2025-2026学年苏科版版数学七年级下册期末复习必刷题

**基本信息** 聚焦苏科版七下7-12章核心内容，以“基础巩固-综合应用-素养提升”为逻辑主线，融合代数运算与几何直观，突出抽象能力、推理意识与模型意识的考查。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1、4题|结合生活情境考查轴对称、命题真假|从具体图形抽象概念，建立几何直观与逻辑判断的联系| |代数运算|选择2、7题，填空11题|幂运算、完全平方公式及含参多项式|从基本运算到变式应用，体现符号意识与运算能力的递进| |几何应用|选择5、6题，填空13题|图形变换、折叠与旋转综合|通过动态几何构建空间观念，发展推理能力| |综合实践|23题采购方案、24题动态三角板|方程与不等式结合、几何动态问题|以实际问题为载体，强化模型意识与应用能力，实现代数与几何知识的融合迁移|

期末复习必刷题（范围：七下第7~12章） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版版新教材七年级下册7—12章。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形是（     ） A．中国工商银行 B． 中国人民银行 C． 中国农业银行 D．中国建设银行 【答案】D 【分析】轴对称图形是指平面内，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：左右对称，是轴对称图形，不符合题意； 对于选项B：左右对称，是轴对称图形，不符合题意； 对于选项C：左右对称，是轴对称图形，不符合题意； 对于选项D：不是轴对称图形，符合题意． 2．若，则n的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据乘法的定义和同底数幂的乘法计算得出，得出即可求解． 【详解】解：，， 故， ∴， ∴． 3．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据总重量得到第一个方程，再分析互换一只后两边的雀燕数量，根据重量相等得到第二个方程，即可选出正确答案． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， ∵五只雀，六只燕共重16两， ∴可得第一个方程， 互换其中一只后，一方剩余4只雀，得到1只燕，另一方剩余5只燕，得到1只雀，此时二者重量相等， ∴可得第二个方程 ， 因此列出的方程组为． 4．下列命题中，属于真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】利用对顶角性质，平行线与垂线的基本定理，熟记相关概念定理，逐项判断即可． 【详解】解：A、∵ 相等的角不一定是对顶角，任意位置的两个相等角不一定是对顶角，故此选项不符合题意； B、∵ 只有两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等，选项缺少“平行”的前提条件，故此选项不符合题意； C、∵ 正确表述为“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，选项表述错误，故此选项不符合题意； D、∵ 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线的基本定理，故此选项是真命题，符合题意． 5．如图是小明用六个大小和形状相同的积木搭起来的台阶侧面示意图，寓意学业“六六顺步步高”．已知该台阶的高度，则每个长方形的面积是（     ） A．2 B．8 C．10 D．16 【答案】D 【分析】设每个长方形的长为，宽为，根据图形观察出台阶高度与长、宽的关系，列出方程求解即可． 【详解】解：设每个长方形的长为，宽为， 由图可知，台阶的高度等于5个长方形的宽之和，也等于1个长方形的长与1个长方形的宽之和 ，， ， ， 解得， ，即， 解得， 每个长方形的面积为． 6．如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿 折叠成图3，则图3中的的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由长方形的性质可知，由此可得出，再根据折叠的性质求得图2中，由此即可算出图3中度数． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴， ． 由折叠的性质可知： 图2中，， ∴， ∴图3中，． 7．已知是完全平方式，则k的值为（    ） A．9 B． C．18 D． 【答案】D 【分析】根据完全平方式的定义得到，进而可知，求解即可． 【详解】解：∵，且是完全平方式， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．某数学兴趣小组对关于x的不等式组，讨论得到以下结论，①若，则不等式组的解集为；②若不等式组无解，则m的取值范围为；③若，则不等式组无解；④若不等式组只有两个整数解，则m的取值范围为．其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①③ 【答案】D 【详解】解：①若，不等式组为， ∴不等式组的解集为，故①正确； ②若不等式组无解， ∴，故②错误； ③若，不等式组为， ∴不等式组无解，故③正确； ④若不等式组只有两个整数解， ∴两个整数为4和5， ∴，故④错误； 综上，正确的结论为①③． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．光在真空中的传播速度约为米/秒，太阳光照射到某星球需要秒，则该星球与太阳的距离为________米（结果用科学记数法表示）． 【答案】 【详解】解：该星球与太阳的距离为（米）． 10．已知，，，试比较，，的大小，并用“”将它们连接：________． 【答案】 【分析】根据相关运算法则求出a、b、c的值，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：，，， ∵， ∴． 11．若关于x的多项式的结果中不含项，则m的值为_____． 【答案】 【分析】先计算，再根据“结果中不含项”列方程求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含项， ∴， 解得：． 12．【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． 【应用体验】 已知．则m的值为_____． 【答案】24 【分析】根据题中给出的“三乘”对应的展开式计算，对比已知等式的系数即可求出m的值． 【详解】解：∵， ∴ 即， ∴． 13．如图，在中，，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①，可得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，…，按此规律继续旋转，得到点为止，则__________． 【答案】 8105 【分析】观察不难发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，用2026除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴将绕点顺时针旋转到位置①时，， 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②时，， 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③时，， ……， 以此类推可知，每旋转3次为一个循环组，每一个循环长度增加12， ∵， ∴． 14．已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为，则的值为_______ 【答案】0 【分析】分别把x，y的值代入正确的方程求出a，b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：把代入 得：， 解得； 把代入， 得， 解得， ∴． 15．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②可能存在某个a值，使得x，y的值互为相反数；③x，y都为自然数的解有3对；④若，则．正确的序号为_____． 【答案】 【分析】利用消元法解二元一次方程组，得到，再逐个判断每个结论的正误即可． 【详解】解： 得，解得， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为， ∴， 当时，， ∴当时，，故①正确； ∵， ∴， ∴不存在某个a值，使得x，y的值互为相反数，故②错误； ∵， ∴， 若x、y都为自然数，则当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴x，y都为自然数的解有4对，故③错误； ∵， ∴， ∴当时，， ∴，故④正确． 16．我们把对非负数x“四舍五入”到个位的值记为《x》，即当n为非负整数时，若，则．例如，⋯下列结论中：①；②当m为非负整数时，；③满足的非负数x只有两个．其中结论正确的是_________．（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，根据题目中的结论，错误的举出反例或说明理由． 【详解】解：①当时，此时，，故结论①不正确； ②注意到都是非负数，令左边， 则，， ∴， ∴， 移项得， 即，结论②正确； ③，则 ，解得, 为非负整数， 或，故结论③正确． 故答案为：②③． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．先化简再求值：．其中，． 【答案】； 【分析】先利用完全平方公式和整式乘法法则展开原式，合并同类项化简后，再代入x和y的值计算结果． 【详解】解： ， 当，时，原式． 19．按要求完成下列各题： (1)解方程组； (2)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可. （2）分别求出每一个不等式的解集，即可得出解集，最后在数轴上画出解集即可． 【详解】（1）解： ①②得：, 解得， 把代入①得：， 解得, ∴方程组的解为：； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为：， 解集在数轴上表示：略. 20．如图1是由25个边长为1个单位的小正方形组成的网格，三角形的端点都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题： (1)将三角形向上平移1个单位，向右平移2个单位，画出三角形； (2)连接、，则与之间的数量关系为________；与之间的位置关系为________； (3)如图2，将三角形沿方向平移若干距离得到三角形．若三角形和五边形的周长分别是与，则三角形平移的距离为________． 【答案】(1) (2)， (3)2 【分析】（1）分别作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可得； （2）根据平移的性质：经过平移,对应线段,对应角分别相等;对应点所连的线段平行且相等即可作答； （3）根据平移的性质作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图， ∵三角形向上平移个单位，向右平移个单位，得三角形， ∴，； （3）解∶∵将三角形沿方向平移若干距离得到三角形， ∴平移距离为的长，且，， ， ∵三角形和五边形的周长分别是与， ∴，， ∴， ∴平移距离为的长． 21．探究与证明 【推理证明】 (1)如图，，垂足为， ，垂足为，，求证． 请补全下面的证明过程． 证明：∵ ，（已知）， ∴ （垂直的定义）． ∴ （________________________）． ∴ （两直线平行，同位角相等）． 又∵ （已知）， ∴ （ ）． ∴ （________________________）． 【拓展证明】 (2)若把（1）中的题设“”与结论“”对调，其他条件不变，所得命题是真命题还是假命题？若是真命题，则仿照（1）写出证明过程；若是假命题，则请举出反例． 【迁移应用】 (3)如图，有下列四个条件：，，，．从中选出三个作为题设，另一个作为结论，构成命题，其中，有 个真命题． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行；3；3；两直线平行，内错角相等；等量代换 (2)真命题，理由见解析 (3)4 【分析】（1）根据平行线的判定和性质进行证明即可； （2）根据平行线的判定和性质进行证明即可； （3）分别写出四种情况，分别进行说明和证明即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵ ，（已知）， ∴ （垂直的定义）， ∴ （同位角相等，两直线平行）， ∴ （两直线平行，同位角相等）， 又∵ （已知）， ∴ （两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）； （2）解：真命题，理由如下： ∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）； （3）解： 在（1）中已经证明，条件：①②④，结论：③，为真命题； 在（2）中已经证明，条件：①②③，结论：④，为真命题； 条件：②③④，结论：①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此命题为真命题； 条件：①③④，结论：②， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此命题为真命题； 综上可知，共4个真命题． 22．在学习《整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式：． (1)现有四个长与宽分别为、的相同的小长方形拼成图2的图形，根据图中条件，然后通过计算图2中阴影部分的面积，可以验证关于、的关系式：___________（用含、的代数式表示出来）； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，则的值为________； ②若满足，求的值为________． (3)如图3，长方形面积为60，将正方形叠放在长方形上，在线段上，在线段上，直线与直线交于点，若四边形和四边形都是正方形，，，求正方形的边长； (4)如图4，四边形是正方形，，分别是、上的点，且，，分别以、为边长作正方形和正方形．若长方形的面积为21，则阴影部分的面积为________． 【答案】(1) (2)①62；②5 (3)16 (4)40 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）根据图形得到阴影部分的边长为，大正方形的边长为，利用阴影部分的面积等于大正方形面积减去四个小长方形的面积进行求解即可； （2）利用完全平方公式变形求解即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则正方形的边长为，根据题意易得到、，利用完全平方公式变形求出正方形的边长即可； （4）设正方形的边长为、正方形的边长为、正方形的边长为，则、，，利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：阴影部分的边长为，大正方形的边长为， 则阴影部分的面积为：； （2）解：①； ②； （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则正方形的边长为， 四边形是正方形， ， ， ， ， 长方形面积为60， ， ， ， ， ， 正方形的边长为16； （4）解：设正方形的边长为、正方形的边长为、正方形的边长为， 、， 长方形面积为， ， ， ， ， 阴影部分面积为． 23．根据以下信息，按要求完成下列任务． “诵读经典诗词，弘扬传统文化”图书采购创意探究项目 项目背景 学校即将举办一场盛大的“诵读经典诗词，弘扬传统文化”主题诵读比赛．经典诗词作为中华文化的璀璨明珠，承载着千年的智慧与情感，学校举办此次“诵读经典诗词，弘扬传统文化”比赛旨在激发同学们对经典诗词的热爱，深入领略传统文化的独特魅力．为了鼓励同学们积极参与、展现卓越风采，学校决定采购甲、乙两种图书作为比赛奖品．这两种图书不仅具有丰富的文化内涵，还能为同学们带来知识的滋养 项目要求 运用方程思想解决问题，确保过程的准确性与规范性 素材展示 素材1 已知甲图书的单价与乙图书单价存在特定关系，即甲图书的单价是乙图书单价的倍． 素材2 我们还掌握了一个关键信息：单独购买甲种图书10本比单独购买乙种图书10本多100元． 素材3 学校计划购买甲、乙两种图书共40本作为奖品．有两个重要的限制条件需要考虑． 一方面：投入的经费不能超过1020元； 另一方面：要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量． 问题解决 任务一：精准定价 (1)请你通过建立合适的数学模型，精确计算出购买一个甲种图书和一个乙种图书分别需要多少钱． 任务二：方案规划 (2)请你综合考虑这些条件，运用数学知识，探究学校共有几种可行的购买方案，并详细列出每种方案中甲、乙两种图书的具体购买数量． 任务三：成本优化 (3)在满足任务二条件的基础上，为了进一步提高资金使用效率，请你深入分析不同采购方案的成本构成，找出总费用最低的采购方案． 【答案】(1)甲种图书单价为30元，乙种图书单价为20元 (2)共有3种可行的购买方案，方案一：购买甲种图书20本，乙种图书20本；方案二：购买甲种图书21本，乙种图书19本；方案三：购买甲种图书22本，乙种图书18本 (3)购买甲种图书20本，乙种图书20本的采购方案总费用最低 【分析】（1）设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元，再建立方程求解即可； （2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本，根据题意得：，再进一步求解即可； （3）通过计算各方案的总费用，找出成本最低的采购方案． 【详解】（1）解：设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元， 由题意得：， 解得：， 则， 答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元． （2）解：设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本， 根据题意得：， 解得：， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴共有3种方案． 方案一：购买甲种图书20本，乙种图书20本； 方案二：购买甲种图书21本，乙种图书19本； 方案三：购买甲种图书22本，乙种图书18本； （3）解：方案一总花费：元， 方案二总花费：元， 方案三总花费：元， ∴购买甲种图书20本，乙种图书20本的采购方案总费用最低． 24．如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分． (1)求的度数； (2)如图2，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒（）； ①在旋转过程中，若边，求的值； ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（、的对应点分别为、），请求出与平行时的值． 【答案】(1) (2)①在旋转过程中，若边的值为秒或秒；②的值为或或秒 【分析】（1）先求出的度数，再由角平分线的定义可得，再由两直线平行，同旁内角互补求出，最后再由，计算即可得解； （2）①分两种情况：当在上方时；当在下方时；分别利用平行线的性质，建立关于的一元一次方程，解方程即可得解；②分情况讨论，分别利用平行线的性质，建立关于的一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵， ， 平分， ， ， ， ， ． （2）解：①如图，当在上方，第 1 次时， ， ， 由（1）可得，， ， ， ∵将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（的对应点分别为）． 设旋转时间为秒， ， 解得：； 如图，当在下方，第 2 次时， ， ， ， ， ∵将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（的对应点分别为）． 设旋转时间为秒， ∴此时旋转了， ， 解得：； 如图，当绕点旋转一周后，第 3 次时， ， ， ∴一共旋转了， ∴旋转时间（舍去）； 综上所述，在旋转过程中，若边的值为秒或秒． ②如图，延长与交于点， 由题意可得，， ， ， ， ， ， 即， 解得：； 如图，过点作， 由题意可得，， ， ， ， ， ， 解得：； 如图，延长与交于， ， ， ， ， ， 即， 解得：； 综上所述，的值为或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习必刷题（范围：七下第7~12章） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版版新教材七年级下册7—12章。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形是（     ） A．中国工商银行 B． 中国人民银行 C． 中国农业银行 D．中国建设银行 2．若，则n的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（     ） A． B． C． D． 4．下列命题中，属于真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 5．如图是小明用六个大小和形状相同的积木搭起来的台阶侧面示意图，寓意学业“六六顺步步高”．已知该台阶的高度，则每个长方形的面积是（     ） A．2 B．8 C．10 D．16 6．如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿 折叠成图3，则图3中的的度数是（   ） A． B． C． D． 7．已知是完全平方式，则k的值为（    ） A．9 B． C．18 D． 8．某数学兴趣小组对关于x的不等式组，讨论得到以下结论，①若，则不等式组的解集为；②若不等式组无解，则m的取值范围为；③若，则不等式组无解；④若不等式组只有两个整数解，则m的取值范围为．其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①③ 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．光在真空中的传播速度约为米/秒，太阳光照射到某星球需要秒，则该星球与太阳的距离为________米（结果用科学记数法表示）． 10．已知，，，试比较，，的大小，并用“”将它们连接：________． 11．若关于x的多项式的结果中不含项，则m的值为_____． 12．【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． 【应用体验】 已知．则m的值为_____． 13．如图，在中，，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①，可得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，…，按此规律继续旋转，得到点为止，则__________． 14．已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为，则的值为_______ 15．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②可能存在某个a值，使得x，y的值互为相反数；③x，y都为自然数的解有3对；④若，则．正确的序号为_____． 16．我们把对非负数x“四舍五入”到个位的值记为《x》，即当n为非负整数时，若，则．例如，⋯下列结论中：①；②当m为非负整数时，；③满足的非负数x只有两个．其中结论正确的是_________．（填序号） 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．计算： (1) (2) 18．先化简再求值：．其中，． 19．按要求完成下列各题： (1)解方程组； (2)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 20．如图1是由25个边长为1个单位的小正方形组成的网格，三角形的端点都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题： (1)将三角形向上平移1个单位，向右平移2个单位，画出三角形； (2)连接、，则与之间的数量关系为________；与之间的位置关系为________； (3)如图2，将三角形沿方向平移若干距离得到三角形．若三角形和五边形的周长分别是与，则三角形平移的距离为________． 21．探究与证明 【推理证明】 (1)如图，，垂足为， ，垂足为，，求证． 请补全下面的证明过程． 证明：∵ ，（已知）， ∴ （垂直的定义）． ∴ （________________________）． ∴ （两直线平行，同位角相等）． 又∵ （已知）， ∴ （ ）． ∴ （________________________）． 【拓展证明】 (2)若把（1）中的题设“”与结论“”对调，其他条件不变，所得命题是真命题还是假命题？若是真命题，则仿照（1）写出证明过程；若是假命题，则请举出反例． 【迁移应用】 (3)如图，有下列四个条件：，，，．从中选出三个作为题设，另一个作为结论，构成命题，其中，有 个真命题． 22．在学习《整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式：． (1)现有四个长与宽分别为、的相同的小长方形拼成图2的图形，根据图中条件，然后通过计算图2中阴影部分的面积，可以验证关于、的关系式：___________（用含、的代数式表示出来）； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，则的值为________； ②若满足，求的值为________． (3)如图3，长方形面积为60，将正方形叠放在长方形上，在线段上，在线段上，直线与直线交于点，若四边形和四边形都是正方形，，，求正方形的边长； (4)如图4，四边形是正方形，，分别是、上的点，且，，分别以、为边长作正方形和正方形．若长方形的面积为21，则阴影部分的面积为________． 23．根据以下信息，按要求完成下列任务． “诵读经典诗词，弘扬传统文化”图书采购创意探究项目 项目背景 学校即将举办一场盛大的“诵读经典诗词，弘扬传统文化”主题诵读比赛．经典诗词作为中华文化的璀璨明珠，承载着千年的智慧与情感，学校举办此次“诵读经典诗词，弘扬传统文化”比赛旨在激发同学们对经典诗词的热爱，深入领略传统文化的独特魅力．为了鼓励同学们积极参与、展现卓越风采，学校决定采购甲、乙两种图书作为比赛奖品．这两种图书不仅具有丰富的文化内涵，还能为同学们带来知识的滋养 项目要求 运用方程思想解决问题，确保过程的准确性与规范性 素材展示 素材1 已知甲图书的单价与乙图书单价存在特定关系，即甲图书的单价是乙图书单价的倍． 素材2 我们还掌握了一个关键信息：单独购买甲种图书10本比单独购买乙种图书10本多100元． 素材3 学校计划购买甲、乙两种图书共40本作为奖品．有两个重要的限制条件需要考虑． 一方面：投入的经费不能超过1020元； 另一方面：要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量． 问题解决 任务一：精准定价 (1)请你通过建立合适的数学模型，精确计算出购买一个甲种图书和一个乙种图书分别需要多少钱． 任务二：方案规划 (2)请你综合考虑这些条件，运用数学知识，探究学校共有几种可行的购买方案，并详细列出每种方案中甲、乙两种图书的具体购买数量． 任务三：成本优化 (3)在满足任务二条件的基础上，为了进一步提高资金使用效率，请你深入分析不同采购方案的成本构成，找出总费用最低的采购方案． 24．如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分． (1)求的度数； (2)如图2，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒（）； ①在旋转过程中，若边，求的值； ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（、的对应点分别为、），请求出与平行时的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $