新课预习25.2.3 因式分解法&25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【假期成才路·暑假】2026年八年级数学复习与衔接（人教版·新教材）

假期成才路·八年级数学(RJ) 25.2.3 因式分解法 提公因式，首先提公因式，特别要注意整体思想的 基础净 运用，如本例中的(x一2). 1.当一元二次方程先因式分解，使方程化 ★考点2：用因式分解法解形如x2-(a+b) 为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个 x十ab=0(a、b为常数)的一元二次方程 一次式分别等于0，从而实现降次.这种方法叫 【例2】用因式分解法解下列方程： 做因式分解法 (1)x2+2025x-2026=0; 2.因式分解法的基本思想：通过因式分解 (2)x2-(2+√3)x+√6=0； 达到降次的目的；其数学原理是：两数之积为0， (3)(2x+1)2+3(2x+1)+2=0. 则至少一个数为0，反之也成立 解析：设法找到两个数a,b,使它们的和 3.因式分解法解一元二次方程的步骤： 等于一次项系数，积ab等于常数项. (1)整理方程使其右边化为0； 解：(1)x2+2025x-2026=0,(x-1)(x+ (2)将方程左边因式分解； 2026)=0, (3)由(2)中的每个因式分别等于0，得两个 ∴.x-1=0或x+2026=0, 一元一次方程； ∴.x1=1,x2=-2026. (4)解(3)中两个方程得原方程的解. (2)x2-(W2+√3)x+√6=0，(x-√2)(x 典例-探究上 √3)=0， ∴.x-√2=0或x一√3=0， ★考点1：用因式分解法解形如x2-a2=0 .x1=√2，x2=√3 或x2十bx=0的一元二次方程 (3)[(2x+1)+1][(2x+1)+2]=0, 【例1】解方程： ∴.2x+2=0或2x+3=0, (1)x2-16=0;(2)x2-5x=0;(3)(x-2)2= 2-x. a=-1,g=是剂 解析：(1)利用平方差公式分解；(2)可用提 【规律与方法】用十字相乘法因式分解 公因式法进行因式分解；(3)将(x-2)看作一个 时，常数项分解成的两因数必须保证其和为一 整体，右边的2一x移到方程的左边也可用提取 次项系数，两根的符号与常数项分解的两因数 公因式法因式分解 的符号正好相反. 解：(1)x2-16=0,(x+4)(x-4)=0, ★考点3：用适当的方法解一元二次方程 .x十4=0或x-4=0,∴.x1=-4,x2=4. 【例3】用适当的方法解下列方程： (2)x2-5.x=0,x(x-5)=0, (1)x2-3x+1=0;(2)(x-1)2=3; ∴.x=0或x-5=0,∴.x1=0,x2=5. (3)9(x+2)2=2x(x+2);(4)x2-2x (3)移项，得(x-2)2+(x-2)=0, =168. .(x-2)[(x-2)+1]=0, 解析：(1)用公式法；(2)用直接开平方法； ∴.(x-2)(x-1)=0, (3)用因式分解法；(4)用配方法最好，因二次项 .x-2=0或x-1=0, 系数为1，一次项系数为偶数，常数项绝对值大 ∴.x1=2,x2=1. 【规律与方法】解一元二次方程时，如果能 解，1-35a325 2； ·46· 第三部分九年级上册新课预习 (2)x1=1+√3，x2=1-√3； 3.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是 3m=-2a=号： 方程x2-6x十8=0的一个根，则这个三角形 的周长是 (4)x1=14,x2=-12. 4.用因式分解法解下列方程： 【规律与方法】解一元二次方程的关键是 (1)3x(x-1)=2-2x; 方法的选择，当一个方程左边是完全平方式，右 边是非负数，则运用直接开平方法；当一个方程 的二次项系数为1，一次项系数为偶数时则适合 用配方法；当方程的两边有公因式或易于写成左 边是两个因式的积，右边是0的形式时，就可利用 因式分解法来解；在上述三种方法都很难求解的 (2)(3x-2)(3x+2)=12; 情况下可考虑利用公式法求解.注意用公式法求 解时，应先将方程化成一般形式ax2十bx十c=0, 再确定a,b,c的值，同时还应明确其使用的前提 是一4ac≥0.解法的选择是： 直接开平方法→因式分解法 →配方法 (3)(2x+1)2+4(2x+1)+4=0; →公式法 有主网练 1.方程x2+x一12=0的两个根为 A.x1=-2,x2=6 B.x1=-6,x2=2 (4)2(x-3)2=x2-9. C.x1=-3,x2=4 D.x1=-4,x2=3 2.已知(x+y+2)(x+y-1)=0,则x+y的值是 A.1 B.-2 C.2或-1 D.-2或1 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 △0. 基础子 注意：使用一元二次方程a,x2+bx十c-0的 1.如果1，x2为一元二次方程ax2+bx十c 根与系数的关系的前提为a≠0且△≥0. =0(a≠0)的两实根，那么西+2=- a,x2= 典例探究 京A--4ac≥0， ★考点1：已知方程一根，不解方程求另一根及 待定系数 2.若ac<0,则关于x的一元二次方程a.x2+ 【例1】已知关于x的一元二次方程x2十 bx十c=0一定有两个不等实根，这是因为a≠0且 mx一8=0的一个实数根为2，则求另一实数根 ·47· 假期成才路·八年级数学(RJ) 及m的值， 经检验k=2使方程有实根， 解：由根与系数的关系式，设另一根为x2, 【规律与方法】已知方程两根满足某个条件， 则2x2=一8，x2=一4， 求方程中字母系数k的值，求出k值后必须代入仔 又.2+x2=-m,∴.m=2, 一4ac中检验，看的取值是否使方程有实根. 此题也可以把x=2代入原方程求出m,再求出 另一根 旬主网练 【规律与方法】此类题解法有：一是让根 1.一元二次方程x2一2x+b=0的两根分别为 “回原”，即将已知根代入原方程即可；二是由根 x1和x2,则x1十x2为 () 与系数的关系建立另一根和待定系数的方程 A.-2 B.6 C.2 D.-6 组，解之即得.注意待定系数的值不能让二次项 2.已知一元二次方程的两根分别是2和一3，则 系数为0或判别式△<0. 这个一元二次方程是 () ★考点2：已知方程，求含有两根的代数式 A.x2-6x+8=0 B.x2+2x-3=0 的值 C.x2-x-6=0 D.x2+x-6=0 例2已知方程2x2+3x-1=0的两根为 3.设x1,x2是一元二次方程x2一2x-3=0的两 x1,2C2, 根，则x十x ( ) 求十 A.6 B.8 C.10 D.12 解：由一元二次方程的根与系数的关系知 4.已知x1,x2是一元二次方程3x2=6-2x的两 3 1 根，则x1一x1x2十x2的值是 () 五+n=-2西·= 2, A.- xi+x3 =（1十x2)2-2x12 R含 C.- D号 (x1x2)2 5.设a、b是方程x2+x-2027=0的两个实数 （--2×(-2 根，则(a-1)(b-1)的值为 -13 6.已知关于x的方程x2一2(k-1)x十k2=0有 ( 两个实数根x1,x2 【规律与方法】利用根与系数的关系求含 (1)求k的取值范围 有两根的代数式的值，关键是把代数式转化为 (2)若x1+x2=x1x2-1,求的值、 含有x1十x2和x1x2的形式. ★考点3：已知与方程两实根有关代数式的 值，求方程中待定系数的值 【例3】已知关于x的方程x2一6x+k=0 的两根分别是1,2，且满足+1=3，则的 1 值是多少？ 解：关于x的方程x2一6x十=0的两根为 x1,C2, 可得x1十x2=6,x1x2=k, 再由方程1+1=3， 可得-3，即8-3，解得及=2 C12 ·48·假期成才路·八年级数学(RJ) 20,x2=26 (2)m=2+6 2 (3)x1=-5+5 2,x2=-5-5 2 (40=2=-日 1 25.2.3因式分解法 自主训练 1.D2.D3.13 4.(1)1=1,x2=- 4 3 2n-青= (3=%= 3 (4)x1=3,x2=9 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 自主训练 1.C2.D3.C4.D5.-2025 6.(1)≤ (2)k=-3 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时变化率问题 自主训练 1.B2.10%3.36 第2课时图形问题 自主训练 1.D2.(30-2x)(20-x)=6×783.2(5-1) 九年级入学测试卷 一、选择题 1.A2.C3.D4.A5.B6.D7.C8.D 9.C10.D11.D12.A 二、填空题 13.7.514.1515.y=2x+1 16.m>2且m≠317.18.y=号x-1 2 三、解答题 19.(1)原式=5 2a-31亚-3厘 20.,a是方程x2十x一6=0的解， a2+a-6=0, ∴.a2+a=6, 原武=日品÷日将。 a-2 .a2-2a (a+1)2 a+1 =a-2 ,a+1 (a+1)2‘a(a-2) =1 a2十a 21.(1)证明略 (2)PD=2√7 22.(1)画图略 (2)a=86b=87 (3)七年级和八年级的平均数相同，都是85分，但众 数和中位数相比，八年级要高，并且七年级成绩的方 差要大于八年级成绩的方差，所以八年级的成绩要 更加稳定，综上，八年级的学生人工智能技术的总体 水平较好. 23.(1)设甲工程队单独完成此项工程需要x天， 由题意得18(2+动)+10×-1， 解得x=40, 经检验：x=40是原方程的解. 答：甲工程队单独完成此项工程需要40天； (2)设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天时，总 的施工费用不超过22万元 a+=1 根据题意得：4060 (0.6a+0.35b≤22 解得b≥40. 答：要使该项目总施工费用不超过22万元，则乙工 程队至少施工40天. 24.(1)45°(t,t) (2)当t为4秒或(42一4)秒时，△PBE为等腰三 角形 (3)△POE周长是定值，该定值为8 25.(1)直线1的解析式为y1=x十1， 令y2=nx-6n=0, 解得x=6, 故点C(6,0), 由函数图象得，当2<x<6时，yM>y2>0; (2②)点Q的坐标为0，号或0，-号) 3 (3)号CP+BP的最小值=4+E 2 60·