第3章 重难专题3 与圆相关的综合题-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（苏科版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册“圆”的重难专题，涵盖圆与三角形、四边形的综合，圆与函数的综合及动态问题。课堂通过目录超链接跳转，先回顾圆的基本性质，再逐步深入综合题，构建从基础到复杂的学习支架。 其亮点在于精选各地质检真题，结合几何直观与逻辑推理，培养学生抽象能力和推理意识。如圆与函数综合题通过设坐标、列方程求解，体现模型意识。帮助学生提升综合解题能力，为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

数 学 九年级上册 SK 1 2 3 第3章 圆 4 重难专 题3 与圆相关的综合题 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 类型1 圆与三角形、四边形的综合 1.【2025江苏扬州调研，中】如图，是 的内接 三角形，是的直径， ， ，弦 于，点是延长线上一点，且 ，连 接 . （1）填空： ________________________________ __________________________________________________ _______ ； 【解】 弦于，是 的直径，， ，故答案 为30. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 （2）判断与 的位置关系，并说明理由； 【解】与相切.理由如下：连接 ，如图. 弦于，是的直径，， .又 ，， 易知 ， ，是的半径， 与 相切. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 关键点拨 证明 , ,从而得到 是解答本题的关键. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 （3）取的中点，连接 ，求图中阴影部分的面积. 【解】连接,如图.是的直径， ， ，，,. 点是 的中 点，，是的中位线， ， ， , ， ， 图中阴影部分的面积为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 2.【2025浙江杭州质检，中】如图，在中， ，点是 的 中点，连接是的外接圆，与交于点，作直径，连接交 于点 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 （1）求证：四边形 是平行四边形. 【证明】连接，如图.在中， ，点 是的中点，， 为等腰 三角形.是外接圆的直径， ， 为的内接四边形 的一个外角， 为的直径， ， ，.又， 四边形 是平行四边形. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 （2）若，，求 的直径. 【解】连接，如图.， .由（1）可 知四边形是平行四边形，.， 可设 ， ，，. ， ,， . 在和中， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 ，，.在 中，由勾 股定理得，在中，， 由 勾股定理得 ， ， 的直径为10. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 类型2 圆与函数的综合 3.【2025江苏南京期末，中】如图，直线 与两坐标 轴分别交于，两点，点是线段上的一个动点，过作 轴的平行线，交直线于，连接，，将 绕点逆时针旋转 得到，边 扫过区域 （阴影部分）面积最大值为_ ___. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 【解析】设，则 ， ， 绕点逆时针旋转 得到 ，， ，扫过区域面积， 当时，的最大值为.故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 4.［中］如图，一次函数与反比例函数的图象交于， 两点， 点在以为圆心，2为半径的上，是的中点，已知 的最大值为3， 则 的值为_ ___. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 【解析】如图，连接.由题意易得是 的中点， 的最大值为3，的最大值为6.当 过圆心 时，最长，过作轴于， 点 在直线上， 设，则 , .在中，由勾股定理得 ， ，整理得，解得（舍去）， ， , 点在反比例函数 的图象上， .故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 思路分析 连接，根据中位线定理可得的最大值为6.易知当过圆心时， 最长.过 作轴于.设，则， .根据勾股定理可得 ，列方程求出点 的坐标，代入反比例函数表达式即可求解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 5.［较难］在平面直角坐标系中，的半径为1，为任意一点，为 上 任意一点.给出如下定义：记，两点间的距离的最小值为（规定：点在 上时，），最大值为，那么把的值称为点与 的“关联距离”，记 为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 （1）如图，点，， 的横、纵坐标都是整数. ① _________________________________________________________ __________________________________ ； 【解】到的距离的最小值，最大值 ， ，故答案为2. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 ②若点在线段上，求 的取值范围. 【解】当在点处时，；当在点处时， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 （2）若点在直线上，直接写出 的取值范围. 图（1） 【解】.设， ， ， .设直线 交轴于点，交轴于点 ，如图（1），则 ，，， ， . 当时，最小. ，即 ，.由图（1）易知 无最大值， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 （3）存在一正方形，其边长为，若点 在该正方形的边上运动时，满足 的最小值为1，最大值为，直接写出 的最小值和最大值. 图（2） 【解】的最小值为，最大值为 .如图（2）， 的最小值为1，最大值为， 两个同心圆中， 小圆的半径为1，大圆的半径为.， 的 最小值是.在中， ， ，， ，解 得（舍去）或，的最小值为 ，最大 值为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 关键点拨 此题考查了圆的性质和新定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位 置解决数学问题. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 类型3 动态问题 6.［中］如图，已知的半径是4，点，在上，且 ，动点 在上运动（不与，重合），点为线段的中点，连接，则线段 长 度的最值是__________________________________. 最大值为，最小值为 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 【解析】如图（1），连接，取的中点，连接 ，则 点为线段的中点，是 的中位线， ，，即点在以 为圆心，2为半径的圆上，如图 （2）， 求的最大值就是求点到上的点的距离的最大值，求 的最小 值就是求点到上的点的距离的最小值.当在线段的延长线上时， 取最 大值；当在线段上时，取最小值.， ， ，，，的最大值为 ，最小值为 .故答案为最大值为，最小值为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 图（1） 图（2） 易错警示 线段最值包括最大值与最小值，避免漏解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 图（1） 7.［难］问题情境：如图（1），是外的一点，直线 交 于点，，则是点到 上的点的最短距离． 图（2） （1）探究证明：如图（2），在上任取一点（不与点， 重合），连接，.求证： . 【证明】 ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 图（3） （2）直接应用：如图（3），在中， ， ，以为直径的半圆交于，是弧 上的一个动点， 连接，则 的最小值是_ ______ ． 图（1） 【解析】如图（1），连接交半圆于，则 的值最小.在 中， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 图（4） （3）构造运用：如图（4），在边长为2的菱形 中， ，是边的中点，是边上一动点，将 沿所在的直线翻折得到，连接，则 长度的最 小值为_______． 图（2） 【解析】如图（2），以点为圆心，的长为半径作 ,连 接，连接交（半径是1）于点 四边形 是菱 形， ，是等边三角形.是 的中点，, ，， 长 度的最小值即为的长度，即 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 关键点拨 在以为圆心，半径为1的圆上，故连接，求得的长，即可求得 长度 的最小值. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 图（5） （4）综合应用：如图（5），平面直角坐标系中，分别以点 ，为圆心，以1，2为半径作，，， 分别是，上的动点，为轴上的动点，则 的 最小值为___． 7 图（3） 【解析】如图（3），作点关于轴的对称点，连接 ，交 于点，交轴于点，连接交于点 ，此时 最小， ， ， ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 $