第3章 大招专题3 圆中的最值问题-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（苏科版·新教材）
2026-08-17
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教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦九年级上册“圆中的最值问题”，通过“母题学大招”与“子题练变式”构建学习支架，先解析垂径定理、将军饮马等基础模型，再结合中考真题变式训练，衔接圆的性质与几何最值的知识脉络。
其亮点在于“大招解读”提炼解题模型，培养学生抽象能力与几何直观，解析过程逻辑严密发展推理意识，子题融入各地期末真题提升应用意识。学生能掌握系统解题策略，教师可直接用于专题教学，提升课堂效率。
内容正文：
数 学
九年级上册 SK
1
2
3
第3章 圆
4
大招专
题3
圆中的最值问题
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刷难关
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难关
母题学大招9 利用圆的性质求最值
1.［中］如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆过点 ，一直线过
点与圆交于，两点，则弦 的最小值为_____.
（第1题图）
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【解析】如图所示，过点作轴于点，连接,,则 ，
， 根据勾股定理得. 点， ，
过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短， 由垂径定理
及勾股定理可得的最小值为 ，故
答案为 .
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大招解读 利用圆的性质求最值
如图，过圆内一定点的所有弦中，直径最长，与直径垂直的弦 最短.
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子题练变式
2.【2025四川泸州期末，中】如图，的直径，弦，且弦 在圆
上滑动（的长度不变，点,与点,不重合），过点作于点 ，若
是的中点，则 的最大值是___.
4
（第2题图）
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【解析】如图，延长交于点，连接，是
的中点，是的中位线，， 当的值最大时， 的值
最大，即当为直径时，的值最大.的直径， 的最大值为
，故答案为4.
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母题学大招10 利用将军饮马模型求最值
（第3题图）
3.【2025江苏扬州质检，中】如图，为的直径，, 是
上的两点，过作于点，过作 于点
，为上的任意一点，若，， ，则
的最小值是( )
B
A.20 B. C.14 D.
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【解析】如图，连接，， ，
，
，，是 上的两
点，， ，
，，，. 延长与 相
交于点，连接,为的直径，， ，
，, 当点在直线上时， 取最小值，
且最小值为的长.过作交的延长线于点,又 ，
， 四边形是矩形，， ，
，，
的最小值是 ，故选B.
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大招解读 利用将军饮马模型求最值
已知,为上两点，为直径上一动点，求 的最小
值.如图，作点关于的对称点，连接交于点 ，则
，故当点与点重合时， 取得最小值，最小
值为 的长.
关键点拨
根据将军饮马模型得到当点在直线上时，取最小值，且最小值为
的长是解题关键.
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母题学大招11 利用圆外点到圆的距离求最值
（第4题图）
4.［中］已知点和直线，求点 到直线
的距离可用公式 计算.根据以上材料解
决下面问题：如图，的圆心的坐标为，半径为1，直线
的表达式为，是直线上的动点，是 上的动点，
则 的最小值是( )
A
A. B. C. D.2
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【解析】如图，过点作 直线于点，交于点，此时
的值最小.根据点到直线的距离公式可知，点到直线 的距离
.的半径为1， ，故选A.
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大招解读 利用圆外点到圆的距离求最值
（1）已知直线及圆上一动点求最值，想到过圆心作直线的垂线.
（2）已知圆外一定点及圆上一动点求最值，想到连接定点与圆心.
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子题练变式
5.［中］如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是 上的任意一
点，，且，与轴分别交于，两点，若点、点 关于原点对称，
当线段最短时，点 的坐标为_______.
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【解析】如图，连接，连接交于点 点的坐标为 ，
，， .若要
使最短，则需取得最小值.当点位于位置时，取得最小值. ，
，， 当线段最短时，，此时点的坐标为 ，
故答案为 .
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母题学大招12 利用直线与圆的特殊位置关系求最值
（第6题图）
6.［中］如图，在中， ，
，，分别是，的中点，若等腰
绕点逆时针旋转，得到等腰，记直线与 的
交点为，则点到 所在直线的距离的最大值为 _______.
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【解析】由题意知，在以为圆心，为半径的圆上，如图，当 所在直
线与相切时，直线与的交点到直线的距离最大，过点作 直
线于.此时易证四边形是正方形， ，则
，故易得 ， ，
故点到所在直线的距离的最大值为，故答案为 .
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大招解读 利用直线与圆的特殊位置关系求最值
已知动点与定直线求最值，动点的轨迹是圆，想到利用直线与圆的位置关系，通
常在相切时取得最值.
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子题练变式
7.【2025湖北武汉期末，较难】如图，在矩形中，，， 是
边上一动点（不含端点），将沿直线翻折，得到.射线 交
线段于点，连接，则的面积为____, 的最大值为_____.
10
（第7题图）
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【解析】由题意可得的面积等于矩形 面积的一半，
的面积为.在 中，
， 当的值最大时， 有最大值.由题意
可得点在以为圆心，4为半径的圆弧上运动，当射线 与圆
相切时，
AP的值最大，此时,两点重合，，， 三点共线，如图.由题意可得
， ， ，
，， ，
，， ，
在中，.故答案为10， .
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关键点拨
在中，利用勾股定理得出,从而得出当 的值最大
时， 有最大值是解题的关键.
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母题学大招13 利用定点定长构造辅助圆求最值
（第8题图）
8.［中］如图，点，的坐标分别是，，点 为坐标
平面内一动点，，点为线段的中点，连接，则
的最大值为( )
C
A. B. C. D.
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【解析】 点为坐标平面内一动点，，在以 为圆
心，2为半径的圆上运动.在轴负半轴上取 ，连接
，，是 的中位线，
， 当的值最大时，的值最大.如图，当 ，
， ，， ，
，即的最大值为 .故选C.
，三点共线，且在的延长线上时，的值最大，故此时 的值最大.
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大招解读 利用定点定长构造辅助圆求最值
已知定点和定长，想到动点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.
如图，动点到定点的距离为定值，则点的轨迹为以点 为圆
心， 为半径的圆.
关键点拨
根据题意可知,点在半径为2的上运动，通过画图可知，在
的延长线上时， 的值最大，即可求解.
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子题练变式
（第9题图）
9.【2025山东烟台期中，较难】如图，在平面直角坐标系
中，半径为4的与轴交于点，，与 轴交于点
，，连接，已知轴上一点，点是 上一动
点，连接，点为的中点，连接，，则
面积的最小值为__________.
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【解析】如图，连接，， .由题意得
，， 为
直径， .由题意知，点在以 为圆心，
2为半径的上运动.当点为线段与 的交点时，点
到 的距离最短，为
， 面积的最小
值为.故答案为 .
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母题学大招14 利用定弦定角构造辅助圆求最值
（第10题图）
10.［中］如图，在中， ， ，
，点是其内部一动点，且，则， 两点
间的最小距离为( )
C
A.3 B.4 C. D.
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【解析】中， ，，， 由勾
股定理，得
.如图，取的中点 ，
， ，
，点在以为圆心，长为半径的圆弧上运动. 连接交圆
于点.当点与点重合时，,间的距离最小，最小距离为 的长.在
中，由勾股定理，得，故, 两点
间的最小距离为 ，故选C.
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大招解读 利用定弦定角构造辅助圆求最值
如图，固定线段所对动角为定值,则点运动轨迹为过,, 三点的圆.
原理:弦 所对的同侧圆周角恒相等.
备注：点 在优弧、劣弧上运动皆可.
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思路分析
取的中点，由及 ，得出 ，可得 点
在以为圆心，为半径的圆弧上运动，连接交圆于点，当点与点 重合
时，, 间距离最小.
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子题练变式
（第11题图）
11.【2025河南开封期末，较难】如图，正方形 的边长为4，
点,分别是，上的动点，且，连接， 交于
点，连接，则 的最小值是( )
A
A. B. C. D.
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【解析】如图，取中点，连接，.在正方形 中，
, .在和 中，
， ，
， ， 点在以点 为圆
心，长为半径的半圆上运动， 当，，三点在同一条直线上时， 取最
小值.在中，， 的最小值为
，故选A.
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母题学大招15 利用四点共圆求最值
12.［中］如图，正方形的边长为6，点 是正方形外一动点，
且点在的右侧， ，为的中点，连接,当
运动时，线段 的最大值为( )
D
A. B. C. D.
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【解析】如图，连接,交于点，连接, ,
，,,,四点共圆,易知点即为圆心. 正方形
的边长为6，.为的中点， 是
的中点，， 当点在线段 上
时，的值最大，，即线段的最大值为 .故选D.
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图（1）
大招解读 利用四点共圆求最值
对角互补型:
如图（1），若 或 ,
则,,, 四点共圆.
图（2）
同侧等角型：
如图（2），若,则,,, 四点共圆.
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关键点拨
连接，交于点，连接，.根据 , 得到 ，
，，四点共圆，且点 为圆心是解题关键.
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子题练变式
13.【2025黑龙江绥化期末，较难】如图，已知菱形 中，
，点，分别在，上，，与 交
于点，连接 .
（1）求证： ；
图（1）
【证明】如图（1）所示，连接 四边形 是菱形，
，, ， 是等
边三角形， ，.又 ，
， ，
.
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（2）当，时，求 的长；
图（2）
【解】如图（2），延长到，使得，连接 .
由（1）易得 菱形中， ，
， ， ，
.
， .又
，，， ，
, ， ，
是等边三角形， .
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（3）当时，求 的最大值.
图（3）
【解】 ， ，
，,,,四点共圆， 当 为直
径时，的值最大.设圆心为，连接,，，过点 作
于 ，如图（3）所示，
，
， ，
，，， 的最
大值为4.
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关键点拨
证明，，，四点共圆，则当为直径时，的值最大，设圆心为 ，连接
,，，过点作于，在中求出 的长即可得到答案.
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母题学大招16 利用米勒定理求最值
14.［中］如图，已知点，的坐标分别是,，点为 轴正
半轴上一动点，当最大时，点 的坐标是( )
B
A. B. C. D.
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【解析】过点，作，当与轴相切于点时， 最大，
连接,,，作轴于，如图. 点, 的坐标分别是
,，， ，
，与轴相切于点， 轴，
四边形为矩形，,.在 中，
，,点坐标为 .故选B.
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大招解读 利用米勒定理求最值
已知点,是的边上的两个定点，点是边 上的一个动点，则当且仅
当的外接圆与边相切于点时， 最大.
证明：如图,在边上任取一点（不与点重合），连接 ,
,与圆相交于点,连接,
（利用三角形外角性质）, 当圆与相切时， 最大.
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