第二十二章 二次函数 单元测试-2026-2027学年人教版九年级数学上册考点解惑

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元测试，总分120分，通过选择、填空、解答题梯度设计，全面覆盖二次函数核心知识，突出数学眼光、思维与语言的素养考查，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|10/30|顶点坐标、图像平移、性质判断等|如第1题考查顶点坐标，第5题考查平移规律，注重概念辨析与基础运算，体现抽象能力与几何直观| |填空题|8/24|图像性质、最值应用、几何结合|如第14题爆米花可食用率（最值）、第18题等边三角形中线段最短（几何与函数结合），渗透模型意识与空间观念| |解答题|8/66|实际应用、动点综合、抛物线平移与交点|如22题销售盈利问题（二次函数最值）、26题抛物线平移探究坐标关系，突出综合运用与创新意识，符合真题命题趋势|

第二十二章 二次函数 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 3．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 4．抛物线与轴交点坐标是（     ） A． B． C． D． 5．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 6．二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 7．对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 8．已知抛物线与轴交于点，，且，，则的值是（     ） A． B． C．4 D． 9．如图，点，，均在二次函数的图象上，为线段的中点，轴，且．设，两点的横坐标分别为，，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 10．如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．与抛物线形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是________． 12．抛物线经过点，则________． 13．已知点、在二次函数的图象上，若，则___（填“”、“”或“”）． 14．某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 15．若二次函数与x轴的交点分别为，，则______． 16．如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 17．若抛物线的顶点在直线上，且位于第二象限，则的值为__________． 18．如图，在等边三角形中，，点D，E分别在边，上，且，则当线段最短时，的长为________． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6 分）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，写出x的取值范围． 20．（6 分）一个菱形风筝的两条对角线的长之和为．其对角线的长发生变化时，菱形的面积也发生变化．在这个变化过程中，其中一条对角线的长为． (1)写出菱形的面积y（单位：）关于x（单位：）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)当时，求y的函数值． 21．（8 分）已知二次函数． (1)将二次函数化成的形式，并写出与y轴交点坐标； (2)在平面直角坐标系中列表画出的图象； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围． 22．（8 分）某商场销售人员在销售中发现：“南极人”牌童装进价为60元，售价定为100元时平均每天可售出20件．为了迎接六•一儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价5元，那么平均每天可多售出10件． (1)要想平均每天盈利1200元，那么每件童装的售价应定为多少元？ (2)每件童装的售价为多少元时，该商场每天销售此童装的盈利最多？ 23．（8 分）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长为米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形花园面积最大？最大面积是多少？ 24．（10 分）已知二次函数（a为常数且）． (1)当点在该函数图象上时，求a的值． (2)当和时（），函数值相等，求m，n之间的关系式． (3)若时，当时，若二次函数的最大值比最小值大2，求t的值． 25．（10 分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 26．（10 分）如图①，已知抛物线与x轴交于两点、，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)______； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由； (4)若抛物线与抛物线（其中）交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，______．（请用含a，，的代数式来表示） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章 二次函数 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数顶点式的顶点坐标为，直接求出结果即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 2．如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴ ∴的值可以是2． 3．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入式子中相应的位置即可求出函数值． 【详解】将代入得 ． 4．抛物线与轴交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与轴交点的横坐标为，将代入抛物线解析式计算出的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：当时， ， ∴抛物线与轴的交点坐标是． 5．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数平移“左加右减，上加下减”的规律，逐步推导即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线平移规律为左加右减自变量，上加下减常数项，原抛物线解析式为， ∴向左平移2个单位后，解析式变为，再向下平移3个单位，解析式整理得， ∴所得抛物线解析式为． 6．二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大， ∵点、、的横坐标满足，都在对称轴右侧， ∴． 7．对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据顶点式的特点，分别判断开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴抛物线开口向上，故错误； 顶点坐标为，故正确； 对称轴为直线，故错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故错误． 8．已知抛物线与轴交于点，，且，，则的值是（     ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】抛物线与x轴交点的横坐标是对应一元二次方程的根，根据一元二次方程根与系数的关系求出和，再计算的值； 【详解】解：∵抛物线与轴交于， ∴是一元二次方程的两个根， ∴， 解得：，， ∴． 9．如图，点，，均在二次函数的图象上，为线段的中点，轴，且．设，两点的横坐标分别为，，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】设点坐标为，则，由为线段的中点，得到，，从而求出． 【详解】解：设点坐标为， 轴，， ， 、、三点均在二次函数的图象上， ， 为线段的中点， ，， ， ， ， ， ， ． 10．如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．与抛物线形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是________． 【答案】 【分析】根据题意，顶点相同形状相同说明顶点坐标不变，二次项系数的绝对值不变，开口方向相反说明二次项系数符号相反，据此即可求解． 【详解】解：已知抛物线的顶点坐标为，由题意可知，所求抛物线顶点坐标不变，二次项系数绝对值不变，符号相反，因此所求抛物线的解析式为． 12．抛物线经过点，则________． 【答案】/ 【分析】将已知点的坐标代入抛物线解析式，通过整理变形即可求出所求代数式的值． 【详解】解：把点代入得： ， 整理得， 移项得， 等式两边同时除以，得． 13．已知点、在二次函数的图象上，若，则___（填“”、“”或“”）． 【答案】< 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合比较与的大小． 【详解】二次函数 中，二次项系数，因此抛物线开口向上， 该抛物线的对称轴为直线 ， 根据二次函数的性质，当 时， 随 的增大而减小， 已知 ，所以 ． 14．某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 【答案】3.75 【分析】根据二次函数的最值问题进行求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴当时，y取得最大值， ∴最佳加工时间为3.75分钟． 15．若二次函数与x轴的交点分别为，，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数与轴交点的横坐标是对应一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵二次函数与轴交点的横坐标，是一元二次方程的两个根， ∴． 16．如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 17．若抛物线的顶点在直线上，且位于第二象限，则的值为__________． 【答案】 【分析】 先求出抛物线的顶点坐标，将顶点坐标代入直线方程得到关于的一元二次方程，求解后根据第二象限点的坐标特征筛选出符合条件的的值即可； 【详解】解：， 顶点坐标为， 抛物线顶点在直线上， ， 整理得， 则， ， 解得：，， 顶点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于， 当时，顶点横坐标为，不符合要求，舍去； 当时，顶点横坐标为，纵坐标为，符合要求； 故的值为． 18．如图，在等边三角形中，，点D，E分别在边，上，且，则当线段最短时，的长为________． 【答案】 【分析】设，利用勾股定理列式得到，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，则， ∵等边三角形中，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 在中， 由勾股定理得 ， ∵， ∴当时，取得最小值，即取得最小值， ∴当线段最短时，的长为． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6 分）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点坐标，再由待定系数法求解函数解析式； （2）先求出抛物线与轴交点的横坐标，再由图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点与点B关于直线对称， ∴点B的坐标为， 代入，得：， 解得， ∴二次函数的表达式为（3分） （2）解：由， 解得：， ∵ ∴（6 分） 20．（6 分）一个菱形风筝的两条对角线的长之和为．其对角线的长发生变化时，菱形的面积也发生变化．在这个变化过程中，其中一条对角线的长为． (1)写出菱形的面积y（单位：）关于x（单位：）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)当时，求y的函数值． 【答案】(1)， (2)800 【分析】（1）先求出另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式求出函数解析式即可； （2）把代入函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，菱形的另一条对角线的长为， ∴，其中；（3 分） （2）解：由（1）知，， ∴当时，．（6 分） 21．（8 分）已知二次函数． (1)将二次函数化成的形式，并写出与y轴交点坐标； (2)在平面直角坐标系中列表画出的图象； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)，与y轴交点坐标为 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）先将化为顶点式，然后将代入解析式，求出与y轴的交点即可； （2）根据函数解析式，列出表格，然后画出相应的函数图象即可； （3）根据（2）中的图象，时即函数的图象在x轴上方时对应的x的取值范围，可以直接写出x的取值范围． 【详解】（1）解：， 当时，， 即，与y轴交点坐标为；（2分） （2）解：列表如下：          x        0 1          y        0 0 函数图象如下所示， （5分） （3）解：由图象可得，时x的取值范围是或．（8 分） 22．（8 分）某商场销售人员在销售中发现：“南极人”牌童装进价为60元，售价定为100元时平均每天可售出20件．为了迎接六•一儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价5元，那么平均每天可多售出10件． (1)要想平均每天盈利1200元，那么每件童装的售价应定为多少元？ (2)每件童装的售价为多少元时，该商场每天销售此童装的盈利最多？ 【答案】(1)80元 (2)每件童装售价为85元时，商场平均每天盈利最多1250元 【分析】（1）设每件应降价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设总利润为W元，建立起关于的函数解析式，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件应降价x元，由题意得 ， 解得：，， ∵为增大销量，减少库存， ∴每件童装应降价20元， 则售价为（元）；（4 分） （2）解：设总利润为W元，由题意，得 ， ∴， ∴抛物线的开口向下，W有最大值， ∴当时，，元． 即每件童装售价为85元时，商场平均每天盈利最多1250元．（8 分） 23．（8 分）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长为米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形花园面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)； (2)当时，满足条件的花园面积能达到平方米 (3)当时，最大，最大面积是平方米 【分析】（1）根据矩形周长、面积公式列二次函数，结合墙长限制求自变量范围； （2）把代入解方程并检验取值； （3）配方法求二次函数在定义域内的最值． 【详解】（1）解：米，三边栅栏总长为米， 米． ，即． 墙长米， ， 解得．（2分） （2）解：令，则， 整理，得， 解得或． ， ， 当时，满足条件的花园面积能达到平方米．（5分） （3）解：将化为顶点式为， ， 当时，最大，最大面积是平方米．（8分） 24．（10 分）已知二次函数（a为常数且）． (1)当点在该函数图象上时，求a的值． (2)当和时（），函数值相等，求m，n之间的关系式． (3)若时，当时，若二次函数的最大值比最小值大2，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用纵坐标相同的两个点关于对称轴对称即可求解； （3）分情况讨论对称轴的位置，利用最大值比最小值大2，建立方程，其中当时，要再细分为两个端点离对称轴的距离的大小进一步讨论，最后该两种情况都不成立，综合所有情况即可求解． 【详解】（1）解：把，代入中， 得： ∴．（3 分） （2）解：∵对称轴为直线， ∴ ．（6 分） （3）解：当时，， 图象开口向上，对称轴为直线，顶点， ①当时，最大值最小值 解得：． ②当，即时，最大值最小值 解得：． ③当，即时，最小值为顶点纵坐标， 要使最大值最小值， ∴最大值， 令， 解得：， 当时，即时， 函数在时取最大值， ∵都不在的范围内， ∴该情况不成立， 当时，即时， 函数在时取最大值， 令， ∴ ∵， ∴都不在这个范围内， 故该情况不成立， 综上所述：或．（10 分） 25．（10 分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 【答案】(1) (2)3秒 (3)当时，四边形的面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据抛物线过点，，对称轴是求解即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，求出，根据四边形为平行四边形得．设，，得出求解即可； （3）根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴；（3分） （2）解：设直线的解析式为，把代入得， ， 解得． ∴． ∵， ∴， 当时，， ∴． ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，， ∴， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴；（6 分） （3）解：由题意，得，则， 由（2）得，． ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，四边形的面积最大，最大面积为．（10分） 26．（10 分）如图①，已知抛物线与x轴交于两点、，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)______； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由； (4)若抛物线与抛物线（其中）交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，______．（请用含a，，的代数式来表示） 【答案】(1) (2)4 (3)是定值， (4) 【分析】（1）将点代入抛物线中先求解出c的值，再将点代入即可求解出b的值； （2）先求解出抛物线和抛物线的表达式，设出点P的坐标，求出直线的函数表达式，联立直线与抛物线求解出点Q的坐标，由此可求解； （3）先求解出点C的坐标，求出直线的函数表达式，联立直线与抛物线求解出点N的坐标，由此可求解； （4）先联立抛物线和表示出点C的坐标，求出直线的函数表达式，联立直线与抛物线求解出点N的坐标，由此可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点、， ∴，解得， 即；（2分） （2）解：由（1）可知，， ∴抛物线， ∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线， ∴，即， ∵点P是抛物线在第四象限内一点， ∴设点，其中， ∵点， 设直线的函数表达式为， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 联立，即， 则有，即， 解得或， ∴点， ∴；（4 分） （3）解：∵抛物线与抛物线交于点C， 联立，即， 解得，则， ∴点， ∵点M是抛物线上的一点，且设点M的横坐标为m， ∴点M的纵坐标为， ∴点， 设直线的函数表达式为， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 联立，即， 可得，且点N的横坐标为n， 则， ∵点C的横坐标为， ∴， ∴， 即为定值；（7 分） （4）解：∵抛物线与抛物线（其中）交于点C， 联立，即， 可得，则， ∴点， ∵点M是抛物线上的一点，且设点M的横坐标为m， ∴点M的纵坐标为， ∴点， 设直线的函数表达式为， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 联立， 即， 可得，且点N的横坐标为n， 则， ∵点C的横坐标为， ∴， ∴， 即．（10 分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章 二次函数 单元测试 总分：120分（参考答案） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B A D A D B A B B 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 12. 13. < 14.3.75 15. 16.5 17. 18. 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6 分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点坐标，再由待定系数法求解函数解析式； （2）先求出抛物线与轴交点的横坐标，再由图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点与点B关于直线对称， ∴点B的坐标为， 代入，得：， 解得， ∴二次函数的表达式为（3分） （2）解：由， 解得：， ∵ ∴（6 分） 20．（6 分） 【答案】(1)， (2)800 【分析】（1）先求出另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式求出函数解析式即可； （2）把代入函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，菱形的另一条对角线的长为， ∴，其中；（3 分） （2）解：由（1）知，， ∴当时，．（6 分） 21．（8 分） 【答案】(1)，与y轴交点坐标为 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）先将化为顶点式，然后将代入解析式，求出与y轴的交点即可； （2）根据函数解析式，列出表格，然后画出相应的函数图象即可； （3）根据（2）中的图象，时即函数的图象在x轴上方时对应的x的取值范围，可以直接写出x的取值范围． 【详解】（1）解：， 当时，， 即，与y轴交点坐标为；（2分） （2）解：列表如下：          x        0 1          y        0 0 函数图象如下所示， （5分） （3）解：由图象可得，时x的取值范围是或．（8 分） 22．（8 分） 【答案】(1)80元 (2)每件童装售价为85元时，商场平均每天盈利最多1250元 【分析】（1）设每件应降价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设总利润为W元，建立起关于的函数解析式，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件应降价x元，由题意得 ， 解得：，， ∵为增大销量，减少库存， ∴每件童装应降价20元， 则售价为（元）；（4 分） （2）解：设总利润为W元，由题意，得 ， ∴， ∴抛物线的开口向下，W有最大值， ∴当时，，元． 即每件童装售价为85元时，商场平均每天盈利最多1250元．（8 分） 23．（8 分） 【答案】(1)； (2)当时，满足条件的花园面积能达到平方米 (3)当时，最大，最大面积是平方米 【分析】（1）根据矩形周长、面积公式列二次函数，结合墙长限制求自变量范围； （2）把代入解方程并检验取值； （3）配方法求二次函数在定义域内的最值． 【详解】（1）解：米，三边栅栏总长为米， 米． ，即． 墙长米， ， 解得．（2分） （2）解：令，则， 整理，得， 解得或． ， ， 当时，满足条件的花园面积能达到平方米．（5分） （3）解：将化为顶点式为， ， 当时，最大，最大面积是平方米．（8分） 24．（10 分） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用纵坐标相同的两个点关于对称轴对称即可求解； （3）分情况讨论对称轴的位置，利用最大值比最小值大2，建立方程，其中当时，要再细分为两个端点离对称轴的距离的大小进一步讨论，最后该两种情况都不成立，综合所有情况即可求解． 【详解】（1）解：把，代入中， 得： ∴．（3 分） （2）解：∵对称轴为直线， ∴ ．（6 分） （3）解：当时，， 图象开口向上，对称轴为直线，顶点， ①当时，最大值最小值 解得：． ②当，即时，最大值最小值 解得：． ③当，即时，最小值为顶点纵坐标， 要使最大值最小值， ∴最大值， 令， 解得：， 当时，即时， 函数在时取最大值， ∵都不在的范围内， ∴该情况不成立， 当时，即时， 函数在时取最大值， 令， ∴ ∵， ∴都不在这个范围内， 故该情况不成立， 综上所述：或．（10 分） 25．（10 分） 【答案】(1) (2)3秒 (3)当时，四边形的面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据抛物线过点，，对称轴是求解即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，求出，根据四边形为平行四边形得．设，，得出求解即可； （3）根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴；（3分） （2）解：设直线的解析式为，把代入得， ， 解得． ∴． ∵， ∴， 当时，， ∴． ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，， ∴， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴；（6 分） （3）解：由题意，得，则， 由（2）得，． ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，四边形的面积最大，最大面积为．（10分） 26．（10 分） 【答案】(1) (2)4 (3)是定值， (4) 【分析】（1）将点代入抛物线中先求解出c的值，再将点代入即可求解出b的值； （2）先求解出抛物线和抛物线的表达式，设出点P的坐标，求出直线的函数表达式，联立直线与抛物线求解出点Q的坐标，由此可求解； （3）先求解出点C的坐标，求出直线的函数表达式，联立直线与抛物线求解出点N的坐标，由此可求解； （4）先联立抛物线和表示出点C的坐标，求出直线的函数表达式，联立直线与抛物线求解出点N的坐标，由此可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点、， ∴，解得， 即；（2分） （2）解：由（1）可知，， ∴抛物线， ∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线， ∴，即， ∵点P是抛物线在第四象限内一点， ∴设点，其中， ∵点， 设直线的函数表达式为， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 联立，即， 则有，即， 解得或， ∴点， ∴；（4 分） （3）解：∵抛物线与抛物线交于点C， 联立，即， 解得，则， ∴点， ∵点M是抛物线上的一点，且设点M的横坐标为m， ∴点M的纵坐标为， ∴点， 设直线的函数表达式为， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 联立，即， 可得，且点N的横坐标为n， 则， ∵点C的横坐标为， ∴， ∴， 即为定值；（7 分） （4）解：∵抛物线与抛物线（其中）交于点C， 联立，即， 可得，则， ∴点， ∵点M是抛物线上的一点，且设点M的横坐标为m， ∴点M的纵坐标为， ∴点， 设直线的函数表达式为， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 联立， 即， 可得，且点N的横坐标为n， 则， ∵点C的横坐标为， ∴， ∴， 即．（10 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第二十二章 二次函数 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 3．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 4．抛物线与轴交点坐标是（     ） A． B． C． D． 5．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 6．二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 7．对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 8．已知抛物线与轴交于点，，且，，则的值是（     ） A． B． C．4 D． 9．如图，点，，均在二次函数的图象上，为线段的中点，轴，且．设，两点的横坐标分别为，，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 10．如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．与抛物线形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是________． 12．抛物线经过点，则________． 13．已知点、在二次函数的图象上，若，则___（填“”、“”或“”）． 14．某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 15．若二次函数与x轴的交点分别为，，则______． 16．如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 17．若抛物线的顶点在直线上，且位于第二象限，则的值为__________． 18．如图，在等边三角形中，，点D，E分别在边，上，且，则当线段最短时，的长为________． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6 分）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，写出x的取值范围． 20．（6 分）一个菱形风筝的两条对角线的长之和为．其对角线的长发生变化时，菱形的面积也发生变化．在这个变化过程中，其中一条对角线的长为． (1)写出菱形的面积y（单位：）关于x（单位：）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)当时，求y的函数值． 21．（8 分）已知二次函数． (1)将二次函数化成的形式，并写出与y轴交点坐标； (2)在平面直角坐标系中列表画出的图象； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围． 22．（8 分）某商场销售人员在销售中发现：“南极人”牌童装进价为60元，售价定为100元时平均每天可售出20件．为了迎接六•一儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价5元，那么平均每天可多售出10件． (1)要想平均每天盈利1200元，那么每件童装的售价应定为多少元？ (2)每件童装的售价为多少元时，该商场每天销售此童装的盈利最多？ 23．（8 分）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长为米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形花园面积最大？最大面积是多少？ 24．（10 分）已知二次函数（a为常数且）． (1)当点在该函数图象上时，求a的值． (2)当和时（），函数值相等，求m，n之间的关系式． (3)若时，当时，若二次函数的最大值比最小值大2，求t的值． 25．（10 分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 26．（10 分）如图①，已知抛物线与x轴交于两点、，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)______； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由； (4)若抛物线与抛物线（其中）交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，______．（请用含a，，的代数式来表示） 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $