精品解析：天津市2026年中考数学试题

2026年天津市初中学业水平考试 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页， 第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡” 上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案 答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 2. 下图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：它的主视图是， ． 3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形 ，根据轴对称图形的定义求解即可． 【详解】解：A选项：汉字“奋”沿竖直中线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，是轴对称图形，故A选项符合题意；  B选项：汉字“楫”左右结构不同，不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：汉字“争”笔画不对称，不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：汉字“先”笔画不对称，不是轴对称图形，故D选项不符合题意． 4. 年月日，世界智能产业博览会在天津开幕，展览面积达平方米，创历年之最．将数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 5. 估计的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】C 【解析】 【分析】先估算出的取值范围，再对不等式两边加1，即可得到的范围． 【详解】解： ，即 不等式两边同时加1，得，即 因此的值在和之间． 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据k的正负判断函数图象所在象限，再结合同一象限内y随x的变化规律，即可比较横坐标的大小． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随 的增大而减小， ∵点 的纵坐标， ∴点 在第三象限，可得， ∵点 、的纵坐标都大于， ∴点 、都在第一象限， 又∵， ∴ 综上可得 ． 7. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： ． 8. 《九章算术》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”意思是：现有几个人共同买羊，每人出钱，少钱；每人出钱，少钱．那么人数、羊价各是多少？若设人数为，则可以列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解题核心是抓住羊价不变的等量关系，根据两种出钱方案分别表示出羊价，即可列出正确方程． 【详解】解：设人数为， ∵每人出钱，还差钱， ∴羊价可表示为钱， ∵每人出钱，还差钱， ∴羊价可表示为钱， ∵羊价固定不变， ∴可列方程为． 9. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：原式 ． 10. 如图，在中，，，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当长为半径作弧，与射线相交于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点；③作直线，与边 相交于点．则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等边对等角求得，利用角平分线的定义求得，利用三角形的外角性质求得，由作图知，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 由作图知， ∴， ∴． 11. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上，点的对应点为，连接并延长，与相交于点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可知：，则有，然后可得，则有，过点作，进而根据勾股定理及等腰三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作，如图所示： ∴， ∴， ∴． 12. 矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】①利用三角形面积公式计算即可判断；②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式，再利用二次函数的性质即可判断；③同②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可判断． 【详解】解：①当时，如图2， ，， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形，①正确； ②当点在上，点在上，此时时，如图1， ，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图3， ，，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图4， ，，，， ∴ ， ∵，当时，随的增大而减少， ∴不存在最大值， 综上，的最大面积为，②正确； ③当点在上，点在上，此时时， 又②可知：，， 由题意得， ∴（负值已舍）； 当点在上，点在上，此时时， 由②可知：， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）； 当点在上，点在上，此时时， ， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）或； 综上，当的面积为时，或，③正确． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有个球，其中有 个红球、 个黄球、个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出 个球，则它是红球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率计算公式，求出事件所有可能的结果数，取出红球的可能结果数，即可求解． 【详解】解：所有可能的结果数为，取出红球的可能结果数为 ，则取出红球的概率为． 14. 计算的结果为________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 15. 计算的结果为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，正确计算、掌握平方差公式是解题关键．根据平方差公式计算即可． 【详解】 ． 故答案为：7． 16. 将直线（为常数）向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第四象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】先根据一次函数平移规律得到平移后直线的解析式，再根据一次函数的图象性质得到的取值范围，写出一个符合要求的值即可． 【详解】解：根据一次函数图象平移的“上加下减”规律，将直线向上平移个单位长度后，得到新直线的解析式为， ∵平移后的直线经过第一、二、四象限， ∴，， 解得， 的值可以取，符合题意（答案不唯一）． 17. 如图，在菱形中，，，连接． （Ⅰ）线段的长为________； （Ⅱ）点在边上，点在的延长线上，与相交于点，为的中点．若，则线段的长为________． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】（Ⅰ）因为菱形四边相等，所以，又因为，所以是等边三角形，由此可直接得到的长度． （Ⅱ）过点作，交于点， 过作于点，根据等边三角形的性质和判定先证得是等边三角形，进而可证得，可求得的长度，在中，，可求出的长，最后可利用勾股定理求出的长． 【详解】解：（Ⅰ）菱形， ． 又， 是等边三角形， ． （Ⅱ）过点作，交于点， 过作于点，如图： 是等边三角形， ， ， ，， 是等边三角形， ． ， ， 又， ， ． ， ． 已知是中点，， ， 由菱形性质得，即． 在中，，  ​， ， ． 在中，由勾股定理： ， （负值已舍去）． 18. 如图，在每个小正方形的边长为 的网格中，点，均在格点上，点在网格线上，以为直径的半圆经过点B． （Ⅰ）线段 的长为________； （Ⅱ）点在线段上，点 在线段上，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 ， ，并简要说明点 ， 的位置是如何找到的（不要求证明）________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________． 【答案】 ①. ②. 解法一：如图，取格点，连接，与网格线交于点，连接，与交于点，与半圆相交于点，连接，与网格线相交于，取与网格线的交点，连接并延长，与网格线相交于，连接并延长，与相交于点，则点即为所求. 解法二：如图， 设分别与格线交于点O，点D，连接并延长交格线于点E，连接交于点M，交格线于点F，设交格线于点G，连接并延长交格线于点，连接交半圆于点K，连接交于点N，则点M，点N即为所求． 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可； （Ⅱ）解法一：连接，由网格线的特点可得：为中点，为的中点，可得，进一步可证明，可得，结合，可得，由为直径可得，而，可得，，是中位线，可得，可得，，可得，可得，可得，结合，可得，可得； 解法二：可证明点O为的中点，点D为的中点，点D为的中点，点G为的中点，点G为的中点，则可证明四边形是菱形，得到；证明四边形是平行四边形，进而可证明四边形是平行四边形，得到；由圆内接四边形对角互补可得，则可证明，得到，据此可证明四点共圆，得到，则． 【详解】解：（Ⅰ）由网格的特点和勾股定理可得； （Ⅱ）解法一：如图，取格点，连接，与网格线交于点，连接，与交于点，与半圆相交于点，连接，与网格线相交于，取与网格线的交点，连接并延长，与网格线相交于，连接并延长，与相交于点，则点即为所求. 解法二：如图所示，连接，取格点P、Q， 可证明，得到，则点O为的中点，即点O为半圆的圆心， 同理可得点D为的中点，点D为的中点，点G为的中点，点G为的中点， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴； 同理可证明四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得 ； （2）解不等式②，得 ； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为 ． 【答案】（1） （2） （3）如图： （4） 【解析】 【分析】（1）利用解一元一次不等式的方法求解即可； （2）利用解一元一次不等式的方法求解即可； （3）利用两个不等式的解画图即可； （4）根据数轴即可写出原不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 合并，得； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 合并，得， 系数化为1，得； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由数轴可知，不等式组的解集为． 20. 某校为强化学生低碳生活的环保理念，随机调查了该校 名学生周末绿色出行的次数，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空： 的值为________，图①中的值为________，统计的这组学生周末绿色出行的次数数据的众数和中位数分别为________和________； （2）求统计的这组学生周末绿色出行的次数数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有名学生，估计该校学生周末绿色出行的次数是的人数约为多少？ 【答案】（1），，，． （2） （3）人 【解析】 【分析】（1）根据“部分量对应占比总量”可计算的值；也可将条形图中各组人数相加得到，因为扇形统计图各部分占比总和为1，所以用1减去其余各组的占比得到5次对应的占比，即的值，找出出现次数最多的出行次数即可求出众数，将所有数据从小到大排序，因为总人数为，若为偶数，取中间两个数的平均数，若为奇数，取中间位置的数； （2）使用加权平均数公式，将每次出行次数乘以对应人数后求和，再除以总人数； （3）估计总人数中出行6次的人数：因为样本中出行6次的人数占比可求，所以用总人数1200乘以该占比得到估计值． 【小问1详解】 解：因为出行3次共6人，占比， 所以， 因为百分比总和为， 所以， 因为出行次数为5次的人数最多（15人），因此众数是． 因为总共有50个数据，中位数为排序后第25、26个数据的平均数，排序后第25、26个数据都是5，因此中位数是． 【小问2详解】 解：根据加权平均数公式： （人） 答：这组数据的平均数为． 【小问3详解】 解：样本中绿色出行次数为6次的人数占比为，因此估计全校1200名学生中： （人） 答：估计该校周末绿色出行次数为6次的人数约为人． 21. 已知点 ， 在 上，，点在上，点在以 ， 为端点的优弧上． （1）如图①，当为的中点时，若，求和的大小； （2）如图②，当时，过点作的切线，且，与相交于点，若 的半径为 ，求和的长． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）连接，根据题意可得，则可得到，由圆周角定理可得；根据等腰三角形的性质和三角形内角定理可求出的度数，进而可求出的度数； （2）连接，由切线的性质得到，则由平行线的性质可得；由勾股定理可求出；求出，则由圆周角定理得到；可证明，则，解直角三角形求出的长即可． 【小问1详解】 解：如图①所示，连接， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图②所示，连接， ∵与相切， ∴，即， ∵， ∴， ∴； ∵ 的半径为， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑 的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点 ， ， ， ， 在同一平面内，，， 的延长线与水平线相交于点．从地面 处沿步道（看作斜坡）前行，至平台，；在平台 处测得纪念碑顶部的仰角为，斜坡的倾斜角（）为；在平台 处测得纪念碑顶部 的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，求引滦入津工程纪念碑的高度（结果取整数）．参考数据：，，． 【答案】引滦入津工程纪念碑的高度约为． 【解析】 【分析】分别在中，得出，在中，得出，再根据，列式求出，过点C作，垂足为H，在中，利用，求出，再利用四边形是矩形，结合，即可求解． 【详解】解：根据题意，有， 在中，，， 得， 在中，，， 得， ∵， ∴， ∴， 如图，过点C作，垂足为H， 在中，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 即引滦入津工程纪念碑的高度约为． 23. 已知小杰的家、民俗文化馆、体育公园依次在同一条直线上，民俗文化馆离家，体育公园离家．小杰从家出发，先匀速骑行了到体育公园，在体育公园停留了，之后匀速骑行了到民俗文化馆，在民俗文化馆停留后，再匀速骑行了回到家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小杰离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）填表： 小杰离开家的时间 小杰离家的距离 （2）当时，请直接写出小杰离家的距离关于时间的函数解析式； （3）当小杰离开家时，他的爷爷开始从体育公园出发，匀速步行了直接回到家．在的时段内，对于同一个的值，小杰离家的距离为，小杰的爷爷离家的距离为，当时，求的值（直接写出结果即可）． 【答案】（1）填表如下： 小杰离开家的时间 小杰离家的距离 （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）先求出小杰骑行到体育公园的速度，得到小杰离开家时离家的距离；再根据图象分别得到小杰离开家和时离家的距离，即可填表； （2）分三种情况讨论：、、，结合图象，利用待定系数法即可求解； （3）根据题意与满足一次函数关系，利用待定系数法求出，再分三种情况讨论：、、，令，即可求出的值． 【小问1详解】 解：小杰骑行到体育公园的速度为， ∴当小杰离开家时，离家的距离为； 由图象得，当小杰离开家时，离家的距离为； 当小杰离开家时，离家的距离为； 填表略； 【小问2详解】 解：当时，小杰离家的距离与时间的满足一次函数关系， 设， 代入和得，， 解得， ∴； 当时，由图象得，， ∴； 当时，小杰离家的距离与时间的满足一次函数关系， 设， 代入和得，， 解得， ∴； 综上，小杰离家的距离关于时间的函数解析式为； 【小问3详解】 解：当小杰的爷爷回到家时，小杰离开家时间为， 由题意得，与满足一次函数关系，设， 代入和得，， 解得， ∴； 当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴， 解得； 综上，当时，的值为或或． 24. 将一个四边形纸片放置在平面直角坐标系中， 为原点，点 在 轴的正半轴上，点 ， 分别在第一、第四象限，且关于 轴对称，，，． （1）填空：如图①，点 的坐标为________，点 的坐标为________； （2）若为 轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线 折叠该纸片，折叠后点 的对应点落在 轴的正半轴上．设． ①如图②，若直线 分别与边，相交于点 ， ，当折叠后重叠部分为五边形时，点 ， 的对应点分别为，，与 相交于点 ，与相交于点 ．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为 ，当时，求 的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）， （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）连接交 轴于点，然后解，再根据轴对称的性质即可求解； （2）①导角得到，则，那么，然后解，即可求解，然后找出两个临界位置求解的取值范围即可； ②分三种情况讨论，分别画出图形，求出函数关系式，再利用二次函数的性质求解的取值范围． 【小问1详解】 解：连接交 轴于点， ∵，，． ∴由对称可得，，， ∴，，， ∴，， ∵点A，C关于x轴对称， ∴； 【小问2详解】 解：①在中，∵， ∴， 由折叠可得，，，，， ∴， ∴ ∴ ∴， 由得，， 在中，，得 ∴ 当点重合时，如图： 此时由（1）可得，； 当点重合时，如图： 此时，则， ∴的取值范围为； ②当时，如图，记直线 与交于点，重叠部分为， 此时， 在中，， ∴由对称可得，，， ∴， ∵，对称轴为直线 ∴当时，随着的增大而增大 ∴时，；时，， ∴时，； 当，重叠部分为五边形，延长交直线于点， 在中，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴， 即 ∵，，对称轴为直线， ∴当时，取得最大值为， 当时，可求；当时，可求， ∴当时，； 当时，重叠部分为， 此时， 在中，， ∴， ∴由对称可得，， ∴， 即， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，可求；时，可求， ∴当时， 综上：． 25. 已知抛物线（，，为常数，，）的顶点为． （1）当，，时，求点的坐标； （2）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若，求的值； ②若点，，为线段的中点，点在线段上（不与点，重合），点在线段上，且，当取得最小值为时，求的值． 【答案】（1）点的坐标为； （2）①的值为6；②的值为． 【解析】 【分析】（1）利用配方得到顶点式，即可求解； （2）①求得顶点的坐标为，作轴于点，得到和都是等腰直角三角形，推出，求得，把，代入求解即可； ②根据题意求得，，作轴于点，则是等腰直角三角形，得到四边形是平行四边形，推出，过点作，且，证明，得到，推出，则当共线时，有最小值，即有最小值，据此列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：①由题意得， 对称轴为直线， 顶点的坐标为， 作轴于点， 如图，由题意得点，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 解得（舍去），， ∵抛物线经过点， ∴， 解得（舍去），， ∴的值为6； ②∵点，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为线段的中点，， 作轴于点，则是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 由题意得， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过点作，且， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，有最小值，即有最小值， ∵，，，且取得最小值为， ∴，即， 解得， ∴的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年天津市初中学业水平考试 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页， 第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡” 上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案 答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 2. 下图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 年月日，世界智能产业博览会在天津开幕，展览面积达平方米，创历年之最．将数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 的值等于（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”意思是：现有几个人共同买羊，每人出钱，少钱；每人出钱，少钱．那么人数、羊价各是多少？若设人数为，则可以列出的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当长为半径作弧，与射线相交于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点；③作直线，与边 相交于点．则的大小为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上，点的对应点为，连接并延长，与相交于点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有个球，其中有 个红球、 个黄球、个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出 个球，则它是红球的概率为________． 14. 计算的结果为________． 15. 计算的结果为______． 16. 将直线（为常数）向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第四象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 17. 如图，在菱形中，，，连接． （Ⅰ）线段的长为________； （Ⅱ）点在边上，点在的延长线上，与相交于点，为的中点．若，则线段的长为________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为 的网格中，点，均在格点上，点在网格线上，以为直径的半圆经过点B． （Ⅰ）线段 的长为________； （Ⅱ）点在线段上，点 在线段上，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 ， ，并简要说明点 ， 的位置是如何找到的（不要求证明）________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得 ； （2）解不等式②，得 ； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为 ． 20. 某校为强化学生低碳生活的环保理念，随机调查了该校 名学生周末绿色出行的次数，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空： 的值为________，图①中的值为________，统计的这组学生周末绿色出行的次数数据的众数和中位数分别为________和________； （2）求统计的这组学生周末绿色出行的次数数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有名学生，估计该校学生周末绿色出行的次数是的人数约为多少？ 21. 已知点 ， 在 上，，点在上，点在以 ， 为端点的优弧上． （1）如图①，当为的中点时，若，求和的大小； （2）如图②，当时，过点作的切线，且，与相交于点，若 的半径为 ，求和的长． 22. 综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑 的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点 ， ， ， ， 在同一平面内，，， 的延长线与水平线相交于点．从地面 处沿步道（看作斜坡）前行，至平台，；在平台 处测得纪念碑顶部的仰角为，斜坡的倾斜角（）为；在平台 处测得纪念碑顶部 的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，求引滦入津工程纪念碑的高度（结果取整数）．参考数据：，，． 23. 已知小杰的家、民俗文化馆、体育公园依次在同一条直线上，民俗文化馆离家，体育公园离家．小杰从家出发，先匀速骑行了到体育公园，在体育公园停留了，之后匀速骑行了到民俗文化馆，在民俗文化馆停留后，再匀速骑行了回到家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小杰离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）填表： 小杰离开家的时间 小杰离家的距离 （2）当时，请直接写出小杰离家的距离关于时间的函数解析式； （3）当小杰离开家时，他的爷爷开始从体育公园出发，匀速步行了直接回到家．在的时段内，对于同一个的值，小杰离家的距离为，小杰的爷爷离家的距离为，当时，求的值（直接写出结果即可）． 24. 将一个四边形纸片放置在平面直角坐标系中， 为原点，点 在 轴的正半轴上，点 ， 分别在第一、第四象限，且关于 轴对称，，，． （1）填空：如图①，点 的坐标为________，点 的坐标为________； （2）若为 轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线 折叠该纸片，折叠后点 的对应点落在 轴的正半轴上．设． ①如图②，若直线 分别与边，相交于点 ， ，当折叠后重叠部分为五边形时，点 ， 的对应点分别为，，与 相交于点 ，与相交于点 ．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为 ，当时，求 的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线（，，为常数，，）的顶点为． （1）当，，时，求点的坐标； （2）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若，求的值； ②若点，，为线段的中点，点在线段上（不与点，重合），点在线段上，且，当取得最小值为时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $