解三角形的综合运用

课题 解三角形的综合运用 授课时间 基于 核心 素养 确定 教学 目标 1.掌握三角形中角平分线、中线、高线等问题. 2.能利用解三角形的方法解决平面几何的有关问题及判断三角形的存在问题. 3.解三角形中的最值或范围问题,通常涉及与边长、周长有关的范围问题,与面积有关的范围问题,或与角度有关的范围问题,主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题,解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系. 五点 教学重点 利用解三角形的方法解决平面几何的有关问题及判断三角形的存在问题. 教学难点 解三角形中的最值或范围问题 易错点 当三角形形状固定时只能转化为函数求最值或范围 易混点 三角形中角平分线、中线、高线等问题. 拓展点 利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题 教学 方法 师生合作，讲练结合 课时 安排 5课时 复习内容 三角形中的高线、中线、角平分线问题 考点一　三角形中的高线 [例1]　(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B. (1)求sin A; (2)设AB=5,求AB边上的高. [解]　(1)∵A+B=3C, ∴π-C=3C,即C=, 又2sin(A-C)=sin B=sin(A+C), ∴2sin Acos C-2cos Asin C=sin Acos C+cos Asin C, ∴sin Acos C=3cos Asin C, ∴sin A=3cos A, 即tan A=3,∴0<A<, ∴sin A==. (2)由(1)知,cos A==, 由sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C==, 由正弦定理=,可得b==2, 设AB边上的高为h, ∴AB·h=AB·AC·sin A, ∴h=b·sin A=2×=6. 方法总结 1.若h1,h2,h3分别为△ABC的边a,b,c上的高,则h1∶h2∶h3=∶∶=∶∶. 2.求高一般采用等面积法,即求某边上的高,需要求出面积和底边长度. 考点二　三角形中的中线 [例2]　(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为,D为BC的中点,且AD=1. (1)若∠ADC=,求tan B; (2)若b2+c2=8,求b,c. [解]　(1)法一:在△ABC中,因为D为BC中点,∠ADC=,AD=1, 则S△ADC=AD·DCsin∠ADC=×1×a×=a=S△ABC=,解得a=4, 在△ABD中,∠ADB=,由余弦定理得c2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB, 即c2=4+1-2×2×1×=7,解得c=,则cos B==, sin B== =, 所以tan B==. 法二:在△ABC中,因为D为BC中点,∠ADC=,AD=1, 则S△ADC=AD·DCsin∠ADC=×1×a×=a=S△ABC=,解得a=4, 在△ACD中,由余弦定理得b2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADB, 即b2=4+1-2×2×1×=3,解得b=,有AC2+AD2=4=CD2,则∠CAD=, C=,过A作AE⊥BC于E,于是CE=ACcosC=,AE=ACsin C=,BE=, 所以tan B==. (2)法一:在△ABD与△ACD中,由余弦定理得 整理得a2+2=b2+c2,而b2+c2=8,则a=2, 又S△ADC=××1×sin∠ADC=,解得sin∠ADC=1,而0<∠ADC<π,于是∠ADC=, 所以b=c==2. 法二:在△ABC中,因为D为BC中点,则2=+,又=-, 于是4+=(+)2+(-)2=2(b2+c2)=16,即4+a2=16,解得a=2, 又S△ADC=××1×sin∠ADC=,解得sin∠ADC=1,而0<∠ADC<π,于是∠ADC=, 所以b=c==2. 方法总结 1.中线长定理:在△ABC中,AD是边BC上的中线,则AB2+AC2=2(BD2+AD2). 2.向量法:=(+),=(b2+c2+2bccos∠BAC). 考点三　三角形中的角平分线 [例3]　△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2a-c=2bcos C. (1)求B; (2)A的角平分线与C的角平分线相交于点D,AD=3,CD=5,求AC和BD. [解]　(1)由余弦定理可得,2a-c=2b,整理可得a2+c2-b2=ac,则cos B==,且B∈(0,180°),所以B=. (2)因为AD,CD分别是∠BAC,∠ACB的角平分线,连接BD, 则BD为∠ABC的角平分线,即点D为三角形的内心, 则∠ADC=180°- =180°-(180°-∠ABC)=90°+∠ABC=90°+30°=120°, 又因为AD=3,CD=5, 在△ACD中,由余弦定理可得,AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos 120°=9+25+15=49, 则AC=7, 过点D,分别作AC,AB,BC的垂线,垂足为E,G,F, 在△ACD中,S△ACD=AD×CD×sin 120°=AC×r, 可得r=,即DE=DF=DG=r=. 在直角三角形BDF中,∠DBF=∠B=30°, 则BD=2DF=. 方法总结 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 1.利用角度的倍数关系:∠BAC=2∠BAD=2∠CAD. 2.内角平分线定理:AD为△ABC的∠BAC的平分线,则=. 推导过程:在△ABD中,=, 在△ACD中,=,所以=, 该结论也可以由两三角形面积之比得证,即==. 3.等面积法: 因为+=, 所以c·ADsin+b·ADsin=bcsin A, 所以(b+c)AD=2bccos, 整理得AD=(角平分线长公式). 　解三角形中的最值、范围问题 考点一　利用基本不等式求最值(范围) 在△ABC中,如果已知一个角及其对边,假设已知A,a,根据余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,即可得到“b2+c2”与“bc”的等量关系. (1)求面积最值时,S=bcsin A,即求bc最值,在等量关系中利用基本不等式b2+c2≥2bc,即可求得bc的最值. (2)求周长a+b+c的最值时,即求b+c的最值,在等量关系中,把b2+c2换成(b+c)2-2bc,再利用基本不等式 (2025·湖南怀化模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足c=b(sin A+cos A). (1)求B; (2)若a+c=2,求b的取值范围. 解:(1)由c=b, 得sin C=sin Bsin A+sin Bcos A, ∴sin(A+B)=sin Bsin A+sin Bcos A, ∴sin Acos B+cos Asin B=sin Bsin A+sin Bcos A, ∴sin Acos B=sin Asin B, ∴tan B=,∵B∈(0,π),∴B=. (2)∵a+c=2,B=, ∴b2=a2+c2-2accos B =a2+c2-ac =(a+c)2-3ac=4-3ac≥4-3=1(当且仅a=c时取等号). 又b<a+c=2, ∴b∈[1,2). 考点二　转化为三角函数求最值(范围) 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A+cos A=2,a=4. (1)求A; (2)求b+c的取值范围. [解]　(1)由sin A+cos A=2sin=2, 得sin=1. 因为0<A<π,所以<A+<, 所以A+=,即A=. (2)由正弦定理得 ===, 所以b+c=(sin B+sin C), sin B+sin C=sin B+sin=sin B+cos B=sin, 所以b+c=8sin. 因为B∈,所以B+∈,当B+=,即B=时,sin取得最大值,为1, 所以sin∈,所以b+c∈(4,8]. 在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bsin A-a=0. (1)求B; (2)求cos A+cos B+cos C的取值范围. 解:(1)由2bsin A=a,结合正弦定理可得 2sin Bsin A=sin A,∴sin B=, 又△ABC为锐角三角形,故B=. (2)cos A+cos B+cos C=cos A++cos =cos A-cos A+sin A+ =sin A+cos A+ =sin+. 由可得<A<,<A+<, 则sin∈, sin+∈. 即cos A+cos B+cos C的取值范围是. 组员意见： 学科网（北京）股份有限公司 $