第1章 重难专题1 反比例函数与一次函数的综合应用-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（苏科版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册“反比例函数与一次函数的综合应用”，涵盖交点、取值范围、几何图形面积、存在性等重难问题。通过“刷难关”模块与目录超链接跳转，从反比例函数基础过渡到综合题型，以典型例题为学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于突出数形结合与分类讨论，如将方程解转化为函数图象交点（体现几何直观），分情况讨论参数取值范围（培养推理能力）。提供详细解析、易错警示和思路分析，助力学生用数学语言表达关系，既提升解题能力，也为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

数 学 九年级上册 SK 1 2 3 第1章 反比例函数 4 重难专 题1 反比例函数与一次函数的 综合应用 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 类型1 交点问题 1.［中］如图，在平面直角坐标系中，直线 与函数 的图象交于点，直线与函数 的 图象交于点，与轴交于点.若点的横坐标是点 的横坐标的2倍， 则 的值为( ) D A. B.2 C.1 D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 【解析】设点横坐标为，则点横坐标为 点在直线上，点 在直线上， 点，点.将代入中得 ， .将代入中得， ， ，， .故选D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 思路分析 设点横坐标为，则可得到点，的坐标，进而得到 ,解 之即可. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2.【2026江苏镇江期末，中】函数与 的图象的一个交点坐标为 ，则 的值为____. 【解析】 函数与的图象的一个交点坐标为， ， ，，，.故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 3. 【2026江苏淮安期末，较难】“数形结合”是一种重要的数学思想，在过 去的学习中，我们曾用函数观点看方程，即利用一次函数的图象求解二元一次方 程组.类似地，我们也可以将方程的解的研究转化为已学函数图象交点的问题…… 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 （1）将方程的解转化为和 这两个函数图象的交点问题， 结合图象可以判断这个方程有___个实数解； 2 图（1） 【解析】在同一坐标系中，和 这两个函数图象 如图（1），有两个交点， 方程 有2个实数解.故答 案为2. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 （2）方程的解也可以转化为一次函数和反比例函数 的图象交 点问题.请直接写出一对符合要求的表达式________, _______________， 结合图象可以判断方程 有___个解； 或, 0 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 图（2） 【解析】，方程两边都除以 ，得 ，即， 令， ， 则方程的解转化为一次函数 和反 比例函数 的图象交点问题. 如图（2），结合图象可以判断方程 有0个解. 也可令,,同理可得方程 有 0个解.故答案为，或, ，0. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 （3）利用“数形结合”，仿照上述方法，不解方程，借助平面直角坐标系，判断 方程 的解的个数. 图（3） 【解】把变形为，设 ， ，则方程 的解的个数可转化为函数 ， 的图象的交点个数.画出两个函数的图 象如图（3）. 观察图象可知，函数， 的图象的交点只有 1个，故方程 只有1个解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 关键点拨 解决此类题的关键是利用数形结合的思想，将方程的解转化为函数图象的交点问题. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 类型2 取值范围问题 4.【2026江苏苏州质检，中】如图，在平面直角坐标系中，过 点（,0）且垂直于轴的直线与反比例函数 的图象交 于点.将直线绕点逆时针旋转 ，所得的直线经过第一、 二、四象限，则 的取值范围是( ) B A.或 B.或 C.且 D.或 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 【解析】由题意得点坐标为,. 直线绕点逆时针旋转 ， 所得的直 线与直线平行，设这条直线的表达式为 这条直线经过第一、 二、四象限， 点在直线上， ， .当在原点右侧时，，， , ；当在原点左侧时，，，， 的取值 范围是或 .故选B. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 易错警示 本题易忽略对点位置的分类讨论，当在原点右侧时，可得，当 在 原点左侧时，可得 ，不要漏解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 5.【2026浙江杭州期末，较难】已知在平面直角坐标系中，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于两点，其中一个交 点的横坐标为1.点和点在函数的图象上且 ， 点和点在函数的图象上.当与的积为负数时， 的取值范围是( ) D A.或 B.或 C.或 D.或 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 【解析】的图象与反比例函数 的图象交于两点， 其中有一个交点的横坐标为1，.令 ，则正比例函数为 ，反比例函数为.将点和点代入 ，得 将点和点代入 ，得 ， ， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 ，， ， . ①当时，， 不符合要求；②当 时，， 符合要求；③当 时，， 不符合要求；④当 时，，符合要求；⑤当 时， ， 不符合要求. 综上，的取值范围是或 .故选D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 类型3 几何图形面积问题 6.【2026江苏南京期末，中】如图，在平面直角坐标系中，矩 形的顶点，分别在轴和轴的正半轴上，点是 边 上的一个点（不与,重合），过点 的反比例函数 的图象交于点，连接并延长交轴于 ， 连接，则 的值为( ) C A.7 B.4 C.3.5 D.3 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 【解析】设 四边形是矩形，, ， ,， 点的纵坐标为，则其横坐标为，即,；点 的横坐 标为，则其纵坐标为，即,，.设直线 的表达式 为，解得 直线的表达式为.当时，，即, ， ， ，故 选C. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 7.【2026江苏宿迁期末，中】如图，在平面直角坐标系中，直线 与函 数的图象相交于点，点在轴的正半轴上，点 ，连 接，，，，四边形 是菱形. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 （1）求和 的值. 【解】如图，连接交于点. 点在轴的正半轴上，点，四边形 是菱形， ,， 点为直线 与函数 图象的交点，，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 （2）若点是轴上的点，且，求点 的坐标. 【解】 四边形是菱形，，, ， ，.设点坐标为 ， ，解得，的坐标为或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 类型4 存在性问题 8.【2026江苏扬州调研，难】如图，在矩形中，，，点 是边 上的点，且，反比例函数的图象经过点，交 边于 点，作直线 . 备用图 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 （1）直接写出点，的坐标：（___，___）， （___，___）;直接写出反比 例函数的表达式：_ _____;连接，，直接写出 的面积：___. 1 6 3 2 8 【解析】如图（1）. 图（1） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 在矩形中，，，， 点 是边 上的点，且，，, 反 比例函数的图象经过点，交边于点， ， 反比例函数的表达式为，当时，， ， ，.故答案为1，6，3，2， ，8. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点 的坐标. 图（2） 【解】如图（2），作点关于轴的对称点，连接交 轴于 ，此时的点使的周长最小， ， .由（1）知 ，.设直线的表达式为 . 将，代入，得解得 直线 的表达式为.当时，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 31 （3）若点在反比例函数的图象上，点在 轴上，是否存在 以，，，为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在， 请说明理由. 【解】存在.点的坐标为,或.设,，.由（1）得 ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 32 ①当，为对角线时，得解得,；②当， 为对角线时，得解得；③当， 为对角线时， 得解得 ，不符合题意，舍去. 综上所述，存在以，，，为顶点的平行四边形，点的坐标为,或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 33 思路分析 分,为对角线时，,为对角线时和, 为对角线时三种情况讨论. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 34 $