第15讲 指数函数（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第15讲 指数函数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求指数函数解析式（利用定义求参数值或范围） 题型2 指数型函数过定点问题 题型3 比较指数幂的大小 题型4 解指数型方程和不等式 题型5 指数函数的图象的辨析 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 指数函数 1. 理解概念形成：通过实际实例，经历从具体到抽象的过程，理解指数函数的概念及实际意义，体会数学建模. 2. 掌握图象与性质：能画出具体指数函数图象，探索并掌握其单调性、特殊点等性质，理解底数 的影响. 3. 熟练应用性质：能运用图象和性质比较幂的大小、解简单指数不等式，并解决相关实际问题. 4. 提升核心素养：体会数形结合、分类讨论等思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理和运算素养. 学习重点：（1）概念与图象：准确理解指数函数的定义形式，掌握图象的基本特征和过定点的性质. （2）性质及应用：掌握指数函数的单调性，能利用单调性解不等式、比较大小等. 学习难点：（1）学生难以从表格数据中通过计算“增长率”发现指数变化规律，进而抽象出模型. （2）理解底数取值范围对单调性的决定作用及对图象变化趋势的影响. （3）区分两类函数：易混淆指数函数（底数为常数）与幂函数（指数为常数）. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 指数函数的概念 1、定义 一般地，函数 （ 且 ）叫做指数函数，其中指数 是自变量，定义域是 ， 是指数函数的底数. 2、指数函数的结构特征 指数函数表达式中，需满足： （1） 系数必须为 ； （2）自变量出现在指数位置上； （3）底数为大于 ，且不等于 的常数，不能是自变量； （4）整个式子仅有一项，例如 就不是指数函数. 3、注意事项：指数函数 的底数规定大于 且不等于 的理由 （1）如果 ，当 （2）如果 ，如 ，当 时，在实数范围内函数值不存在. （3）如果 ， ，是一个常量，对它就没有研究的必要. 为了避免上述各种情况，所以规定 且 . 即时即练 下列函数中是指数函数的是________. ①；②；③；④；⑤；⑥. 【方法总结】 判断一个函数是指数函数的方法 （1）看形式：判断其解析式是否符合（，且）这一结构特征. （2）明特征：看是否具备指数函数解析式的三个特征，只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数. 知识点02 指数函数的图象与性质 1、指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）的图象和性质如下表： a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 （0，＋∞） 性质 过定点 过定点（0，1），即x＝0时，y＝1 函数值的变化       当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 2、底数 对指数函数图象的影响 函数 ， ， 和 ， ， 的图象如图所示（图略）. （1）当 且 时，底数越大，图象越“陡”； 当 且 时，底数越小，图象越“陡”. （2）在 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在 轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”. 即时即练 下列图象中，有可能表示指数函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【方法总结】 判断指数函数图象的方法： 指数函数图象恒过点，函数值域是，即函数图象恒在x轴的上方. 知识点03 指数函数的图象变换 已知指数函数 （ 且 ） 1、平移变换 · ； · ； · ； · . 规律总结：上加下减（针对函数值 ），左加右减（针对自变量 ）. 2、对称变换 · ； · ； · . 3、翻折变换 · ； · . 题型1 求指数函数解析式（利用定义求参数值或范围） 【例1】（1）已知函数是指数函数，且，则＝________. （2）若函数，且）是指数函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． （3）若函数是指数函数，则实数a的取值范围为________. 【方法总结】 1、求指数函数解析式的方法： 求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式 （ 且 ），然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键. 求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式. 2、利用指数函数定义求参数值的方法： ①列方程（利用系数为1），令前面的系数等于 1，解出参数的可能值； ②验底数（利用底数条件），将求出的参数值代入底数表达式，检验是否满足 底数 且  . ③查指数（利用指数条件），检查指数部分是否仅为 x . 如果指数是 kx 、 x+c 等形式，则该函数不是指数函数（可能是指数型函数），此时无解或需重新审题. ④下结论，综合以上三步，写出最终符合条件的参数值. 3、利用指数函数定义求参数取值范围的方法： ① 明确前提：写出指数函数的默认条件 且 . ② 分类讨论：只要涉及单调性、最值或大小比较，必须对底数  和0<a<1 两种情况进行分类讨论. ③ 等价转化：将文字描述（如“单调递增”、“恒大于”、“有最大值”）翻译成代数不等式. ④ 求交集：将分类讨论求出的范围，与前提条件（ 且 ）取交集，得出最终答案. 【变式1-1】函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 题型2 指数型函数过定点问题 【例2】函数恒过定点（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 指数型函数 过定点问题的解法： ① 令指数为 0，即令=0，解方程得出定点的横坐标, ② 将横坐标代入函数，求出定点的纵坐标的值, ③ 下结论：所求定点坐标为. 【变式2-1】当 且 时，函数的图象一定过点 A． B． C． D． 题型3 比较指数幂的大小 【例3】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： ① 底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； ② 底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； ③ 底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 【变式3-1】（多选）下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 题型4 解指数型方程和不等式 【例4】已知函数（，且）的图象过点，． (1)求，的值； (2)求不等式的解集． 【方法总结】 形如的不等式，可借助的单调性求解； 形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； 形如的不等式，可借助两函数，的图象求解. 【变式4-1】不等式的解集为______． 题型5 指数函数的图象的辨析 【例5】已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 指数函数的图象辨析的解题策略：“一找定点，二看单调，三验一致性” ① 找定点（筛选）：先看特殊点.指数函数 必过 ，对数函数 必过 ，一次函数 必过 .若图象不过这些点，直接排除. ② 定范围（假设）：通过观察其中一个函数（通常选指数或对数函数）的单调性（增或减），确定参数 的范围（是 还是 ）. ③ 验矛盾（确认）：将确定的 的范围代入另一个函数（如直线），检查其斜率正负、截距大小或与轴交点位置是否与图象吻合.若矛盾则排除，吻合即为答案. 【变式5-1】已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．如果函数和都是指数函数，则（    ） A． B．1 C．9 D．8 2．已知，若，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若，，则函数的图像一定经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的图象恒过定点，且上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．若，则下列选项中不正确的是（　　） A．在上单调递减 B．与的图象关于y轴对称 C．的图象过点 D．的值域为 8．设指数函数（且），则下列等式中不正确的有 A． B． C． D． 9．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝at．关于下列说法正确的是（    ） A．浮萍每月的增长率为2 B．浮萍每月增加的面积都相等 C．第4个月时，浮萍面积不超过80m2 D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1+t3 三、填空题 10．若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为____________. 11．若方程有唯一实数解，则的取值范围是 ． 12．定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值为______；最小值为______. 四、解答题 13．已知函数． (1)试确定的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 14．已知函数，. (1)若函数为奇函数，求实数a的值； (2)在（1）的条件下，设函数，若，，使得，求实数m的取值范围. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 指数函数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求指数函数解析式（利用定义求参数值或范围） 题型2 指数型函数过定点问题 题型3 比较指数幂的大小 题型4 解指数型方程和不等式 题型5 指数函数的图象的辨析 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 指数函数 1. 理解概念形成：通过实际实例，经历从具体到抽象的过程，理解指数函数的概念及实际意义，体会数学建模. 2. 掌握图象与性质：能画出具体指数函数图象，探索并掌握其单调性、特殊点等性质，理解底数 的影响. 3. 熟练应用性质：能运用图象和性质比较幂的大小、解简单指数不等式，并解决相关实际问题. 4. 提升核心素养：体会数形结合、分类讨论等思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理和运算素养. 学习重点：（1）概念与图象：准确理解指数函数的定义形式，掌握图象的基本特征和过定点的性质. （2）性质及应用：掌握指数函数的单调性，能利用单调性解不等式、比较大小等. 学习难点：（1）学生难以从表格数据中通过计算“增长率”发现指数变化规律，进而抽象出模型. （2）理解底数取值范围对单调性的决定作用及对图象变化趋势的影响. （3）区分两类函数：易混淆指数函数（底数为常数）与幂函数（指数为常数）. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 指数函数的概念 1、定义 一般地，函数 （ 且 ）叫做指数函数，其中指数 是自变量，定义域是 ， 是指数函数的底数. 2、指数函数的结构特征 指数函数表达式中，需满足： （1） 系数必须为 ； （2）自变量出现在指数位置上； （3）底数为大于 ，且不等于 的常数，不能是自变量； （4）整个式子仅有一项，例如 就不是指数函数. 3、注意事项：指数函数 的底数规定大于 且不等于 的理由 （1）如果 ，当 （2）如果 ，如 ，当 时，在实数范围内函数值不存在. （3）如果 ， ，是一个常量，对它就没有研究的必要. 为了避免上述各种情况，所以规定 且 . 即时即练 下列函数中是指数函数的是________. ①；②；③；④；⑤；⑥. 【答案】①④ 【详解】因为形如的函数为指数函数， 所以函数符合指数函数的定义，是指数函数； 符合指数函数的定义，是指数函数； 其它函数不符合指数函数的定义，不是指数函数. 【方法总结】 判断一个函数是指数函数的方法 （1）看形式：判断其解析式是否符合（，且）这一结构特征. （2）明特征：看是否具备指数函数解析式的三个特征，只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数. 知识点02 指数函数的图象与性质 1、指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）的图象和性质如下表： a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 （0，＋∞） 性质 过定点 过定点（0，1），即x＝0时，y＝1 函数值的变化       当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 2、底数 对指数函数图象的影响 函数 ， ， 和 ， ， 的图象如图所示（图略）. （1）当 且 时，底数越大，图象越“陡”； 当 且 时，底数越小，图象越“陡”. （2）在 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在 轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”. 即时即练 下列图象中，有可能表示指数函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】由于（，且），所以A，B，D都不正确，故选C. 【方法总结】 判断指数函数图象的方法： 指数函数图象恒过点，函数值域是，即函数图象恒在x轴的上方. 知识点03 指数函数的图象变换 已知指数函数 （ 且 ） 1、平移变换 · ； · ； · ； · . 规律总结：上加下减（针对函数值 ），左加右减（针对自变量 ）. 2、对称变换 · ； · ； · . 3、翻折变换 · ； · . 题型1 求指数函数解析式（利用定义求参数值或范围） 【例1】（1）已知函数是指数函数，且，则＝________. 【答案】 【详解】因为函数是指数函数， 设且， ，解得 （2）若函数，且）是指数函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】解：因为函数是指数函数，所以，所以，所以，所以，，故B、D错误，A．C正确． （3）若函数是指数函数，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【详解】因为函数是指数函数，所以需满足， 解得且.故实数的取值范围为. 【方法总结】 1、求指数函数解析式的方法： 求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式 （ 且 ），然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键. 求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式. 2、利用指数函数定义求参数值的方法： ①列方程（利用系数为1），令前面的系数等于 1，解出参数的可能值； ②验底数（利用底数条件），将求出的参数值代入底数表达式，检验是否满足 底数 且  . ③查指数（利用指数条件），检查指数部分是否仅为 x . 如果指数是 kx 、 x+c 等形式，则该函数不是指数函数（可能是指数型函数），此时无解或需重新审题. ④下结论，综合以上三步，写出最终符合条件的参数值. 3、利用指数函数定义求参数取值范围的方法： ① 明确前提：写出指数函数的默认条件 且 . ② 分类讨论：只要涉及单调性、最值或大小比较，必须对底数  和0<a<1 两种情况进行分类讨论. ③ 等价转化：将文字描述（如“单调递增”、“恒大于”、“有最大值”）翻译成代数不等式. ④ 求交集：将分类讨论求出的范围，与前提条件（ 且 ）取交集，得出最终答案. 【变式1-1】函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 【变式2-1】若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【答案】D 【详解】解：因为函数是指数函数， 且，， 由解得或， . 题型2 指数型函数过定点问题 【例2】函数恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】指数函数（且）过定点， 所以，当时的值恒为2，即过定点， 【方法总结】 指数型函数 过定点问题的解法： ① 令指数为 0，即令=0，解方程得出定点的横坐标, ② 将横坐标代入函数，求出定点的纵坐标的值, ③ 下结论：所求定点坐标为. 【变式2-1】当 且 时，函数的图象一定过点 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，令，解得，又，故函数图像过点 题型3 比较指数幂的大小 【例3】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故，即； ，即； 故. 【方法总结】 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： ① 底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； ② 底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； ③ 底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 【变式3-1】（多选）下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，由指数函数为单调递增函数，可得成立，所以A正确； 对于B，由幂函数在上单调递增，可得成立，所以B不正确； 对于C，由指数函数为单调递减函数，可得成立，所以C正确； 对于D，由，所以，所以D不正确. 故选：AC. 题型4 解指数型方程和不等式 【例4】已知函数（，且）的图象过点，． (1)求，的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为函数的图象过点，， 所以，解得. （2）由（1）得， 由，得，所以， 所以或， 解得或， 即不等式的解集为． 【方法总结】 形如的不等式，可借助的单调性求解； 形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； 形如的不等式，可借助两函数，的图象求解. 【变式4-1】不等式的解集为______． 【答案】 【详解】由， 所以，即， 解得或， 故答案为：. 题型5 指数函数的图象的辨析 【例5】已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】题目所给的两个函数的图象都经过定点，故B错误； 因为且，所以为增函数， 当时，为增函数，此时的零点，故A错误； 当时，为减函数，此时的零点，故C正确，D错误. 【方法总结】 指数函数的图象辨析的解题策略：“一找定点，二看单调，三验一致性” ① 找定点（筛选）：先看特殊点.指数函数 必过 ，对数函数 必过 ，一次函数 必过 .若图象不过这些点，直接排除. ② 定范围（假设）：通过观察其中一个函数（通常选指数或对数函数）的单调性（增或减），确定参数 的范围（是 还是 ）. ③ 验矛盾（确认）：将确定的 的范围代入另一个函数（如直线），检查其斜率正负、截距大小或与轴交点位置是否与图象吻合.若矛盾则排除，吻合即为答案. 【变式5-1】已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图得，，所以. 因为函数（，且）的图象与函数（，且）的图象关于轴对称，如图所示， 由图可知：，则. 一、单选题 1．如果函数和都是指数函数，则（    ） A． B．1 C．9 D．8 【答案】D 【详解】根据题意可得，，则. 2．已知，若，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由知，，即，从而. 3．若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数（是自变量）是指数函数，所以，解得：且. 4．若，，则函数的图像一定经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】A 【详解】由可得函数的图像单调递增，且过第一、二象限，由可得把的图像向下平移个单位可得的图像，结合可知，图像过第一、二、三象限． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，在上单调递减， 所以， 同理，函数在上单调递增，所以. 综上，可得． 6．已知函数的图象恒过定点，且上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由指数函数的图象恒过定点可知 函数的图象恒过定点. 所以，所以. 则， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以的最小值为. 二、多选题 7．若，则下列选项中不正确的是（　　） A．在上单调递减 B．与的图象关于y轴对称 C．的图象过点 D．的值域为 【答案】ACD 【详解】因为　在R上单调递增，则A错误； 与的图象关于y轴对称，则B正确； 由，得的图象过点，则C错误； 由，可得，则D错误， 8．设指数函数（且），则下列等式中不正确的有 A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】，A 正确； ，B正确； ，，C不正确； ，，D不正确. 9．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝at．关于下列说法正确的是（    ） A．浮萍每月的增长率为2 B．浮萍每月增加的面积都相等 C．第4个月时，浮萍面积不超过80m2 D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1+t3 【答案】AD 【详解】对于A：因为函数图象过点， 所以a＝3，即函数解析式为y＝3t， 所以浮萍每月的增长率为：， 即选项A正确； 对于B：因为浮萍第1个月增加的面积为， 浮萍第2个月增加的面积为， 所以浮萍每月增加的面积不相等， 即选项B错误； 对于C：当t＝4时，y＝34＝81＞80， 即选项C错误； 对于D：因为，，， 所以， 即 所以2t2＝t1+t3， 即选项D正确. 三、填空题 10．若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为____________. 【答案】 【详解】解:由题知, 若函数单调递减，其图象不经过第一象限,必有图象与y轴交点不在y轴正半轴上， 只需即可, 即, 解得: . 11．若方程有唯一实数解，则的取值范围是 ． 【答案】或． 【详解】作函数的图象如下，   ， 结合图象可知， 当时，方程有唯一实数解， 当时，方程有两个实数解， 当时，方程有唯一实数解， 故答案为：或． 12．定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值为______；最小值为______. 【答案】 【详解】由，得，由，得， 故满足题意的定义域可以为或， 故区间的最大长度为，最小长度为. 故答案为；. 四、解答题 13．已知函数． (1)试确定的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)奇函数；(2)证明见解析；(3) 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称， 且有， 故函数为奇函数. （2）证明：， 设，再由， 可得， 故函数在上是减函数. （3）对任意的，不等式恒成立，为奇函数， 恒成立， 由函数在上是减函数， 可得 恒成立， 即恒成立， ，解得：， 故的取值范围为. 14．已知函数，. (1)若函数为奇函数，求实数a的值； (2)在（1）的条件下，设函数，若，，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1); (2) 【详解】（1）为奇函数，， ，此时，经验证符合题意； （2）， 令，，， 记，， 易知在[2，4]上单调递增， 故， 另外当时， 由题意： ， 所以的取值范围为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $