第2章 全章综合训练-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（苏科版·新教材）
2026-07-13
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教辅
资源信息
| 学段 | 初中 |
|---|---|
| 学科 | 数学 |
| 教材版本 | 初中数学苏科版九年级上册 |
| 年级 | 九年级 |
| 章节 | 第2章 一元二次方程 |
| 类型 | 课件 |
| 知识点 | - |
| 使用场景 | 同步教学-新授课 |
| 学年 | 2026-2027 |
| 地区（省份） | 全国 |
| 地区（市） | - |
| 地区（区县） | - |
| 文件格式 | PPTX |
| 文件大小 | 4.08 MB |
| 发布时间 | 2026-07-13 |
| 更新时间 | 2026-07-13 |
| 作者 | 众望益飞教育科技（北京）有限公司 |
| 品牌系列 | 初中必刷题&教材划重点·初中同步课件 |
| 审核时间 | 2026-06-24 |
| 下载链接 | https://m.zxxk.com/soft/58471196.html |
| 价格 | 3.00储值（1储值=1元） |
| 来源 | 学科网 |
摘要：
该初中数学课件聚焦九年级上册“一元二次方程”，涵盖方程定义、解法、根的判别式、根与系数关系及应用等核心知识点。通过中考真题导入，以分考点训练为支架，构建从基础概念到综合应用的递进式知识脉络，帮助学生衔接前后内容。
其亮点在于整合2024-2026年多地中考真题，通过“刷中考”“刷章测”模块强化数学思维，如根的判别式应用培养推理能力，实际问题建模提升应用意识。解析详尽且注重方法总结，学生能深化理解，教师可直接用于课堂教学，提高效率。
内容正文：
数 学
九年级上册 SK
1
2
3
第2章 一元二次方程
4
全章综合训练
5
刷中考
刷章测
目 录
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中考
考点1 一元二次方程及其解
1.【2024四川凉山州中考】若关于的一元二次方程 的
一个根是，则 的值为( )
A
A.2 B. C.2或 D.
【解析】是关于的一元二次方程， ，即
.将代入，可得，解得 或
（舍去）.故选A.
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2.【2025贵州中考】一元二次方程 的根是________________.
，
【解析】，，，，故答案为， .
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3.解方程：
（1）【2024江苏无锡中考】 ；
【解】，，或 ，解得
, .
（2）【2025江苏徐州中考】 ；
【解】，移项，得，配方，得 ，即
，开平方，得，解得， ，
.
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（3）【2025四川广元中考】 .
【解】，， 或
，解得， .
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考点2 一元二次方程根的判别式
4.【2025江苏扬州中考】关于一元二次方程 的根的情况，下列结
论正确的是( )
A
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法判断根的情况
【解析】，,, ，
， 方程有两个不相等的实数根，
故选A.
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5.【2025安徽中考】下列方程中，有两个不相等的实数根的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】A选项，，故方程没有实数根；B选项， ，
故方程有两个相等的实数根；C选项， ，故方程没有实数根；D
选项， ，故方程有两个不相等的实数根.故选D.
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6.【2025四川乐山中考】定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫
作“单位圆点”.
（1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是____（填序号）；
；； .
③
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【解析】①由题联立整理得 ，则
，此方程无实数解，故函数 的图象
上不存在“单位圆点”.
②由题联立整理得，令 ，则方程变为
，即，则 ，此方程无实
数解，故函数 的图象上不存在“单位圆点”.
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③由题联立整理得，则 恒
成立，，解得.当时，，则点 满足
，即函数 的图象上存在“单位圆点”.故答案为③.
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（2）若一次函数的图象上存在“单位圆点”，则 的取值范围为
_ _____________.
【解析】由题联立整理得 ，则
，解得 ，故答案为
.
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考点3 一元二次方程根与系数的关系
7.【2025河北中考】若一元二次方程 的两根之和与两根之积分别
为,，则点 在平面直角坐标系中位于( )
C
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】方程，整理得， 两根之和 ，
两根之积， 点 在平面直角坐标系中位于第三象限.故选C.
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8.【2024黑龙江绥化中考】小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，
小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过
程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和 .则原来的方程是
( )
B
A. B. C. D.
【解析】设原来的方程为.由题知 ,
,,, 原来的方程为 ，
则 符合题意.
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9.【2025江苏苏州中考】已知，是关于的一元二次方程 的
两个实数根，其中，则 ____.
【解析】,是关于的一元二次方程 的两个实数根，
，,故答案为 .
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10.【2024山东烟台中考】若一元二次方程的两根为, ,则
的值为___.
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【解析】 一元二次方程的两个根为，， ，
，, .故答案为6.
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11.【2025四川南充中考】设，是关于的方程 的两根.
（1）当时，求及 的值.
【解】把代入方程，得， ，
，，解得，.综上， ，
.
（2）求证： .
【证明】方程 可化为
， 原方程有两个不相等的实数
根.由根与系数的关系得 ，
，， .
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考点4 一元二次方程的应用
（第12题图）
12.【2025福建中考】为加强劳动教育，增加学生实践机会，某
校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，
围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形
的一边长为 米，根据题意可列方程( )
C
A. B. C. D.
【解析】已知矩形的一边长为米，则另一边长为 米，根据矩形的面积为6
平方米可列方程为 ．故选C.
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13.【2024河北中考】淇淇在计算正数的平方时，误算成 与2的积，求得的答案
比正确答案小1，则 ( )
C
A.1 B. C. D.1或
【解析】由题意得，解得或 （不合题意，舍
去）.故选C.
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14.【2025山东威海中考】如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个
立方体的表面展开图.若正方形硬纸板的边长为 ，则折成立方体的棱长为
______ .
（第14题图）
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【解析】如图，设，则,, .在直
角三角形中，由勾股定理可得 ，即
，解得或（舍去）， 立方体的棱
长，故答案为 .
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15.【2024山东淄博中考】“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的
关注度越来越高.某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到
2023年的50万人.
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
【解】设该市参加健身运动人数的年均增长率为.由题意得 ，解
得, （不符合题意，舍去）.
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为 .
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（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司
规定：若购买不超过100套，每套售价1 600元；若超过100套，每增加10套，售价
每套可降低40元.但最低售价不得少于1 000元.已知市政府向该公司支付货款24万
元，求购买的这种健身器材的套数.
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【解】（元）元， 购买的这种健身器材的套
数大于100套.设购买的这种健身器材的套数为 套.
由题意得，整理得 ，
解得, .
,
, .
答：购买的这种健身器材的套数为200套.
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16.【2024四川凉山州中考】阅读下面材料，并解决相关问题：
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1
个点，第二行有2个点， ，第行有 个点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10.
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（1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为____，前15行的点数之和为_____，那
么，前 行的点数之和为__________.
【解析】三角点阵中前8行的点数之和为
，前15行的点数之和为
，那么，前 行的点数之和为
.故答案为36，120， .
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（2）体验：三角点阵中前 行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500.
不能
【解析】由题意得 ，得
， 此方程无正整数解，
三角点阵中前 行的点数之和不能是500.故答案为不能.
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（3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格
的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆， ，第排 盆的规律摆放而成，
则一共能摆放多少排？
【解】同理可得前 排的盆数之和为
.
由题意得，则， ，解得
或 （舍去）.
答：一共能摆放20排.
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关键点拨
本题考查一元二次方程在规律探究问题中的应用，精准找到点阵的数量规律是解
答本题的关键.
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章测
一、选择题（共24分）
1.把方程 化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系
数、常数项分别是( )
B
A.2，1，0 B.2，，0 C.2，， D.2，5，0
【解析】因为，所以，所以 ，所以
二次项系数、一次项系数、常数项分别是2， ，0，故选B.
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2.【2024江苏宿迁中考】规定：对于任意实数，，，有【，】★ ，
其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★ .若关于
的方程【,】★有两个不相等的实数根，则 的取值范围为
( )
D
A. B. C.且 D.且
【解析】 【,】★，【，】★ ，
，即 关于的方程【,】★
有两个不相等的实数根，，且，解得且 ，
故选D.
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思路分析
根据题意得到 ，再由方程有两个不相等的实数根得到
，且 ，即可得到答案.
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3.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为， ，且
，则 的值是( )
D
A. B.2 C. D.1
【解析】 关于的一元二次方程的两个实数根分别为 ，
，，， ，
，整理得，解得， 原方程为
, 符合题意.故选D.
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4.【2026江苏宿迁质检】已知,满足 ，则
( )
B
A. B. C.2 D.3
【解析】 ，
，， 当 ,
时，，解得, ，
，故选B.
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5.【2025江苏镇江期中】如图（1），以直角三角形 的各边为边分别向外作正
方形，再把较小的两个正方形按图（2）的方式放置在最大的正方形内.若图（2）
中阴影部分的面积为2，且，则下列数值中可为 长的是( )
B
图（1）
图（2）
A.8 B.6 C. D.
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【解析】设,,，则 阴影部分的面积为2，
，， ，
，，， ，
，，， （舍去），
.故选B.
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6. 【2026北京朝阳区调研】若非零实数，， 满足
，且有，， ，则
关于,, 的大小关系正确的是( )
B
A. B. C. D.
【解析】原方程整理为，将方程视为关于 的一元二次
方程，即 ，则
.由题可知方程有解，故 ，
此时方程的解为.设，则, ，
， ，
， ，故选B.
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二、填空题（共24分）
7. 开放性试题 【2025江苏镇江期中】已知整数，使方程
无实数根，则 的值可以是_________________.
2（答案不唯一）
【解析】由题意得，.又为整数， 的值可以是2.
故答案为2（答案不唯一）.
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8.【2026江苏盐城期中】若方程的一个根为 ，则代数式
的值为____.
【解析】是方程的一个根，，即 .
代数式.故答案为 .
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9.【2026江苏扬州期中】已知实数,满足 ，
则 的值为___.
2
【解析】设，则原方程化为 ，
，， ，解得
，.当时，，；当 时，
，，舍去.综上， .故答案为2.
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易错警示
本题考查整体思想在解一元二次方程中的应用，易因忽略 始终大于等于0
这一隐含条件而致错.
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10.已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位
上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是____.
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思路分析 一元二次方程中的数字问题
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【解析】设这个两位数的个位上的字为，则十位上的数字为 .根据题意，得
.整理，得,解得 ，
.又为非负整数，， .
故答案为84.
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11.【2025江苏扬州期末】已知实数满足，则 的值
为___.
2
【解析】， 原方程可化为 .
设，则方程变形为，解得或.当 时，
，即， 该方程无实数根.
当时，，即，解得.经检验， 是方
程的根， .
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12.【2025辽宁朝阳调研】如图，菱形中，，交于， ，
，动点从出发沿方向以每秒2个单位长度的速度运动到，动点从
出发沿方向以每秒1个单位长度的速度运动到.若， 同时出发，则出发
______秒后，的面积为菱形面积的 .
1或4
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【解析】设出发秒后， 四边形是菱形， ，
，，， ，
，.当
时，点在线段上，点在线段上，此时 ，
，则，解得或 （舍去）.
当时，点在线段上，点在线段 上，此时
，，则 ，化
简为，此时， 原方程无实数根，舍
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去.当时，点在线段上，点在线段 上，此时
，，则 ，解
得（舍去）或.综上所述，出发1秒或4秒后， .故
答案为1或4.
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思路分析
根据点，在运动过程中的不同位置，分当时，当 时和当
时三种情况讨论.
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三、解答题（共52分）
13.解方程：
（1） .
【解】，，， ，
，， .
（2） ．
【解】方程整理,得.移项,得 .分解因
式,得.可得或，解得， .
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（3） （用配方法）.
【解】，， ，
，，， ，
， .
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14. 【2026江苏徐州期中】江苏省城市足球联赛（苏超）自举办以来，迅速
被多地效仿，形成全国性民间足球热潮.某地有若干支球队参加足球比赛，每两队
之间比赛一场，共比赛了45场，问该地有多少支球队?
【解】设该地有支球队. 每两队之间比赛一场， 每支足球队都要和其他的
支足球队进行一场比赛，支足球队共需要举行场比赛. 共比赛了
45场，，解得或 （舍去）.
答：该地有10支球队.
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15.【2025江苏南京期末】已知关于的方程 有
两个正整数根（是整数），的三边，，满足 ,
, .
（1）求 的值.
【解】 关于的方程有两个正整数根，, .解方程
，得, ,
.
思路分析
先用表示方程的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出 的值.
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（2）求 的面积（结果允许保留双重根号）.
【解】将代入两等式，化简得,.当
时，.当时，，是方程 的两根，显然
,,，, ，符合题意.分三种情
况：
①当,时， ，
是直角三角形，且为斜边长， .
②当,时，， 不能构成三角形，不合题意，
故舍去.
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③当,时，， 能构成三角形，符合题意.易得
.
综上，的面积为1或 .
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思路分析 将（1）中得出的的值代入， ，
并进行化简，然后再分情况讨论，根据三角形三边的关系来确定符合条件的, 的
值，最后用三角形的面积公式求出三角形的面积.15.
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16.【2025江苏南京期中，较难】一元二次方程的根有三种情况，分别是有两个不
相等的实数根、有两个相等的实数根以及没有实数根.基于上述认识，我们继续探
索“”型的方程（，都是只含 的整式）的根的情况.
（1）当， 时，该类型方程的根的情况是( )
B
A.有三个实数根，它们各不相等 B.有三个实数根，有且只有两个根相等
C.有三个实数根，它们都相等 D.没有实数根
【解析】， 或
，解得 ,
，故选B.
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（2）下列“ ”型的方程中：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ .
至少有两个相等的实数根的方程是__________（填序号）.
①②③⑤
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【解析】, ,
; ,
,, ;
, ,, ,
; ,
, ,,, ;
, , ,
.综上，至少有两个相等的实数根的方程是①②③⑤.故答案为①
②③⑤.
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（3）当，（是常数）时，请写出“ ”
型方程的根的情况及对应的 的取值范围.
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【解】由题意得, 或
,两方程的根的判别式均为 .
①当，即时， 没有实数根.
②当，即时，分别解得, ,
,.当且 时，原方程的四个实数根互不相等
（即,,,互不相等）；当 时，原方程的四个实数根中有且只有两个
根相等（即,,互不相等，）；当 时，原方程的四个实数根中有
两个根相等，另外两个根也相等，但它们不全相等（即, ,
）.
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