第18讲 函数的零点与方程的解（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第18讲 函数的零点与方程的解 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求函数的零点（方程的解） 题型2 判断函数零点所在的区间 题型3 由函数零点所在区间求参数 题型4 求函数零点的个数 题型5 根据函数零点的个数求参数的取值范围 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 函数的零点 方程的解 零点存在定理 1. 理解零点概念：结合实例，明确函数零点、方程实数解及图象交点横坐标的等价关系。 2. 掌握存在定理：理解函数零点存在定理，能运用其判断零点存在性及大致区间。 3. 熟练应用性质：结合图象与单调性判断零点个数，体会“函数与方程”的转化思想。 4. 提升核心素养：体会数形结合与转化思想，培养数学抽象、逻辑推理和直观想象素养。 学习重点：（1）零点概念与三个等价关系：理解零点定义，掌握方程解、函数零点与图象交点横坐标的等价转化； （2）零点存在定理及应用：掌握定理核心条件（图象连续、端点异号），并能判断零点所在区间. 学习难点：（1）零点本质的理解：易将“零点”误认为几何上的“点”，难以深刻理解其本质； （2）定理条件的辨析：理解“连续”与“异号”的必要性，能通过反例辨析定理不可逆； （3）零点个数的综合判断：综合运用零点存在定理与单调性等性质，准确判断零点个数. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 函数的零点 1、函数零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点．即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值． 【要点辨析】 （1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； （2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； （3）函数的零点就是方程的实数根． 2、函数的零点与方程的解的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标．所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 即时即练 函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，即，解方程得， 由函数零点的定义可知，函数的零点是2. 【方法总结】 利用零点的定义来求零点：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点． 注意零点的本质是实数，是函数图象与x轴交点的横坐标，不是这样的等式，也不是这样的点，更不是与x轴交点的纵坐标. 知识点02 函数零点存在定理 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 【要点辨析】 （1）定义不能确定零点的个数； （2）不满足定理条件时依然可能有零点； （3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件； （4）定理反之是不成立的． 2、函数零点存在定理的几何意义 在闭区间上有连续不断的曲线，且曲线的起始点与终点分别在轴的两侧，则连续曲线与轴至少有一个交点． 3、函数零点存在定理的重要推论 （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 即时即练 已知函数的图像是连续不断的，有如下，的对应值表： 1 2 3 4 5 6 15 10 -7 6 -4 -5 则函数在区间上的零点至少有 A．2 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】由题表可知. 又的图像为连续不断的曲线， 所以在区间，，上各至少有一个零点. 因此上至少有3个零点. 【方法总结】 零点存在定理判断零点个数： ①的图像是连续不断的， ②若，则在区间内至少存在一个零点 ； ③找出满足以上条件的区间个数，就能确定函数零点至少多少个. 题型1 求函数的零点（方程的解） 【例1】已知函数，则函数的零点为__________. 【答案】和 【详解】当时，令，解得； 当时，则在上单调递增，且， 故在内有且仅有一个零点2； 综上所述：函数的零点为和. 【方法总结】 探究函数零点的两种方法： （1）代数法：求方程f（x）＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点. （2）几何法：与函数y＝f（x）的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. 【变式1-1】函数的零点为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】令，得，则． 题型2 判断函数零点所在的区间 【例2】函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，，则， 根据零点存在性定理，函数的零点所在区间为. 【方法总结】 确定函数零点所在区间的常用方法： （1）解方程法：当对应方程易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上. （2）利用函数零点存在定理：首先看函数在区间上的图象是否连续，再看是否有若，则函数在区间内必有零点. （3）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 【变式2-1】若二次函数的一个零点恰落在内，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】BC 【详解】，则， 函数在上单调递增， 当，，BC满足. 题型3 由函数零点所在区间求参数 【例3】若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若函数存在1个零点位于内， 单调递增,又因为零点存在定理， . 【方法总结】 由函数零点所在区间求参数范围的方法： 方法1：零点存在定理法：① 在区间内有零点，则 ② 单调递增且在区间内有零点，则 ③ 单调递减且在区间内有零点，则 注意：如果在闭区间上有零点，使用上面方法后，还要验证或=0的情况. 方法2：参变量分离法：等价变形为，然后数形结合，转化为是否有交点问题. 【变式3-1】设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为________． 【答案】 【详解】因为在单调递增，且有零点， 所以，解得， 故实数的取值范围为： 题型4 求函数零点的个数 【例4】已知函数，则关于的方程实数解的个数为（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【详解】因为，解之得或2， 当时，； 当时，，当且仅当时等号成立， 所以，，的图象如图： 由图可知使得或的点有4个. 【方法总结】 零点个数的判断方法 （1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点． （2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （3）图象法： ①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与x轴交点的个数就是函数的零点个数． ②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数． 