第18讲 抽象函数性质知识总结与题型归纳 讲义-2026届高三数学一轮复习

第18讲抽象函数性质知识总结与题型归纳 题型一：“巧妙赋值”求函数值问题 技巧再现：“赋值思维”抽象函数求解或者证明奇偶性和单调性基础。 有如下规律技巧： (1)第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1等 (2)第二层次赋值：若题中有条件f(x,)t,则再令字母取X。°· (③)第三层次赋值：拆分赋值。根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积 (较多)或者差与商（较少）。 例1.已知定义域为R的函数∫x),满足f(x+y)=f(x)f(y)-f（2-x)f(2-y),且 f(0)≠0，f(-2)=0,则f(2)= 例2.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+fx-y)-f(xfy)=0,f(-1)=1,则 f(0)= 例3：对任意实数x,y,均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f)≠0，则 f(2025=-. 变式训练 第1页共15页 1.定义在R上的函数∫(x),满足对任意x,y∈R,有f(x-y)=f(x-f(y),且 f(3)=1011.求f(0),f(6)的值； 2.已知函数f(x)的定义域为(0，+o）,且(x+y)f(x+)=f(x)fy以，f(四=e,记 a=fb=f21c=3),则() A.B.b<a<c C.a<e<b D.c<b<a 变式3设函数y=f(x)是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件① 对任意正数x,y,都有fx)=fx)+fy):②当x>1时，fx)<0:③f(3)=-1: ①求f1),f（)）的值； 题型二：抽象函数的单调性与奇偶性问题 判断抽象函数单调性的方法： (1)凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论； (2)赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试。 第2页共15页 ①若给出的是“和型”抽象函数fx+y)=…,判断符号时要变形为： f(x2)-f(x)=f((x,-x)+x)-f(x)f(x)-f(x)=f(x,)-f((x-x,)+x2); ②若给出的是“积型”抽象函数fy)=…,判断符芍时要变形为： -x=f-x=-f克） 知识再现2：证明奇偶性，实质就是赋值。分析出赋值规律。 1.可赋值，得到一些特殊，点函数值，如f(0),f(1)等， 2.尝试适当的换元字母，构造出x和-x,如f(x+y),可令y=-x,f(xy),可令y=-1等等。 3通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。 例1：已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x+y)=f(x)+fy)-3y(x+y),证明： y=fx)是奇函数 例2.已知定义域为R的函数f(x),满足f(x+y)=f(x)f(y-f(2-x)f(2-y),且 f(0)≠0，f(-2)=0,证明：f(x)是偶函数 例3.函数f)的定义域为(0，+∞)，对于x,y∈(0，+o),f(y)=f(x)+f(y),且当x>1时， f(x)<0,证明：f()为减函数. 第3页共15页 例4.已知函数f(x)定义域为[-1，川，若对任意的x,y∈[-1，，都有f(x+y)=f(x)+f(y), 且x>0时，f(x)<0. (1)判断f(x)的奇偶性； (2)讨论f(x)的区间[-1，上的单调性； (3)设f()=-4,若f(x)<m2-2am+1,对所有x∈[-l,),a∈[-1，]恒成立，求实数m的 取值范围. 变式训练 1.（多选)已知定义在R上的函数f(x)满足 f(xy)=f(xfy)-f(x)-f(y)+2,f(0)<2,f(0)≠f(1,且f(x)>0,则() A.f(0)=1 B.f-1=2 C.f(-x)=2f(x) D.f (-x)=f (x) 2.(多选)定义在(-0,0)U(0,+o)上的函数f(x),对于任意的x,y都有 f(xy)=f(x)+f(y)-1;且f(2)=3；当x>1时，f(x>1；则下列结论正确的是（) A.f(1=1 B.f(x)是奇函数 C.f(x)在(0，+o)上单调递增 D.f(x-1)>7的解集为{xx<-7或x>9} 第4页共15页 3.已知连续函数f(x)满足：①x,y∈R,则有f(x+y=f(x)+fy)-1,②当x>0时， f(x)<1,③f(I)=-2,则以下说法中正确的是（) A.f(0)=1B.f(4x)=4(x-4C.f)在[-3,3]上的最大值是10 D.不学式f3x)-2国>f3刘+4的解集为{到号<x<1 题型三抽象函数的最值与值域 例1.已知函数f(x)对任意的x,y∈R,总有∫(x+y)=∫(x+fy),若x∈(-0,0)时， >0,L刊=子，则当-3，时，川的聚大准为() A.0 C.1 D.2 变式训练 1.已知连续函数f(x)满足：①x,y∈R,则有f(x+y)=f(x)+fy)-1,②当x>0时， f(x)<1,③f(I)=-2,则f()在[-3,3上的最大值是 第5页共15页 2.已知连续函数f(x)对任意实数x恒有f(x+y)=f(x)十f(y),当x>0时，f(x)<0, f(1)=一2，则fx)在[-3,3)]上的最大值是 题型四抽象函数的对称性 抽象函数的对称性常有以下结论 (①)fx+a=fb-x)→fy关于x=a+也轴对称， 2 但八+a+-=2cf关于0c中心对， 例1.（多选）已知函数f(x),gx)的定义域均为R,∫(x)的图象关于点(2,0)对称， g(0)=8(2)=1,g(x+y)+g(x-y)=g(x)fy),则(） A.∫x)为偶函数 B.gx为偶函数 C.g(-1-x)=-g(-1+x) D.g(1-x)=g(1+x) 第6页共15页 例2.已知对任意实数x,y,函数f(x)满足fxy+1)=∫x+)+f(y+I,则f(x() A.有对称中心 B.有对称轴 C.是增函数 D.是减函数 变式训练 1.(多选)已知函数f(x的定义域为R,且fx+y)=∫x+∫(y),当x>0时，fx>0, 且满足∫(2)=1，则下列说法正确的是（) A.∫(x)为奇函数 B.f(-2)=-1 C.不等式f(2x-f(x-3>-2的解集为-5，+∞) D.f(-2023)+f-2022)++f(0)+f(2022)+f(2023)=2023 2.(多选)已知定义域为R的函数f(x)对任意实数，y都有 八x+列+八x-川=2列，且/=0，剥以下结论-定正确的有() A.f(0)=-1 B.∫(x是偶函数 C.关于G0中心对称 D.f(1+f(2)+…+f2023)=0 第7页共15页 题型五：抽象函数的周期性问题 例1：设f(x)为定义在整数集上的函数，f1)=1,f(2)=0,f(-1)<0,对任意的整数 x,y均有f(x+y)=f(x)f1-y)+f1-x)f(y).则f(55)=一· 例2函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)=-∫(x+1-f(x),f(x)=f(2-x, f(365)=-1,则∑f(k)= k=1 例3：f(x)是定义在R上的函数，对一切x,y∈R,都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且 f(0)≠0. (1)求f(0); (2)判断函数(x)的奇偶性 第8页共15页 变式训练 1.已知函数f(x)的定义域为R,且fx+y)+fx-y)-f(x)f(y)=0,f(-1)=1,则() A.f(0)=0 B.f(x)为奇函数 C.f8=-1 D.f(x)的周期为3 2.若定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)=f(x+1)+f(x-1),且f(I)=2,则 f(2024)= 3.已知函数f(x)满足x,y∈R,f(x+y)+f(x-y)=f(x)fy),fI)=0,且在区间[0，)上， f(x)>0恒成立 0运明：是网画：②求付： (③)证明：f(x)是周期函数 第9页共15页 课后巩固训练 1.设函数f(x)对任意的实数x,y∈R,都有f(x+y)=f(x+f(y),且x<0时，fx<0 ,f-1)=-2 (1)求证：fx是奇函数； (2)试判断函数f(x)单调性； (3)试问当-2≤x≤2时，∫(x)是否有最大值或最小值？如果有，求出最值；如果没有， 请说出理由. 2.已知定义域为I=（-0,0)U(0,+∞)的函数f(x)满足对任x,x2∈(-0,0)U(0,+∞)，都有 f（xx)=f（x)+f(3). (1)求证：f(x)是偶函数； (2)设x>1时fx<0, ①求证：fx)在(0，+0)上是减函数， ②求不等式f(x-1>f(2x的解集. 第10页共15页 第18讲 抽象函数性质知识总结与题型归纳 题型一：“巧妙赋值”求函数值问题 技巧再现：“赋值思维”抽象函数求解或者证明奇偶性和单调性基础。 有如下规律技巧： （1）第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1等 （2）第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取。. （3）第三层次赋值：拆分赋值。根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）。 例1．已知定义域为的函数，满足 ，且，，则________. 【答案】0 【详解】由， 令，则 例2．已知函数的定义域为，且，，则________ 【答案】2 【详解】令 ， 得得 或 ， 当 时，令得 不合题意， 故 例3：对任意实数，均满足且，则_______. 【解析】令，得， 令，得 令，得， ， ，，即. 变式训练 1.定义在上的函数，满足对任意，有，且．求，的值； 解析：令，得，所以， 令，，得，所以． 2.已知函数的定义域为，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数满足的表达式以及，利用赋值法即可计算出的大小. 【详解】由可得， 令，代入可得，即， 令，代入可得，即， 令，代入可得，即； 由可得， 显然可得. 变式3.设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件① 对任意正数，都有；②当时，；③． (1)求的值； 解析：令，， ， 令，， 且． 题型二：抽象函数的单调性与奇偶性问题 判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或. 知识再现2：证明奇偶性，实质就是赋值。分析出赋值规律。 1.可赋值，得到一些特殊点函数值，如f（0），f（1）等， 2.尝试适当的换元字母，构造出x和-x，如f（x+y），可令y= -x，f（xy），可令y= -1等等。 3.通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。 例1：已知定义在上的函数满足：，证明：是奇函数 【详解】定义域为，关于原点对称； 对原式，令，可得，解得； 对原式，令，可得，即， 故是奇函数 例2．已知定义域为的函数，满足 ，且，，证明：是偶函数 【详解】令，则①， 知函数关于点成中心对称， 令，则， 令，则②， 由①可得：③，由①②可知：， 且函数的定义域为，则函数是偶函数 例3.函数的定义域为，对于，，，且当时，，证明：为减函数. 【详解】（1）设，且，则，， 因为，所以，即为减函数 例4.已知函数定义域为，若对任意的，都有，且时，. （1）判断的奇偶性； （2）讨论的区间上的单调性； （3）设，若，对所有，恒成立，求实数的取值范围. 解析：（1）因为有，令，得，所以， 令可得：，所以，所以为奇函数. （2）由题意设，因为是定义在上的奇函数，则因为时，有， 所以，即.所以是在上为单调递减函数； （3）因为在上为单调递减函数，所以在上的最大值为， 所以要使，对所有恒成立， 只要，即， 由得，所以或. 变式训练 1.（多选）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【思路点拨】由已知，利用赋值法计算判断得解. 【详解】定义在上的函数满足， 令，得，而，则，A正确； 令1，得，而，则， 令， 得，即，而，即，则，B正确； 令，得， 即有，因此，C错误，D正确. 2.（多选）定义在上的函数，对于任意的都有；且；当时，；则下列结论正确的是（    ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D．的解集为 【答案】ACD 【思路点拨】对于A：利用赋值法求出； 对于B：借助于赋值法，利用奇偶性的定义直接证明； 对于C：利用单调性的定义进行证明； 对于D：利用赋值法求出，把化为，即可解得. 【详解】对于A：对于任意的都有，令，则有，所以.故A正确； 对于B：对于任意的都有，令，则有，所以；令，则有，所以，故是偶函数.故B错误； 对于C：任取，不妨令，则有，因为当时，，所以，即，所以在上单调递增.故C正确； 对于D：由B的判断过程，可知是偶函数；由C的推导过程，在上单调递增. 对于任意的都有，且，令可得：，令可得：. 所以可化为：，即解得：，即的解集为.故D正确 3.已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（　　） A． B． C．在上的最大值是10 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【思路点拨】依题意令，求出，从而判断A；令得到，再令，，即可判断B；再利用定义法证明函数的单调性即可判断C；依题意原不等式等价于，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，即可判断D. 【详解】因为，则有， 令，则，则，故A正确； 令，则， 令代，则， 即，即，故B错误； 设且，则，由， 令，则，即， 令，，则，即， 因为时，，又，故， 所以，所以，即在上单调递减， 又，所以，， 又，所以， 故在上的最大值为，故C正确； 由，即， 即，即， 又因为，即， 所以，即， 故，即，解得， 即原不等式的解集为，故D正确 题型三 抽象函数的最值与值域 例1．已知函数对任意的，总有，若时，，且，则当时，的最大值为（ ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】令，则，得， 令，则，所以，所以为奇函数， 任取，且，则，， 所以， 所以，所以在上递减， 所以当时，的最大值为， 因为，所以， 所以，故选：D 变式训练 1.已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则在上的最大值是________ 【答案】10 【解析】设且，则，由， 令，则，即， 令，，则，即， 因为时，，又，故， 所以，所以，即在上单调递减， 又，所以，， 又，所以，故在上的最大值为 2.已知连续函数对任意实数x恒有，当时，，，则f(x)在[－3，3]上的最大值是________ 【答案】6 【详解】令，可得，所以， 所以是奇函数； 令，则， 因为当x＞0时，f(x)＜0， 所以，即， 所以在均递减， 因为，所以在上递减； ，可得； 令，可得 ，； ，在，上的最大值是6 题型四 抽象函数的对称性 抽象函数的对称性常有以下结论 （1）关于轴对称， （2）关于中心对称， 例1．（多选）已知函数，的定义域均为R，的图象关于点(2，0)对称，，，则（　　） A．为偶函数 B．为偶函数 C． D． 【答案】ACD 【分析】 由赋值法，函数奇偶性，对称性对选项一一判断即可得出答案. 【详解】令，则，注意到不恒为， 故，故A正确； 因为的图象关于点(2，0)对称，所以， 令，得， 故，故B错误； 令，得， 令，得，故， 从而，故, 令，得，化简得，故C正确； 令，得，而，故D正确. 故选：ACD. 例2.已知对任意实数x，y，函数满足，则（    ） A．有对称中心 B．有对称轴 C．是增函数 D．是减函数 【答案】B 【分析】依题意取特值即可求解. 【详解】令，得，∴； 令，得，∴； 令，得， ∴的图象关于直线关于对称 变式训练 1.（多选）已知函数的定义域为R，且，当时，，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C．不等式的解集为 D． 【答案】AB 【详解】对于A中，令，可得，所以， 令，得到，即， 所以为奇函数，故A正确； 对于B中，因为为奇函数，所以，故B正确； 对于C中，设，可得， 所以， 又因为，所以，所以，即， 所以在R上单调递增，因为，所以，由，可得， 所以，所以，得到， 所以的解集为，所以C错误； 对于D中，因为为奇函数，所以， 所以， 又，故，所以D错误 2.（多选）已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（    ） A． B．是偶函数 C．关于中心对称 D． 【答案】BC 【分析】根据赋值法，可判断或，进而判断A，根据赋值法结合奇偶性的定义可判断C，根据偶函数即可判断对称性，根据对称性以及奇偶性可得函数的周期性，进而可判断CD. 【详解】令，则或，故A错误， 若时，令，则，此时是偶函数，若时，令，则，此时既是偶函数又是奇函数；因此B正确， 令，则，所以关于中心对称，故C正确， 由关于中心对称可得，结合是偶函数，所以，所以的周期为2， 令，则，故， 进而，而，由A选项知或，所以或，故D错误. 题型五：抽象函数的周期性问题 例1：设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数均有．则______． 【答案】 【分析】采用赋值的方式可求得，令和可证得的对称轴和奇偶性，由此可推导得到的周期性，利用周期性可求得函数值. 【详解】令，则，； 令，，则，又，； 令，则，关于直线对称； 令，则， 不恒成立，恒成立，为奇函数， ，， 是周期为的周期函数，. 例2.函数的定义域为，且，，，则 . 【答案】2 【分析】根据给定条件，探讨函数的周期，再结合求出即可求解作答. 【详解】函数的定义域为，由， 得， 因此函数是以3为周期的周期函数，且，即， 由，得，又，，从而， 所以. 例3：是定义在上的函数，对一切都有且 （1）求； （2）判断函数的奇偶性 解析：（1） 取，则 （2） 取得到，即 ，函数为偶函数 变式训练 1.已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．为奇函数 C． D．的周期为3 【答案】C 【分析】令 ，则得，再令即可得到奇偶性，再令则得到其周期性，最后根据其周期性和奇偶性则得到的值. 【详解】令 ， 得得 或 ， 当 时，令得 不合题意， 故 ， 所以 A错误 ； 令 得 ， 且的定义域为，故 为偶函数， 所以B错误 ； 令 ， 得 ， 所以 ， 所以 ， 则，则， 所以 的周期为 6 ， 所以 D错误 ； 令 ， 得 ， 因为 所以 ，所以 ， 故C正确. 2.若定义域为的奇函数满足，且，则 ． 【答案】2 【分析】利用赋值法及奇函数的定义，结合函数的周期性即可求解. 【详解】由，得， 所以，即，于是有， 所以，即. 所以函数的周期为. 因为是定义域为的奇函数， 所以，即. 令，则，解得， 所以. 3.已知函数满足，，，且在区间上，恒成立. (1)证明：是偶函数；(2)求； (3)证明：是周期函数. 解析：(1)令，得，因为，所以， 令，得，所以， 所以为偶函数． (2)令，则，所以， 又，所以，令得，． (3)在中令得， 所以，即， 所以，. 课后巩固训练 1.设函数对任意的实数，，都有，且时，，. （1）求证：是奇函数； （2）试判断函数单调性； （3）试问当时，是否有最大值或最小值？如果有，求出最值；如果没有，请说出理由. 解析：（1）证明：依题意令，得，即， 令得，∴， ∴是奇函数. （2）单调递增函数，理由如下： 任取，设，则，由已知可得， ∵， ∴，∴在是单调递增函数. （3）有最大值4，最小值. 由（2）知在区间上是增函数. 又，， 当时，，. 2.已知定义域为的函数满足对任，都有． （1）求证：是偶函数； （2）设时， ①求证：在上是减函数； ②求不等式的解集． 解析：（1）取得，即，取得，即， 取，得，即是偶函数． （2）①设，则，由时，得，则，即在上为减函数， ②由是偶函数且在上是减函数，则不等式等价为， 即得，得得， 即或或，即不等式的解集为. 3.已知函数对于任意实数x，恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间的最大值； (3)解关于x的不等式：. 解析：(1)为奇函数，理由如下：函数的定义域为R，关于原点对称。令得：，解得： 令得：所以对任意恒成立 所以为奇函数 (2)任取，，且则因为当时，所以，即 由第一问知，为奇函数。所以，则，即 所以在上单调递增，所以在区间的最大值为 因为，为奇函数所以。令得： 令，得：，即 (3)因为。所以 由（1）可知，为奇函数，由（2）知，。所以 即。所以 由（2）可知，在上单调递增。所以 整理得：，即 当时，，解得：，当时，，解集为 当时，，解集为 ，当时，，解集为 当时，，解集为 综上：当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为 4.已知函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，．求证：在上是单调减函数． 解析：对于任意实数，，恒有，且当时，． 令，，则，且由时，， ；设，，，，，，．即当时，有．即恒成立， 设，则，，， ，即，在上单调递减． 5.已知定义在上的函数对任意实数都满足，且．当时，． （1）求的值； （2）证明：在上是增函数； （3）解不等式． 解析：（1）因为任意实数都满足，令，则，， （2）当时，则，，，， 即时，恒成立，设任意的，且，则，， ，即在上是增函数， （3），，由（2）知在R上为增函数，，得：，故不等式的解集为. 6.已知函数是定义在上的增函数，. （1）求；（2）求证：； （3）若，解不等式：. 解析：(1)令，，则，解得, (2)令，，则，因为，所以， (3)因为函数的定义域为，所以，，因为，所以，解得， 因为，所以，即， 因为函数是定义在上的增函数，所以，即， 即，，解得，的取值范围为. 7.设函数的定义域为R，并且满足，且当时， (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并给出证明； (3)如果，求的取值范围； 解析：（1）令，则，∴； （2）函数是定义在上的减函数，设，且，则，∴， ∵当时，∴，即∴，∴函数是定义在上的减函数； （3）∵∴,又，∴， ∴函数是奇函数，∵， ∴， ∴，又函数是定义在上的减函数， ∴，即，∴的取值范围为. 8.定义在上的函数，满足对任意，有，且． (1)求，的值； (2)判断的奇偶性，并证明你的结论； (3)当时，，解不等式． 解析：(1)令，得，所以， 令，，得，所以． (2)令得，，即， 所以函数为奇函数． (3)设，且，则，所以， 所以，故在上为增函数， ，等价于，所以，解得：， 故不等式的解集为． 9.已知函数是定义在上的非常值函数，对任意，满足. （1）求，的值； （2）求证：对任意恒成立； （3）若当时，，求证：函数在上是增函数. 解析：（1）令可得，对任意的都有，所以又是非常值函数，故；令则对任意的都有，所以恒成立对任意成立，故．所以． （2）取则对任意的成立，又函数是定义在上的非常值函数，故，，即所以对任意恒成立． （3）取，则，又，所以时，，，又由（2）故 ，所以当时，，所以函数在上是增函数． 10.已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且. (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)奇函数(2)单调递增，证明见详解(3)或 【分析】（1）根据题意，令，即可判断； （2）根据题意，先证，恒成立，再结合定义法，即可证明单调性； （3）根据题意，先根据单调性求出的最值，再将原不等式转化为，构造关于的函数即可求解. （1）根据题意，令，得，因为，所以，故结合定义域可知，为奇函数. （2）在上单调递增. 证明：由题意，可知， 假设，使得，则， 而当时，由题意知，因此矛盾，故，恒成立. 设，且，则，因此， 因为，且当时，，所以，又因为，所以，即，又因为，所以在上单调递增. （3）根据题意，结合（1）（2）可知，在上单调递增， 因此，， 故，， 因为，恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 令，则，恒成立， 故，解得或. 11.已知定义域为，对任意都有，当时，，． (1)试判断在上的单调性，并证明 (2)解不等式： 解析：（1）函数在上单调递减，证明如下：任取，且， 可得， 因为，且时，，所以，所以即， 所以在上单调递减． （2）令，得，∴    ∴∴， 又在上的单调递减且∴，∴．   ∴，即不等式解集为 12.若定义在R上的函数满足：，都有成立，且为上的增函数， (1)求的值，并证明为奇函数； (2)解不等式. (3)若，，恒成立，求实数的取值范围. 解析：(1)由令，则解得： 令，，则即， 所以为奇函数 (2)解：由得所以 即所以等价于 即由，且，令， 得：所以等价于 又为R上的增函数所以，即解得： 故不等式得解集为： (3)解：由（2）知，，，等价于 又为R上的增函数所以即，恒成立 所以即，恒成立 ①当，即或时，不等式变为：，符合题意 时，不等式变为：，即，不符合题意 ②当时解得： 综上，实数m的取值范围为： 13.定义在上的函数，对任意，都有，且当时，． （1）求与的值； （2）证明为偶函数: （3）判断在上的单调性，并求解不等式． 解析：（1）令，则令，则 （2）令，则， ∴为偶函数． （3）令，，设，则且∴ ∴∴在上单调递减，又为偶函数 ∴或∴或∴或 14.定义在上的函数，对任意x，y∈I，都有；且当时，. （1）求的值； （2）证明为偶函数； （3）求解不等式. 解：(1)令，则令，则 (2)令，则，∴为偶函数. (3)令，，设，则且∴ ∴∴在上单调递减又∵为偶函数∴或 ∴或∴或 变式10：已知函数，，若对于任意实数，，都有，求证：为偶函数． 证明：令，，则①， 令，，得②． 由①②得，即．∴是偶函数． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $