第20讲 函数模型的应用（思维导图+2知识点+4考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第20讲 函数模型的应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会利用已知函数模型解决实际问题； 2．能建立函数模型解决实际问题； 3．了解拟合函数模型并解决实际问题. 知识点 1 函数模型的选择与建立 1、几种常见的函数模型 （1）一次函数模型：（，为常数，） （2）二次函数模型：（为常数，） （3）指数函数模型：（为常数，，且） （4）对数函数模型：（为常数，，且） （5）幂函数模型：（为常数，） （6）分段函数模型：． 2、建立函数模型时，求函数解析式的方法 （1）待定系数法：已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数的模型，这种情况下，运用待定系数法求出解析式中的相关参数，就可以确定函数的解析式． （2）归纳法：先给自变量一些特殊值，计算出相应函数值，从中发现规律，在推广到一般情形，从而得到函数的解析式． （3）方程法：用表示自变量或其他相关量，根据问题的实际意义，运用已掌握的数学、物理的方面的知识，列出函数的解析式，此种方法形式上与列方程解应用题相仿，故称为方程法，实际上函数的解析式就是关于的方程． 3、用函数模型求解应用问题的四个步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； （2）建模：将自然语言化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学模型； （4）还原：将数学结论还原为实际问题． 知识点 2 拟合函数模型的建立与求解 1、数学建模：研究实际问题时，要深入调查，了解对象信息，给出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子（也就是数学模型），然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这个建立数学模型的全过程就成为数学建模． 2、函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合（或数据拟合）． 3、函数拟合与预测的一般步骤 （1）通过原始数据、表格，绘出散点图； （2）通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； （3）求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； （4）根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； （5）利用选取的拟合函数进行预测； （6）利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． 考点一：指数型函数模型的应用 例1．（23-24高一上·河北唐山·月考）某灭活疫苗的有效保存时间T（单位：h）与储藏的温度t（单位：）满足的函数关系为（k,b为常数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用．若在时的有效保存时间是1080h，在时的有效保存时间是120h，则该疫苗在时的有效保存时间是（    ） A．15h B．30h C．40h D．60h 【变式1-1】（23-24高一下·河北石家庄·月考）某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，已知第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量（）满足函数模型（），其中为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（    ）（参考数据：，） A．14次 B．15次 C．16次 D．17次 【变式1-2】（23-24高一下·湖北·月考）把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，则t min后该物体的温度℃可由公式求得．若将温度分别为100℃和40℃的两块物体放入温度是20℃的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过10℃，至少要经过（    ）（取：，） A．4.14min B．5.52min C．6.60min D．7.16min 【变式1-3】（23-24高一下·海南·月考）指数函数模型在生活生产中应用广泛，如在疾病控制与统计､物理学､生物学､人口预测等问题上都可以应用其进行解决.研究发现，某传染病传播累计感染人数随时间（单位：天）的变化规律近似有如下的函数关系：，其中为常数，为初始感染人数.若前3天感染人数累计增加了，则感染人数累计增加需要的时间大约为（    ）（参考数据：，） A．10.5天 B．9天 C．8天 D．6天 考点二：对数型函数模型的应用 例2.（23-24高一上·北京顺义·期末）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.专家发现两岁燕子的飞行速度v（单位：）可以表示为，其中Q表示燕子耗氧量的单位数.某只两岁燕子耗氧量的单位数为时的飞行速度为，耗氧量的单位数为时的飞行速度为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一下·广东茂名·月考）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信通带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（    ）（附：） A．48% B．37% C．28% D．15% 【变式2-2】（23-24高一下·贵州遵义·月考）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数 是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级. 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一上·山东菏泽·月考）里氏震级M的计算公式：，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_______倍．（    ） A．6，1000 B．4，1000 C．6，10000 D．4，10000 考点三：根据增长率选择函数模型 例3.（23-24高一上·江苏苏州·月考）在一次物理实验中，某同学采集到如下一组数据： x 0.5 0.99 2.01 3.98 y ﹣0.99 0.01 0.98 2.00 在四个函数模型中，最能反映，函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一上·陕西西安·月考）2006年至2018年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，无法近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（    ）    A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一上·江苏·月考）若三个变量、、，随着变量的变化情况如下表. 2 则关于分别呈函数模型：、、变化的变量依次是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【变式3-3】（22-23高一上·广东揭阳·期末）某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据： x 1.0 2.0 4.0 8.0 y 0.01 0.99 2.02 3 现欲从理论上对这些数据进行分析并预测，则下列模拟函数合适的是（    ） A． B． C． D． 考点四：拟合函数模型的建立 例4.（23-24高一上·河南南阳·月考）数据显示，某IT公司2023年2月—6月的月收入情况如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 月收入（万元） 1.4 2.56 5.31 11 21.3 根据上述数据，在建立该公司2023年月收入（万元）与月份的函数模型时，给出两个函数模型与供选择. (1)你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由； (2)试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几月份开始，该公司的月收入会超过100万元？（参考数据：，） 【变式4-1】（23-24高一上·江苏·月考）年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据： 万个 若该变异毒株的数量单位：万个与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择． 参考数据：，，， (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于亿个． 【变式4-2】（22-23高一上·福建南安·月考）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系为： 根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择： ①，②，③． (1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)利用和这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到百万个． 【变式4-3】（22-23高一上·贵州黔东南·期末）1766年人类已经发现太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星．科学家在研究了各行星离太阳的距离（单位：，是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星（后被命名为谷神星）存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据： 行星编号 1 （金星） 2 （地球） 3 （火星） 4 （    ） 5 （木星） 6 （土星） 离太阳的距离 (1)为了描述行星离太阳的距离与行星编号之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论）； ①；②；③． (2)根据你的选择，依表中前三组数据求出函数解析式，并用剩下的两组数据检验模型的吻合情况；（误差小于0.2的为吻合） (3)请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离． 一、单选题 1．（23-24高一下·云南·月考）在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混响”．用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为，则经过秒后这段声音的声强变为，其中是一个常数．把混响时间定义为声音的声强衰减到原来的所需的时间，则约为（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖南衡阳·月考）某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（   ） （参考数据：） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 3．（23-24高一下·安徽芜湖·月考）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（    ）（精确到0.1，参考数据：） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．1.5 4．（23-24高一上·湖南邵阳·月考）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足（其中，为常数），已知某同学视力的五分记录法的数据为时小数记录法的数据为，五分记录法的数据为时小数记录法的数据为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（23-24高一上·北京·月考）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：与燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到．若要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·全国·月考）有一组实验数据如下: t 1.99 3.00 4.00 5.10 6.12 V 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高三下·江西·月考）土壤是自然界中最大的生态系统，具有十分重要的作用.利用绿色化学药剂来降低土壤中的重金属含量是改善土壤环境的一项重要工作，若在使用绿色化学药剂降低土壤中重金属含量的过程中，重金属含量(单位:与时间(单位:)满足关系式，已知处理后，重金属含量减少，则（    ）) A．表示未经处理时土壤中的重金属含量 B．的值为 C．使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约 D．函数为减函数 8．（22-23高一下·广西柳州·月考）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为（，且）.下列说法正确的是（    ） A．浮萍每月的增长率为2 B．第5个月时，浮萍面积就会超过 C．浮萍每月增加的面积都相等 D．若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则 三、填空题 9．（22-23高一上·浙江台州·月考）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.平时常人交谈时声强约为，则其声强级是 . 10．（23-24高三上·云南楚雄·期中）生物学家为了了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断.已知土壤中某药品的残留量y（mg）与时间t（年）近似满足关系式（），其中a是残留系数，则大约经过 年后土壤中该药品的残留量是2年后残留量的.（参考数据：，答案保留一位小数） 11．（23-24高一下·安徽·开学考试）中国茶文化源远流长，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是T，则，其中表示环境温度，h为常数.该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要再放置 能达到最佳饮用口感.（结果精确到0.1，参考数据：，） 四、解答题 12．（22-23高一上·重庆·月考）为了迎接中国共产党第二十次全国代表大会胜利召开，某商场决定将一批进价为40元/件的商品降价出售，在市场试销中发现，此商品的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）之间有如下表所示的关系. 40 50 55 60 60 30 15 0 (1)根据表中提供的数据描出实数对的对应点，确定与的一个函数关式 (2)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），根据上述关系，写出关于的函数解析式，并求日销售利润的最大值. 13．（22-23高一上·山东济南·期末）“宸宸”“琮琮”“莲莲”是2023年杭州亚运会吉祥物，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文､自然生态和创新基因.某中国企业可以生产杭州亚运会吉祥物“宸宸”“琮踪”“莲莲”，根据市场调查与预测，投资成本x（百万元）与利润y（百万元）的关系如下表： （百万元） 2 4 12 （百万元） 0.4 12.8 当投资成本不高于12（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）的关系有两个函数模型与可供选择. (1)当投资成本不高于12（百万元）时，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)当投资成本高于12（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）满足关系，结合第（1）问的结果，要想获得不少于一千万元的利润，投资成本（百万元）应该控制在什么范围.（结果保留到小数点后一位）（参考数据：） ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20讲 函数模型的应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会利用已知函数模型解决实际问题； 2．能建立函数模型解决实际问题； 3．了解拟合函数模型并解决实际问题. 知识点 1 函数模型的选择与建立 1、几种常见的函数模型 （1）一次函数模型：（，为常数，） （2）二次函数模型：（为常数，） （3）指数函数模型：（为常数，，且） （4）对数函数模型：（为常数，，且） （5）幂函数模型：（为常数，） （6）分段函数模型：． 2、建立函数模型时，求函数解析式的方法 （1）待定系数法：已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数的模型，这种情况下，运用待定系数法求出解析式中的相关参数，就可以确定函数的解析式． （2）归纳法：先给自变量一些特殊值，计算出相应函数值，从中发现规律，在推广到一般情形，从而得到函数的解析式． （3）方程法：用表示自变量或其他相关量，根据问题的实际意义，运用已掌握的数学、物理的方面的知识，列出函数的解析式，此种方法形式上与列方程解应用题相仿，故称为方程法，实际上函数的解析式就是关于的方程． 3、用函数模型求解应用问题的四个步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； （2）建模：将自然语言化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学模型； （4）还原：将数学结论还原为实际问题． 知识点 2 拟合函数模型的建立与求解 1、数学建模：研究实际问题时，要深入调查，了解对象信息，给出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子（也就是数学模型），然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这个建立数学模型的全过程就成为数学建模． 2、函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合（或数据拟合）． 3、函数拟合与预测的一般步骤 （1）通过原始数据、表格，绘出散点图； （2）通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； （3）求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； （4）根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； （5）利用选取的拟合函数进行预测； （6）利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． 考点一：指数型函数模型的应用 例1．（23-24高一上·河北唐山·月考）某灭活疫苗的有效保存时间T（单位：h）与储藏的温度t（单位：）满足的函数关系为（k,b为常数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用．若在时的有效保存时间是1080h，在时的有效保存时间是120h，则该疫苗在时的有效保存时间是（    ） A．15h B．30h C．40h D．60h 【答案】C 【解析】由题意知，，所以， 所以，所以，所以.故选：C． 【变式1-1】（23-24高一下·河北石家庄·月考）某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，已知第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量（）满足函数模型（），其中为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（    ）（参考数据：，） A．14次 B．15次 C．16次 D．17次 【答案】C 【解析】， 由，得，即，得， 又，所以， 故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次.故选：C 【变式1-2】（23-24高一下·湖北·月考）把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，则t min后该物体的温度℃可由公式求得．若将温度分别为100℃和40℃的两块物体放入温度是20℃的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过10℃，至少要经过（    ）（取：，） A．4.14min B．5.52min C．6.60min D．7.16min 【答案】D 【解析】100℃的物体放入20℃的空气中冷却t min后的温度是， 40℃的物体放入20℃的空气中冷却t min后的温度是， 要使得这两块物体的温度之差不超过10℃，则， 解得，所以至少要经过7.16min.故选：D 【变式1-3】（23-24高一下·海南·月考）指数函数模型在生活生产中应用广泛，如在疾病控制与统计､物理学､生物学､人口预测等问题上都可以应用其进行解决.研究发现，某传染病传播累计感染人数随时间（单位：天）的变化规律近似有如下的函数关系：，其中为常数，为初始感染人数.若前3天感染人数累计增加了，则感染人数累计增加需要的时间大约为（    ）（参考数据：，） A．10.5天 B．9天 C．8天 D．6天 【答案】B 【解析】当时，感染人数累计增加了，则，所以， 则，所以， 所以感染人数累计增加可得，则， 此时，所以， 故感染人数累计增加需要的时间大约为天.故选：B. 考点二：对数型函数模型的应用 例2.（23-24高一上·北京顺义·期末）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.专家发现两岁燕子的飞行速度v（单位：）可以表示为，其中Q表示燕子耗氧量的单位数.某只两岁燕子耗氧量的单位数为时的飞行速度为，耗氧量的单位数为时的飞行速度为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以 所以，故选：D 【变式2-1】（23-24高一下·广东茂名·月考）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信通带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（    ）（附：） A．48% B．37% C．28% D．15% 【答案】A 【解析】由题意可得，当时，， 当时，， 所以 ， 所以的增长率约为.故选：A 【变式2-2】（23-24高一下·贵州遵义·月考）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数 是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级. 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于燃油汽车，得，则， 对于混合动力汽车，有，则，则，A错误； 对于电动汽车，有，即，C正确； 由以上可知，B错误； 又，D错误，故选：C 【变式2-3】（23-24高一上·山东菏泽·月考）里氏震级M的计算公式：，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_______倍．（    ） A．6，1000 B．4，1000 C．6，10000 D．4，10000 【答案】C 【解析】根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000， 此时标准地震的振幅为0.001，则；    设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y， 则有，解得， 所以，故选：C. 考点三：根据增长率选择函数模型 例3.（23-24高一上·江苏苏州·月考）在一次物理实验中，某同学采集到如下一组数据： x 0.5 0.99 2.01 3.98 y ﹣0.99 0.01 0.98 2.00 在四个函数模型中，最能反映，函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，当时，，与表格相差过大，故排除， 对于B，当时，，与表格相差过大，故排除， 对于C，当时，，与表格相差过大，故排除， 对于D，由对数函数性质知，表格里的数与上的点相差较小，故正确.故选：D 【变式3-1】（23-24高一上·陕西西安·月考）2006年至2018年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，无法近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图知：电影放映场次逐年递增，且增速有变快的趋势， 函数、、均可以描述变化规律， 而可以描述逐年递增，但增速有变慢的趋势，故不能描述变化规律.故选：D 【变式3-2】（23-24高一上·江苏·月考）若三个变量、、，随着变量的变化情况如下表. 2 则关于分别呈函数模型：、、变化的变量依次是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】B 【解析】由表可知，随着的增大而迅速的增大，是指数函数型的变化， 随着的增大而增大，但是变化缓慢，是对数函数型的变化， 相对于的变化要慢一些，是幂函数型的变化.故选：B. 【变式3-3】（22-23高一上·广东揭阳·期末）某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据： x 1.0 2.0 4.0 8.0 y 0.01 0.99 2.02 3 现欲从理论上对这些数据进行分析并预测，则下列模拟函数合适的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由表中的数据看出：y随x的增大而增大，且增大的幅度越来越小， 而函数，在的增大幅度越来越大，函数呈线性增大， 只有函数与已知数据的增大趋势接近，故选：A. 考点四：拟合函数模型的建立 例4.（23-24高一上·河南南阳·月考）数据显示，某IT公司2023年2月—6月的月收入情况如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 月收入（万元） 1.4 2.56 5.31 11 21.3 根据上述数据，在建立该公司2023年月收入（万元）与月份的函数模型时，给出两个函数模型与供选择. (1)你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由； (2)试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几月份开始，该公司的月收入会超过100万元？（参考数据：，） 【答案】(1)用函数这一模型较好，理由见解析； (2)大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元 【解析】（1）对已知数据进行描点： 由图可知点，，，，基本上是落在函数的图像的附近， 因此用函数这一模型较好 （2）解法一：当时，即，∴，即， ∴， 故大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元. 解法二：当时，即，∵，， 故大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元 【变式4-1】（23-24高一上·江苏·月考）年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据： 万个 若该变异毒株的数量单位：万个与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择． 参考数据：，，， (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于亿个． 【答案】(1)选择函数更合适，解析式为；(2)11个 【解析】（1）若选， 将，和，代入可得， ，解得，故， 将代入，，不符合题意； 若选， 将，和，代入可得，，解得，故， 将代入可得，，符合题意； 综上所述，选择函数更合适，解析式为 （2）设至少需要x个单位时间， 则，即，两边同时取对数可得，， 则， ，的最小值为11， 故至少经过11个单位时间该病毒的数量不少于1亿个． 【变式4-2】（22-23高一上·福建南安·月考）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系为： 根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择： ①，②，③． (1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)利用和这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到百万个． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，至少再经过小时，细菌数量达到百万个． 【解析】（1）依题意，所选函数必须满足三个条件： （ⅰ）定义域包含； （ⅱ）增函数； （ⅲ）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小． 因为函数的定义域为，时无意义； 函数随着自变量的增加，函数值的增长速度变大． 函数可以同时符合上述条件，所以应该选择函数． （2）依题意知，解得，所以． 令，解得． 所以，至少再经过小时，细菌数量达到百万个． 【变式4-3】（22-23高一上·贵州黔东南·期末）1766年人类已经发现太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星．科学家在研究了各行星离太阳的距离（单位：，是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星（后被命名为谷神星）存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据： 行星编号 1 （金星） 2 （地球） 3 （火星） 4 （    ） 5 （木星） 6 （土星） 离太阳的距离 (1)为了描述行星离太阳的距离与行星编号之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论）； ①；②；③． (2)根据你的选择，依表中前三组数据求出函数解析式，并用剩下的两组数据检验模型的吻合情况；（误差小于0.2的为吻合） (3)请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离． 【答案】(1)散点图见解析，模型②符合题意 (2)，模型与数据吻合；(3) 【解析】（1）散点图如图所示： 根据散点图可知，模型②符合题意； （2）将，，分别代入， 得，解得，， 所以 当时，，误差，吻合， 当时，，误差，吻合， 所以，模型与数据吻合； （3）当时，， 即谷神星距太阳的距离为. 一、单选题 1．（23-24高一下·云南·月考）在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混响”．用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为，则经过秒后这段声音的声强变为，其中是一个常数．把混响时间定义为声音的声强衰减到原来的所需的时间，则约为（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，，即， 等号两边同时取自然对数得，即， 所以．故选：C． 2．（23-24高一下·湖南衡阳·月考）某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（   ） （参考数据：） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【解析】设经过n年该企业全年投入的研发资金开始超过200万元，则， 于是，即，则， 所以该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2022.故选：B 3．（23-24高一下·安徽芜湖·月考）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（    ）（精确到0.1，参考数据：） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．1.5 【答案】B 【解析】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时， 由题意可得， 两边同时取自然对数并整理，得， ； 则， 则给氧时间至少还需要0.5小时.故选：B 4．（23-24高一上·湖南邵阳·月考）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足（其中，为常数），已知某同学视力的五分记录法的数据为时小数记录法的数据为，五分记录法的数据为时小数记录法的数据为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】由五分记录法的数据为时小数记录法的数据为， 五分记录法的数据为时小数记录法的数据为， 则，解得.故选：B. 5．（23-24高一上·北京·月考）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：与燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到．若要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度达到， 根据题意得， 所以，所以， 可得，所以， 即要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为.故选：B. 6．（23-24高一上·全国·月考）有一组实验数据如下: t 1.99 3.00 4.00 5.10 6.12 V 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据表中数据，作出数据的散点图，如图所示， 结合选项，函数的增长速度越来越缓慢，不符合题意； 函数随着的增大，不断减小，不符合题意； 函数的增长速度越来越快，符合题意； 函数增长速度不变，不符合题意； 所以最接近的一个函数是，故选：C 二、多选题 7．（23-24高三下·江西·月考）土壤是自然界中最大的生态系统，具有十分重要的作用.利用绿色化学药剂来降低土壤中的重金属含量是改善土壤环境的一项重要工作，若在使用绿色化学药剂降低土壤中重金属含量的过程中，重金属含量(单位:与时间(单位:)满足关系式，已知处理后，重金属含量减少，则（    ）) A．表示未经处理时土壤中的重金属含量 B．的值为 C．使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约 D．函数为减函数 【答案】AD 【解析】当时，，故表示未经处理时土壤中的重金属含量，A正确， 当时，，①，故，B错误， ，②， 联立①②解得，， 则， 故使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约．C错误， 由于，，所以单调递增，因此单调递减，D正确，故选：AD 8．（22-23高一下·广西柳州·月考）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为（，且）.下列说法正确的是（    ） A．浮萍每月的增长率为2 B．第5个月时，浮萍面积就会超过 C．浮萍每月增加的面积都相等 D．若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则 【答案】BD 【解析】由图可得，函数过点，则，即，故. 对于A：浮萍每月的增长率为，故A错误； 对于B：第5个月时，即时，萍的面积，故B正确； 对于C：第二个月比第一个月增加， 第三个月比第二个月增加，即，故C错误； 对于D：由题意可得，所以， 则，故D正确.故选：BD. 三、填空题 9．（22-23高一上·浙江台州·月考）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.平时常人交谈时声强约为，则其声强级是 . 【答案】60 【解析】由题意可得.故答案为：60 10．（23-24高三上·云南楚雄·期中）生物学家为了了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断.已知土壤中某药品的残留量y（mg）与时间t（年）近似满足关系式（），其中a是残留系数，则大约经过 年后土壤中该药品的残留量是2年后残留量的.（参考数据：，答案保留一位小数） 【答案】 【解析】当时，， 由，得故答案为： 11．（23-24高一下·安徽·开学考试）中国茶文化源远流长，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是T，则，其中表示环境温度，h为常数.该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要再放置 能达到最佳饮用口感.（结果精确到0.1，参考数据：，） 【答案】13.3 【解析】由题意得，，即，则. 设大约需要再放置能达到最佳饮用口感， 则，即， 则，所以， 解得. 故答案为：13.3. 四、解答题 12．（22-23高一上·重庆·月考）为了迎接中国共产党第二十次全国代表大会胜利召开，某商场决定将一批进价为40元/件的商品降价出售，在市场试销中发现，此商品的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）之间有如下表所示的关系. 40 50 55 60 60 30 15 0 (1)根据表中提供的数据描出实数对的对应点，确定与的一个函数关式 (2)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），根据上述关系，写出关于的函数解析式，并求日销售利润的最大值. 【答案】(1) (2)，所获日销售利润最大值为300元. 【解析】（1）观察表格中的变化情况，猜测为一次函数， 故设为常数， 则，解得：， 则， 把点代入函数解析式，检验成立； 所以. （2）结合（1）中结论可得日销售利润为： ，则， 所以当时，取得最大值300， 综上：；当销售单价为50元时，所获日销售利润最大值为300元. 13．（22-23高一上·山东济南·期末）“宸宸”“琮琮”“莲莲”是2023年杭州亚运会吉祥物，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文､自然生态和创新基因.某中国企业可以生产杭州亚运会吉祥物“宸宸”“琮踪”“莲莲”，根据市场调查与预测，投资成本x（百万元）与利润y（百万元）的关系如下表： （百万元） 2 4 12 （百万元） 0.4 12.8 当投资成本不高于12（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）的关系有两个函数模型与可供选择. (1)当投资成本不高于12（百万元）时，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)当投资成本高于12（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）满足关系，结合第（1）问的结果，要想获得不少于一千万元的利润，投资成本（百万元）应该控制在什么范围.（结果保留到小数点后一位）（参考数据：） 【答案】(1)最符合实际的函数模型为，解析式为；(2) 【解析】（1）最符合实际的函数模型为， 理由如下：若选函数， 将点代入可得，解得，所以， 当时，可得，与实际数据差别较大； 若选函数， 将点代入可得，解得， 所以，当时，可得，符合题意， 综上可得，最符合实际的函数模型为. （2）由题意知，利润与投资成本满足关系式, 要获得不少于一个亿的利润，即， 当时，即，即， 又因为，所以； 当时，即，可得，解得， 又因为，所以， 综上可得，， 所以要获得不少于一个亿的利润，投资成本（千万）的范围是. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$