【变式4-1】函数的零点的个数为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】令， 所以函数的零点的个数等价于：方程解得个数， 等价于函数与图像交点的个数， 如图所示： 由图可知函数与只有一个交点， 即方程只有一个解， 即函数只有1个零点， 题型5 根据函数零点的个数求参数的取值范围 【例5】已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作出函数的大致图象， 因为函数有2个零点， 所以方程有2个不同的根， 即方程有2个不同的根， 所以方程有2个不同的根， 所以函数与函数图象有2个不同的交点， 结合图象可得，或，所以或． 【方法总结】 已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 （1）直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； （2）数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； （3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解． 【变式5-1】已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设的两个不等正零点为， 即的两个不等正根为， 故，解得， 故的取值范围是. 一、单选题 1．下列图象表示的函数中没有零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数y=f(x)的零点就是函数图象与x轴交点的横坐标. A项中函数图象与x轴没有交点，所以该函数没有零点； B项中函数图象与x轴有一个交点，所以该函数有一个零点； C，D两项中的函数图象与x轴有两个交点，所以该函数有两个零点. 2．函数的零点为（    ） A． B． C．和 D．或 【答案】C 【详解】令，即，解得，所以函数的零点为和. 3．下列区间中，包含函数零点的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在定义域内递增， ，， 根据零点存在性定理可知，在内一定存在的零点． 4．已知，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题设，当时且递减，当时且递减， 令，则，可得或，如下图示： 由图知：时有一个零点，时有两个零点，故共有3个零点. 5．对于实数和，定义运算“”：，设，且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得，由 可得， 所以根据题意得， 即， 做出函数的图像如图， 当时，开口向下，对称轴为， 所以当时，函数的最大值为， 函数的图像和直线 有三个不同的交点． 可得的取值范围是. 6．已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有零点之和为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】因为为奇函数，所以关于对称， 则关于对称，即， 当时，， 当时，， 则， 所以， 则， 因为，则或， 解得或，所以. 二、多选题 7．下列函数存在零点的是（　　） A． B． C．（且） D． 【答案】ABC 【详解】A，令，解得，得函数的零点为1和-1，A正确； B，令，解得或，定义域为或， 令，解得或，即函数的零点为和1，B正确； C，的定义域为，令，解得， 即函数的零点为1和-1，C正确； D，当时，，此时函数无零点， 当时，，此时函数无零点， 故不存在零点. 8．已知函数有两个零点，则零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为的定义域为，所以函数是连续不间断函数， 又，， ，， ， 且，， 所以由零点存在性定理可知函数在和上有零点. 9．已知函数，下列是关于函数的零点的判断，其中正确的是（　　） A．在内一定有零点 B．在内一定有零点 C．当时，有个零点 D．当时，有个零点 【答案】CD 【详解】当时，，图象如图（1）， 此时即， 若，则， 若，则， 又有2个零点，也有2个零点， 故有4个零点，故C正确； 当时，，图象如图（2）， 此时即，只有一种情况， 此时仅有1个零点， 所以当时，有1个零点，故D正确； 由图象可得A、B错误. 三、填空题 10．已知函数则函数的零点为______ 【答案】 【详解】当时，由，即，解得或（舍）， 当时，由，解得， 综上可得，函数的零点为． 11．已知函数的零点在区间上，则的取值范围为____． 【答案】 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 因为函数的零点在区间上， 又当时，，， 所以，解得， 所以的取值范围为. 12．已知分段函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【详解】由函数， 画出函数的图象，如图所示， 因为函数有三个零点，即函数与的图象有三个公共点， 结合图象，可得，所以实数的取值范围为. 四、解答题 13．已知是定义在R上的奇函数，当时， (1)求的解析式和单调区间，并画出简图； (2)讨论方程的根的个数． 【答案】(1)，增区间为，；无减区间，图见解析 (2)当时，有三个根，当或时，仅有一个根，当或时，有两个根. 【详解】（1）因为是定义在R上的奇函数，所以， 因为当时，，所以当时，，， 因为，所以，综上. 由于为增函数，所以的单调增区间为，；无减区间. 其简图如图， （2）由可得， 由图可知，当时，即时，方程仅有一个根； 当时，即时，方程有两个根； 当时，即时，方程有三个根； 当时，即时，方程有两个根； 当时，即时，方程仅有一个根； 综上，当时，有三个根，当或时，仅有一个根，当或时，有两个根. 14．已知函数是偶函数.当时，. (1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围； (2)已知，试讨论的零点个数，并求对应的的取值范围. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）设，则，则， 因为为偶函数， 所以， 所以，作出的图象如图： 因为函数在区间上具有单调性， 由图可得或，解得或； 所以实数的取值范围是. （2）令，即， 由（1）作出的图象如图： 由图像可知： 当时，有两个零点； 当时，有四个零点； 当时，有六个零点； 当时，有三个零点； 当时，没有零点. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 函数的零点与方程的解 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求函数的零点（方程的解） 题型2 判断函数零点所在的区间 题型3 由函数零点所在区间求参数 题型4 求函数零点的个数 题型5 根据函数零点的个数求参数的取值范围 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 函数的零点 方程的解 零点存在定理 1. 理解零点概念：结合实例，明确函数零点、方程实数解及图象交点横坐标的等价关系。 2. 掌握存在定理：理解函数零点存在定理，能运用其判断零点存在性及大致区间。 3. 熟练应用性质：结合图象与单调性判断零点个数，体会“函数与方程”的转化思想。 4. 提升核心素养：体会数形结合与转化思想，培养数学抽象、逻辑推理和直观想象素养。 学习重点：（1）零点概念与三个等价关系：理解零点定义，掌握方程解、函数零点与图象交点横坐标的等价转化； （2）零点存在定理及应用：掌握定理核心条件（图象连续、端点异号），并能判断零点所在区间. 学习难点：（1）零点本质的理解：易将“零点”误认为几何上的“点”，难以深刻理解其本质； （2）定理条件的辨析：理解“连续”与“异号”的必要性，能通过反例辨析定理不可逆； （3）零点个数的综合判断：综合运用零点存在定理与单调性等性质，准确判断零点个数. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 函数的零点 1、函数零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点．即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值． 【要点辨析】 （1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； （2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； （3）函数的零点就是方程的实数根． 2、函数的零点与方程的解的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标．所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 即时即练 函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 利用零点的定义来求零点：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点． 注意零点的本质是实数，是函数图象与x轴交点的横坐标，不是这样的等式，也不是这样的点，更不是与x轴交点的纵坐标. 知识点02 函数零点存在定理 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 【要点辨析】 （1）定义不能确定零点的个数； （2）不满足定理条件时依然可能有零点； （3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件； （4）定理反之是不成立的． 2、函数零点存在定理的几何意义 在闭区间上有连续不断的曲线，且曲线的起始点与终点分别在轴的两侧，则连续曲线与轴至少有一个交点． 3、函数零点存在定理的重要推论 （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 即时即练 已知函数的图像是连续不断的，有如下，的对应值表： 1 2 3 4 5 6 15 10 -7 6 -4 -5 则函数在区间上的零点至少有 A．2 B．3个 C．4个 D．5个 【方法总结】 零点存在定理判断零点个数： ①的图像是连续不断的， ②若，则在区间内至少存在一个零点 ； ③找出满足以上条件的区间个数，就能确定函数零点至少多少个. 题型1 求函数的零点（方程的解） 【例1】已知函数，则函数的零点为__________. 【方法总结】 探究函数零点的两种方法： （1）代数法：求方程f（x）＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点. （2）几何法：与函数y＝f（x）的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. 【变式1-1】函数的零点为（    ） A． B．2 C． D． 题型2 判断函数零点所在的区间 【例2】函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 确定函数零点所在区间的常用方法： （1）解方程法：当对应方程易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上. （2）利用函数零点存在定理：首先看函数在区间上的图象是否连续，再看是否有若，则函数在区间内必有零点. （3）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 【变式2-1】若二次函数的一个零点恰落在内，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．1 题型3 由函数零点所在区间求参数 【例3】若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 由函数零点所在区间求参数范围的方法： 方法1：零点存在定理法：① 在区间内有零点，则 ② 单调递增且在区间内有零点，则 ③ 单调递减且在区间内有零点，则 注意：如果在闭区间上有零点，使用上面方法后，还要验证或=0的情况. 方法2：参变量分离法：等价变形为，然后数形结合，转化为是否有交点问题. 【变式3-1】设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为________． 题型4 求函数零点的个数 【例4】已知函数，则关于的方程实数解的个数为（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 【方法总结】 零点个数的判断方法 （1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点． （2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （3）图象法： ①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与x轴交点的个数就是函数的零点个数． ②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数． 【变式4-1】函数的零点的个数为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型5 根据函数零点的个数求参数的取值范围 【例5】已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 （1）直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； （2）数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； （3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解． 【变式5-1】已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列图象表示的函数中没有零点的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的零点为（    ） A． B． C．和 D．或 3．下列区间中，包含函数零点的区间是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．对于实数和，定义运算“”：，设，且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有零点之和为（    ） A． B． C． D．0 二、多选题 7．下列函数存在零点的是（　　） A． B． C．（且） D． 8．已知函数有两个零点，则零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 9．已知函数，下列是关于函数的零点的判断，其中正确的是（　　） A．在内一定有零点 B．在内一定有零点 C．当时，有个零点 D．当时，有个零点 三、填空题 10．已知函数则函数的零点为______ 11．已知函数的零点在区间上，则的取值范围为____． 12．已知分段函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是_______. 四、解答题 13．已知是定义在R上的奇函数，当时， (1)求的解析式和单调区间，并画出简图； (2)讨论方程的根的个数． 14．已知函数是偶函数.当时，. (1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围； (2)已知，试讨论的零点个数，并求对应的的取值范围. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $