第二十五章 一元二次方程 单元测试-2026-2027学年人教版九年级数学上册考点解惑

**基本信息** 本卷为初中数学一元二次方程单元测试，总分120分，全面覆盖概念、解法、应用及拓展，以赵爽弦图、长征文创等真实情境为载体，凸显数学眼光、思维与语言的核心素养导向，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|10/30|定义、解法、根的判别式、实际应用（增长率）|结合赵爽弦图考几何与方程综合，体现文化传承| |填空题|8/24|根的意义、判别式取值范围、换元法、菱形面积（对角线为方程根）|设置半角三角形动态问题，培养几何直观| |解答题|8/66|解方程（公式法/配方法）、根与系数关系、“倍根方程”新定义、灯珠规律探究|长征文创盈利问题强化模型意识，图形规律题发展推理能力，契合真题创新趋势|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第二十五章 一元二次方程 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．用配方法解方程，变形后结果正确的是（     ） A． B． C． D． 4．关于x的一元二次方程 根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根 5．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C．3 D．5 6．某文创公司的月收入逐月攀升，今年月份收入万元，经过两个月后，月份收入达到万元，设该文创公司收入的月平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（    ）个人患流感． A．8 B．9 C．648 D．729 8．已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程的根，则这个三角形的周长为（     ） A．25 B．21 C．19 D．17 9．如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，他用四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知三个实数满足，且，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．4 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．方程的根是________． 12．若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为__________． 13．已知关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是__________． 14．若方程的两个根是，，则的值为________． 15．已知菱形的两条对角线的长分别是方程的两个根，则该菱形的面积为_____． 16．方程的正根介于正整数与之间，则________． 17．解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______． 18．若三角形中有一个内角等于与它不相邻的一个外角的一半，则称这个三角形为半角三角形．如图，在矩形中，，，点是中点，点在射线上，若为半角三角形，则的长为________． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（12分）解方程： (1)（公式法） (2)．（配方法） (3)（选用适当方法） (4)（选用适当方法） 20．（6分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)任取一个符合条件的m的值，并求此一元二次方程的解． 21．（6分）已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为，，求代数式． 22．（6分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料． (1)当长度是多少时，矩形花园的面积为； (2)能否围成矩形花园面积为，为什么？ 23．（8分）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 24．（8分）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” (1)通过计算，判断是否是“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程（、是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出、的值． 25．（10分）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，．材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程 的两个实数根分别为m，n， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且 ，求的值． 26．（10分）综合与实践：图形规律探究 【项目主题】某校数学实践小组在观察一种LED灯的信号灯红绿灯交替闪烁时，发现该信号灯的灯珠按一定规律进行排列．为了探究灯珠的摆放规律，该小组观察不同大小的信号灯的灯珠个数进行探究． 【项目准备】 1．观察现象 不同大小的信号灯的灯珠排放方式如下图所示，其中实心圆表示发出红光，空心圆表示发出绿光． 2．规律猜想 小组初步猜想：用不同方式来观察第n个图的灯珠的总个数S，并尝试用算式表达． 【项目分析】 1．统一符号：设第个图的灯珠总数为． 2．任务分解： 任务一：通过每行来数的方式写出和的算式，并归纳的表达式． 任务二：换一种分割方式（如按“斜线”来数），重新表达出． 任务三：建立第个图灯珠总数的通用公式． 【项目实施】 问题一：按“行”来统计数量 1．请补全下表： 图形 算式 ①_______ ②_______ 2．根据规律，写出第个图的算式：③_______．（写出最终结果） 问题二：按“斜线”来统计数量 请补全下表： 图形 算式 ④_______ ⑤_______ 问题三：建立通用公式 根据你在问题一和问题二中得出的规律，写出第n个图形中的规律：⑥_______． 