1.3 第1课时 矩形的性质（课件）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦矩形的性质及直角三角形斜边上中线的性质，通过平行四边形变化中角为直角的观察导入，衔接已学平行四边形性质，搭建从一般到特殊的知识支架。 其特色是以“猜想-证明-应用”为主线，探究活动培养数学眼光（几何直观），证明过程强化数学思维（推理能力），典例与练习结合数学语言表达。如例1结合矩形对角线性质解决角度问题，小结结构化梳理知识。助力学生提升探究与推理能力，方便教师实施分层教学。

1.3 矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质 第一章 特殊平行四边形 九年级上册数学（北师版） 根据四边形的不稳定性，观察在平行四边形的变化过程中，当有一个角是直角时，会产生什么特殊的平行四边形？ 复习回顾 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行且相等 对角相等 互相平分 中心对称 (1) 矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质. 你能列举一些这样的性质吗？ 想一想 矩形的性质 1 探究新知 (2) 你有什么猜想？ 猜想1 矩形的四个角都是直角. 猜想2 矩形的对角线相等. 你能证明吗？ 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B =∠D，∠C =∠A，AB∥DC. ∴∠B +∠C = 180°. 又∵∠B = 90°， ∴∠C = 90°. ∴∠B =∠C =∠D =∠A = 90°. (1) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠B = 90°. 求证：∠B =∠C =∠D =∠A = 90°. A B C D 证一证 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AB = DC，∠ABC =∠DCB = 90°. 在 △ABC 和 △DCB 中， ∵ AB = DC，∠ABC =∠DCB，BC = CB， ∴△ABC≌△DCB. ∴ AC = DB. A B C D O (2) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证：AC = DB. 矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有性质： 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等. 几何语言描述： 在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 DB 相交于点 O， 故∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°，AC = DB. A B C D O 知识要点 例1 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩形对角线的长. 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD（矩形的对角线相等） OA = OC = AC，OB = OD = BD， ∴OA = OD. ∵∠AOD = 120°， ∴∠ODA =∠OAD = (180° - 120°) = 30°. ∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5. A B C D O 典例精析 1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于 点 O，下列说法错误的是 （　　） A．AB∥DC B．AC = BD C．AC⊥BD D．OA = OB A B C D O C 练一练 直角三角形斜边上的中线的性质 A 　 B 　 C 　 D 　 E 　 活动3：如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 E. B C E A 问题 BE 是一条怎样的线段？ 它的长度与斜边AC有什么关系？ 猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 由此你能得到怎样的结论? 2 证明：延长 BE 至 D，使 ED = BE， 连接 AD，CD. ∵AE = EC，BE = ED， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∵∠ABC = 90°， ∴平行四边形 ABCD 是矩形. ∴ AC = BD. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，BE 是 AC 上的中线. 求证：BE = AC. ∴ BE = BD = AC. E C B A D 定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，BD 是斜边 AC 上的中线. (1) 若 BD = 3 cm，则 AC =_____cm； (2) 若∠C = 30°，AB = 5 cm，则 AC =_____cm， BD = _____cm. A B C D 6 10 5 练一练 矩形性质 四个内角都是直角， 两条对角线互相平分且相等 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 当堂小结 1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A. 对角线相等 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 对角线互相平分 2. 若直角三角形的两条直角边分别 5 和 12，则斜边上的中线长为 ( ) A. 13 B. 6 C. 6.5 D. 不能确定 3. 若矩形的一条对角线与一边的夹角为 40°，则两条对角线相交的锐角是 ( ) A. 20° B. 40° C. 80° D. 10° A C C 课堂练习 4. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 分别是 AO、AD 的中点，若 AB = 6 cm，BC = 8 cm，则 EF =______cm． 2.5 5. 如图，△ABC 中，E 在 AC 上，且 BE⊥AC，D 为 AB 中点，若 DE = 5，AE = 8，则 BE 的长为______． 6 第4题图 第5题图 6. 如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC，BD 相交于点 O，BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E. （1）求证：BD = BE； （2）若∠DBC = 30°，BO = 4，求四边形 ABED 的面积. A B C D O E (1) 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD，AB∥CD. 又∵ BE∥AC， ∴四边形ABEC是平行四边形. ∴ AC = BE. ∴ BD = BE. (2) 解：在矩形 ABCD 中，∵ BO = 4， ∴ BD = 2BO = 2×4 = 8. ∵∠DBC = 30°， ∴ CD = BD = ×8 = 4， ∴ AB = CD = 4，DE = CD + CE = CD + AB = 8. 在 Rt△BCD 中， BC = ∴ 四边形 ABED 的面积为 ×(4+8)× = . A B C D O E $