1个成品帆布袋需要1个帆布袋原材料，1套染料可以制作5个帆布袋，不计其余耗材及人工成本；该成品原定售价30元，平均每周可卖出100个；若单个售价每上涨1元，每周销量减少5个．若文创中心想要每周获利1125元，售价应定为多少元？ 参考答案与试题解析 1．D2．B3．B4．A5．B6．A7．A8．A9．D10．B11．D12．B13．A14．A15．D 16．B17．B18．B19．C20．C21．±2 22．2 23．5 24．解：（1）4x2+2＝66， 整理得：4x2＝64， 则x2＝16， 直接开平方得：x＝±4， 即x1＝﹣4，x2＝4； （2）2x2﹣4x﹣5＝0， 整理得：2x2﹣4x＝5， 即x2﹣2x， 配方得：x2﹣2x+11， 即（x﹣1）2， 直接开平方得：x﹣1＝±， 解得：x1，x2． 25．解：（1）5（x﹣2）2＝20， ∴（x﹣2）2＝4， ∴x﹣2＝±2， 解得：x1＝4，x2＝0； （2）∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，Δ＝b2﹣4ac＝16+8＝24＞0， ∴， 解得：，． 26．解：（1）x2﹣2x＝5， x2﹣2x+1＝5+1， （x﹣1）2＝6， ， 解得：，； （2）x2﹣x﹣1＝0， ∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5， ∴， ∴，． 27．A28．A29．A30．C31．C32．A33．A34．D35．D36．D37．B38．A39．B40．D 41．解：（1）设y与x的函数表达式为y＝kx+b， 把（30，40），（40，30）代入得：， 解得：， ∴y与x的函数表达式为y＝﹣x+70； （2）由题意得：（x﹣20）（﹣x+70）＝525， 整理得：x2﹣90x+1925＝0， 解得：x1＝35，x2＝55， ∵尽可能的让利于顾客， ∴x2＝55不符合题意，舍去， 答：该款文创产品每件的售价为35元． 42．解：（1）设月平均增长率为x， 500（1+x）2＝720， 解得x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2＜0（舍去）， 答：月平均增长率为20%． （2）设售价应降低a元， （100﹣a﹣60）（20+2a）＝1200， ∴a2﹣30a+200＝0， ∴a＝10或a＝20， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴a＝20， 答：售价应降低20元． 43．解：（1）根据日历表可知，c＝a+7＝x+7，d＝b+7＝x+8； 故答案为：x+7，x+8； （2）证明如下： ∵ad﹣bc ＝x（x+8）﹣（x+1）（x+7） ＝x2+8x﹣x2﹣8x﹣7 ＝﹣7， ∴ad﹣bc的差恒为常数； （3）由题意得：x（x+8）＝105， 变形整理得：x2+8x﹣105＝0， 解得：x1＝7，x2＝﹣15（舍去）， 即这个最小的数是7． 44．解：设道路的宽为xm，则余下的部分可合成长为（15﹣x）m，宽为（6﹣x）m的矩形，根据题意可得： （15﹣x）（6﹣x）＝70， 90﹣15x﹣6x+x2＝70， x2﹣21x+20＝0， 解得：x1＝1，x2＝20（舍）， 答：道路的宽应为1m． 45．解：【任务一】设上边衬的宽度为xcm，则下边衬的宽度为xcm，左、右边衬的宽度为2xcm， ∴边框的长为34﹣x﹣x＝（34﹣2x）cm，宽为22﹣2x﹣2x＝（22﹣4x）cm； 【任务二】根据题意得：34×22﹣（34﹣2x）（22﹣4x）＝172， 整理得：2x2﹣45x+43＝0， 解得：x1＝1，x2（不符合题意，舍去）， ∴34﹣2x＝34﹣2×1＝32（cm）， 22﹣4x＝22﹣4×1＝18（cm）． 答：边框的长为32cm，宽为18cm； 【任务三】小华的设计规范，理由如下： 照片的长为18﹣1﹣1＝16（cm）， 照片的宽为32﹣1﹣22＝9（cm）， ∵边框的长为32cm，宽为18cm，且32：18＝16：9， ∴小华的设计规范． 46．解：设原矩形文创展销区的宽为x米，长为（x+2）米，则扩建后的宽为（x+3）米，扩建后的长为（x+2+3）＝（x+5）米，根据题意可得： （x+3）（x+5）＝48， 解方程得x1＝3，x2＝﹣11（宽度不能为负，舍去）， ∴x+2＝5， ∴原矩形文创展销区的长为5米，宽为3米． 47．解：（1）设车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为x， 由题意得100（1+x）2＝144， 解得x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为20%； （2）设该零件的实际售价为m元， 由题意得（m﹣30）[600﹣10（m﹣40）]＝10000， 解得m＝50或m＝80． ∵尽可能让消费者得到实惠， ∴m＝50． 答：该零件的实际售价应定为50元； （3）设实际售价为n元， 由题意得（n﹣30）[600﹣10（n﹣40）]＝20000， 整理得n2﹣130n+5000＝0， ∵Δ＝（﹣130）2﹣4×1×5000＝﹣3100＜0， ∴方程没有实数根， 故月销售利润不能达到20000元． 48．解：（1）设帆布袋的单价是x元/个，染料的单价是y元/套， 根据题意得：， 解得：． 答：帆布袋的单价是16元/个，染料的单价是20元/套； （2）每个成品帆布袋的成本价为1620（元）． 设售价应定为m元，则每个的销售利润为（m﹣20）元，平均每周可卖出100﹣5（m﹣30）＝（250﹣5m）个， 根据题意得：（m﹣20）（250﹣5m）＝1125， 整理得：m2﹣70m+1225＝0， 解得：m1＝m2＝35． 答：售价应定为35元． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/22 15:12:22；用户：贾老师；邮箱：18700475953；学号：68421402 学科网（北京）股份有限公司 $