根据以上信息，完成下面内容： (1)将上面的空白内容补充完整： ①_______；②________；③________； ④_______；⑤_______；⑥________． (2)若某个信号灯的灯珠的 ，求n的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程 单元测试 总分：120分（参考答案） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C C B A C D A B B 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11.， 12. 13. 且 14. 15. 16.2 17. 18.2或 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（12分） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据公式法解一元二次方程； （2）根据配方法解一元二次方程； （3）根据直接开平方法解一元二次方程； （4）先化为一般形式，根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， 化简得：， ， ， 解得： ；（3分） （2）解：， 移项得：， 配方得：， 即， 故， 解得：；（6分） （3）解：， 移项得：， 开方得：， 解得：  ；（9分） （4）解：， 化简得：， 因式分解得：， 即或， 解得：．（12分） 20．（6分） 【答案】(1) (2)当时，， 【分析】（1）根据条件得出，即，即可得出结论； （2）任取一个符合条件的m的值，并代入计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴；（3分） （2）解：由（1）可知 ∴当时，一元二次方程为， 解得，（6分） 21．（6分） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求出，即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，将所求代数式变形为，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：由题意可得： ， ， ， ∴该方程总有两个实数根；（3分） （2）解：∵该方程的两个实数根为，， ∴，， ∴ ．（6分） 22．（6分） 【答案】(1)当长度是时，矩形花园的面积为 (2)不能，理由如下： 设，则， 依题意得：， 整理得：． ， 该方程无实数根， 不能围成面积为的矩形花园． 【分析】（1）设，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合围墙最长可利用，即可确定结论； （2）设，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程无实数根，进而可得出不能围成面积为的矩形花园． 【详解】（1）解：设，则， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：当长度是时，矩形花园的面积为．（3分） （2）略（6分） 23．（8分） 【答案】(1) (2)该款文创产品每件的售价为35元． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为；（4分） （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元．（8分） 24．（8分） 【答案】(1)是 (2)0或3 (3)6，4 【分析】（1）利用因式分解法解方程得到两根，然后根据“倍根方程”新定义进行判断； （2）先利用因式分解法解方程，设方程的两根分别为，，根据“倍根方程”的根的两倍关系列方程，再计算对应的的值； （3）设方程的两根分别为，，再根据根与系数的关系即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得，， ， ∴方程是“倍根方程”．（2分） （2）解：， ∴，    ，． 若，则，解得； 若，则，解得； 或．（5分） （3）解：设两根为、， 则， 解得， ∴， ∴方程的两根为2和4． 由根与系数的关系知，， 解得．（8分） 25．（10分） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将、可以看作方程的两个根，即得出，从而可求出，即或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为， ．（3分） （2）解：∵一元二次方程的两个根分别为， ， ．（6分） （3）解：∵实数满足， ∴可以看作方程的两个根， ， ， 或， 当时，， 当时，， 综上可知，的值为或．（10分） 26．（10分） 【答案】(1) ①；②；③；④；⑤ ⑥ (2)19 【分析】（1）从“按行”和“按斜线”两种视角观察图形，归纳出第 个图形灯珠总数的通项公式 ；（2）建立方程 ，求解并舍去负根即可． 【详解】（1）解：①： （1分） ②： （2分） ③：根据规律可得：（3分） ④：（4分） ⑤：（5分） ⑥：问题一中的规律为：，问题二中的规律为： 第n个图形中的规律：（6分） （2）解： (舍去)， （10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．用配方法解方程，变形后结果正确的是（     ） A． B． C． D． 4．关于x的一元二次方程 根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根 5．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C．3 D．5 6．某文创公司的月收入逐月攀升，今年月份收入万元，经过两个月后，月份收入达到万元，设该文创公司收入的月平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（    ）个人患流感． A．8 B．9 C．648 D．729 8．已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程的根，则这个三角形的周长为（     ） A．25 B．21 C．19 D．17 9．如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，他用四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知三个实数满足，且，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．4 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．方程的根是________． 12．若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为__________． 13．已知关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是__________． 14．若方程的两个根是，，则的值为________． 15．已知菱形的两条对角线的长分别是方程的两个根，则该菱形的面积为_____． 16．方程的正根介于正整数与之间，则________． 17．解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______． 18．若三角形中有一个内角等于与它不相邻的一个外角的一半，则称这个三角形为半角三角形．如图，在矩形中，，，点是中点，点在射线上，若为半角三角形，则的长为________． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（12分）解方程： (1)（公式法） (2)．（配方法） (3)（选用适当方法） (4)（选用适当方法） 20．（6分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)任取一个符合条件的m的值，并求此一元二次方程的解． 21．（6分）已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为，，求代数式． 22．（6分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料． (1)当长度是多少时，矩形花园的面积为； (2)能否围成矩形花园面积为，为什么？ 23．（8分）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 24．（8分）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” (1)通过计算，判断是否是“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程（、是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出、的值． 25．（10分）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，．材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程 的两个实数根分别为m，n， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且 ，求的值． 26．（10分）综合与实践：图形规律探究 【项目主题】某校数学实践小组在观察一种LED灯的信号灯红绿灯交替闪烁时，发现该信号灯的灯珠按一定规律进行排列．为了探究灯珠的摆放规律，该小组观察不同大小的信号灯的灯珠个数进行探究． 【项目准备】 1．观察现象 不同大小的信号灯的灯珠排放方式如下图所示，其中实心圆表示发出红光，空心圆表示发出绿光． 2．规律猜想 小组初步猜想：用不同方式来观察第n个图的灯珠的总个数S，并尝试用算式表达． 【项目分析】 1．统一符号：设第个图的灯珠总数为． 2．任务分解： 任务一：通过每行来数的方式写出和的算式，并归纳的表达式． 任务二：换一种分割方式（如按“斜线”来数），重新表达出． 任务三：建立第个图灯珠总数的通用公式． 【项目实施】 问题一：按“行”来统计数量 1．请补全下表： 图形 算式 ①_______ ②_______ 2．根据规律，写出第个图的算式：③_______．（写出最终结果） 问题二：按“斜线”来统计数量 请补全下表： 图形 算式 ④_______ ⑤_______ 问题三：建立通用公式 根据你在问题一和问题二中得出的规律，写出第n个图形中的规律：⑥_______． 根据以上信息，完成下面内容： (1)将上面的空白内容补充完整： ①_______；②________；③________； ④_______；⑤_______；⑥________． (2)若某个信号灯的灯珠的 ，求n的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A. 中含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意； B. 含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； C. 整理后，消去得，不是一元二次方程，不合题意； D. 整理得，只含一个未知数的整式方程，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程的定义，符合题意． 2．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为 ，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为5和． 3．用配方法解方程，变形后结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式对等式左边进行配方，即可得结论． 【详解】解：， ∴， ∴． 4．关于x的一元二次方程 根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】B 【详解】解：对于一元二次方程，可知，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 5．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若方程有两个实数根，则两根之积，据此计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，方程中， ∴． 6．某文创公司的月收入逐月攀升，今年月份收入万元，经过两个月后，月份收入达到万元，设该文创公司收入的月平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解题思路是根据月平均增长率依次推出3月份的收入表达式，结合已知3月份收入列出方程． 【详解】解：∵1月份收入为万元，月平均增长率为, ∴2月份收入为万元, ∴3月份收入为万元, 又∵已知3月份收入为万元, ∴可列方程为. 7．有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（    ）个人患流感． A．8 B．9 C．648 D．729 【答案】D 【分析】先列方程求出每轮平均传染人数，那么第一轮后患病总人数为，第二轮新增患病人数为，根据“经过两轮传染后共有81个人患流感”，列出方程解得后再计算第三轮传染后的总患病人数． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染个人， ， 整理得， 解得或， ∵传染人数不能为负数， ∴不符合题意，舍去， 则第三轮传染后总患病人数为（人）． 8．已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程的根，则这个三角形的周长为（     ） A．25 B．21 C．19 D．17 【答案】A 【分析】先求解给定的一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系排除不符合的取值，最后计算得到三角形的周长. 【详解】解：∵， 因式分解得， ∴或， 当时，，不满足三边关系，不能构成三角形，舍去， 当时，，满足三边关系，可以构成三角形， ∴三角形的周长为. 9．如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，他用四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意得，，，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值，求出的长，再利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图， ∵四个直角三角形都全等的，正方形的面积为5，小正方形的面积为1， ∴，，， 设，则， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ， ． 10．已知三个实数满足，且，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．4 【答案】B 【分析】根据已知等式变形，结合韦达定理构造一元二次方程，利用方程有实数根得出判别式大于等于零，建立关于c的不等式求解范围，最后验证取值成立，求出c的最小值． 【详解】解：， ． ，， ， ． 、是一元二次方程的两个实数根． 方程有实数根， ， ， ． ，两边同时除以16，得 ， 两边同乘正数，得 ． ， ． 当时，方程为，解得， 即，． 将，，代入原式，，，符合题意． 的最小值为1． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．方程的根是________． 【答案】， 【分析】先移项将方程化为一边为0的形式，再提取公因式因式分解，令每个因式为0即可求出方程的根． 【详解】解：移项得， 提取公因式得， 则或 解得，． 12．若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是， 将代入方程得：， 整理得：， 解得：． 13．已知关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是__________． 【答案】 且 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意知，， 又∵方程有实数根， ∴， 解得：， ∴且． 14．若方程的两个根是，，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最后整体代入求值即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，两个根为， 根据根与系数的关系可得： ， ∵ ∴将，代入得：原式． 15．已知菱形的两条对角线的长分别是方程的两个根，则该菱形的面积为_____． 【答案】 【分析】先利用根与系数的关系得到两条对角线的乘积，再代入面积公式计算即可． 【详解】解：设菱形的两条对角线的长分别为， 是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系可得， 菱形的面积． 16．方程的正根介于正整数与之间，则________． 【答案】2 【分析】先求解方程得到正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：， ∴ ， ∴方程的正根为， ， ， ，则． 17．解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______． 【答案】 【分析】将代入原方程，把原方程转化为含的分式方程，再去分母整理即可得到关于的整式方程． 【详解】解：设，则，， 原方程可化为， 两边同时乘以得， 整理得， 得到关于的整式方程是． 18．若三角形中有一个内角等于与它不相邻的一个外角的一半，则称这个三角形为半角三角形．如图，在矩形中，，，点是中点，点在射线上，若为半角三角形，则的长为________． 【答案】2或 【分析】先根据半角三角形的定义证明半角三角形是等腰三角形．设，再分两种情况： ①当点F在线段上时，②当点F在线段的延长线上时，根据勾股定理表示出的三边长，根据等腰三角形的两条边相等列出方程，求解即可． 【详解】解：如图，是半角三角形，是的外角， 根据半角三角形的定义不妨设， ∵， ∴， ∴． 作的平分线，交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴半角三角形是等腰三角形． ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点E是的中点， ∴， ∴在中，． 设， ①当点F在线段上时，，． ∴在中，， 在中，． ∵是半角三角形， ∴是等腰三角形， 若，则，即，解得（负值已舍去）； 若，则，即，该方程无实数解； 若，则，即，解得，不满足，舍去． ∴当点F在线段上时，． ②当点F在线段的延长线上时，，． ∴在中，， 在中，． ∵是半角三角形， ∴是等腰三角形， 若，则，即，解得，不满足，舍去； 若，则，即，该方程无实数解； 若，则，即，解得． ∴当点F在的延长线上时，． 综上所述，的长为2或． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（12分）解方程： (1)（公式法） (2)．（配方法） (3)（选用适当方法） (4)（选用适当方法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据公式法解一元二次方程； （2）根据配方法解一元二次方程； （3）根据直接开平方法解一元二次方程； （4）先化为一般形式，根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， 化简得：， ， ， 解得： ；（3分） （2）解：， 移项得：， 配方得：， 即， 故， 解得：；（6分） （3）解：， 移项得：， 开方得：， 解得：  ；（9分） （4）解：， 化简得：， 因式分解得：， 即或， 解得：．（12分） 20．（6分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)任取一个符合条件的m的值，并求此一元二次方程的解． 【答案】(1) (2)当时，， 【分析】（1）根据条件得出，即，即可得出结论； （2）任取一个符合条件的m的值，并代入计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴；（3分） （2）解：由（1）可知 ∴当时，一元二次方程为， 解得，（6分） 21．（6分）已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为，，求代数式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求出，即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，将所求代数式变形为，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：由题意可得： ， ， ， ∴该方程总有两个实数根；（3分） （2）解：∵该方程的两个实数根为，， ∴，， ∴ ．（6分） 22．（6分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料． (1)当长度是多少时，矩形花园的面积为； (2)能否围成矩形花园面积为，为什么？ 【答案】(1)当长度是时，矩形花园的面积为 (2)不能，理由如下： 设，则， 依题意得：， 整理得：． ， 该方程无实数根， 不能围成面积为的矩形花园． 【分析】（1）设，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合围墙最长可利用，即可确定结论； （2）设，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程无实数根，进而可得出不能围成面积为的矩形花园． 【详解】（1）解：设，则， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：当长度是时，矩形花园的面积为．（3分） （2）略（6分） 23．（8分）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【答案】(1) (2)该款文创产品每件的售价为35元． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为；（4分） （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元．（8分） 24．（8分）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” (1)通过计算，判断是否是“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程（、是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出、的值． 【答案】(1)是 (2)0或3 (3)6，4 【分析】（1）利用因式分解法解方程得到两根，然后根据“倍根方程”新定义进行判断； （2）先利用因式分解法解方程，设方程的两根分别为，，根据“倍根方程”的根的两倍关系列方程，再计算对应的的值； （3）设方程的两根分别为，，再根据根与系数的关系即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得，， ， ∴方程是“倍根方程”．（2分） （2）解：， ∴，    ，． 若，则，解得； 若，则，解得； 或．（5分） （3）解：设两根为、， 则， 解得， ∴， ∴方程的两根为2和4． 由根与系数的关系知，， 解得．（8分） 25．（10分）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，．材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程 的两个实数根分别为m，n， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且 ，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将、可以看作方程的两个根，即得出，从而可求出，即或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为， ．（3分） （2）解：∵一元二次方程的两个根分别为， ， ．（6分） （3）解：∵实数满足， ∴可以看作方程的两个根， ， ， 或， 当时，， 当时，， 综上可知，的值为或．（10分） 26．（10分）综合与实践：图形规律探究 【项目主题】某校数学实践小组在观察一种LED灯的信号灯红绿灯交替闪烁时，发现该信号灯的灯珠按一定规律进行排列．为了探究灯珠的摆放规律，该小组观察不同大小的信号灯的灯珠个数进行探究． 【项目准备】 1．观察现象 不同大小的信号灯的灯珠排放方式如下图所示，其中实心圆表示发出红光，空心圆表示发出绿光． 2．规律猜想 小组初步猜想：用不同方式来观察第n个图的灯珠的总个数S，并尝试用算式表达． 【项目分析】 1．统一符号：设第个图的灯珠总数为． 2．任务分解： 任务一：通过每行来数的方式写出和的算式，并归纳的表达式． 任务二：换一种分割方式（如按“斜线”来数），重新表达出． 任务三：建立第个图灯珠总数的通用公式． 【项目实施】 问题一：按“行”来统计数量 1．请补全下表： 图形 算式 ①_______ ②_______ 2．根据规律，写出第个图的算式：③_______．（写出最终结果） 问题二：按“斜线”来统计数量 请补全下表： 图形 算式 ④_______ ⑤_______ 问题三：建立通用公式 根据你在问题一和问题二中得出的规律，写出第n个图形中的规律：⑥_______． 根据以上信息，完成下面内容： (1)将上面的空白内容补充完整： ①_______；②________；③________； ④_______；⑤_______；⑥________． (2)若某个信号灯的灯珠的 ，求n的值． 【答案】(1) ①；②；③；④；⑤ ⑥ (2)19 【分析】（1）从“按行”和“按斜线”两种视角观察图形，归纳出第 个图形灯珠总数的通项公式 ；（2）建立方程 ，求解并舍去负根即可． 【详解】（1）解：①： （1分） ②： （2分） ③：根据规律可得：（3分） ④：（4分） ⑤：（5分） ⑥：问题一中的规律为：，问题二中的规律为： 第n个图形中的规律：（6分） （2）解： (舍去)， （10分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $