第四章 考教衔接 “算两次”在解三角形中的运用-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用word

考教衔接　“算两次”在解三角形中的运用 　　“算两次”就是从两个不同的角度或用两种不同的方法、途径表示同一数学对象，根据结果的唯一性，得到方程的方法.“算两次”在运用的过程中要求学生能用数学的眼光看问题，找寻等量关系，对学生的数学抽象、数学建模等思维能力提出了较高要求，在解三角形中经常通过特定关系的边、角或面积，通过“算两次”的方法找到解决问题的关键点. 一、真题分析 （2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. （1）求B； （2）若△ABC的面积为3＋，求c. 命题分析 试题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换和三角形的面积等基础知识；通过求解三角形来考查学生的逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养以及函数与方程、化归与转化等数学思想. 解题分析 （1）题设给出了三角形三边的关系式，直接利用余弦定理便可求出角C，再利用题干的第一个等式可求得角B； （2）由（1）的解答可以得到三角形的三个内角的大小及它们对应的正弦值，再利用正弦定理得到a，c边的关系.根据所给三角形的面积建立关于c的方程，解方程即可求出c. 解：（1）由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C， 对比已知a2＋b2－c2＝ab， 可得cos C＝＝＝， 因为C∈（0，π），所以C＝， 又sin C＝cos B，所以＝cos B， 即cos B＝，又B∈（0，π），所以B＝. （2）由（1）可知B＝，C＝，故sin A＝sin（B＋C）＝. 由正弦定理＝得a＝c，故△ABC的面积S＝acsin B＝c2＝3＋， 解得c＝2. 　　本题在求解c时，一方面利用正弦定理得到a，c的关系式，另一方面，利用三角形面积公式得到含c的等式，也就是通过边c“算两次”得到问题的解. 二、寻源探本 本题源于人A必修二P54习题22题，已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C－b－c＝0. （1）求A； （2）若a＝2，则△ABC的面积为，求b，c. 三、技法探究 “边”算两次 （2023·全国甲卷理16题）在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝　2　. 解析：在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sin C＝，因为BC＞AB，所以C＝45°，∠ABC＝180°－60°－45°＝75°，又因为AD平分∠BAC，所以∠CAD＝∠BAD＝30°，在△ADC中，由正弦定理得＝，所以CD＝AD，①.在△ADB中，由正弦定理得＝，所以（－CD）＝AD，②.将①②联立消去CD，解得AD＝2. 　　本题选取了两个三角形的“公共边”为切入口，在不同的三角形中利用正弦定理两次表示边AD，再运用等量关系表示出角A，C的关系，进而求解. “角”算两次 角度1　同一角算两次 已知△ABC中AB＝4，AC＝7，AD为边BC上的中线，若AD＝，则BC＝　9　. 解析：设BD＝x，在△ABD中，由余弦定理可得cos B＝＝，在△ABC中，由余弦定理可得cos B＝＝，因此＝，解得x＝，所以BC＝2BD＝9. 反思感悟 　　本题选取两个三角形的公共角B为切入口，分别在两个不同的三角形内利用余弦定理对角进行表示，构建方程进行求解.解题的关键是寻找两个三角形的公共元素，在两个三角形内分别利用正、余弦定理、勾股定理进行边、角互化，获得等量关系. 角度2　补角算两次 （2021·新高考Ⅰ卷19题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asin C. （1）证明：BD＝b； 解：（1）证明：因为BDsin∠ABC＝asin C，所以由正弦定理得，BD·b＝ac， 又b2＝ac，所以BD·b＝b2， 又b＞0，所以BD＝b. （2）若AD＝2DC，求cos∠ABC. 解：（2）如图所示，过点D作DE∥BC交AB于E， 因为AD＝2DC，所以＝＝2，＝， 所以BE＝，DE＝a. 在△BDE中，cos ∠BED＝ ＝＝＝， 在△ABC中，cos ∠ABC＝＝＝. 因为∠BED＝π－∠ABC，所以cos ∠BED＝－cos ∠ABC，所以＝－，化简得3c2＋6a2－11ac＝0，方程两边同时除以a2，得3－11＋6＝0，解得＝或＝3. 当＝，即c＝a时，cos∠ABC＝＝＝； 当＝3，即c＝3a时，cos∠ABC＝＝＝＞1（舍去）. 综上，cos∠ABC＝. 反思感悟 　　本题选取两个三角形中的相关“角”，两个角互为补角即∠BED＋∠ABC＝π为切入口，通过两次计算相关角的余弦值，从而得到a，b，c的数量关系，结合已知条件及余弦定理求解. “面积”算两次 △ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积S＝（b＋c）2－a2，则sin A＝　　　　. 解析：由余弦定理得b2＋c2－a2＝2bccos A.又S＝（b＋c）2－a2＝b2＋c2－a2＋2bc＝2bc（cos A＋1），S＝bcsin A，所以2bc（cos A＋1）＝bcsin A，即cos A＋1＝sin A，故cos A＝sin A－1，所以sin2A＋（sin A－1）2＝1，而sin A≠0，所以sin A＝. 反思感悟 　　本题以三角形的面积为突破口，采用“算两次”的方法对面积进行表示，从而得到等量关系进而得解. 四、回顾反思 　　一个三角形中含有各种几何量，如边、角、面积等，特别是一个多边形中含有“公共边”“公共角”“互为补角”“相等面积”等时，常利用“算两次”解决问题，“算两次”有助于调动学生思维和行动的积极性，增强获取知识的能力，激发创新思维.使学生分析、综合、评价能力逐步提高，帮助学生提升数学关键能力，开拓学生思维的视野. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $