第3章 3.2 确定圆的条件-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（苏科版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册“圆”的核心内容，围绕确定圆的条件及三角形外接圆展开，通过“打碎镜子配圆”等实际问题导入，衔接圆的基本概念，以例题解析、思路分析为学习支架，帮助学生掌握外心确定及相关计算。 其亮点是分层训练与核心素养融合，用镜子碎片问题培养几何直观（数学眼光），外心位置分类讨论提升推理能力（数学思维），最小覆盖圆探究强化模型观念（数学语言）。学生能提升问题解决能力，教师可获得分层教学素材与素养导向案例。

数 学 九年级上册 SK 1 2 3 第3章 圆 4 3.2 确定圆的条件 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 确定圆的条件 （第1题图） 1.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为 了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是 ( ) A A.① B.② C.③ D.④ 【解析】第①块碎片中有一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦， 再分别作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆 心，进而可得到半径的长.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 刷有所得 只要有一段弧便能确定一个圆，弧上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 2.【2025浙江杭州质检】已知，， 三点可以确定一个圆，则以下 点坐标不满足要求的是( ) C A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 【解析】设直线的函数表达式为.将, 代入，得 解得 选项，当时，，故 不在直线 上，根据不在同一直线上的三点确定一个圆，得点与， 可 以确定一个圆，故本选项不符合题意；B选项，当 时， ，故本选项不符合题意；C选项，当 时， 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ，故点在直线上，故,, 三 点不能确定一个圆，故本选项符合题意；D选项，当 时， ，故本选项不符合题意.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3.【2026江苏徐州调研】将边长为2的小正方形和边长为4的大正方形 如图摆放，使得,两点刚好重合，且,,三点共线，此时经过,, 三点作 一个圆，则该圆的半径为_____. （第3题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 【解析】由题意可知，，.如图，取的中点 ， 则，，连接，， 四边形, 为正方形， , 由勾股定理可得 ， ，，即点为过，， 三点所作圆的圆心，则 该圆的半径为，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 知识点2 三角形的外接圆 （第4题图） 4.【2025江苏南京质检】如图，在平面直角坐标系中， ，，，则 的外心坐标为( ) D A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 （第4题图） 【解析】如图， 的外心是三角形三边垂直平分线 的交点，与的交点即为所求的 的外心， 的外心坐标是 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 思路分析 的外心是三角形三边垂直平分线的交点,在平面直角坐标系中,作与 的 垂直平分线，其交点即为 的外心. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 （第5题图） 5.如图，在中， ，将绕点 按逆时针 方向旋转 得到，点在直线上.若，则点 和 的外心之间的距离是( ) B A.1 B. C. D. （第5题图） 【解析】如图，由题意可知， .在 中， ，，， ， .设的外心为点 ， 外心在斜边的中点处，， . 故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 6.【2026河北沧州期末】如图，在中， ， ，用一个圆去覆盖 ，能够完全覆盖这个三角形的最小 圆的半径是____. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 【解析】作于，如图. ， ， . 作边的垂直平分线，与交于点，又垂直平分， 点 是的外心.连接，设的外接圆的半径为 ，则 ,.在中，，解得 . 能够完全覆盖这个三角形的最小圆为的外接圆， 能够完全覆盖这个三 角形的最小圆的半径为.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 7.【2025浙江宁波期中】设， 是一个直角三角形两条直角边的长，且 ，则这个直角三角形的外接圆面积为____. 【解析】设这个直角三角形的斜边长为 .由题意得 ，.令 ，则 有，整理得，，， （不合题意，舍去），为直角三角形的斜边长， ， ， 这个直角三角形的外接圆直径为，半径为， 这个直角三角 形的外接圆面积为 ，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 8.【2026江苏徐州期末】如图，在由边长相同的小正方形组成的网格中， 的顶点均在格点（小正方形的顶点称为格点）上.仅用无刻度的直尺，在给定的网 格中，分别按下列要求画图，不用写画法，保留适当的作图痕迹. 图（1） 图（2） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 （1）在图（1）中找点，使得线段是 的中线； 【解】如图（1），点 即为所求. 图（1） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 22 （2）在图（2）中找点，使得点为 的外心. 【解】如图（2），点 即为所求. 图（2） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 23 刷易错 易错点 外心位置未知的情况下忽视分类讨论而致错 9.在中，，，已知是的外接圆，且 的半径为 5，则 的长为( ) C A. B. C.或 D.或 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 24 【解析】如图（1）所示，过点作于点，交于点，连接 ,则易 证必过点，，的半径为5，， ， ， ， .如图（2）所示,过点作于点 ， 交于点，连接,则易证必过点，， 的半径为 5，，，， ， .综上，的长为或 . 图（1） 图（2） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 25 易错警示 利用等腰三角形的性质,结合勾股定理计算时,要就外心是否在三角形内部进行分 类讨论,否则就会漏解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 26 提升 1.【2025江苏苏州质检，中】平面上有四个点，它们不都在同一直线上，过其中 三个点作圆，可以作出不重复的圆个，则 的值不可能为( ) C A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图（1），此时 . ②当三点在同一直线上时，如图（2）.分点，，；，，；，， 共圆 三种情况，可作3个圆，即此时 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 27 ③当，，， 四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，如图（3），分点 ，，；，，；，，；，， 共圆四种情况，可作4个圆，即此时 . 综上， 的值不能是2.故选C. 图（1） 图（2） 图（3） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 28 关键点拨 本题考查了确定圆的条件，分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时；②当三 点在同一直线上时；③当，，， 四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时. 根据不在同一直线上的三点可以确定一个圆，画出图形，即可得出答案. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 29 2.【2026江苏宿迁调研，较难】如图，在矩形 中， ，，为矩形的边上一动点，点从点 运动到 点， 的外接圆的圆心运动的路径长为( ) B A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 30 【解析】如图，连接,，交于点 四边形 是矩 形，，， ， ， ， ， 点在的边的垂直平分线上.当点 与点或重合时，的外接圆的圆心为点，当点为 的中点，即 时，连接并延长，交于点，设此时的外接圆的圆心为点 ， 连接,则.在 和中， ， ， 此时点在的边的垂直平分线上， 垂直平分 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 31 的外接圆的圆心一定在边的垂直平分线上， 点一定在 上， 点从点运动到点，的外接圆的圆心运动的路径是从点到点 ，再从 点到点，其路径长是.在中，, ， ，.又垂直平分， ， ，垂直平分， 四边形 是矩形，.设，则 .在 中，，即，解得 ， ，即点从点运动到点， 的外接圆 的圆心运动的路径长为 ，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 3.【2025浙江台州期中，中】半径为的是锐角三角形 的外接圆， ，连接，，延长交弦于点.若 是直角三角形，则弦 的长为_________. 或10 图（1） 【解析】分两种情况： ①如图（1），当 ，即时，， 易得 ， 是等边三角形， , , , ， , 由勾股定理得 ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 33 图（2） ②如图（2），当 时， ， 是等腰直 角三角形.，.故答案为 或10. 易错警示 本题未说明 中哪一内角为直角，故需全面考虑所有可能的情况，不要漏解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 34 刷素养 走向重高 4.核心素养 模型观念 【2025吉林长春中考，较难】数学活动：探究平面图形的 最小覆盖圆 图（1） 图（2） 图（3） 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内 或圆上）为该平面图形的覆盖圆.其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆 （即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 35 【探究一】 线段的最小覆盖圆 线段的覆盖圆有无数个，其中，以 为直径的圆是其最小覆盖圆. 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点.如图（1），以 为直 径作，再过,两点作（与不重合），连接,.在 中， 有（ ）. ，，即的直径大于的直径，是线段 的 最小覆盖圆.“ ”处应填写的推理依据为__________________________________. 为三角形的任意两边之和大于第三边 【解析】在中，有,故“ ”处应填写的推理依据为三角形 的任意两边之和大于第三边.故答案为三角形的任意两边之和大于第三边. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 36 【探究二】 直角三角形的最小覆盖圆 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小 覆盖圆问题.这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断 直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆.如图（2）， 在中， ，是以为直径的圆.请你判断点与 的位 置关系，并说明理由. 又由【探究一】可知，是最长边的最小覆盖圆，所以， 是 的最小覆盖圆. 【解】点在 上.理由如下： ，为的中点，， 点在 上. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 37 【拓展应用】 矩形的最小覆盖圆 如图（3），在矩形中，， . （1）用圆规和无刻度的直尺在图（3）中作矩形 的最小覆盖圆（不写作法， 保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）; 【解】如图（1），即为矩形 的最小覆盖圆. 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 38 （2）该矩形的最小覆盖圆的直径为____ ； 【解析】在矩形中，，， ， ，即矩形的最小覆盖圆的直径为 .故 答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 39 （3）若用两个等圆完全覆盖矩形，则这样的两个等圆的最小直径为____ . 【解析】如图（2），作的垂直平分线，交于，交于， 四边形 ，是两个全等的矩形， 用两个等圆完 全覆盖矩形， 两圆一定过点,.连接,,,，交点分别为, ，易 知,为等圆.同理可得，这样的两个等圆的直径为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 40 如图（3），作的垂直平分线分别交,于,，同法作， ，此时 不是直径最小的等圆. 图（2） 图（3） 综上，用两个等圆完全覆盖矩形，这样的两个等圆的最小直径为 .故 答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 41 $